Teoría de la Probabilidad. Repaso Estructuras. σ-álgebra de Borel. Combinatoria

Transcripción

1 Teoría de la Probabilidad. Repaso Estructuras. σ-álgebra de Borel. Facultad de Matemáticas Grado en Matemáticas Segundo Cuatrimestre Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

2 Contenidos 1 Álgebras y σ-álgebras de sucesos Repaso básico para clases prácticas 2 Descripción de los conjuntos de Borel o Borelianos 3 básica para el Cálculo de Probabilidades Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

3 Importante. Notaciones 1 Notación de conjunto: { } 2 Conjunto de las partes o subconjuntos de un conjunto U: 2 U, o también P(U) 3 Cardinal de un conjunto U: U, y a veces CARD(U) 4 Conjunto de los números naturales: IN 5 Conjunto de los números naturales y el 0: IN = IN {0} 6 Conjunto de los números enteros: Z 7 Conjunto de los números racionales: Q 8 Conjunto de los números reales: IR 9 Infinito numerable: IN = Z = Q 10 Potencia del continuo: IR Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

4 Repaso básico para clases prácticas Álgebra Cerrada para operaciones finitas con sucesos. Permite formalizar situaciones en las que únicamente se contemplan operaciones finitas: uniones finitas, intersecciones finitas, etc. Usualmente se utiliza para espacios muestrales con un número finito de resultados. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

5 Repaso básico para clases prácticas σ-álgebra Cerrada para operaciones numerables, finitas o infinitas, con sucesos. Permite formalizar situaciones en las que se contemplan operaciones infinitas numerables: uniones infinitas, intersecciones infinitas, etc. Sólo tiene sentido para espacios muestrales infinitos. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

6 Repaso básico para clases prácticas Ejemplo En este ejemplo vemos las limitaciones de la estructura de álgebra y la necesidad de introducir la estructura de σ-álgebra. Se lanza un dado equilibrado tantas veces como sea necesario, hasta obtener el SEIS. El resultado del experimento es el número de lanzamientos necesarios. Se tiene, Espacio muestral. Ω = {1, 2, 3, 4,...} = IN Sea el álgebra [fácil de probar] F = {A Ω A ó A c es finito } Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

7 Repaso básico para clases prácticas Ejemplo. Continuación. Sean los sucesos, A i = El SEIS se obtiene en el lanzamiento p i = {p i } i IN siendo p i el número primo i-ésimo, es decir, A 1 = {1} A 2 = {2} A 3 = {3} A 4 = {5} Entonces no podemos considerar el objeto, B = El SEIS se obtiene en un lanzamiento primo = A i = PRIMOS i=1 ya que no es suceso pues no pertenece al álgebra F. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

8 Descripción de los conjuntos de Borel o Borelianos Cuando el espacio muestral es un conjunto finito de n elementos, o infinito numerable, podemos considerar sobre el mismos el σ-álgebra formado por todos sus subconjunto, con potencias respectivas 2 n ó 2 IN. No obstante, cuando el espacio muestral es el conjunto de los números reales, la elección de P(IR) como σ-álgebra suscita una serie de problemas técnicos. A continuación vamos a construir un σ-álgebra más reducido pero de gran interés, empleado cuando el espacio muestral es el conjunto de los números reales, o un subconjunto del mismo. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

9 Descripción de los conjuntos de Borel o Borelianos Definición. Sea Ω = IR y S la clase de intervalos, S = {(, x] x IR} se define el σ-álgebra de Borel sobre IR como, B(IR) = σ(s) Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

10 Descripción de los conjuntos de Borel o Borelianos Los conjuntos de Borel Los elementos de B(IR) se suelen denominar conjuntos de Borel en IR y también borelianos. Observemos que a B(IR) pertenecen todas las uniones, intersecciones y diferencias de elementos de S. En particular, dados x, y IR, con x < y, son elementos de B(IR), (x, y] = (, y] (, x] {x} = n=1 (x 1/n, x] (x, y) = (x, y] {y} Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

11 Descripción de los conjuntos de Borel o Borelianos Más borelianos [x, y) = (x, y) {x} [x, y] = (x, y] {x} (x, + ) = (, x] c [x, + ) = (x, + ) {x} (, x) = (, x] {x} Los subconjuntos de IR, numerables, por ejemplo, IN, Z ó Q. Y, claro está, muchos otros tipos de conjuntos. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

12 Descripción de los conjuntos de Borel o Borelianos Observaciones sobre los borelianos Al ser S 1 = {(x, y) x, y IR, x < y} B(IR) es obvio que B(IR) = σ(s 1 ), es decir, hay varias formas de generar los conjuntos de Borel en IR. Como todo abierto en IR, con la topología usual, se puede expresar como unión numerable de intervalos abiertos, se tendrá que los abiertos son borelianos, es más, si denotamos por O la clase de los abiertos en IR, es obvio que σ(o) = B(IR), es decir, podemos definir el σ-álgebra de Borel como el generado por la clase de los abiertos en IR. Es fácil ver que esto mismo sigue siendo válido para la clase de los cerrados en IR y para la clase de los compactos en IR. De esta forma se constata la estrecha relación entre la estructura de los borelianos en IR y la estructura topológica de dicho conjunto. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

13 básica para el Cálculo de Probabilidades La es una rama de las matemáticas que, básicamente, estudia la construcción y enumeración de agrupaciones de elementos pertenecientes a un conjunto, siguiendo determinados criterios. No guarda ninguna relación estructural con el Cálculo de Probabilidades. Para nosotros es una herramienta más como lo son las integrales o las sucesiones de numeros reales. En lo que sigue denotaremos U = {1, 2, 3,..., n}, es decir, U es un conjunto finito de U = n IN elementos. A continuación expondremos distintas formas de agrupar elementos de U. Para cada una de ellas, indicaremos el conjunto de las mismas y su cardinal. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

14 básica para el Cálculo de Probabilidades Variaciones con repetición Dado k IN, las variaciones de los elementos de U tomadas de k en k, son los elementos del conjunto, es decir, son, V R n,k = U U k U = U k 1 Las posibles k-uplas que se pueden construir con los elementos de U. 2 Posibles agrupaciones ordenadas de k elementos que pueden repetirse. su número es, V R n,k = V R n,k = nk Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

15 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Formación de números. Con las cifras 1,2 y 3, cuántos números distintos de cuatro cifras pueden formarse?. V R 3,4 = 34 = 81 algunos de ellos son 1111, 1121, etc. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

16 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Subconjuntos de un conjunto. Cuántos subconjuntos posibles tiene U?. Este problema puede abordarse de varias formas. Una de ellas, es la siguiente. Si consideramos una ristra o cadena de n UNOS y CEROS, podemos asociarle el subconjunto cuyos elementos se corresponden con los UNOS. Por ejemplo, si n = 4 a la cadena 0110 le correspondería el subconjunto {2, 3}. Esta correspondencia es biunívoca luego hay tantos subconjuntos como ristras. Nos preguntamos ahora Cuántas ristras hay? Obviamente son variaciones con repetición de 2 elementos, el CERO y el UNO, tomados de n en n, por consiguiente U tiene 2 n subconjuntos {3, 4} 1010 {1, 3} Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

17 básica para el Cálculo de Probabilidades Importante. Estrategia de recuento indirecto. El ejemplo anterior, aunque trivial, presenta una estrategia de cálculo muy interesante en combinatoria, y que consiste en contar los elementos de un conjunto, A, estableciendo primero una correspondencia uno a uno entre A y otro conjunto B, y contando los elementos de B. Por supuesto, siempre que calcular B nos resulte más fácil o atractivo que calcular A. A biunívoca B = A = B Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

18 básica para el Cálculo de Probabilidades Variaciones sin repetición u ordinarias o simplemente variaciones Dado k IN, con k n, las variaciones de los elementos de U tomadas de k en k, son los elementos del conjunto, V n,k = {(i i, i 2,..., i k ) U k i p i q si p q} es decir, son las posibles agrupaciones ordenadas de k elementos sin repeticiones. Su número es, V n,k = V n,k = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n! (n k)! Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

19 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Colocación de elementos. De cuantas formas se pueden sentar 10 personas en un coche de cinco plazas?. El enunciado de este problema sugiere, sin necesidad de indicarlo explícitamente, que una forma se diferencia de otra tanto en las personas como en el orden de las mismas. Además las repeticiones no se contemplan. Hay pues, V 10,5 = = formas distintas. Notemos que si la pregunta hubiera sido De cuantas formas se pueden seleccionar 5 personas de un grupo de 10 para sentarlas en un coche de cinco plazas? las agrupaciones serían no ordenadas, y no se podría aplicar la variación para contarlas. Más adelante veremos como hacerlo. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

20 básica para el Cálculo de Probabilidades Permutaciones sin repetición u ordinarias o simplemente permutaciones Las variaciones de los elementos de U, son los elementos del conjunto, P n = V n,n es decir, son las posibles agrupaciones ordenadas de los n elementos sin repeticiones, o sea, las distintas formas de ordenar los elementos de U. De ahora en adelante también podremos decir permutar. Su número es, P n = P n = V n,n = n(n 1)(n 2) (n n + 1) = n! Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

21 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Colocación de elementos. 60 alumnos de un curso van de excursión en un autobús de 60 plazas De cuántas formas se pueden, ocupando cada uno un asiento? Obviamente son permutaciones de 60 elementos. Hay pues, P 60 = 60! CANTIDAD MUY GRANDE!!!! Por ejemplo es mayor que Para afinar algo más, podemos aplicar la famosa aproximación de Stirling, 60! 2 π 60 ( ) = z siendo pues e log z = 1 2 log(2 π 60) + 60 log(60/e) = = es decir, 60! es un gran número de orden aproximadamente. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

22 básica para el Cálculo de Probabilidades Combinaciones sin repetición u ordinarias o simplemente combinaciones Dado k IN, con k n, las combinaciones de los elementos de U tomadas de k en k, son los elementos del conjunto, C n,k = {A U A = k} es decir, son todos los posibles subconjuntos con de U con k elementos, o también son las posibles agrupaciones de k elementos, sin repeticiones, no ordenadas en el sentido de que el orden no es un elemento diferenciador. Su número se denota, C n,k = C n,k Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

23 básica para el Cálculo de Probabilidades Cálculo del número de combinaciones Para calcular C n,k razonamos de la siguiente forma. Si tenemos una combinación con k elementos, y construimos todas sus permutaciones, obtendremos las variaciones que contienen a esos elementos. Así, podemos construir todas las variaciones posibles de k elemento desdoblando cada combinación en sus k! permutaciones posibles, por consiguiente, k! C n,k = V n,k de donde se deduce C n,k = n! k!(n k)! = ( ) n k abreviatura que se llama número combinatorio y se lee n sobre k Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

24 básica para el Cálculo de Probabilidades Importante. Principio de desdoblamiento. Notemos que el principio que hemos empleado para el cálculo se basa en desdoblar cada agrupación de un tipo en otras tantas de otro, obteniendo el número de las agrupaciones finales mediante un proceso multiplicativo. Lo llamaremos principio de desdoblamiento. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

25 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Selección de elementos. Ya podemos responder a la pregunta de un ejemplo anterior que quedó sin contestar De cuantas formas se pueden seleccionar 5 personas de un grupo de 10 para sentarlas en un coche de cinco plazas? Las agrupaciones son claramente combinaciones de 10 personas tomadas de 5 en 5, es decir, hay, ( ) 10 C 10,5 = = 10! 5 5! 5! = 252 Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

26 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Selección de elementos. Con 10 personas Cuántas comisiones distintas de 6 personas pueden formarse? ( ) 10 C 10,6 = = Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

27 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Mezclas. Un bodeguero tiene 8 tipos distintos de vino tinto Cuántas mezclas distintas de 4 vinos puede hacer? Obviamente las mezclas son agrupaciones sin repetición de 10 tipos de vinos, tomados de 4 en 4, donde el orden no diferencia una mezcla de otro, por consiguiente hay, ( ) 8 C 8,4 = = 70 MEZCLAS 4 Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

28 básica para el Cálculo de Probabilidades Expresiones útiles 1 Dado k n, se verifica, [Obvio] ( ) ( ) n n = k n k 2 Dado n > 0, se verifica, ( ) n + 0 ( ) n Dado m n, se verifica, m k=0 ( ) n = n ( )( ) n n = k m k n k=0 ( ) 2n m ( ) n = 2 n k Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

29 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Expresión 3. ( )( ) ( 3 1 )( ) ( 3 2 siendo también, ( ) 6 = 6! 2 2! 4! = 15 )( ) 3 = = 15 0 Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

30 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Número de subconjuntos de un conjunto. Vamos a calcular el número de subconjuntos de U, empleando otro método alternativo al utilizado en otro ejemplo anterior. Bastará sumar el número de subconjuntos de 0 elementos (el conjunto vacío), de un elemento, de dos, etc, es decir, ( ) n 0 + ( ) n 1 + ( ) n ( ) n n = 2 n Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

31 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Aplicación de expresiones. Manuel le pregunta a Mari un número entero entre 1 y 20, y Mari responde k. Entonces, Manuel selecciona k bolas de un lote de 20 bolas rojas, numeradas de 1 a 20, y selecciona otras k bolas de otro lote de 20 bolas negras numeradas de 1 a 20. Acto seguido, junta las bolas seleccionadas, obteniendo una agrupación de 2k bolas negras y rojas, numeradas Cuántas agrupaciones potenciales hay?. Obviamente, hay ( ) 20 k formas de seleccionar k bolas rojas, y otras ) formas de seleccionar k bolas negras. Por consiguiente hay, ( 20 k ( ) 2 20 k agrupaciones posibles para un k dado. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

32 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Continuación. El número total de configuraciones será pues, 20 k=1 ( ) 2 20 = k = 20 k=1 ( ) ( )( ) k 20 k 1 = es decir, ciento treinta y siete mil ochocientos cuarenta y seis millones, quinientas veintiocho mil ochocientas diecinueve configuraciones. Como puede verse, hemos aplicado la expresión útil número 1. y la número 3. para m = n, y además para esta última, hemos tenido en cuenta que nuestra suma carece del correspondiente término para k = 0, por lo que hay que restarlo. Y dicho término vale ( )( ) = 1. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

33 básica para el Cálculo de Probabilidades Sobre la indistiguibilidad Podemos decir que dos elementos son indistinguibles si no es posible diferenciar uno de otro. Evidentemente, este concepto es puramente teórico. En nuestro mundo tangible, siempre podremos distinguir una bola roja de otro bola roja pues es materialmente imposible que al elaborarlas sean idénticas en forma, peso, color, etc. Sin embargo, como concepto teórico es útil para representar ciertas situaciones. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

34 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Distribución de bolas en celdas. Tenemos un casillero (cajón alargado dividido en compartimentos o casillas) con n casillas, y tenemos también k n bolas rojas, indistinguibles De cuántas formas distintas podemos ubicar las bolas en el casillero, sin que halla más de una bola en ningún casillero? Si numeramos las casillas de 1 a n, una determinada configuración se puede representar como una serie de casillas donde hay bolas. Así, para n = 10 y k = 4 la configuración 2579 significa que las cuatro bolas se han ubicado en las casillas segunda, quinta, séptima y novena. Como las bolas son indistinguibles, estas configuraciones son no ordenadas, pues, por ejemplo, la ubicación 2579 sería igual que la 7529, luego son combinaciones de n elementos tomadas de k en k, es decir, hay, ( ) n formas k Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

35 básica para el Cálculo de Probabilidades Y si las bolas fueran distinguibles... Notemos que si las bolas fueran distinguibles, por ejemplo, si estuvieran numeradas de 1 a k, las configuraciones SÍ serían ordenadas, y por consiguiente serían variaciones. En tal caso habría V n,k = n!/(n k)!. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

36 básica para el Cálculo de Probabilidades Permutaciones con repetición Supongamos que se dispone de tres tarjetas con el número 2 impreso en cada una, cinco tarjetas con el número 7 impreso en cada una, y cuatro tarjetas con el número tres impreso en cada uno. En total tenemos pues doce tarjetas. Las doce tarjetas se barajan y a continuación se disponen sobre una mesa, una tras otra, formando pues un número de doce cifras. Es claro que hay P 12 = 12! = 479, 001, 600 formas diferentes de disponer las tarjetas pero Cuantos números distintos de doce cifras hay? Hay más? Hay menos? Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

37 básica para el Cálculo de Probabilidades Permutaciones con repetición Obviamente muchos menos pues varias permutaciones de las tarjetas van a proporcionar el mismo número. Supongamos que hay N números distintos. Por el principio de desdoblamiento, se tiene obviamente, por consiguiente, N 3! 5! 4! = 12! N = 12! = 27, 720 3! 5! 4! Estas configuraciones se denominan permutaciones con repetición de 12 elementos, donde tres se repiten, cinco se repiten y cuatro se repiten. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

38 básica para el Cálculo de Probabilidades Permutaciones con repetición Si tenemos n elementos, n 1 n de los cuales son indistinguibles entre ellos, n 2 n son indistinguibles entre ellos pero distinguibles de los anteriores, etc, y n k n son indistinguibles entre ellos pero distinguibles de los anteriores, siendo n 1 + n n k = n, el número de configuraciones distintas al disponer los n elementos se denominan permutaciones con repetición de n elementos siendo n 1 indistinguibles, n 2 indistinguibles,..., n k indistinguibles. Su número es, P n 1,n 2,...,n k n = n! n 1!n 2! n k! Este tipo de agrupación aparece en problemas de enumeración de números que se pueden formar con cifras que presentan repeticiones, como el ejemplo anterior, o palabras que se pueden formar con un conjunto de letras que presentan repeticiones, y en otro tipo de problemas. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

39 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Configuraciones con repetición. Con dos puntos y tres rayas Cuántas letras del alfabeto Morse se pueden codificar? Y cuáles son? P 2,3 5 = 5! 2! 3! = Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

40 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Distribución de bolas indistinguibles en un casillero Veamos nuevamente uno de los ejemplos anteriores, sobre la colocación de k n bolas rojas, indistinguibles, en un casillero con n casillas, con una bola en cada casilla como máximo, pero ahora a la luz de las permutaciones con repetición. Si disponemos las k bolas rojas en k casillas, podemos suponer que hay n k no bolas en el resto de las casilla. hay pues k bolas indistinguibles y n k no bolas indistinguibles. El número de configuraciones es pues, P k,n k n = n! k! (n k)! = ( ) n k es decir, hemos vuelto a encontrar las combinaciones. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

41 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Distribución de bolas distinguibles un casillero. Tenemos un casillero (cajón alargado dividido en compartimentos o casillas) con n casillas, y tenemos también k bolas rojas, numeradas de 1 a k, y por consiguiente distinguibles De cuántas formas distintas podemos ubicar las bolas en el casillero, pudiendo entrar en cada casilla cualquier número de bolas incluso cero? Podemos representar cada configuración por una ristra ordenada del tipo (i 1, i 2,..., i k ) siendo i p {1, 2,..., n} y donde i p representa la casilla en la que está la bola p. Esto tiene sentido porque las bolas son distinguibles. Obviamente existe una correspondencia uno a uno entre las configuraciones y las citadas ristras. Pero estas ristras son variaciones con repetición de n elementos tomados de k en k por lo que hay, n k formas posibles Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

42 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Distribución de bolas indistinguibles un casillero. Tenemos un casillero (cajón alargado dividido en compartimentos o casillas) con n casillas, y tenemos también k bolas rojas, indistinguibles De cuántas formas distintas podemos ubicar las bolas en el casillero, pudiendo entrar en cada casilla cualquier número de bolas incluso cero? Al ser las bolas indistinguibles, la cosa cambia totalmente con respecto al ejemplo anterior. Supongamos que en la casilla i-ésima hay k i bolas, siendo k i {0, 1, 2,..., k}. Podemos representar la correspondiente configuración mediante la n-upla (k 1, k 2,, k n ). Se tendrá pues que k 1 + k 2 +, k n = k. Es decir, este problema es equivalente a enumerar todas las soluciones posibles de la ecuación, k 1 + k k n = k k i {0, 1, 2,, n} i Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

43 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Continuación Sea (k 1, k 2,, k n ) una configuración. Podemos hacerle corresponder una ristra perteneciente al conjunto {, } k+n 1, donde indica bola y indica separación de casilla. En dichas ristras hay k y n 1. Por ejemplo si n = 3 y k = 4, tendríamos las correspondencias, (0, 0, 4) ( ) (2, 1, 1) ( ) Es obvio que esta correspondencia es uno a uno luego hay tantas formas de ubicar las bolas como ristras del tipo citado con y. Estas ristras son permutaciones con repetición de n + k 1 elementos donde n 1 se repiten y k se repiten, por consiguiente hay, P n 1,k (n + k 1)! n+k 1 = = k! (n 1)! formas posibles. ( ) ( ) n + k 1 n + k 1 = k n 1 Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

44 básica para el Cálculo de Probabilidades Ejemplo. Famoso problema de las coincidencias Tenemos un casillero con n casillas numeradas de 1 a n, y n bolas numeradas de 1 a n. Se disponen las bolas en el casillero, de forma que cada casilla tenga exactamente una bola De cuántas formas distintas podemos ubicar las bolas en el casillero de manera que haya al menos una coincidencia del número de bola con el número de casilla? Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

45 básica para el Cálculo de Probabilidades Famoso problema de las coincidencias. Continuación. Las distintas formas de ubicar las bolas en el casillero son permutaciones de {1, 2, 3,..., n}. De estas permutaciones, {i 1, i 2,..., i n }, hay que contar cuántas de ellas verifican i k = k para al menos un k. Sea A el conjunto total de las n! permutaciones, y sean, A 1 = {(i 1, i 2, i 3,..., i n ) A i 1 = 1} luego hay, A 2 = {(i 1, i 2,, i 3,..., i n ) A i 2 = 2} A n = {(i 1, i 2, i 3,..., i n ) A i n = n} A 1 A 2 A n formas posibles. El cálculo de este cardinal se deja como ejercicio. Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..

46 básica para el Cálculo de Probabilidades FIN Teoría de la Probabilidades. σ-álgebra de Borel..