Unidad 3 Campo Gravitatorio: Generalización 1

Transcripción

1 Unidad Capo avitatoio: enealización ACIVIDADES (pá 67) Cita dos ejeplos, al enos, de capo ceado po una anitud activa escala y otos dos ejeplos de capo ceado po una anitud activa vectoial. anitud ipo Capo asa Escala avitatoio Caa Escala Eléctico Velocidad Vectoial Velocidades Caa en oviiento Vectoial anético En cada uno de los ejeplos anteioes, señala cuál es la anitud activa. En los capos vectoiales, señala si son o no son capos de fuezas. El capo vectoial no es un capo de fuezas peo el anético sí. ACIVIDADES (pá 69) Dibuja el vecto intensidad del capo avitatoio que cea en el oien un sistea de asas coo el de la fiua de la deecha, teniendo en cuenta la diección y el sentido que le coesponde. FÍSICA º Bachilleato - ANAYA

2 Unidad Capo avitatoio: enealización En la actividad anteio, calcula el vecto intensidad de capo avitatoio. Considea 6,67 - en unidades del S.I. k k k d d x i j 6,67 y 6,67 d i 4,7 4 j 7,4 cos α i senα i j s s j 6,67 4 i j 4,7 i, ( ) ( ) (4,7 4,7) i (7,4,) j 8,44 i,6 j x y x ACIVIDADES (pá 7) y Considea el sistea físico popuesto en la piea actividad del epíafe anteio. Calcula el potencial avitatoio en el oien de coodenadas y en el punto edio del ectánulo que foa dicho punto y los tes puntos en que se sitúan las asas. V V Oien P.edio El potencial es un escala. d d 6,67 6,67 d 6,67 4 5,5,5,7,5 Dejaos libe, en el oien del sistea de coodenadas, una asa de. Suponiendo que no existen ozaientos y que el plano XY es pefectaente hoizontal, indica hacia dónde se oveá dicha asa (si se ueve). Justifica tu espuesta. Se oveá en la diección y sentido que aca el vecto intensidad avitatoia que heos dibujado y cuya intensidad heos calculado con anteioidad, con una fueza P -6,6 - /s,6-7 N J 6,56 J j s FÍSICA º Bachilleato - ANAYA

3 Unidad Capo avitatoio: enealización ACIVIDADES (pá 7) Existe alún punto en el que el potencial ente la iea y la Luna sea nulo? Y la intensidad del capo avitatoio? Coo el potencial es un escala neativo nunca se anulaá, peo la intensidad del capo avitatoio, al se dos vectoes de la isa diección y sentido opuesto sí hay un punto ente la iea y la Luna en que se iualan sus ódulos siendo nula la esultante. Cada cuánto tiepo se poduce una pleaa? Y una bajaa? aea es el cabio peiódico del nivel del a, poducido pincipalente po las fuezas avitacionales que ejecen la Luna y el Sol. Lueo las aeas son oviientos de cieta aplitud de la asa de aua de nuesto planeta, y esponden a la fueza de atacción que nuesto satélite, la Luna, ejece sobe la iea. En eno edida, el Sol tabién colaboa, atizando el fenóeno y otoándole ayo o eno ipotancia. aea alta o pleaa: oento en que el aua del a alcanza su áxia altua dento del ciclo de las aeas. aea baja o bajaa: oento opuesto, en que el a alcanza su eno altua. El tiepo apoxiado ente una pleaa y la bajaa es de 6 hoas inutos, copletando un ciclo de 4 hoas 5 inutos. Se poduce una pleaa cada hoas y 5 in y el iso intevalo paa la bajaa. La aea alta es el eflejo de un abobaiento aino que se poduce po la atacción de la Luna situada sobe ese punto; paa que este abobaiento o aplitud aina pueda foase, es peciso que una cieta cantidad de asa de aua acuda hacia allí desde otos luaes del planeta, donde, lóicaente, se poduce una disinución del nivel del aua: aquí tiene lua la aea baja. Po efecto de la otación de la iea, las aeas altas no suceden exactaente cuando la Luna se encuenta sobe el eidiano de cada lua, sino que acuula un cieto etaso, que en nuestas costas onda las tes hoas y edia. Noalente se poducen en la iea al iso tiepo dos aeas altas y dos bajas: las altas en los puntos po donde cuza una línea que pasa po el cento de la tiea y se diie a la posición de la Luna; las bajas, en los puntos situados a 9º de los citados. Dibuja las posiciones del Sol y de la Luna especto a un punto de la iea en los siuientes supuestos: aa) ) Cuando se poduce una aea viva. bb) ) Cuando se poduce una aea ueta. FÍSICA º Bachilleato - ANAYA

4 Unidad Capo avitatoio: enealización 4 Las distintas posiciones del Sol y de la Luna povocan tabién las denoinadas aeas "vivas" y aeas "uetas". Las vivas tienen lua cuando Sol, la Luna y la iea se encuentan situados en línea ecta, con lo que la fueza de atacción de los dos pieos sobe la asa de aua del últio se suan y auentan el nivel del a. Las uetas se poducen cuando el Sol y la Luna se encuentan situados foando un ánulo de 9º ente abos, con lo que sus fuezas de atacción se estas y el nivel del a no sube tanto coo en las vivas. Las aeas vivas tienen lua duante los dos días siuientes a las fases de Luna Llena y Luna Nueva; las uetas, duante los dos días siuientes a las de Cuato enuante y Cuato Ceciente. Cuando la Luna y el Sol están alineados, los elipsoides (en punteado) se efuezan y las aeas son ás andes. Cuando la Luna está en cuadatua con el Sol, los elipsoides se cancelan pacialente y las aeas son pequeñas. Coo la Luna cuza sobe el eidiano de cada lua de la iea cada día con un etaso de 5 inutos en elación con el anteio, las aeas altas y bajas, se etasan en esos 5 inutos cada día que tanscue en elación con la víspea. ACIVIDADES DE LA UNIDAD CUESIONES Cuál de las fiuas que siuen uesta cóo vaía el potencial avitatoio que cea una asa,, en función de la distancia? Coo el potencial avitatoio vaía con la distancia seún la fóula V() que nos indica que es invesaente popocional a la distancia, una hipébola, es evidente que b) y e) que auentan con la FÍSICA º Bachilleato - ANAYA

5 Unidad Capo avitatoio: enealización 5 distancia no pueden se y tapoco c) ya que es constante, coo en a) la vaiación es lineal nos quedaos con la áfica d) coo la que ás se ajusta a la epesentación de V(). Un objeto puntual P, de asa, se encuenta en el inteio del capo avitatoio que cea ota asa,. Dicho objeto se ueve con.c.u., de adio, alededo de la asa : aa) ) Calcula la eneía que consue al da una vuelta. bb) ) Si el objeto estuviea inicialente en eposo, cóo se oveía? Indícalo sobe la fiua. aa) ) La eneía potencial es E p de iuala la fueza de atacción v avitatoia con la centípeta teneos v lueo la eneía cinética en la óbita es Ec v y la eneía ecánica seá E Ep Ec. bb) ) Si está en eposo en el punto P el cuepo de asa se oveá hacia el de asa que lo atae con una fueza dada po la ley de avitación univesal F seún el dibujo adjunto. Coenta la siuiente fase: `Dado un capo de fuezas, siepe es posible enconta una eneía potencial asociada a él". Sólo si el capo es consevativo, es deci si el tabajo paa taslada un objeto de un punto a oto distinto del capo sólo depende de las posiciones inicial y final y no de la tayectoia que se sia. 4 Calcula el capo y el potencial avitatoios que cean dos asas puntuales iuales, sepaadas ente sí, en el punto edio de la ecta que las une. Expesa el esultado en función de y. Intensidad del capo ya que al se de la isa asa y el punto es el punto edio los ódulos y son iuales peo los vectoes tienen la isa diección peo sentido contaio. Potencial avitatoio V V V 4.,5,5 FÍSICA º Bachilleato - ANAYA

6 Unidad Capo avitatoio: enealización 6 5 Descibe cualitativaente el cabio de peso que sufe una nave espacial de asa en su viaje de la iea a la Luna. Supón que la iea y la Luna están en eposo y que la nave se ueve siuiendo la diección que une sus centos. Coo el peso es P, la vaiación del peso depende de la vaiación de la intensidad avitatoia ente ellos. Coo deostaos en el ejecicio y poblea del tea anteio existe un punto ene. Cual las fuezas de atacción de la iea y la Luna sobe el cuepo se iualan y po tanto su esultante es nula, en los puntos ás ceca de la iea la avedad de la tiea pedoina sobe la de la Luna y la esultante va disinuyendo a edida que nos acecaos al punto de equilibio en que se anula, a pati de ahí la atacción avitatoia de la Luna es ayo que la de la iea, auentando el valo de la esultante que seía áxia en la supeficie de la Luna.(Véase la pa 7 del libo). 6 Dibuja las líneas del capo avitatoio poducido po dos asas puntuales iuales sepaadas una cieta distancia. aa) ) Existe alún punto donde la intensidad del capo avitatoio sea nula? En caso afiativo, indica dónde. bb) ) Existe alún punto donde el potencial avitatoio sea nulo? En caso afiativo, indica dónde. aa) ) En el punto edio de la línea que une las asas el vecto intensidad del capo avitatoio esultante, i i,seá nulo ya que el ódulo es el iso peo tiene sentido opuesto. bb) ) Coo el capo avitatoio es un escala y las asas siepe son positivas el potencial avitatoio no puede anulase en ninún punto distinto del infinito. FÍSICA º Bachilleato - ANAYA

7 Unidad Capo avitatoio: enealización 7 EJECICIOS 7 En la supeficie de la Luna, el peíodo de un péndulo siple de de lonitud es 4,7 s. Si el adio de la Luna es L 78 k: aa) ) bb) ) aa) ) Deteina la avedad en la supeficie luna. bb) ) Deteina la velocidad de escape en la supeficie de la Luna. L 4π L 4π π,79 (4,7s) s L L v e L, ,4 s 8 En cieta eión del espacio existe exclusivaente un capo avitatoio unifoe, coo se indica en la fiua. Se taslada una asa desde el punto A hasta el punto B y ota iual del punto A al punto C. Los tabajos ealizados po el capo avitatoio son, espectivaente: aa) ) WAB ; WAC h bb) ) WAB ; WAC -h cc) ) WAB h; WAC h dd) )WABh ; WAC h Coo j ij F d i W y la fueza es hoizontal hacia la deecha, que es la diección y sentido del vecto capo, el tabajo enta Ay B es nulo ya que la fueza y el desplazaiento son pependiculaes y su poducto escala nulo po tanto, en el caso de A a C la fueza y el vecto desplazaiento llevan la isa diección y sentido lueo el ódulo de su poducto escala es F senº F h, el apatado coecto es pues el aa) ).. 9 En la supeficie de la iea, la intensidad del capo avitatoio es, apoxiadaente, seis veces la existente en la supeficie de la Luna. Sabeos que, en la iea, un hilo se ope si se le cuela un objeto de 5 k. Qué asa, expesada en kiloaos, opeía ese iso hilo en la Luna? azona la espuesta. FÍSICA º Bachilleato - ANAYA

8 Unidad Capo avitatoio: enealización 8 Si el hilo se ope en la iea con 5k la áxia tensión que sopota la cueda es el peso del cuepo en la iea P 5, dejando al lado otas consideaciones sobe la vaiación de la esistencia de los ateiales en la Luna, esa seá tabién la áxia tensión que el hilo sopotaá en la Luna, lueo: 5 L L L /6 L k. Calcula la avedad,, en función de la que existe en la supeficie de la iea, paa un punto situado a una altua, h, ucho eno que el adio de esta,. El valo a una pofundidad h es:, asa de la esfea de adio y a nivel de la supeficie teeste: Suponiendo, que ya es supone, que la densidad no vaía con la pofundidad, es deci la tiea se puede considea hooénea, si la pofundidad no es uy ande,: 4 ρ V ρ π 4 ρ V ρ π y dividiendo la dos fóulas de la avedad y sustituyendo las asas teneos: 4 ρ π 4 ρ π h h h Que nos da la avedad a una pofundidad h en función de la de la supeficie. La eneía potencial que coesponde a una olécula viene dada po la expesión: a b U(x) 6 x x En esta expesión, a y b son dos constantes de valo positivo, y x, la distancia ente átoos. Paa qué valoes de x se anula U(x)? Paa qué valoes de x pasa U(x) po un ínio? FÍSICA º Bachilleato - ANAYA

9 Unidad Capo avitatoio: enealización 9 Si haceos U(x) y esolveos la ecuación tendeos los valoes paa los cuales se anula: x a b a b U (x) ax bx bx ax x ( bx a) 6 6 a x 6 x x x x b Coo la función U(x) no está definida paa x el oto valo es el que anula la eneía potencial. La condición paa que una función de una vaiable(x) tena exteos elativos es que se anule la piea deivada: x a 6b U '(x) ax 6bx x ( a 6bx ) 7 a x 6 x x b Coo paa x U(x) no está definida tiene que se el oto valo el que la haa ínia, de todas foas podeos hace la deivada seunda y copoba que es positiva paa ese valo: U"(x) 56a 4b a 56a 4b U" 6 que depende de los valoes positivos a y b. 4 8 b 4 8 x x a a 6 6 b b azona po qué es iposible que un satélite atificial desciba en tono a la iea una óbita que, coo la de la fiua, no está contenida en el plano del ecuado, sino en oto paalelo a él. Poque el cento de la óbita, cento de otación, no coincidiía con el cento de la iea, punto donde se supone concentada toda la asa de la iea que enea la atacción avitatoia. Un planeta tiene un adio que es tes veces ayo que el de oto. Si la densidad de abos es la isa, en cuál de los dos es ayo el peso de un iso cuepo? Cóo afecta esto a la asa de un cuepo? La asa (en la ecánica no elativista) es constante y no depende de dónde esté el cuepo, su peso sí depende de la intensidad avitatoia, lueo, si : P P ρv ρv V V 4 π 4 π P P FÍSICA º Bachilleato - ANAYA

10 Unidad Capo avitatoio: enealización POBLEAS 4 Un saltado de lonitud consiue una aca de 9, etos. Cuál seía la aca de ese iso saltado en la supeficie de la Luna, suponiendo que la lonitud del salto es invesaente popocional a la avedad? Datos: 5,98 4 k; 6,8 6 k; L 7,4 k; L,74 6 k Lonitud del salto en la iea L 9, k/. Lonitud del salto en la Luna L L k/ L elacionaos: k 4 6 L L L,74 k L 5,98 k 6,4 L 6,4 L 6,4 9, L k L 6 L L L 7,4 k 6,8 k L 56,49 de lonitud saltaía en la Luna. 5 Calcula el capo que cea la iea, supuesta puntual, sobe un asteoide situado a k de ella. Dato: 6,67 - U.I. 5,98 6,67,75 6 ( 68) s 6 En el poblea anteio, calcula la eneía potencial que posee dicho asteoide cuando lo situaos en ese punto, debido a la acción que ejece sobe él el capo avitatoio teeste. Dato: La asa del asteoide es 9 k. 4 Ep 6,67 4 5,98 ( 68) 9,75 5 J 7 Una niña, de k de asa, está situada sobe la supeficie teeste: aa) ) Cuál es su peso? bb) ) Cuál seía su peso si la asa de la iea se edujese a la itad, sin vaia el adio? cc) ) Cuál seía su peso si el adio de la iea se edujese a la itad, sin vaia la asa? dd) ) Cuál seía su peso si la asa y el adio de la iea se edujesen a la itad? FÍSICA º Bachilleato - ANAYA

11 Unidad Capo avitatoio: enealización Coo P fueza avitatoia con que la iea atae a los cuepos aa) ) P k 9,8 /s,6 N. bb) ) Si la se educe a la itad coo es peso es popocional a la asa de la iea, el peso se educiía a la itad, P P/ 56,8 N. cc) ) Coo el peso es invesaente popocional al cuadado del adio teeste, si este se edujese a la itad (consevando su asa) el peso se cuaduplicaía (cuadado de ), P 4P 54,4 N. dd) ) La educción de la asa educiía el peso a la itad peo la del adio la cuaduplicaía lueo el efecto lobal seía duplica el peso P P 67, N. 8 Una patícula se ueve del punto A al punto B, ipulsada po una fueza: F x i 5y j aa) ) Calcula el tabajo ealizado po la fueza si la tayectoia es. bb) ) Calcula el tabajo ealizado po la fueza si la tayectoia es. B aa) ) W D B F d F d F d x i 5y j j dy x i 5y j i dx 5dy 6xdx A A D ] y x 7 J. B bb) ) W C B F d F d F d x i 5y j i dx x i 5y j j dy 6xdx 5ydy A A C ] x y 7 J. La fueza poduce un capo consevativo ya el tabajo ente dos puntos no depende del caino 6x 4 9 Dado el capo de fuezas: A i en el que A se ide en newton cuando x se expesa en x etos, calcula la difeencia de potencial que existe ente dos puntos situados, espectivaente, a unas distancias x y x del cento del capo. V x x A d 6x 4 x i i dx 6x 4 dx x x Lx L4 L 9 L 4 FÍSICA º Bachilleato - ANAYA

12 Unidad Capo avitatoio: enealización Deteina el capo avitatoio (ódulo, diección y sentido) esultante de los capos avitatoios individuales de la iea y del Sol, en un punto situado en la ecta que une la iea y el Sol, a una distancia de 4 5 k de la iea. Datos: 6,67 - N k - ; iea 5,98 4 k; Sol,99 k; d iea-sol 5 7 k Si el punto en queeos halla el capo está a una distancia de la iea d 4 5 k, se hallaá a una distancia del Sol d S d iea-sol d 5 7 k 4 5 k,496 8 k. ódulo del capo en ese punto debido a la atacción teeste: d ,98 8 (4 ) 4,49 s ódulo del capo en ese punto debido a la atacción Sola: S d S S 6.67,99 (,496 ) 5,9 Coo S > la esultante de la sua de los dos vectoes tendá la diección de la ecta que une la iea y el Sol y diiido hacia el Sol: s S 5,9 i,49 i,44 i En donde heos toado el sentido positivo hacia el Sol. FÍSICA º Bachilleato - ANAYA