Facultad de Ciencias Exactas & Límites de Funciones.

Transcripción

1 Facultad de Ciencias Exactas & Naturales Cálculo Semillero de Matemáticas Taller #5 Límites de Funciones. Georg Ferdinand Cantor (San Petersburgo, 1845-Halle, Alemania, 1918) Matemático alemán de origen ruso. En 1862 ingresó en la Universidad de Zurich, un año después, se trasladó a la Universidad de Berlín, donde estudió matemáticas, física y filosofía. Se doctoró en 1867 y empezó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle. En 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. Entre 1874 y 1897, demostró que el conjunto de los números enteros tenía el mismo número de elementos que el conjunto de los números pares, y que el número de puntos en un segmento es igual al número de puntos de una línea infinita, de un plano y de cualquier espacio. Es decir, que todos los conjuntos infinitos tienen «el mismo tamaño». Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no tienen siempre el mismo tamaño, o sea el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales, mientras que el de los reales no lo es: existen, por lo tanto, varios infinitos, más grandes los unos que los otros. Entre estos infinitos, los hay tan grandes que no tienen correspondencia en el mundo real. Este hecho supuso un desafío para un espíritu tan religioso como el de Georg Cantor. Y las acusaciones de blasfemia por parte de ciertos colegas envidiosos o que no entendían sus descubrimientos no le ayudaron. Sufrió de depresión, y fue internado repetidas veces en hospitales psiquiátricos. Murió en una clínica psiquiátrica de monjas, aquejado de una enfermedad maníaco-depresiva (la cual se le atribuye a su edad). Objetivos Generales 1. Interpretar gráficamente el concepto de límite de una función en un valor dado. 2. Hallar los límites laterales de una función.. Enunciar las propiedades de: Unicidad del límite, límite de una función constante y límite de una función polonómica. 4. Enunciar las propiedades del límite de una suma, límite de una resta, límite de un producto, límite de un cociente, límite de una potencia y límite de una raíz. 5. Hallar el límite de una función aplicando una o varias propiedades de los límites. 6. Einar indeterminaciones de la forma 0/0, y hallar el límite de la función. 7. Expresar el significado gráfico de los límites al infinito. 8. Einar indeterminaciones de la forma / y - y hallar el límite de la función.

2 Marco Teórico. Interpretación Gráfica. Qué ocurre con las imágenes (las f(x)) a medida que los valores de x se aproximan más y más a? Se aproximan dichas imágenes a algún valor en particular? La figura nos muestra que mientras más aproximados están los valor de x a, más aproximados están los valores de f(x) a 1. Notemos que en este análisis no hemos considerado para nada lo que ocurre exactamente en x =. Sólo nos ha importado lo que ocurre en la PROXIMIDADES de. Observaciones 1. Conviene insistir en lo siguiente: para determinar el f(x) no nos interesa lo que ocurre en x = 1, sino lo que ocurre a la izquierda o derecha de a. Es más: puede suceder que f(a) no exista. 2. Simbólicamente, la expresión x tiende a a por la izquierda se representa así x a. En la misma forma, la expresión x tiende a a por la derecha se representa así x a +.. Es necesario aproximarse tanto por izquierda como por derecha de a con el fin de analizar el f(x). Definición delímite Sea f una función definida en un intervalo que contenga a a (aunque no necesariamente definida en a). Se dice que f tiende a L cuando x tenede a a, que se denota por f x = L. Si se cumple que dado ε>0 (tan pequeño como se quiera) existe δ > 0 tal que si 0 < x a < δ entonces f x L < ε Teorema 1 Límites de una función lineal Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces (mx + b) = ma + b.

3 Teorema 2 Límite de una función constante Si c es una constante, entonces para cualquier a Teorema Límite de la función identidad c = c. x = a. Teorema 4 Límite de la suma y diferencia de funciones Si f(x) = L y g(x) = M, entonces [f x ± g(x)] = L ± M. Teorema 5 Límite del producto de dos funciones Si f(x) = L y g(x) = M, entonces [f x g(x)] = L M Teorema 6 Límites de cociente de dos funciones Si f(x) = L y g(x) = M, entonces f x g(x) = L M si M 0 Teorema 7 Límites de la n-ésima potencia de una función Si f(x) = L y n es cualquier número entero positivo, entonces f x n = L n Teorema 8 Límite de la raíz n-ésima de una función Si f(x) = L y n es cualquier número entero positivo, entonces n f x n = L Con la restricción de que si n es par, L > 0

4 Ejemplos 1. x (x 2 9) x = (2 9) = 0, entonces si factorizamos el numerador 0 x (x 2 9) x = x x (x+) x, simplificando y aplicando los teoremas antores obtenemos 2. x x + = x x + x = + = 6 = 1 1 = 0, entonces si factorizamos el numerador = ( x+1), simplificando y aplicando los teoremas antores obtenemos. x + 1 = x + 1 = = 2 2x+1 = 2(4)+1 = 0, si racinalizamos el denominador x x+1 x 2 2 = 2x+1 x 2+ 2, multiplicando x 2 2 x x+1 x 2+ 2 x = 2x+1 x 2+ 2 x 2 2, si racinalizamos el numerador 2x+1 x 2+ 2 x 4 2x+1+ 2x+1+ = ( 2x+1) 2 () 2 x 2+ 2 (x 4) 2x+1+ = 2x+1 9 x 2+ 2 (x 4) 2x+1+ = 2x 8 x 2+ 2 (x 4) 2x+1+ por factor común en el numerador = 2 x 4 x 2+ 2 (x 4) 2x+1+, simplificnado el límite, = 2 x x+1+ y aplicando los teoremas antores obtenemos 2 x x = 2 = 2 = x 2 + x x x = 2 = = (4) = 2 2 = 2 2

5 Límite Unilateral Teorema Si f(x) existe y es igual a L si y sólo si f(x) y + f(x) existen y son iguales a L, es decir, si f(x) = + f(x) = L, entonces f x = L Ejemplo 1. Sea h la función definida por h x = 4 x2 si x x 2 si x > 1 a. Dibuje la gráfica de h. b. Determine, si existen, cada uno de los siguientes límites: h x ; + h x ; h x Solución a. La gráfica de h es la figura adjunta. b. h x = 4 x2 = + h x = x2 = Como h x = + h x =, se concluye, por el teorema anterior que h x = 2. Sea f la función definida por x + 5 si x < f x = 9 x 2 si x x si x > a. Dibuje la gráfica de f. b. Determine cada uno de los siguientes límites: x f(x); x + f(x); x f(x); x f(x); x + f(x); x f(x); Solución: a. La gráfica de f es la figura adjunta. b. x f(x) = x x + 5 = 2 x + f(x) = x +( 9 x 2 ) = 0 Como x f(x) x + f(x), entonces x f(x) no existe. x f(x) = x 9 x 2 = 0

6 x + f x = x + x = 0 x f x = x + f(x), entonces x f x = 0 1. Evaluar los límites a. x 5 8 b. x 2x 2 x + 4 x c. 2 9 x x x 4 d. x 2 2 x e. 27 x x 2 9 x+h f. x x 0 h 2x+b g. 4b 2 x b 0 2x 2x b 2 4 x h. 2 x 2 x 2 +5 x i. 5 2 x 2 x 2 2. Dada Hallar f x = Ejercicios j. x x 7 x k. x 5 x 5 l. 1 x 2x si x < 2 x 5 si 2 x 1 x si x > 1 m. t 0 t+a 2 n. x 0 x 2 +a 2 a x 2 +b 2 b 7+ x o. x 8 t x 8 p. x 0 x a 2 x 2 +1 x 2 a. x 2 f(x) b. x 2 + f(x) c. x 2 f(x) d. f(x) e. + f(x) f. f(x). Dada Hallar g. x 2 f(x) h. x 2 + f(x) i. x 2 f(x) Bibliografía f x = 2x + si x 1 8 x si 1 < x < 2 x + si x 2 j. f(x) k. + f(x) l. f(x) [1] Leithold, L., Cálculo, 7 ed.,1999 [2] Uribe, J., Matemáticas una propuesta curricular, Bedout Editores, 1990