ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN UN ENSAMBLE MECÁNICO, APLICANDO EL TEOREMA DE LAMÉ Y EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO (MEF)

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1 ISSN ANÁLISIS DE ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN UN ENSAMBLE MECÁNICO, APLICANDO EL TEOREMA DE LAMÉ Y EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO (MEF) Juan José Maínez Cosgalla Depaameno de Ingenieía Mecánica, ESIME U. P. Azcapozalco mainez_c_jj@yahoo.com J. Sanana Villaeal Reyes Depaameno de Ingenieía Mecánica, ESIME U. P. Azcapozalco svillaeal@ipn.mx Fedy Donís Sánchez Depaameno de Ingenieía Mecánica, ESIME U. P. Azcapozalco fdonis@ipn.mx Absac El esudio sobe el cálculo del esfuezo angencial σ y el esfuezo adial σ en un puno cualquiea del espeso de paed de un ecipiene de paed guesa, en función de las pesiones ineio y exeio aplicadas, y de las condiciones geoméicas, fue ealizado po Gabiel Lamé en En ese abajo se efecúa el cálculo de los esfuezos y las defomaciones que se pesenan en un ensamble mecánico, aado como un ecipiene de paed guesa y aplicando el eoema de Lamé desde el enfoque analíico y se lleva a cabo la confimación a avés del méodo del elemeno finio (MEF). Palabas clave: Esfuezo, defomación, inefeencia, simulación maemáica. En un ensamble mecánico, cuando se pesena un ajuse con apiee, exise pesión ineio en el aguje ejecida po el eje sobe ése, pe ambién exise pesión exeio sobe el eje ejecida po el diáme ineio del aguje. Ese fenómeno oigina la pesencia de esfuezos en el ensamble, como son los esfuezos adiales y los esfuezos angenciales. Ejempla 1. Ene-Junio 017. Una foma de deemina esos esfuezos, es analizando el conjuno como cilinds de paed guesa en los cuales el pblema de la deeminación del esfuezo angencial σ y del esfuezo adial σ en un puno cualquiea, en función de las pesiones exeio e ineio aplicadas, y de las condiciones geoméicas, fue esuelo po Gabiel Lamé en El cilind de la figua 1 iene un adio ineio a y un adio exeio b, esando someido a pesiones inena y 1

2 ISSN exena unifomemene disibuidas de valo p i y p o. Paa obene oa elación ene σ y σ hay que adopa alguna hipóesis complemenaia. Se supone que una sección eca, nomal al eje cilíndico, pemanece plana después de la defomación y, po ano, que la defomación uniaia longiudinal es consane en cualquie puno de la sección. Aplicando la ley de Hooke genealizada en el caso de un esado iaxial de esfuezos esula: Figua 1. Cilind de paed guesa someido a pesión inena p i y pesión exena p o. Aislando un cilind de espeso difeencial d y consideando la miad de longiud uniaia de ése elemeno cilíndico difeencial. El esfuezo angencial en el elemeno aislado de la figua es σ, el esfuezo adial en la supeficie ineio es σ, y en la supeficie exeio σ + dσ, ya que σ vaia a lo lago del adio. Los esfuezos adiales se suponen (incoecamene) de ensión, de modo que un esulado negaivo indica compesión. Tal elemeno puede esudiase como un cilind de paed delgada y, po ano, paa el equilibio, la suma oal de las fuezas aplicadas debe se igual a ce. ε z = 1 E [σ z ν(σ + σ )] Ahoa bien, como ε z, E, σ z y son consanes, la suma σ + σ ha de se consane en oda la sección. Llamando A a esa consane: σ + σ = A.. (b) Ahoa se puede enuncia una ecuación que sólo incluya σ ; eso se hace sumando las ecuaciones (a) y (b): o bien, = dσ d + σ = A = dσ d = (A σ ) de donde, al sepaa las vaiables, se obiene Figua. Esfuezos en medio cilind difeencial. (σ + dσ ) ( + d) σ () σ d = 0 El pduco d dσ puede despeciase, como infiniésimo de segundo oden, especo de las oas canidades. En esas condiciones la ecuación aneio se escibe en la foma: dσ d + σ σ = 0.. (a) La inegación da y dσ = d A σ log e (A σ ) = log e + C = log e + C o bien, log e (A σ ) = C Ejempla 1. Ene-Junio 017.

3 ISSN log e (A σ ) = e C = B donde B es una consane más adecuada que e C. Resolviendo paa σ, finalmene se obiene σ = A B (c) Susiuyendo ese valo en la ecuación (b) esula: σ = A + B.. (d) Los valoes de las consanes A y B se deeminan mediane las condiciones de fnea, que son: σ = p i paa = a σ = p o paa = b donde el signo menos indica que σ es un esfuezo de compesión. Con esos valoes se obiene el sisema: Cuya solución es: p i = A B a p o = A B b A = a p i b p o b a B = a b (p i p o ) b a Susiuyendo esos valoes en las expesiones (c) y (d) se obienen las expesiones geneales de σ y σ en un puno cualquiea a la disancia del cen: σ = a p i b p o b a a b (p i p o ) (b a ) σ = a p i b p o b a + a b (p i p o ) (b a ) Casos paiculaes Caso I: Sólo pesión ineio Si la pesión ineio es p i y la exeio es nula (p o = 0), las ecuaciones aneioes oman la foma siguiene: σ = σ = a p i b b a (1 ) a p i b b a (1 + ) Obsévese que σ siempe es negaiva (compesión) y que σ siempe es posiiva (ensión) y mayo que σ. Su valo máximo apaece en la supeficie ineio del cilind: (σ ) máx = ( b + a b a ) p i Llamando K a la elación b a se puede escibi en la foma: (σ ) máx = K + 1 K 1 p i El valo medio del esfuezo cicunfeencial, obenido con el mismo méodo que en el caso de un cilind de paed delgada, es: (σ ) med = ap i b a = p i K 1 Y la elación del valo máximo al valo medio de ese esfuezo angencial es: (σ ) máx (σ ) med = K + 1 K + 1 Ejempla 1. Ene-Junio

4 ISSN Según esa expesión, paa un espeso de paed igual a 1 0 del diáme ineio, K = b a = 1.1, y (σ ) máx es solamene un 5% mayo que (σ ) med. Ese esulado jusifica el pcedimieno aplicado en el caso de elemenos de paed delgada. Como el esfuezo coane máximo es igual a la semidifeencia de los esfuezos pincipales, y se deduce del ciculo de Moh, y como la falla de un maeial dúcil, al como el ace (maeial con el que se fabican muchos ubos de ese ipo), se supone debido al esfuezo coane (como esablece la eoía del esfuezo coane máximo) ese valo es muy impoane en el diseño de esos ubos. El valo máximo iene luga en la supeficie ineio del cilind, en donde σ y σ son máximos y de signos conaios, lo que da paa τ máx el valo: τ máx = (σ ) máx (σ ) máx Caso II: Sólo pesión exeio. Ejempla 1. Ene-Junio 017. = b b a p i Si la pesión exeio es p o y la ineio es ce (p i = 0), enonces las ecuaciones se convieen en: σ = p ob a b a (1 ) σ = p ob a b a (1 + ) En ese caso, σ y σ son siempe negaivos (compesión) y σ es siempe mayo que σ. El máximo esfuezo de compesión (σ ) máx iene luga en la supeficie ineio, en donde σ es nulo, y viene dado po: (σ ) máx = b p o b a El valo de (σ ) máx se apxima a p o cuando b es muy gande en elación con a, como ocue en un cilind con un pequeño oificio cenal. Esfuezo longiudinal Ahoa consideemos la sección ansvesal de un cilind de paed guesa con exemos ceados, someido a una pesión inena P 1 y una pesión exena P. Figua 3. Sección longiudinal de un cilind. Paa el equilibio hoizonal: P 1 πr 1 P πr = σ L π(r R 1 1 ) Donde σ L es el esfuezo longiudinal geneado en las paedes del cilind: σ L = P 1R 1 P R R R 1 Es deci, una consane. Puede demosase que la consane iene el mismo valo que la consane A de las ecuaciones de Lamé. Eso puede veificase paa el caso en el que sólo exise pesión inena susiuyendo P = 0 en la ecuación aneio: Paa pesiones inenas y exenas combinadas, ambién se aplica la elación σ L = A. Cambio de dimensiones del cilind 4

5 ISSN ) Cambio de diáme La defomación diameal en un cilind es igual a la defomación angencial o peimeal Po consiguiene cambio de diáme = defomación diameal diáme oiginal = defomación peimeal diáme oiginal Suponiendo que los esfuezos pincipales del sisema (eso es, los esfuezos angencial, adial y longiudinal) son de ensión, la defomación peimeal esá dada po ε = 1 E [σ νσ νσ L ] De ese modo, el cambio de diáme en cualquie adio del cilind se obiene mediane D = E [σ νσ νσ L ] ) Cambio de longiud En foma semejane, el cambio de longiud del cilind esá dado po L = L E [σ L νσ νσ ] En ese abajo se ealiza el cálculo de los esfuezos y las defomaciones que se pesenan en un ensamble mecánico, desde el enfoque analíico y se lleva a cabo la confimación a avés del méodo del elemeno finio (MEF). Figua 4. Geomeía del ensamble. f Cilind ineio: i 3 mm f 5.05 mm Cilind exeio: 5 mm 7 mm Ppiedades mecánicas del maeial. Eo Vo Vi Ei N / m Cálculo de la pesión de conaco ene los dos cilinds Pimeamene, se deeminó la inefeencia exisene: I mm Diseño mecánico de un ensamble po inefeencia de dos cilinds de paed guesa Aplicando la ecuación: Ejempla 1. Ene-Junio

6 f + o I = dfp c [ ( o + V o ] f )E o E o Sacando a f + i + dfp c [ ( f V i ] i )E i E i df Pc como faco común: f + o I = dfp c [ ( o + V o + f + i f )E o E o ( f i )E i V i E i ] Como ambos cilinds esán fabicados con el mismo maeial: Pc Pc Redondeando: Pc Pc ISSN Cálculo de los Esfuezos Radial σ, Esfuezo Tangencial σ y Esfuezo de, Von Mises σ E en el cilind exeno i 5 mm pi 7 mm Pc Eo Ei 5 mm (adio exeio del cilind ineio) Po lo ano: I df Pc f Vo y Vi i f Eo f i f Ei Esfuezo Radial: pi i po i Subsiuyendo valoes: i pi po i df Pc E f f Subsiuyendo valoes: f f f f i i f f i i m m m m Po lo ano: Esfuezo Tangencial: Ejempla 1. Ene-Junio 017.

7 ISSN pi i po i Esfuezo de Von Mises: E E E i i pi Cálculo de los Esfuezos Radial σ, Esfuezo Tangencial σ y Esfuezo de, Von Mises σ I en el cilind ineno i 3 mm 5 mm pi 0 po 5 mm (adio exeio del cilind ineio) pi i po i i po i pi po Esfuezo Tangencial: i pi i po 5 10 i 5 10 Esfuezo de Von Mises: I I I pi i po Cálculo de la Defomación Radial del cilind ineno f 5 mm V 0.9 i 3 mm Pc E 00 Gpa Ejempla 1. Ene-Junio

8 ISSN Pc f f i Ei f i i i i Vi m La Defomación Diameal es: 0.9 Análisis po simulación maemáica El modelo de elemeno finio se desalló empleando los pgamas de cómpuo Hypemesh V8.0 paa la geneación del modelo y Abaqus V7.1 paa la obención de la solución. El modelo de elemeno finio se consuyó con elemenos sólidos de conaco C3D8 que pemiien la ineacción ene los cilinds, y po elemenos ígidos RB3D, uilizados paa aplica las cagas y esicciones, como se puede obseva en la figua 5. Di m mm Cálculo de la Defomación Radial en el cilind exeno 7 mm Pc Eo 00 Gpa f 5 mm V 0.9 Pc f Eo f f Vo m 0.9 Figua 5. Modelo de elemenos finios. Esfuezos de Von Mises en el cilind exeno e ineno. La figua muesa los esulados obenidos paa los esfuezos de Von Mises en el cilind exeno. La Defomación Diameal es: do m Figua. Esfuezos de Von Mises en el cilind exeno mm Asimismo, la figua 7 muesa los esulados obenidos paa los mismos esfuezos, pe en el cilind ineno. Ejempla 1. Ene-Junio

9 ISSN Figua 7. Esfuezos de Von Mises en el cilind ineno. Pesión de conaco y fueza de ensamble En la figua 8, se obseva la pesión de conaco exisene y en la figua 1 la fueza de ensamble. Figua 8. Pesión de conaco. Figua 9. Fueza de conaco. Resulados obenidos Como se ha podido obseva, al desalla el cálculo analíico pimeamene se enconó que en el ensamble esudiado se pesenó un ajuse de apiee, mecánicamene llamado de inefeencia, el cual oigina la pesencia de esfuezos adiales (σ ) y esfuezos angenciales (σ ), con los que se deeminó el esfuezo equivalene de Von Mises (σ ), ano en el cilind ineno como en el cilind exeno. O efeco que se obsevó fue el desplazamieno diameal que sufió el cilind ineno, el cual se asmie hacia el cilind exeno pvocándole un desplazamieno diameal, el cual seguamene geneaá una inefeencia mayo en el ensamble. En la abla 1, se pesena un concenado de los esulados obenidos ano po el méodo analíico, como po simulación maemáica, empleando el méodo de los elemenos finios (MEF, po sus siglas en inglés). Ejempla 1. Ene-Junio

10 ISSN Tabla 1. Compaación de esulados obenidos. Elemeno Pesión de conaco Fueza de ensamble Esfuezo de Von Mises Desplaza mieno diameal Méodo analíico Cilin d ine no 700 N 73 Cilind o exen o 700 N m 10 Simulación maemáica Cilin Cilin d d ine exe no no N N Difee ncia 0 N 77/ De los esulados que apaecen en la abla se pueden obene las conclusiones siguienes: 1. La fueza de ensamble deeminada po ambos méodos aja una difeencia significaiva que hace conveniene ealiza un esudio más compleo analizando difeenes condiciones de fnea (mallado).. La difeencia del esfuezo equivalene de Von Mises deeminado con ambos méodos es insignificane, lo que nos hace infei que el méodo de simulación maemáica esula basane confiable, lo que hace el abajo más ápido. 3. El desplazamieno diameal que sufe el cilind exeno es basane pequeño, lo que infiee una casi nula afecación con o ensamble a que esé sujeo ese cilind. Cabe hace mención que el análisis ealizado fue esáico, debido a que no se conaba con infomación al especo, pe se deja abieo el esudio paa ealiza un análisis dinámico a manea de conibución hacia nuesa disciplina. Conclusiones Como puede obsevase en el desallo de ese abajo los esfuezos cíicos de un ensamble po inefeencia son el esfuezo adial, el esfuezo angencial y el esfuezo coane, mismos que de se excedidos en la capacidad mecánica del maeial a usa causaían la falla del ensamble. Asimismo como se obsevó se pesena una defomación adial que influye en la alua del diene del engane y que de no se consideada podía oigina una opeación inadecuada del engane. Se han empleado los méodos analíico y de simulación maemáica paa desalla ese análisis, a fin de valida el empleo de la compuadoa en el diseño mecánico, siempe y cuando se uilicen los paámes coecos a fin de evia fallas duane la opeación. Se ha enconado que el méodo de los elemenos finios aja esulados muy apximados a los obenidos po el méodo analíico, po lo ano con la pácica necesaia ése es de gan uilidad en el diseño mecánico de ensambles de ese ipo. El pesene abajo ppociona las bases paa invesigaciones más complejas que puedan ealizase y que ppocione heamienas confiables al ingenie diseñado. Refeencias Boesi, Ahu, P. Schmid, Richad, J. (003). Advanced Mechanics of Maeials. a ed. U. S. A: John Wiley & Sons, Inc. 81 pp. Chandupala, Tiupahi, R. Belegundu, Ashok, D. (1997). Inducción al Esudio del Elemeno Finio en Ingenieía. ª ed. México: Peason. 4 pp. Chen, Ai-jun. Zeng, Wen-ji. (00). Weigh Funcion fo Sees Inensiviy Facos in Roaing Thick- walled Ejempla 1. Ene-Junio

11 ISSN Cilindes. Applied Mahemaics and Mechanics, English ediion, 7 (1): Hean, E. J. (1985). Resisencia de Maeiales. México: Nueva Edioial Ineameicana. 44 pp. Singe, Fedinand, L. Pyel, Andew. (1994). Resisencia de Maeiales. 4ª ed. México: Alfaomega. 584 pp. W. S. Shim, J. H. Kim, Y. S. Lee, K. U. Cha, S. K. Homg. (010). A sudy of hydaulic auofeage of hick-walled cilindes incopoaing Bauschinge effec. Expeimenal Mechanics. 50: 1-. Ejempla 1. Ene-Junio