Conceptos generales.

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1 Titulación: Ingeniero en Telecomunicación Asignatura: Cálculo Relación de problemas número Conceptos generales RECTA REAL Y PLANO COMPLEJO SUCESIONES Problema Supuesto que s t < x y, donde s,x R, t,y R+, probar que s t < s + x t + y < x y Problema Discutir la validez de las siguientes afirmaciones sobre números reales: x 3 x + < 3 x 5 < x + 3 x + y + z = x + y + z 4 x y = x y 5 x y + z = x z y Problema 3 Sea A R, A /0 Probar que : A está acotado M R + : x M x A Problema 4 Demuéstrese que para cada número natural n se verifica que n = n(n + )(n + ) n 3 = ( n) n = n Problema 5 Resuélvanse las siguientes ecuaciones entre números complejos: a) z z = + i; b) z + z = + i; c) z = z Problema 6 Encuentre los vértices de un polígono regular de n lados si su centro se encuentra en el punto z = 0 y uno de sus vértices z es conocido

2 Problema 7 Calcular las partes real e imaginaria de los números: 3i ; ( + i 3) 6 ; ( ) + i 5 i Problema 8 Simplificar las expresiones: + cosϕ + cosϕ + + cosnϕ; senϕ + senϕ + + sennϕ donde ϕ R y n N Sugerencia: Si llamamos A a la primera suma y B a la segunda, calcúlese A + ib haciendo uso de la fórmula de De Moivre Problema 9 Calcular las siguientes raíces (a) 4 6 (b) 6 + i (c) 3 7 Problema 0 Estudiar la convergencia de las siguientes sucesiones: 3 4 } sen n } cos n sen(n) n } cos(n +) e n } Problema Estudiar la posible convergencia de las siguientes sucesiones y calcular su ite cuando exista: n 4 } a) n 5 } + / + /3 + + /n b) n (n ) c) n + } n + k + k + 3 k + + n k } d) n k+ donde k es un número natural fijo + 5 Problema Estudiar la convergencia de la sucesión a n := n (n + ) (n + )(n + n)

3 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL Problema 3 Estudiar los siguientes ites funcionales: x 0 log( senx) log(cosx), senx x x logx x, x + x + x + x, x 4 x x x x x logx log( + 3e x ), + 3x x + (ex + x) /x, x(x /x ), logx x 0 x (e ( + x) x ), x arctgx x 0 sen 3, x x 0 x 4 6x senx x 5, cosx cosx, x 0 + x x 0 x, x 0 +(senx + cosx)/x, x 0 +( tgx) x, ( ) senx, tagx x 0 + x 0 +( + senx)cotgx, Problema 4 Sea f : R \ } R la función definida por: f (x) = arctg + x x x x 0 +(cosx + ) x, x Π x 0 + xsenx, ( tagx ) senx, ( + senx)cotgx x Π Estudiar la continuidad de f y su comportamiento en el punto, en + y en Problema 5 Sea f : R + \ e} R la función definida por Estudiar el comportamiento de f en 0,e,+ f (x) = x logx, x R + \ e} Problema 6 Pruébese que todo polinomio de grado impar admite al menos una raíz real Problema 7 Sea f : [0,] [0,] una función continua en [0,] Pruébese que f tiene un punto fijo: x [0,] : f (x) = x Problema 8 Suponiendo que la temperatura varía de manera continua a lo largo del ecuador, pruébese que, en cualquier instante, existen dos puntos antípodas (es decir, diametralmente opuestos) sobre el ecuador que se hallan a la misma temperatura 3

4 Problema 9 Un escalador comienza, desde su campamento base, a subir a una montaña el sábado a las 7 horas, alcanzando la cima a las 8 de la tarde A las 7 horas del domingo inicia el descenso hacia el campamento base tardando el mismo tiempo que le costó la subida Demostrar que existe una determinada hora a lo largo del domingo en la que el escalador se encuentra exactamente a la misma altura que a esa misma hora del sábado Problema 0 Sean f, g : R R las funciones definidas por f (x) = +e /x, si x 0 0, si x = 0 g(x) = e x x, si x < 0 x, si 0 x < 5 x, si x Estudiar la continuidad de f y g en todo punto de R y la existencia de ites de f y g en + y Problema Probar que existe un único número real positivo x tal que Problema Probar que la ecuación logx + x = 0 x + e x +arctgx = 0 tiene una sola raíz real Dar un intervalo de longitud uno en el que se encuentre dicha raíz Problema 3 Probar que la ecuación tg(x) = x tiene infinitas soluciones Problema 4 Calcular el número de soluciones de la ecuación 3logx x = 0 Problema 5 Calcular la imagen de f : R + R, f (x) = x /x Problema 6 Sean a,b,c R con a < 3b Probar que la ecuación tiene una solución real única x 3 + ax + bx + c = 0 Problema 7 Determinar el número de raíces reales de la ecuación x 3 3x x = m según el valor de m Problema 8 Demostrar que la desigualdad x < log( + x) < x se verifica para todo x > 0 + x 4

5 Problema 9 Cuál es la longitud de la escalera más larga que puede hacerse pasar a través de la esquina, en ángulo recto, que forman dos corredores de anchuras respectivas a y b? Problema 30 Una caja abierta está construida con un rectángulo de cartón, quitando cuadrados iguales en cada esquina y doblando hacia arriba los bordes Hallar las dimensiones de la caja de mayor volumen que puede construirse con ese procedimiento si el rectángulo tiene como lados (a) 0 y 0, (b) y 8 Problema 3 Se desea construir una ventana con forma de rectángulo coronado de un semicírculo de diámetro igual a la base del rectángulo Pondremos cristal blanco en la parte rectangular y cristal de color en el semicírculo Sabiendo que el cristal coloreado deja pasar la mitad de luz (por unidad de superficie) que el blanco, calcular las dimensiones de la ventana para conseguir la máxima luminosidad si se ha de mantener un perímetro constante dado Problema 3 Se traza la tangente en un punto de la elipse x /5+y /6 = de forma que el segmento (de dicha tangente) interceptado por los ejes sea mínimo Demostrar que la longitud de dicho segmento es 9 unidades Problema 33 Se inscribe un rectángulo en la elipse x /400 + y /5 = con sus lados paralelos a los ejes Hallar las dimensiones del rectángulo para que (a) el área sea máxima, (b) el perímetro sea máximo Problema 34 Se desea confeccionar una tienda de campaña cónica de un volumen determinado Calcular sus dimensiones para que la cantidad de lona necesaria sea mínima Problema 35 Demostrar que de todos los triángulos isósceles que se pueden circunscribir a una circunferencia de radio r, el de área mínima es el equilátero de altura 3r Problema 36 Atamos el extremo de una cuerda de longitud L a una columna de radio R mediante un nudo corredizo Calcular la máxima distancia posible del otro extremo al centro de la columna Problema 37 Demostrar que la suma de un número positivo y su inverso es mayor o igual a Problema 38 Hallar las dimensiones del cilindro de mayor volumen entre todos aquellos que tienen la superficie lateral total constante Problema 39 Se desea construir un silo, con un volumen V determinado, que tenga la forma de un cilindro rematado por una semiesfera El costo de construcción (por unidad de superficie) es doble para la semiesfera que para el cilindro (la base es gratis) Determínense las dimensiones óptimas para minimizar el costo de construcción Problema 40 Se proyecta un jardín de forma de sector circular de radio R y ángulo central θ El área del jardín ha de ser A fija Qué valores de R y θ hacen mínimo el perímetro que bordea el jardín? 5

6 Problema 4 Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene una longitud a se hace girar alrededor de uno de sus catetos Qué volumen máximo puede tener un cono engendrado de esta manera? Problema 4 Una persona desea cortar un pedazo de alambre de metro de largo en dos trozos Uno de ellos se va a doblar en forma de circunferencia, y el otro en forma de cuadrado Cómo debe cortar el alambre para que la suma de áreas sea mínima? Problema 43 Un muro de 4 metros de altura está a 3 metros de la fachada de una casa Hallar la escalera más corta que llegará desde el suelo hasta la casa por encima del muro Problema 44 Investigar la posibilidad de inscribir un cilindro circular recto de área total máxima en un cono circular recto de radio r y altura h Problema 45 Un cultivador de naranjas estima que, si planta 60 naranjos, obtendrá una cosecha media de 400 naranjas por árbol Este número bajará 4 unidades por cada árbol más que se plante en el mismo terreno Halle el número de árboles que hace máxima la cosecha Problema 46 Durante la tos, el diámetro de la tráquea disminuye La velocidad v del aire en la tráquea durante la tos se relaciona con el radio, r, mediante la ecuación v = Ar (r 0 r), donde A es una constante y r 0 es el radio en estado de relajación Determínese el radio de la tráquea cuando la velocidad es máxima, así como esta velocidad Problema 47 Las palomas domésticas no suelen volar sobre extensiones grandes de agua a menos que se vean forzadas a ello, posiblemente porque se requiera más energía para mantener la altitud sobre el agua fría Supongamos que se suelta una paloma desde un barco situado a 3 km de la costa, siendo A el punto costero más cercano El palomar se encuentra en un punto de la costa situado a 0 km de A Si la paloma gasta dos veces más energía volando sobre el agua que sobre la tierra firme y sigue un camino que hace mínima la energía gastada, determínese el punto dónde la paloma abandona el agua Problema 48 Se desea construir un envase cilíndrico de con un volumen fijo V 0 Calcular las dimensiones (radio y altura) que ha de tener el envase para que la cantidad de material invertido en construirlo, incluyendo las tapas, sea mínimo Problema 49 Estás diseñando una lata cilíndrica circular recta de volumen fijo V 0, cuyo costo considerará el desperdicio de material No se desperdicia nada al cortar el aluminio para la superficie lateral, pero las tapas de radio r se cortan de cuadrados de lado r Calcular las dimensiones que minimizan el coste de producción 6