La función de producción de hogares

Transcripción

1 5. La fnción de prodcción de hogares Entre 1965 y 1966 los artíclos de Gary Becker y Kevin Lancaster, introdcen el concepto de Fnción de Prodcción de Hogares (hosehold prodction fnction). De esta forma, los consmidores en lgar de obtener la tilidad directamente de los bienes comprados en el mercado, derivan ésta de los atribtos qe poseen los bienes; por ejemplo, anqe el consmidor compre alimentos sin cocinar en el mercado, la tilidad se deriva de consmir na comida qe ha sido prodcida a través de combinar alimentos crdos con trabajo, tiempo, electricidad y otros insmos. Mchos bienes parecen ser prodcidos de la forma anterior. Al igal qe los alimentos, la ropa y gran parte de los bienes parecen exhibir na gama de variedades y calidades. Los consmidores parecen seleccionar na o pocas de estas calidades y privarse completamente del consmo de otras. Becker (1965) propone qe "ver na opera" depende de na serie de insmos como el tiempo, los actores, etc. Y por ejemplo, "dormir" depende del insmo cama, del hogar y tiempo. De igal forma, "el jgo de naranja" se prodce con n vector de características tales como calorías, vitamina C y tiempo. El álgebra de maximización, a la cal estamos acostmbrados, indica qe debemos clasificar a n bien como X 1 y otro bien como X 2 aplicando este análisis de igal forma a naranjas, kiwi, peras, manzanas o atos. Esta forma de clasificar los bienes hace qe nosotros consideremos la carne de res y la carne de cerdo como sstittos o n disqete y n programa de comptadora como complementarios. Pero esta idea tiene s fndamento en la tecnología de sar dichos bienes particlarmente, esto es, la vía a través de la cal se combina na serie de insmos y tiempo en orden a prodcir algna tilidad. Lancaster (1966) postla qe el vector de bienes X, comprado en el mercado al vector de precios P se transforma por algna fnción Z=g(X), en la cal los atribtos Z prodcen algna tilidad. En forma general, el problema se pede plantear como: 84

2 (5.1) Maximizar z = (z) Sjeto a Z = g(x) P X = Y Siendo Y el Ingreso total del consmidor. Combinando la fnción de transformación y la fnción de tilidad, se pede plantear el problema de la sigiente forma: (5.2) Maximizar = (g(x)) = ν (X) ; Sjeto a P X - Y = 0 A este nivel de generalidad, el modelo de Lancaster es eqivalente al modelo de tilidad estándar asmiendo qe ν (X) exhibe las mismas propiedades de na fnción de tilidad. Sin embargo, las crvas de demandas compensadas X = X* (P, ν ) definidas como la solción de: (5.3) Minimizar PX = Y ; Sjeto a ν (X) = ν 0 mestran qe las derivadas parciales no tienen realmente efectos pros de sstitción en el sentido tradicional, ya qe cambios en la prodcción, cambios en Z a través de g(x), podrán tomar lgar como cambios en precios solamente anqe la matriz (X*) /P sea semidefinida negativa, lo cal al nivel de generalidad propesta lo hace indistingible del modelo de tilidad estándar. En orden a conservar na estrctra observable, Lancaster impone algnas restricciones sobre la fnción de transformación g(x). Para Lancaster g(x) deberá ser lineal Z = b.x siendo b na matriz de coeficientes tecnológicos constantes. Por otro lado, b deberá ser constante entre los consmidores, esto significa qe la tecnología por medio de la cal se convierten X's bienes en los atribtos Z's es la misma para todos los consmidores. Si la matriz b difiere de cada consmidor existe poca probabilidad de qe el modelo sea operacional. Normalmente na de las X's es tiempo y pede estar en fnción del salario. Adicionalmente, la fnción de prodcción deberá ser separable, de esta forma sí el conjnto de prodcción es convexo, es fácil mostrar qe la casiconcavidad en (Z) implica la casiconcavidad de ν (X). De otra forma, existirá na fnción de prodcción conjnta y la tecnología sbyacente en t(z,x) no podrá expresarse en términos de dos fnciones de prodcción separadas y existirán rendimientos crecientes a escala. Si existen rendimientos crecientes, el conjnto de prodcción no es convexo, y esta no-convexidad mostrará nos bienes cya fnción de tilidad no es casicóncava. Sponga (Z 1,Z 2 )= Z 1 1/2 Z 2 1/2 y la tecnología en el hogar está dada por las fnciones de prodcción Z 1 = X 1 4 y Z 2 = X 2 4 la fnción de tilidad será entonces ν (X 1,X 2 )= X 1 2 X 2 2 la cal claramente no es casicóncava. Esto es apenas evidente: sí hacemos qe na de las X's sea la ferza de trabajo y existen indivisibilidades en el so de la misma el resltado será el antes mencionado 11. Por ejemplo, si X es el tiempo de n individo y con este tiempo se pede comer y ver simltáneamente televisión, existirán 11. Aplicando el teorema de B.K Ross y M Star con indivisibilidades sficientes y disminción de los costes de coordinación el resltado serán rendimientos crecientes. INTRODUCCION A LA TEORIA DEL CONSUMIDOR 85

3 rendimientos crecientes en el so de X. Por lo tanto, no se pede asmir prodcción conjnta en t y la fnción de costos conjnta deberá tener como restricción t(z,x) = 0. En general, la restricción podría no ser lineal en los Z's y los costos marginales de los bienes podrían ser solamente fnciones del bien elegido. Para alcanzar el máximo de tilidad de Z, Z*, el consmidor necesariamente deberá comprar en el mercado los bienes X's qe prodcen Z* al menor costo. De esta forma, el consmidor deberá también solcionar el sigiente problema lineal: (5.4) Min { P.X t(z,x) = 0 } ; Sjeto a bx = Z* En el caso de n bienes qe satisfacen Z, el problema se plantea como: (5.5) Max m (g(x)) Sjeto a bx 1 Z*.. bx n Z* (X1,...,X n ) 0 (P1,...,P n ) 0 Una condición sficiente, consiste en qe el conjnto de los Z's alcanzables sea n poliedro convexo n-dimensional con esqinas y caras en Z i donde ( Z i ) Z, como se pede observar a continación. GRÁFICA 6.2. Dos atribtos en Zi. GRÁFICA 6.3. Tres atribtos en Zi. Si los cambios en los costes de la tecnología, son menores qe el costo de prodcir: algún atribto Z i, el cambio en algún bien podría segirse realizando al menor costo de prodcción y al mismo tiempo maximizar los atribtos Z i de la tilidad. Por ejemplo, si para prodcir n artíclo sted sa na comptadora y dado qe los prodctores de comptadores van mejorando la calidad de los procesadores pasando desde el 286 hasta el 486 y del Pentim I hasta el Pentim IV, an cando n individo cambie de comptadora para prodcir el artíclo, la tilidad derivada de éste no ha cambiado. La idea de na comptadora qe sa Pentim como n nevo bien es lo qe el análisis tradicional nos indica. Sin embargo, esta idea pede 86

4 replantearse ya qe la invención de na neva "comptadora" no debe generar na reorganización en el conjnto de preferencias sino na neva solción al problema de la minimización de los costes qe involcra el atribto "comptadora". Como podrá observarse, identificar y medir los atribtos pede ser más difícil qe medir los bienes de mercado. Inclso si existiesen pocas variables, medir y predecir los cambios en los coeficientes tecnológicos es algo complejo. En general, el modelo fnciona bien en aqellos bienes qe tienen atribtos aditivos y no conflictivos (Silberberg 1985); en el caso de las comptadoras, el principio será aplicable para aqel qe pase de 286 a 486 comprando las tarjetas necesarias e inclso cambiando a Pentim, pero no modificará el artíclo por prodcido ni la tilidad derivada de éste. A diferencia de Lancaster, Gary Becker incorpora decisiones respecto al so del tiempo en el modelo estándar de la tilidad al considerar el costo del tiempo en términos de n so gastado en prodcir ingreso. De esta forma, Becker provee las bases para explicar los cambios en el consmo como cambios en el ingreso laboral en términos del efecto sstitción, el cal tiene n signo conocido; así, en lgar de tener qe asmir spestos ad-hoc sobre el efecto ingreso, ya conocemos s signo. Si el incremento en el ingreso es resltado de n incremento en el salario, entonces este cambio se verá representado en el valor marginal del ocio. Deberá, por lo tanto, esperarse qe el consmidor sstitya bienes intensivos en tiempo, aqellos bienes cyo consmo involcra sar más tiempo, por bienes qe tengan n menor costo de tiempo. De esta forma, los cambios en el consmo ya no son ad-hoc, dado qe n cambio en los gstos o n cambio en el signo del efecto ingreso, son el resltado de la ley de la demanda. Becker asme qe la tilidad es na fnción de n vector de atribtos Z i, = (Z i ) pero adopta na estrctra para la prodcción de atribtos; para cada Z i tendríamos: (5.6) T i = t i Z i ; X i = b i Z i Donde t i es n parámetro qe indica, por nidad de tiempo, el consmo de tiempo para cada Z i consmido. De esta forma, el gasto total de tiempo consmido en algna cantidad Z i es T i. Por otro lado, b i es n parámetro qe indica la cantidad del bien de mercado X i reqerido por nidad de Z i. Así, aqellos atribtos qe tengan mayores valores de t i serán intensivos en tiempo. Los consmidores maximizarán la tilidad de los atribtos consmidos sjetos a las restricciones de prespesto y a las restricciones de tiempo. Spongamos qe T representa el tiempo total disponible para todas las actividades (por ejemplo 24 Horas), denotando T w como la cantidad de tiempo gastado trabajando a algna tasa de salario constante y asmiendo qe los individos tienen n ingreso individal no salarial (herencias, arriendos, etc.) en la cantidad η, entonces el problema para el consmidor vendrá dado como: INTRODUCCION A LA TEORIA DEL CONSUMIDOR 87

5 (5.7) Max = (Z 1,..., Z n ) Sjeto a p i x i = wt w + η T i = T- T w Dado qe el tiempo y el mercado de bienes se encentran relacionados por las ecaciones de prodcción (5.6), las dos restricciones peden ser combinadas reemplazando T w en la restricción del ingreso por T - T i de la segnda restricción, lo cal da como resltado restricción: (5.8) p i x i = w (T - T i ) + η Al despejar, (5.9) p i x i + w T i = w T + η Y, al reemplazar (5. 6) en (5.9) obtenemos: (5.10) p i b i Z i + w t i Z i = wt + η Así, finalmente el problema para el consmidor se pede plantear de la sigiente forma: (5.11) Max µ = µ (Z1,..., Zn) Sjeto a (p i b i + w t i ) Z i = w T + η Además, pede interpretarse α i = p i b i + w t i como el precio total de consmir Z i. El precio implícito de Z i es independiente de la elección final de Z i y solamente depende de la tecnología de la fnción de prodcción de hogares; específicamente debemos asmir qe Z i = g(x i ) tiene rendimientos constantes a escala (Pollack y Watcher) como ya se había mencionado. Cando na nidad de algún atribto se consme, el gasto monetario será p i b i más el gasto en tiempo de t i horas; este tiempo pede ser sado en la prodcción de ingreso en la cantidad w t i qe será el costo de oportnidad de consmir Z i. En este modelo, el tiempo para "holgazanear" y dormir son atribtos y parte del conjnto de los Z i 's. Dado qe no involcran algún gasto monetario, el valor de b i para dichos bienes será de cero. Todo el tiempo deberá ser valorado a algna tasa constante de salario w, asmiendo entonces qe el individo tiene disponible mcho trabajo qe el o ella desea a la tasa de salario presente. Y, como el tiempo total sado en consmir todos los atribtos es T c = T- T w = T i la solción de las condiciones de primer orden prodcirá el conjnto de demandas Marshallianas: (5.12) Z i =Z iy (α 1,..., α n, w,y) = Z iy (p,b,t,w, η) 88

6 Donde p,b y t son vectores de precios, coeficientes tecnológicos e intensidades de tiempo respectivamente Estática comparativa Bajo el análisis de estática comparativa, nos interesan las respestas de los consmidores ante n cambio en el salario y los coeficientes tecnológicos. Como calqier modelo de maximización de la tilidad, todos los parámetros del modelo de Becker entran en la restricción, y las implicaciones sales peden ser derivadas de la maximización solamente. Considerando los efectos de sstitción pros las demandas Hicksianas se obtienen de la sigiente forma: (5.13) Min (p i b i + w t i ) Z i - w T Sjeto a (Z 1,..., Z n ) = 0 Si las condiciones de primer y segndo orden se mantienen, las demandas Hicksianas serán: (5.14) Z i h = Z i (α 1,..., α n, w, 0 ) = Z i (p,b,t,w, 0 ) La estrctra del modelo en α i y Z i es formalmente idéntica al modelo estándar de minimización del gasto, esto es: Z i / α i < 0. Y dados los cambios paramétricos en p i, b i y t i éste se incrementará en na cantidad proporcional α i, de esto se sige qe Z i / p i < 0, Z i / b i < 0 y Z i / t i < 0. A partir de las restricciones tecnológicas y definiendo las demandas Hicksianas para los bienes de mercado y el tiempo gastado en cada bien como X i y T i, podemos observar (5.15) Sin embargo, los efectos de n cambio en b i sobre X i y de t i sobre T i son ambigos: (5.16) INTRODUCCION A LA TEORIA DEL CONSUMIDOR 89

7 Donde ε b es la elasticidad del consmo en Z i, con respecto a los cambios en el coeficiente b i niendo X i con Z i. La elasticidad es negativa, sin embargo, el signo de la magnitd entera depende de la proporción relativa en la nidad qe tenga cada Z i. De igal forma, para T i tendremos: (5.17) Donde ε t es la elasticidad consmo de Z i con respecto a los cambios en el coeficiente t i. Esto se pede interpretar de la sigiente forma: sponga qe t i se incrementa, entonces n amento en t i significa qe el consmo de algna cantidad Z i reqiere ahora de n mayor tiempo, lo cal amenta el precio total de Z i y además redce las cantidades consmidas. Solamente cando la redcción en Z i es proporcionalmente mayor qe el incremento en t i, se redcirá la cantidad total de tiempo gastada sobre el atribto; sin embargo, como X i = b i Z i, na disminción en Z i deberá llevar a consmir menos del bien X i del cal se deriva. El análisis sobre los cambios en salarios es todavía más problemático. El parámetro w entra en el precio total de cada no de los Z i para el cal el tiempo es consmido. Un cambio en w deberá cambiar mchos precios simltáneamente (recreación, ocio, etc.) complicando el análisis de la demanda. Dado qe w aparece en todas las ecaciones de primer orden (primeras derivadas) es imposible establecer ecaciones de demanda compensadas. Por esta razón, Becker argye qe si el salario se incrementa, el consmo podría cambiar de bienes qe son más intensivos en tiempo a aqellos menos intensivos en tiempo. Esto parece plasible, pero debe hacerse spestos adicionales sobre los valores de varios de los parámetros en el modelo para obtener n resltado rigroso. El efecto sstitción srge de la consideración sobre el número total de horas trabajadas; sin embargo, no existe n signo determinado. Si samos la relación T i = T- T w entonces el modelo de minimización del gasto en todas las n+1 variables, las Z 1,..., Z n, T w y las dos restricciones, se expresa como: (5.18) Min p i b i Z i - w T w Sjeto a (Z 1,..., Z n ) = 0 T i + T w = T El parámetro w no aparece en las restricciones, éste entra en la fnción objetivo en na forma simple -wt w como n precio de T w, esto es, (-wt w ) / w < 0 lo cal indica qe la fnción de gasto es cóncava en w y T w mestra la demanda compensada de las horas trabajadas. Dado qe el ocio en este tipo de modelos significa el tiempo total gastado en consmir los Z i 's, entonces (T w )/ w = (T - T w )/ w < 0. 90

8 En n modelo simple de ocio y trabajo, n incremento compensado en los salarios representa n incremento en el coste de oportnidad del ocio y lleva a na caída en el ocio consmido y a n incremento en el número de horas trabajadas. Las teorías económicas de la familia, de las tasas de nacimiento, del número de hijos óptimos, de la participación en el mercado de trabajo, de la diferenciación entre grpos de hombres y mjeres e inclso el reciente age en los modelos medioambientales del coste de viaje, se derivan de aqí. Mayores salarios en el mercado para las mjeres, por ejemplo, amentan el coste de oportnidad de los niños y de otras tareas qe deberán realizar las mjeres en el hogar. De esta forma, el incremento en el consmo de "bienes convenientes" por familias con dos trabajadores pede ser atribido a salarios de mercado más altos y mayores salarios compraran ítems con "mayores calidades" donde la calidad del atribto redce la cantidad de tiempo dedicado a las tareas en el hogar (reparaciones, atención de los niños, etc.). La teoría de la fnción prodcción de hogares nos da para pensar más rigrosamente sobre la importancia de las elecciones y provee n marco para reemplazar las explicaciones basadas en los gstos, por aqella basada en el cambio en las oportnidades Análisis de la riqeza en el mercado de bienes La Fnción de Prodcción de Hogares se sa también "para analizar el daño realizado por la contaminación del aire, o los beneficios derivados de actividades recreativas, o proyectos de evalación social" (Pollack 1978, pág. 28). Esta aproximación depende de la distinción entre bienes comprados y bienes consmidos, y en particlar, del so de la medición de los beneficios derivados de los bienes públicos. Los trabajos de Willig (1976) y Hasman (1981) emplean el teorema de la dalidad para demostrar qe dada la nión entre el gasto y las fnciones de tilidad, la demanda compensada no observada (debido a los atribtos Z i ) pede ser encontrada a partir de la fnción de demanda Marshalliana qe sí es observada. Bockstael y MacConell (1983) por s parte tienen serios reparos en los trabajos anteriores. Como ellos mencionan, es imposible derivar la crva de demanda Marshalliana de la compensada dada la asencia de precios exógenos, esto es, la tilidad y la fnción de gasto existen, pero la asencia de precios para los atribtos impide directamente sar la identidad de Roy para recperar la Marshalliana de la fnción de tilidad indirecta. Deberá observarse también qe es imposible moverse de na fnción de demanda compensada a na única fnción de gasto debido a las no linealidades en la fnción de gasto cando existen diferentes tecnologías en la prodcción de los Z i 's. Las medidas de riqeza peden ser derivadas en n espacio de bienes pero de na forma diferente. Por simplicidad, se sará Z 1 pensando qe algún Z i podrá ser elegido. Spongamos la sigiente partición de bienes Z=( Z 1, ) donde = (Z 2,...,Z n ). Al derivar la fnción de gasto condicionada sobre el atribto Z 1 encontramos: INTRODUCCION A LA TEORIA DEL CONSUMIDOR 91

9 (5.19) E(Z 1, p, 0 ) = Por el teorema de la envolvente: (5.20) Donde es ajstado óptimamente cando Z 1, p y 0 cambian. El primer término a la derecha en (5.20), es el valor marginal compensado para Z 1 y el segndo término es el costo marginal de prodcir Z 1. De esta forma (5.20) refleja el cambio en el gasto necesario para mantener el nivel de tilidad 0 cando Z 1 se * incrementa. Esta expresión podrá ser negativa para Z 1 < Z 1 (la cantidad óptima de Z 1 ). A través de E(Z 1, p, 0 ), se pede calclar la variación compensada asociada con el consmo de Z 1*. Esta medida refleja el cambio en el ingreso, el cal podrá alcanzar el consmidor a s nivel de tilidad y se halla integrando entre 0 y Z 1 * como se pede observar: (5.21) = E(Z 1,p, 0 ) - E(0,p, 0 ) Esta expresión es la parte negativa del área entre el valor marginal compensado y el costo marginal para Z 1. En últimas, dicha área pede ser expresada como: (5.22) 5.3. Bienes Públicos Spongamos qe α sea n bien medioambiental, tal como la calidad del aire, n lago o n paisaje. Entonces α entra en la fnción de tilidad directamente y es complementario con algún bien denotado como Z 1, por ejemplo recreación. De esta forma, la tilidad es na fnción de α y Z. Observe también cómo α entra en la fnción de transformación t(z,x, α) y la fnción de gasto dependerá de α. Cando 0 es el nivel de riqeza inicial, la variación compensada de n cambio en el vector de parámetro de α 0 a α' esta dado por: (5.23) VC= C(p, 0, α') - C(p, 0, α 0 ) 92

10 Donde C es la fnción de gasto. Si α es n bien público la variación compensada es negativa para n incremento en α y positiva cando ésta cae. La medida dada por (5.23) no es directamente observable como señalan Bockstael y MacConnell para evalar los efectos de riqeza cando existe n cambio en α dada la información sobre la prodcción y el consmo asociado a la del bien Z 1. La diferencia entre el valor marginal y el costo marginal evalado de α 0 a α' es eqivalente a: (5.24) Esta expresión, pede escribirse como: 0 (5.25) E(Z 1 *(α'),p, 0, α') - E(0,p, 0, α') - E(Z 1 *(α 0 ),p, 0, α ) - E(0,p, 0, α 0 ) Análogamente E(Z 1 *(p, 0 )p, 0 )= C(p, 0 ), de donde se dedce: (5.26) C(p, 0, α') - C( p, 0, 0 ) - E(Z 1 *,p, 0, α') + E(0,p, 0, α 0 ) Entonces: (5.27) E(Z 1 *,p, 0, α') = E(0,p, 0, α 0 ) De esta forma, la variación compensada asociada con n cambio en α pede ser medida a través de los cambios en el área perteneciente a la demanda compensada y la crva de costo marginal para Z 1. Además (5.26) es la medida correcta de los cambios en la riqeza dados por (5.23). Por otro lado, α deberá entrar en la fnción de preferencias del hogar directamente como na condición sficiente para qe (5.27) se mantenga, y deberá también satisfacer qe sea débilmente complementaria con Z 1. Karl-Göran Mäler define la débil complementariedad de la forma sigiente: " Si la demanda para n bien privado es cero, entonces la demanda para algún servicio medioambiental [bien público] podría también ser cero" (pag 183). Esta débil complementariedad consiste en lo cal implica qe el individo es indiferente a variación en los niveles del bien exógeno cando él no consme Z 1. Alternativamente cando α entra como n insmo en el proceso prodctivo la condición (5.27) se mantiene si α es solamente n insmo en la prodcción de Z 1. INTRODUCCION A LA TEORIA DEL CONSUMIDOR 93

11 Bibliografía BECKER, G. S. (1965). "A theory of the allocation of time", Economic Jornal, vol.75, pp BOCKSTAEL, N.E. AND K.E, MCCONNELL. (1983). "Welfare measrenment in the hosehold prodction framework", American economic review, vól.66, pp ,sep. DEATON A, AND MUELLBAUER,J. (1980). Economics and consmer behavior, Cambridge, Cambridge University Press, tercera edición (1989). EDWARDS, B.K AND M.R, STARR. (1987). "A note on indivisibilities, specialization, and economics of scale", American Economic Review, march, pp EUGENE, S. (1985). "Ntrition and the demand for tastes", Jornal of political economy, vól.93, núm.5, pp GARY, B. (1965). "A theory of allocation of the time", Economic jornal, núm.75, pp , Sep. HAUSMAN, J.A. (1981). "Exact consmer srpls and deadweight loss", American economic review, vól.71, pp , Sep. KEVIN, L. (1966). "A new approach to consmer theory", Jornal of political economy, vól.74, pp , April. LANCASTER, K. J. (1966a). " A new approach to consmer theory", Jornal of Political Economy, vol.74, pp (1966b). " Change and innovation in the technology of consmption", American Economic Reviw, vol.56, pp MÄLER, K.G. (1974). Environmental economics: A theoretical inqiry, Baltimore:John Hopkins Press. POLLACK, R. A. (1978). "Endogenos tastes in demand and welfare analysis", American Economic Review, vol.68. pp POLLACK AND WATCHER, M. (1975). "The relevance of the hosehold prodction fnction and its implications for the allocation of time", Jornal of political economy, vól.88, núm.2, pp , April. SILBERBERG, E. (1985). "Ntrition and the demand for tastes", Jornal of political economy, vól.95,núm.5,pp WILLIG,R.D. (1976). "Consmer srpls withot apology", American economic review, vól.66, núm.5, pp , Sep. 94