UNIVERSIDAD DE ATACAMA

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1 UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ESTADÍSITICA Y PROBABILIDAD PAUTA PRIMERA PRUEBA PARCIAL Profesor: Hugo S. Salinas. Primer Semestre La siguiente tabla corresponde a los sueldos que paga un Instituto de Capacitación a sus profesores (en miles de $) por curso realizado: Sueldo (miles de $) N o profesores Primero debemos completar la tabla de frecuencias con las marcas de clase x i, frecuencias absolutas acumuladas N i y los productos n i x i. Sueldos n i N i x i n i x i a) Calcular el sueldo medio de los profesores. X = 1 6 n i x i = = 135 Por lo tanto el sueldo medio de los profesores es de $ b) Qué porcentaje de profesores gana más de $ ? i=1 PRIMERA PRUEBA PARCIAL 1

2 Se debe calcular el porcentaje que corresponde al percentil $ Entonces: ( k n P k = L i 1 + N ) ( ) k i 85 a = = 162 = n i 11 ( k ) 20 = = 2 = k 85 = = 1.1 = k = 86.1 Así, el porcentaje de profesores que ganan más de $ es 86.1 = 13.9 %. c) Cuánto es el mínimo que paga el Instituto al 30 % de los profesores con sueldos más altos? ( 70 ) 60 P 70 = = Así, el mínimo que paga el Instituto al 30 % de los profesores con sueldos más altos es de $ Un determinado producto químico puede contener 3 elementos tóxicos, A, B y C, que son motivo de sanción por el Ministerio de Medio Ambiente. Por la experiencia, se sabe que de cada 0 unidades producidas aproximadamente 15 tienen el elemento A, 17 el B, 21 el C, 10 el A y el B, 9 el B y el C, 7 el A y el C y 970 no contienen ninguno de los tres elementos. Un inspector selecciona una unidad al azar. Obtener: Del enunciado se tiene que: P (A) = 0.015, P (B) = 0.017, P (C) = 0.021, P (A B) = 0.01, P (B C) = 0.009, P (A C) = 0.007, P (A c B c C c ) = P [(A B C) c ] = 1 P (A B C) = 0.97 = P (A B C) = 0.03 a) La probabilidad de que la empresa sea sancionada. P (A B C) = P (A B C) P (A) P (B) P (C) + P (A B) + P (A C) + P (B C) = = b) La probabilidad de que sólo se encuentre el elemento A. P (A B c C c ) = P [A (B C) c ] = P (A) P [A (B C)] = P (A) P [(A B) (A C)] = P (A) P (A B) P (A C) + P (A B C) = = PRIMERA PRUEBA PARCIAL 2

3 c) La probabilidad de que se detecten los elementos A y B. P (A B C c ) = P (A B) P (A B C) = = d) La probabilidad de que se detecte a lo más uno de los tres elementos. P (a lo más uno) = P [(A B c C c ) (A c B C c ) (A c B c C) (A c B c C c )] Del item b) se tiene que: Entonces: Por lo tanto: = P (A B c C c ) + P (A c B C c ) + P (A c B c C) + (A c B c C c ) P (A B c C c ) = P (A) P (A B) P (A C) + P (A c B c C c ) P (B A c C c ) = P (B) P (B A) P (B C) + P (A B C) P (C A c B c ) = P (C) P (C A) P (C B) + P (A B C) P (a lo más uno) = P (A) + P (B) + P (C) 2P (A B) 2P (A C) 2P (B C) + 3P (A B C) + P (A c B c C c ) = (0.010) 2(0.007) 2(0.009) + 3(0.003) = 0,98 e) La probabilidad de que se detecte más de un elemento. P (más de un) = P [(A B C c ) (A B c C) (A c B C) (A B C)] Del item c) se tiene que: Entonces: Por lo tanto: = P (A B C c ) + P (A B c C) + P (A c B C) + P (A B C) P (A B C c ) = P (A B) P (A B C) P (A C B c ) = P (A C) P (A C B) P (B C A c ) = P (B C) P (B C A) P (más de un) = P (A B) + P (A C) + P (B C) 2P (A B C) = (0.003) = 0.02 Notar que P (más de un) = 1 P (a lo más uno). PRIMERA PRUEBA PARCIAL 3

4 3. Una población está formada por tres grupos étnicos: A (30 %), B (10 %) y C (60 %). Los porcentajes del carácter ojos claros son 20 %, 40 % y 5 %, respectivamente. Calcular: Consideremos los sucesos: A : el individuo es de la étnia A B : el individuo es de la étnia B C : el individuo es de la étnia C D : el individuo tiene ojos claros. Los datos son: P (A) = 0.3, P (D A) = 0.2, P (B) = 0.1, P (D B) = 0.4, P (C) = 0.6, P (D C) = 0.05, a) La probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga los ojos claros. Para calcular la probabilidad pedida, aplicamos el teorema de la probabilidad total: P (D) = P (A)P (D A)+P (B)P (D B)+P (C)P (D C) = (0.3)(0.2)+(0.1)(0.4)+(0.6)(0.05) = 0.13 b) La probabilidad de que un individuo de ojos oscuros sea de A. Aquí aplicamos la definición de probabilidad condicionada y resulta: P (A D c ) = P (A)P (Dc A) P (D c ) = (0.3)(1 0.2) = c) Si un individuo elegido al azar tiene ojos claros, a qué grupo es más probable que pertenezca? Debemos comparar las distintas probabilidades condicionadas: P (A D) = P (B D) = P (C D) = P (A)P (D A) P (D) P (B)P (D B) P (D) P (C)P (D C) P (D) = (0.3)(0.2) 0.13 = (0.1)(0.4) 0.13 = (0.6)(0.05) 0.13 = 0.46 = 0.31 = 0.23 Por lo tanto P (A D) es la mayor, luego el individuo pertenece a la étnia A. PRIMERA PRUEBA PARCIAL 4

5 4. Una máquina de una fundición produce piezas de hierro fundido para uso en las transmisiones automáticas de camiones. Son dos las dimensiones cruciales de dicha pieza: A y B. Supongamos que si la pieza cumple con la especificación de la dimensión A, existe una probabilidad del 98 % de que también cumpla con la dimensión B. Además, existe un 95 % de probabilidad de que cumpla con la especificación de la dimensión A y del 97 % de que no lo haga con la dimensión B. Se selecciona aleatoriamente una unidad de dicha pieza. Del enunciado se tiene: P (B A) = 0.98, P (A) = 0.95, P (B c ) = 1 P (B) = 0.97 = P (B) = 0.03 a) Cuál es la probabilidad de que cumpla las especificaciones de ambas dimensiones? P (B A) = P (A B) P (A) = 0.98 = P (A B) 0.95 = P (A B) = (0.98)(0.95) = b) Cuál es la probabilidad de que cumpla con alguna de las dos especificaciones? P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = = c) Si se seleccionó de aquellas piezas que cumplieron con la especificación de la dimensión A, cuál es la probabilidad que no cumpla con la dimensión B? P (B c A) = 1 P (B A) = P (B c A) = = 0.02 d) Una pieza se desecha si no cumple alguna de estas especificaciones. De un total de 0 piezas producidas, cuántas son desechadas? P (se desecha) = P (A c B c ) = P [(A B) c ] = 1 P (A B) = = Entonces de 0 piezas, (0.069)(0) = 69 piezas son desechadas. 5. Una fábrica tiene tres máquinas para producir ampolletas. La máquina A produce el 35 % del total de ampolletas, la máquina B produce el 50 % y la máquina C produce el 15 % de las ampolletas. Sin embargo, las máquinas no son perfectas, la máquina A daña el 10 % de las ampolletas que produce. La máquina B daña el 5 % y la máquina C daña el 20 %. Consideremos los sucesos: A : ampolletas de la máquina A B : ampolletas de la máquina B C : ampolletas de la máquina C D : la ampolleta es defectuosa. Los datos son: P (A) = 0.35, P (D A) = 0.1, P (B) = 0.5, P (D B) = 0.05, P (C) = 0.15, P (D C) = 0.2, PRIMERA PRUEBA PARCIAL 5

6 a) La fábrica produce 00 ampolletas sin defectos en un día. Cuántas de éstas corresponden a la máquina A? Cuántas daña en un día?. Primero calculamos: P (D) = P (A)P (D A)+P (B)P (D B)+P (C)P (D C) = (0.35)(0.1)+(0.5)(0.05)+(0.15)(0.2) = 0.09 Por lo tanto: P (A D c ) = P (A)P (Dc A) P (D c ) = P (A)(1 P (D A)) 1 P (D) = (0.35)(1 0.1) = Luego la fábrica A produce ( )(00) = 6539 ampolletas dañadas. b) Si seleccionamos una ampolleta de la máquina C, cuál es la probabilidad de que esté defectuosa? P (D C) = 0.2 c) Luego de fabricadas, pero antes de probarlas, las ampolletas se colocan juntas en un salón. Si se selecciona una ampolleta al azar, cuál es la probabilidad de que esté defectuosa? P (D) = 0.09 d) Si se comprueba que una ampolleta está defectuosa, cuál es la probabilidad de que provenga de la máquina B? P (B)P (D B) P (B D) = = (0.5)(0.05) = P (D) 0.09 PRIMERA PRUEBA PARCIAL 6