1 Unidad 1 Aritmética

Transcripción

1 Unidad Aritmética Números reales Numeros Naturales. Son los números con los ue aprendemos a contar. N = f; ; ; ; ; :::g Números Enteros. Con la operación de sustracción de números naturales aparecen los números negativos y el cero. La unión del conjunto de números negativos, positivos y el cero 0 resulta el conjunto de los números enteros. Z = f::: ; ; 0; ; :::g Numeros Racionales. Los números racionales se de nen como Q = fxjx = p ; p; Z; 6= 0g. Se lee "el conjunto de las x tales ue x = p, donde p y pertenecen al conjunto de los enteros con diferente de cero". Example Q = f:::; ; 0; ; 0:::g Los símbolos j; ; 6= se denominan cuanti cadores. j tal ue pertenece a 6= diferente de Observación. El conjunto de los números naturales está contenido en el conjunto de los números enteros, es decir, N es un subconjunto de Z. Tambien ue el conjunto de los números enteros está contenido en el conjunto de los números racionales, es decir, Z es un subconjunto de Q, por lo ue N Z Q. Números Irracionales. Los números irracionales tienen origen geométrico y no se pueden expresar de la forma p. Example p = : ::: = :::: e = ::::

2 = = f:::; p ; p ; e; :::g Números Reales. El conjunto de los números reales se de ne como la unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales. R = Q [ Example R = f 6; p ; 0; ; ; ::g

3 Operaciones con números racionales (fracciones) Sean los números racionales a b y c d. Podemos de nir las operaciones suma. sustracción. multiplicación. división a b + c ad + bc = d bd a b c d = ad bc bd ( a b )( c d ) = ac bd a b c a d = b c d = ad bc + = + =. + = +6 =.. = = =. ( )( ) = 0 = 0 = 6. ( )() = ( )( ) = 0 = 0. 6 ( ) = 6 + = = = = 0 = =. ( )( ) + = 6 + = + = 6+ = = =. + = 6. ( )( ) = 6 ( ) + ( ) = + = + = 6. ( ) ( ) = ( ) = 6 ( ) = 6 Exercise ( ) = = = = 6. ( ) = ( ) = ( 6 ) = 6 = 6

4 . ( )( ) = ( )( ) = ( )( ) = 6 6 = 6 Tarea Realice las siguientes operaciones con fracciones. Reduzca a su expresión exacta mínima + =. + ( ) ( ) =. (( )( 6 )) =. ( 6)( 6 ) =. 6 + ( ) =. Fracciones propias y fracciones impropias Fracción propia. Fracción con valor absoluto menor o igual a uno. Fracción Impropia. Fracción con valor absoluto mayor a uno. Example Fracciones Propias = 0:; 0 = 0:; = ; ::: Example 6 Fracciones impropias = : ; = : ; = : ; ::: > Las fracciones impropias pueden expresarse como un número mixto. número mixto consta de un número entero seguido de una fracción propia. Un =. =. = Exercise Convierte los siguientes fracciones impropias a números mixtos =. =. = Recíprocamente, podemos convertir un número mixto a una fracción impropia = 6. 6 =

5 . = Exercise Convierte los siguientes números mixtos a fracciones impropias =. = 6. = 0

6 . Jeraruía de operaciones La jeraruía de operaciones se re ere a la regla de consecución para efectuar operaciones aritméticas Potenciación y radicalización. Multiplicación y división. Suma y resta Nota importante: Aplicar la jeraruía de operaciones de adentro hacia afuera de los signos de agrupación. 6 ( ) + = 6 + p p = 6 + = 6 + = + = 6. ( )( + ) ( )( + ) = ( )( ) ( )( ) = (( )( + ) 00 )( ) = (( )( 0 ) 00 )( ) = ( )( ) = ( 00 )( 00 ) =. +( )( ) ( )( p ) + = = 0 6 +( )( ) + =. +[( ) +( )( )] + ( )( ) = +[ = + = ] + = = = + 6 Tarea. Realice las siguientes operaciones con fracciones. Reduzca a su expresión mínima ( ) 6 + ( 6 )( ) + ( 6) =. (( )( + ( )( + )))( ) =.. (( )( )) p 6 +( ) ( p + = 6 p + = 6 ) 6 +( ) ( ) ( 6)( 6 ) [( ) +( )( )] p =. Variación directa e inversamente proporcional Cuando dos cantidades se relacionan de tal forma ue cuando una aumenta la otra también lo hace en la misma proporcion, decimos ue hay una variación directamente proporcional. 6

7 Example La siguiente tabla muestra el crecimiento de planta de lenteja de acuerdo al riego efectuado Longitud (cm) Riego (ml) Tamaño de la planta (cm) 0 6 y=mx Riego (ml) Podemos expresar la variación directamente proporcional como y = mx donde m es la constante de proporconalidad. En el ejemplo anterior, si y es la longitud de la planta y x es el riego, entonces y = x: Por otro lado, cuando dos cantidades se relacionan de tal forma ue cuando una aumenta la otra disminuye en proporcion inversa, decimos ue hay una variación inversamente proporcional. Example 0 La siguiente tabla muestra la velocidad de un auto ue viaja DF- Querétaro y el tiempo efetuado en el viaje velocidad (km=h) Tiempo (h) Tiempo (h + min) 0 h 0 min : 66 h 0 min 00 h 0 min :6 h 6 min 0 : h 0 min Podemos expresar la variación directamente proporcional como y = m x

8 0 00 Velocidad (km/h) y=m/x Tiempo (h) donde m es la constante de proporconalidad inversa. En el ejemplo anterior, si y es la velocidad del auto y x es el tiempo de viaje, entonces y = 00 x : Tres kilos de naranjas cuestan. pesos. Cuánto cuestan dos kilos?. Seis obreros descargan un camión en tres horas. Cuánto tardarán cuatro obreros?. 00 g de jamón cuestan pesos. Cuánto costarán 0 gramos? Un avión, en horas, recorre 00 km. Cuántos kilómetros recorrerá en horas?. Un camión cargado, a 60 km/h, recorre cierta distancia en horas. Cuánto tiempo invertirá en el viaje de vuelta, descargado, a 0 km/h?. Si cuatro entradas para el cine han costado pesos, cuánto costarán cinco entradas?. El dueño de un supermercado ha abonado 0 pesos por cajas de ajos. Cuánto deberá pagar por un nuevo pedido de cajas de ajos? Tarea. Un tren ha recorrido 0 km en tres horas. Si mantiene la misma velocidad, cuántos kilómetros recorrerá en las próximas dos horas?. Un grifo, abierto durante 0 minutos, hace ue el nivel de un depósito suba cm. Cuánto subirá el nivel si el grifo permanece abierto minutos más? Cuánto tiempo deberá permanecer abierto para ue el nivel suba 0 cm?

9 . Ocho obreros construyen una pared en días. Cuánto tardarían en hacerlo seis obreros?. Un grifo ue arroja un caudal de litros por minuto, llena un depósito en 0 minutos. Cuánto tardará en llenar ese mismo depósito otro grifo cuyo caudal es de litros por minuto?. Cuatro palas excavadoras hacen un trabajo de movimiento de tierras en días. Cuánto se tardaría en hacer ese mismo trabajo si se dispusiera de palas excavadoras? 6. Un bidón de dos litros de aceite cuesta, e. Cuánto costará un bidón de litros de la misma marca?. Por, kg de chirimoyas he pagado 6, pesos. Cuánto pagaré por cinco kilos?. Si un ciclista tarda, horas en llegar a una ciudad a una velocidad de 0 km/h. Cuánto tardará en llegar a una velocidad de km/h?. Andando a 60 pasos por minuto tardo minutos en llegar a mi casa. Cuánto tardaré a 0 pasos por minuto 0. 6 amigos se reparten una caja de galletas, tocandoles a cada uno galletas Cuántas galletas les corresponderian si fueran amigos?