2 Técnicas de compensación basadas en el lugar de las raíces.

Transcripción

1 Ténia de omenaión baada en el lugar de la raíe.. Introduión. Ya e ha vito omo el ajute de un regulador e realiza en la rátia de modo muy divero, deendiendo fundamentalmente de lo dato de artida, y de la oibilidade de atuaión exerimental obre la lanta a regular. Podemo ditinguir báiamente do forma de abordar el roblema: el ajute exerimental y el ajute analítio. El ajute de reguladore de forma exerimental, reonde a la aaidad del eronal eeializado ara identifiar debido a la exerienia adquirida el efeto que lo ditinto arámetro del regulador va a tener obre el itema. De eta forma, y iguiendo un método de enayo y error, e ajuta el regulador de forma efiiente. Emíriamente e han dearrollado una erie de método que intentan reumir ete bagaje exerimental de lo oeradore de lanta. Baándoe en arámetro obtenido de la reueta del itema, e Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 5

2 Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II ueden etableer una erie de regla emíria ara la obtenión de un unto de artida en el ajute de lo ditinto reguladore. E muy normal omenzar ajutando un regulador omerial mediante uno de eto método emírio, que uelen dar un buen unto de funionamiento del regulador, ara a artir de ahí, irlo ajutando haia eeifiaione má onreta. El ajute del regulador baándoe en lo método de análii arten del inonveniente de la neeidad de dioner de un modelo, lo ual no iemre e oible. Si e diuiee de un buen modelo del itema, y ete e fáilmente imlifiable, el método baado en el análii uede er muy efetivo, neeitando de un oterior ajute menor que el neeario ara el ajute ao exerimental. El orden eguido en ete aítulo e el iguiente: iniialmente, veremo lo método exerimentale má extendido, aí omo u aliaión en ao de dioner de un modelo de la lanta, onvirtiéndolo de eta forma en método analítio. Poteriormente, e aará a deribir el ajute analítio de lo ditinto reguladore mediante ténia baada en la herramienta del Lugar de la Raíe (LDR).. Método exerimentale.. Ziegler-Nihol. Ziegler y Nihol, en 95, exerimentaron obre un gran número de itema lo valore má adeuado ara la aione de un regulador PID tratando de eta forma de enontrar una regla que ermitieen u ajute a artir de la obervaión del omortamiento del itema. Eta regla ermiten determinar lo valore de la ganania roorional, del tiemo integral T i, y del tiemo derivativo T d baándoe en la araterítia de la reueta tranitoria de una lanta dada. Eto ermite la determinaión de lo arámetro del PID or arte de lo ingeniero en la mima lanta, baándoe úniamente en la reueta exerimentale obtenida al efetuar exerimento en el itema a ontrolar. La ontante deduida de la regla orreonden on la iguiente realizaión del PID: + - G T ( ) d Ti Planta 6 Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial

3 Amlitud e d.5 d Aunte de R. Automátia II Caítulo : Ténia de omenaión en el LDR La regla de Ziegler-Nihol que e verán a ontinuaión, on de eeial utilidad ara realizar un rimer ajute del ontrolador de un itema afinaión del ontrolador- uando no e onoe el modelo matemátio del mimo. Evidentemente, eta regla ueden aliare también uando e onoe ete modelo matemátio, aunque ierdan en ierta medida u entido frente a otro método de ajute baado en el análii. Si el itema umle lo requiito imueto ara ada uno de lo do método roueto or Ziegler-Nihol, el ajute del PID mediante eta regla intenta oneguir un buen regulador, e deir, ufiientemente ráido, on oa obreoilaión y on error de oiión nulo. La métria utilizada or ete método ara evaluar la bondad de un determinado ajute e denominada omo QDR (Quarter Deay Ratio), que uede interretare omo la roorión de un uarto entre la rimera obreoilaión y la egunda Tiemo(e.) Primer método. Ajute en Cadena Abierta o Curva de Reaión de Proeo. Ete método e ha dearrollado ara itema que en adena abierta no on oilatorio, y que reonden ante el ealón on una urva en forma de S. En ao de que la reueta no reente eta forma, ete rimer método no e aliable. Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 7

4 Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II u(t) Planta y(t) Ete método de Ziegler-Nihol, lo que retende e modelizar eta reueta mediante un itema de rimer orden on un retardo uro. Sobre ete itema e han dearrollado la regla que ermiten obtener la aión de ontrol requerida ara lograr una reueta atifatoria. Se exone a ontinuaión el método ara aroximar el itema fíio a ete itema de rimer orden mediante la obtenión de u tre arámetro araterítio: la ontante de tiemo T del olo, el valor L del retardo, y la ganania etátia. Si ueronemo la reueta en S del itema on la del modelo aroximado del mimo ara una entrada de ealón unitario e obtendría la iguiente figura: Planta Modelo L T La exreión matemátia de ete modelo de rimer orden aroximado del itema, e de la forma iguiente: y( ) u( ) e L T (.) Para obtener tanto de forma matemátia omo gráfia el valor de L y T, e neeario trazar la reta inlinada de la figura. Diha reta queda definida mediante la tangente en el unto de inflexión de la urva de la reueta real del itema en adena abierta. El orte de diha reta on el eje de abia, indiará el tiemo de retardo uro de modelo (L), mientra que la ontante de tiemo (T), e obtiene aroximadamente 8 Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial

5 Aunte de R. Automátia II Caítulo : Ténia de omenaión en el LDR midiendo el tiemo tranurrido entre ete unto de orte y el de la mima reta on la abia orreondiente al valor final obtenido. Obtenido el modelo (L,T,), ete método de Ziegler-Nihol no da lo arámetro ara ditinto reguladore, de forma que e umla el riterio QDR. Eto valore quedan reflejado en la iguiente tabla: TIPO DE CONTROLADOR T i T d P T L PI.9T L L. PID.T L L.5 L Eto arámetro orreonden on la iguiente exreión del PID: G Td.6 Ti T L (.) Se oberva que e imlementa un regulador on un olo en el origen y un ero doble en -/L. Ejemlo: Dieñar un regulador PID ara el itema uya funión de tranferenia e la iguiente G ( ) egún el método de ajute en adena abierta de ( )( )( ) Ziegler-Nihol. Nota: omrobar la validez del método ara diho itema. En rimer lugar reolveremo el roblema de una forma má rátia mediante el uo de MatLab. >>g=tf(,oly([-,-,-]) >>te(g) Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 9

6 Amlitude To: Y() Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II.8 Ste Reone From: U() ,4,8 Time (e.) De eta forma omrobamo que el itema reonde ante un ealón on una urva en forma de S, in obre oilaión. Por tanto el método de Z-N roueto or el enuniado e aliable. Proedemo entone a medir obre la figura lo arámetro neeario ara realizar el modelo del itema. Obtenemo gráfiamente lo valore: =,65 L=.4 e. T=.8-.4=. e. Introduiéndolo en la tabla obtenemo el regulador PID iguiente :,5 G 4,5, 8,5,8 Simulamo ahora el omortamiento del itema regulado mediante MathLab. Para ello utilizaremo la herramienta rltool. Eeifiaremo mediante el diálogo del regulador la definiión del PID. >>rltool(g) Obtenemo entone el iguiente lugar de la raie on la iguiente reueta ante el ealón en adena errada: 4 Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial

7 Imag Axe Aunte de R. Automátia II Caítulo : Ténia de omenaión en el LDR Lugar de la raíe Real Axi De eta forma la exerienia obtenida or Ziegler-Nihol, uede er también aliada ara el ao en que tengamo un modelo de la lanta, omo e el del ejemlo. Veamo ahora omo reolveríamo ete ejeriio en ao de areer de una herramienta de imulaión:.- Obtenemo la reueta ante el ealón del itema en adena abierta de forma analítia mediante la antitraformada de G( ) : t t t y ( t),66,5e,5e,66e.-obtenemo el unto de inflexión de diha urva igualando a ero la egunda derivada: dy ( t) t t t y ( t),5e e,5e dt d y ( t) t t t,5e e,5e t,. dt dy (,),74 y(,),49 dt.- Aliamo el Teorema del valor final ara alular : lim G( ), Obtenemo el reto de valore del modelo or relaione geométria:,66,5 T,5 L,,4,74, Finalmente utilizando la Tabla obtenemo el PID que e muy areido al alulado anteriormente or obervaión gráfia: (,) G ( ) 8, Segundo método. Ajute en Cadena Cerrada o de Reueta Crítia. Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 4

8 Amlitude Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II Al ontrario que el anterior método, en ete ao e realizan lo enayo o exerimento obre la lanta on el regulador PID ajutable ya montado. De ahí que e denomine ajute en adena errada ueto que el montaje del regulador e realizará omo e india en la figura: + - G T ( ) d Ti Planta Iniialmente anulamo la aione derivativa e integradora, haiendo que T i = y T d = iguiendo la notaión del regulador utilizada en el rimer método. De eta forma ólo regulamo la aión roorional dada or la ontante. Uando olamente eta aión de ontrol, artiendo de ero la vamo inrementando hata alanzar un valor rítio r en el ual la alida exhiba or vez rimera oilaione otenida. Si eta oilaione no e roduen ara algún valor de, e deir, que el itema no e vuelve inetable nuna, entone ete método no e uede aliar. Obtenida eta reueta, anotamo lo valore de ganania rítia y el orreondiente eriodo rítio obtenido. Ste Reone r=6 P r Time (e.) Eto do valore, de forma análoga a omo roedíamo en el ao del rimer método, no irven ara obtener lo valore que definen la ditinta aione del regulador, a travé de la iguiente tabla: 4 Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial

9 Aunte de R. Automátia II Caítulo : Ténia de omenaión en el LDR TIPO DE CONTROLADOR T i T d P.5 r PI.45 r P r. PID.6 r.5pr.5p r G ( ),75 r P r 4 P r Ejemlo: Dieñar un regulador PID ara el itema uya funión de tranferenia e la iguiente G ( ) egún el método de ajute en adena errada de ( )( )( ) Ziegler-Nihol. En rimer lugar e realiza el álulo de la r que hae al itema inetable. Ete valor oinide on el valor de la aión roorional que hae al itema rítiamente etable, y que or tanto itua do olo en el eje imaginario. Dede el unto de vita del lugar de la raie, e el unto del LDR en el que do rama onjugada ortan el eje imaginario. Aliamo el método de Routh ara alular el valor de : P( ) ( )( )( ) m 66 6 m r 6 6 Obtenida la ganania rítia, debo alular el valor del eriodo. Para ello debo obtener la raie imaginaria ura que e generan en adena errada or eta aión roorional obre la lanta. Sutituyo en la euaión auxiliar y la obtengo, aí omo la freuenia de la oilaión rítia que generan: Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 4

10 Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II 6 6,9 6, T n r d r r r 66 j,j Finalmente utilizando la Tabla obtenemo el PID ( ) ( ) 8,55 G. Método analítio baado en el Lugar de la Raíe Cómo e ha vito en el aartado anterior, mediante lo método de Ziegler-Nihol, e ha obtenido una metodología genéria ara la definiión de un regulador que oniga un buen omortamiento de ualquier itema. El oneto de bueno quedaba etableido or el índie QDR reviamente etableido. Aunque exiten otro índie que oniguen reultado mejore, e retende ahora abordar el dieño de reguladore que logren un omortamiento del itema má eeífio. Mediante el dieño en el Lugar de la Raíe (LDR) e intentará que el itema e omorte exatamente de auerdo on una eeifiaione en el dominio del tiemo. Se exondrá eguidamente un onjunto de metodología láia que ermiten el dieño aroximado de un ontrolador que alane una determinada retaione. La efetividad de ete dieño deenderá en gran medida de la viabilidad de la aroximaione realizada. En la mayoría de lo ao e roede a la evaluaión y modifiaión de lo olo dominante del itema y a la anelaión de otro. Si or reenia de má ero o olo, eta anelaione, o la uoiión de que lo olo modifiado ean lo dominante, no e diera, el reultado ería muy ditinto del eerado. Por tanto, omo idea iniial, e imortante detaar la fragilidad de la ditinta metodología, y la imortania que tiene la imulaión ante de roeder a la imlantaión del regulador. No hay fórmula mágia, y en ada ao, ada metodología intenta reolver rimordialmente alguno de lo roblema reente.. Ajute de un regulador roorional Su funión de tranferenia e de la forma: 44 Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial

11 Imag Axe Aunte de R. Automátia II Caítulo : Ténia de omenaión en el LDR R( ) (.) De eta forma e uede modifiar la ganania del itema en bule abierto, y or tanto quedará afetada la dinámia del itema realimentado (delazamiento de lo olo en el lugar de la raíe), aí omo el régimen ermanente (efeto obre la ontante de error). Habitualmente eto efeto on oueto dede el unto de vita del omortamiento ótimo. Utilizando un regulador roorional, i e mejora el omortamiento en régimen ermanente, e habitual que emeore el tranitorio y vievera. El ajute de ete regulador, no e má que la eleión del unto de funionamiento deeado obre el lugar de la raíe. Veamo el ajute on un ejemlo: Suongamo que e quiere regular el itema G ( ), de tal forma ( )( ) que umla la eeifiaione iguiente: M <5%, t < y e <5%. Se va a ver i on un ajute de ganania, e oible lograr que eta e umlan..- Calular lo valore de neeario ara umlir lo requerimiento etátio:.- Dibujar el LDR del itema G(): e,5 lim ( G( )) 6 Root Lou Deign Real Axi Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 45

12 Imag Axe Imag Axe Imag Axe Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II.-Calular la zona del lugar de la raíe en la que deben oiionare lo olo dominante en adena errada ara que la dinámia del itema umla la eeifiaione: Suoniendo que e lleva al itema a la zona ubamortiguada, entone e tendrán do olo onjugado. Vamo a alular la zona a la que no retringen ada una de la ondiione del omortamiento dinámio. t M e tan, ,87º Se rereentan eto ubeaio obre el LDR ara ver la zona en la que e deben oiionar lo olo dominante: Root Lou Deign Root Lou Deign Root Lou Deign S =58º =, Real Axi Real Axi - T <, M <5% Aunque no umle exatamente la retriione, al er la rama aliente del LDR una abia en el valor,5, odemo oniderar que el omortamiento e ai totalmente atifatorio, tal vez un oo má lento, ero en ualquier ao ufiiente. El unto que umliendo lo requiito etátio logra un menor error en régimen ermanente e aquél que tenga una ganania etátia mayor. Por tanto, e eogen omo olo dominante del itema lo do unto del LDR indiado on (terer LDR de la figura). S,57, 6 j, Aunque etritamente ete unto no ertenee al LDR, lo onideramo aí, de forma que el mimo aarato matemátio no indique el valor de la ganania que obtiene lo olo má areido ontenido en el LDR. Aliamo el riterio del módulo obteniendo: 46 Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial

13 Amlitude To: Y() Aunte de R. Automátia II Caítulo : Ténia de omenaión en el LDR d dz,57,6,5,6 7, Obervamo que ete valor de la ganania umle on el riterio imueto al régimen ermanente, or lo que el ajute ya etá realizado. Finalmente el itema quedaría de la forma iguiente: + - G ( ) 7 G ( ) ( )( ) La iguiente figura muetran el omortamiento del itema realimentado on regulaión y in regulaión roorional (=) mediante el uo de MatLab. Ste Reone From: U() Time (e.) Finalmente lo olo dominante del itema han quedado ituado en adena errada en S,5, 59 j. RESOLUCIÓN EN MATLAB %Definiion de la FDT di('fdt de la lanta:'); g=tf(,oly([- -])) di('fdt del regulador'); gr=tf(7,) di('fdt del itema regulado') gr_g=erie(gr,g); di('olo reultante en adena errada') ole(feedbak(gr_g,)) aue Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 47

14 Imag Axi Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II %Reueta temoral en adena errada de ambo di('reueta ante el ealón de ambo itema'); te(feedbak(g,),'r',feedbak(gr_g,),'b'); aue Sin embargo, en la mayoría de lo ao no e oible lograr el omortamiento deeado on un enillo ajute de ganania, y hay que reurrir a aione derivativa o integrale. Por ejemlo, dado el itema G ( ) y la ( )( )( ) mima eeifiaione de omortamiento anteriore e 5%, M 5% y t. una aión roorional ería inufiiente, ueto que el LDR no aa or lo unto del deeado ara lo olo dominante. La iguiente figura muetra el LDR del itema, indiando mediante S el lugar or donde debería aar la rama omleja: S - - S Real Axi.. Ajute de un regulador roorional-derivativo (PD ideal). Su funión de tranferenia e de la forma: R( ) ( a) T d iendo a T d (.4) Por lo tanto al inluir una aión derivativa umada a la aión roorional, agregamo un ero a la funión de tranferenia en bule abierto, ademá de variar u ganania. Como oneuenia rátia, al oder oiionar diho ero, también odremo modifiar el LDR del itema, ara que éte termine omortándoe de la forma que deeemo. Aunque la aión derivativa ura no exite fíiamente, la onideraión de ete ontrol e válida, ara el ao en el que la dinámia del omortamiento del itema que imlementa el derivador ea muho má ráida que la del reto de omonente del 48 Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial

15 Imag Axi Aunte de R. Automátia II Caítulo : Ténia de omenaión en el LDR itema. Ademá, el heho de introduir un ero in atenuaión a alta freuenia (in un olo que lo anele a alta freuenia) amlifia el efeto del ruido. Por ello e omún otar, omo e vera eguidamente, or una red de adelanto de fae. Veamo omo regulamo el itema anterior G ( ) de forma ( )( )( ) que u reueta temoral umla que M % y t.. Dibujamo el LDR y el lugar de lo olo dominante deeado S. t M S,57 e,7 j tan 5,7º Lo unto S eleionado, orreonden al igual que ante a la zona del lugar de la raíe que umliendo la eeifiaione dinámia, oeen una ganania mayor, de forma que el error de oiión ea mínimo. La rereentaión gráfia de eto unto e la iguiente: S - - S Real Axi. Mediante la aliaión del riterio del argumento, introduzo un ero de forma que la rama del LDR aen or el unto S. Para ello alulo el ángulo que debe aortar el ero adiional ara que S erteneza al LDR. Obtenido el ángulo obtengo el ero. Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 49

16 Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II ( S, ) ( S 8º i, z ) 8(N ) N,,,... 8 artan 9,º,7 artan 8,47º 67,7º, tan,44 artan 57º a,5, artan ( a,7). Deformado el LDR ara que ae or el unto deeado, e alula aliando el riterio del módulo, el valor de la ganania ara oiionar lo olo dominante en ee unto. d 4,7, d 4, dd d 5,7 d 4,,8 d z d z 4,8,5 4. Pueto que la ganania de la lanta e unitaria, el valor de erá igual al de la ganania del regulador, de forma que éte tendrá finalmente la iguiente funión de tranferenia: R ( ) 5,7(,5),7 5,7 T 5,7 y,7 Utilizando MatLab, e realiza la imulaión del itema obteniendo: COMANDOS DE MATLAB %Definiion de la FDT di('fdt de la lanta:'); g=tf(,oly([- - -])) di('fdt del regulador'); gr=tf(5.7*[.5],) di('fdt del itema regulado') gr_g=erie(gr,g); di('olo reultante en adena errada') ole(feedbak(gr_g,)) aue %LDR modifiado or el regulador rlou(gr_g); %Reueta temoral en adena errada de ambo di('reueta ante el ealón de ambo itema'); te(feedbak(g,),'r',feedbak(gr_g,),'b'); aue i d 5 Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial

17 Amlitude Imag Axe Aunte de R. Automátia II Caítulo : Ténia de omenaión en el LDR.8.7 Ste Reone From: U() No regulado Regulaión PD Root Lou Deign.6.5 To: Y( ) Time (e.) Real Axi Se oberva en la gráfia que la obreoilaión reultante e del 9% y el tiemo de etableimiento de.8 egundo, or lo que lo requiito e han umlido. Sin embargo, el error en oiión e del %, que e laramente exeivo ara ai ualquier aliaión. Hay do aeto que realar or tanto de ete tio de regulador. En rimer lugar areemo de un ontrol direto obre la ontante de error, ueto que la aión roorional y derivativa quedan ombinada ara lograr el omortamiento dinámio deeado. E or ello habitual en itema de tio I o uerior. En egundo lugar, e imortante detaar que la utilizaión de aione derivativa alta, lleva a la mayoría de lo itema de atuaión a un etado de aturaión, or lo que el omortamiento real odrá diferir del teório alulado... Ajute de una red de adelanto de fae (PD real). Su funión de tranferenia e de la forma: a R( ) donde a b. b (.5) Se ha añadido un olo má alejado del origen a la funión de tranferenia del regulador PD ideal. De eta forma e obtiene la atenuaión en alta freuenia que anela el efeto amlifiador del ero. Buamo un ajute enillo de, a, y b, de forma que e umlan la do ondiione iguiente: Deben lograr que la rama del LDR aen or lo unto que definen el omortamiento deeado S. Lo olo dominante del itema ara el valor de que lo oiiona en el unto deeado, ean eto. Por tanto, el olo adiional introduido or el regulador S b no debe er dominante y debe etar lo ufiientemente alejado de S. Para ilutrar el ajute del regulador, e aliará Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 5

18 Imag Axi Imag Axi Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II obre el ejemlo anterior, or lo que el álulo del unto S ermanee inalterado. Para haer el ajute eguimo el iguiente roedimiento:. Al igual que en el ajute del regulador roorional derivativo ideal, e roede al álulo del aorte de fae neeario ara que S erteneza al LDR. En ete ao, ete aorte de fae orreonde al del ar olo-ero en vez de ólo el ero. S - - S Definiendo omo 8º 67,7º i Real Axi 8 9, 8, i Por relaione trigonométria obervamo que el ángulo orreonde on el ángulo exitente entre lo do egmento que unen S on el ero y el olo: (8 ) 8. Una vez fijado el olo o el ero, la oiión del otro quedará determinada or ete ángulo. No exite una norma fija ara realizar ete oiionamiento, y en la mayoría de lo ao e neeario un ajute fino oterior. Sin embargo, i exiten una erie de riterio genério baado en la rátia que aonejan reurrir a alguno de lo iguiente método: Situamo el ero a anelando el egundo olo má ignifiativo en adena abierta. Para el ao del ejemlo debemo anelar el olo ituado en : S -b -a - - S b,7,7 artan artan b,7 67,7 artan 8,55 b 9, Real Axi 5 Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial

19 Imag Axi Imag Axi Aunte de R. Automátia II Caítulo : Ténia de omenaión en el LDR Situamo el ero a bajo la vertial del olo S. Para el ao del ejemlo, a e ituaría en el valor,7. S b,7 artan b 6,57 -b -a - - S Real Axi Situamo el ar olo ero iguiendo la ontruión geométria de la figura. Eta dioiión logra que la ganania de la red ea la mínima oible ara el aorte de fae deeado. - S -b -a Bietriz de 8-5 tan tan a,7 a,44 b,7 b 5, - S Real Axi Para ete ejemlo eguiremo habiendo otado or la rimera de la alternativa, ueto que la anelaión no imlifiara lo álulo oteriore.. Mediante la aliaión del riterio del módulo, alulamo la ganania que oiiona lo olo dominante del itema en el lugar S deeado. Por la anelaión, tendremo que tener en uenta ólo lo olo en,-, y 9,86 d 4,7 d 4, dd d 4 d 4 8,6 Por tanto, finalmente la red de adelanto de fae adotará la forma iguiente: Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 5

20 Amlitude To: Y() Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II a R ( ) 4 b 9,86 El error en régimen ermanente ante la entrada ealón erá ara el itema regulado el iguiente: lim R( ) G( ) 4,4 9,86 ( )( )( ) e 4% P y imulando el itema on MatLab obtenemo: Ste Reone From: U() e t M 4%,98 % Time (e.)..4 Ajute del regulador PI. Su funión de tranferenia e de la forma: R( ) T i Ti T i T i ( a) (.6) Por lo que aumentamo en una unidad el tio del itema, on el efeto que eto tiene obre el error en el régimen ermanente de la reueta del itema en adena errada. Ademá, el regulador añade un ero a la funión de tranferenia. El oiionamiento de ete ero e verá de forma indireta en el ajute del PID, ueto que e uará ara mejorar la reueta tranitoria del itema. Al realizar el ajute, en muho ao e oberva que e neeario un dedoblamiento del ero llevándono hata la exreión de un regulador PID. La inluión de una aión integradora ura, lleva a la anelaión del error en el régimen ermanente. Sin embargo en la rátia ete elemento no exite aunque uede er aroximado. El mayor inonveniente que aaree a la hora de introduir una aión integral en el regulador, e la failidad on la que eta alanza el unto de aturaión del itema de atuaión. 54 Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial

21 Aunte de R. Automátia II Caítulo : Ténia de omenaión en el LDR..5 Ajute de una red de retrao de fae (PI real). Su funión de tranferenia e de la forma: a R( ) donde b a. b (.7) Una red de retrao de fae e un ar olo ero de forma que a baja freuenia - que afetan a la reueta ermanente del itema- rooriona una ganania ufiientemente grande omo ara lograr la eeifiaione del error en régimen ermanente requerida. Diha red debe er ituada de forma que u efeto obre la forma del lugar de la raie y or tanto obre u omortamiento tranitorio ea mínimo. Para ver el ajute de eta red utilizaremo el ejemlo realizado ara el regulador P, ero modifiando la eeifiaione del error.el itema tiene la iguiente funión de tranferenia G ( ) y la eeifiaione imueta a u ( )( ) omortamiento en adena errada on la iguiente: e % M 5% t. P. Ajutamo la aión roorional de forma que lo olo e itúen en el unto de funionamiento deeado. Ete aartado e reolvió ya en el ajute del regulador roorional, obteniendo: S,57,6 j 58,8º,57 7, e,,5 Preiamente ara orregir el error, introduimo la aión integral a travé de la red de retrao de fae.. Calulo la ganania etátia del ar olo ero, de forma que umla on la ondiión exigida. La ganania etátia de la areja de olo y ero vendrá dada or el oiente entre el ero y el olo b a. e, lim R( ) G( ) 9 a b a b,57. Poiionamo el ero a una déada or debajo del olo má erano al origen en adena abierta (in ontar lo olo que etén en el origen). Ete riterio e diar en funión de lo autore de lo libro de ontrol. Aí en otro ao e roone que e itúe a un uarto o a un exto, todo ello on la idea de afetar oo al régimen dinámio del itema, ueto que en teoría a ea ditania debe afetar oo al oiionamiento de la rama del LDR. Utilizando el riterio de una déada obtenemo: a a, b,4,57 4. Realulo el valor de ara que el itema iga aando or S : S Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 55

22 Amlitude To: Y() Imag Axe Amlitude Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II d dz,5,6,5,6,4,5,6,,57,6 7 Por lo que finalmente el regulador adotará la forma:. R ( ) 7.4 El ual i lo imulamo mediante MatLab, arroja lo iguiente reultado: Root Lou Deign Ste Reone From: U() To: Y(.5 ) Real Axi Time (e.) A ear del ajute, obervamo que el tiemo de etableimiento e de. Lo requerimiento etátio í e umlen, y el lugar de la raíe a ena ha variado tal y omo deeábamo al alejar el ar olo ero. Sin embargo, obervamo que el ar olo ero e dominante reeto de lo unto de dieño que habíamo revito, in que e lleguen a anelar omo era lo deeable. Loalmente vemo que el omortamiento debido al itema, i que umle on la eeifiaione dinámia, ero quedan oulta or la exonenial lenta que genera el olo del regulador. En ualquier ao, ete unto de trabajo e un unto de omienzo que no ermite realizar ajute oteriore. Deberemo delazar el ar olo-ero má a la izquierda en el lugar de la raie, manteniendo el aorte de ganania. Si ajutamo el ero a un uarto del olo dominante del itema en adena abierta, obtenemo:.4 Ste Reone From: U() e t M 9%,6 % Time (e.) 56 Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial

23 Aunte de R. Automátia II Caítulo : Ténia de omenaión en el LDR..6 Ajute del regulador PID ideal Su funión de tranferenia e de la forma: R( ) Td T Comerialmente lo ditinto reguladore que e ueden adquirir, utilizan divera exreione análoga a la exueta. Sin embargo, ete e un fator imortante a tener en uenta a la hora de realizar el ajute numério de lo ditinto arámetro del regulador. El ajute del regulador PID mediante ténia baada en el LDR del itema, e baa fundamentalmente el la ténia de ajute ya vita ara lo elemento integrador y derivativo. El iguiente equema uede ervir de orientaión a la hora de eleionar el método de ajute y el regulador final neeario ara un itema en funión de la eeifiaione imueta. Para el dieño del regulador e eeifian una ondiione temorale ( S ) y una ondiione del régimen ermanente ( e ). i Dibujar LDR. Calular S SI S LDR? Ajutar SI NO e equeño? Cumle e? NO SI Neearia aión Integral. b R( ) Ajutar b ara que S erteneza al LDR NO R( ) ( a) Neearia aión derivativa Ajutar a ara que S erteneza al LDR Neearia aión Integral. b R( ) Ajutar b a /4.../ del olo dominante en adena abierta. Dedoblamiento del ero Ajutar Ajutar Ajutar Cumle e? NO SI Reajutar Neearia aión ( b)( Integral. a) R( ) Ajutar b a /4.../ del olo dominante en adena abierta. Reajutar Fin PID Fin PI Fin PID Fin PD Fin PI Fin P Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 57

24 Imag Axe Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II Se muetra mediante un ejemlo la do oible alternativa a eguir a la hora de realizar un ajute de un regulador PID. Se irá omrobando durante el dearrollo del mimo la aione de ontrol neearia, ara intentar lograr de eta manera oneguir iemre el regulador má imle. Ejemlo: Dieñar el regulador má enillo ara el itema uya funión de tranferenia e la iguiente G ( ) de forma que el error de oiión en adena ( )( )( ) errada ea inferior al % on un tiemo de etableimiento de.9 egundo y u tranitorio no uere una obreoilaión del %.. Dibujo el LDR del itema, y alulo la oiión de lo olo dominante deeado ara el itema en adena errada: Root Lou Deign t M S.9.9,65 e,7 j tan 5,7º Real Axi Obervamo que el LDR no aa or lo unto S. Conideramo rimeramente la alternativa de ajute de la aión derivativa: e deir, onideramo que la eeifiaión del error no e muy equeña (aunque lo e). Alternativa. Ajute de la aión derivativa y deué la integral i e neearia.. Ajuto el ero ara que el LDR ae or S. Ete mimo ajute ya e realizó ara el ejemlo del regulador PD ideal, obteniéndoe el iguiente reultado: 58 Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial

25 Aunte de R. Automátia II Caítulo : Ténia de omenaión en el LDR ( S, ) ( S 8º i, z ) 8( k ) 8 artan 9,º,7 artan 8,47º 67,7º, tan,44 artan 57º a,5, artan ( a,7) i k,,,.... Ajutamo la ganania ara que lo olo dominante e itúen en S. Para ello aliamo el riterio del módulo: d 4,7, d 4, dd d 5,7 d 4,,8 d z d z 4,8,5 Por lo que el oible regulador PD tendría la iguiente funión de tranferenia: R ( ) 5(,5). Calulamo el error de oiión del itema regulado on el ontrolador alulado: 5(,5) lim R( ) G( ) lim.8 ( )( )( ) e. % E neearia or tanto la aión integral ara lograr la eeifiaione del régimen ermanente..4 Ajutamo la aión integradora. Al introduir el olo en el origen, e generará un ero que deberé ajutar de forma que afete oo al LDR. Utilizaremo el riterio de ajutarlo a un uarto del olo dominante en adena errada. A la vez que intentamo alejar el olo del origen, buamo modifiar mínimamente el LDR, ara que el ajute de la aión derivativa iga iendo válida: ( b)(,5) R( ) k b,7 4,4.5 Reajutamo el valor de. El valor de quedará afetado or el valor derivado de la inluión del ero y el olo. Por tanto, batará on multiliar or el fator añadido or eto: Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 59

26 Amlitude Imag Axe Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II 5 z 5,7 4 5,5 (,7,4) 4 Por tanto, finalmente el regulador egún eta alternativa tendría la exreión iguiente: (,5)(,4) R( ) 5,5 Realizamo la imulaión en Matlab: %Definiion de la FDT di('fdt de la lanta:'); g=tf(,oly([- - -])) di('fdt del regulador'); gr=tf(5.5*oly([ ]),[ ]) di('fdt del itema regulado') gr_g=erie(gr,g); di('olo reultante en adena errada') ole(feedbak(gr_g,)) aue %Reueta temoral en adena errada de ambo di('reueta ante el ealón de ambo itema'); te(feedbak(g,),'r',feedbak(gr_g,),'b'); di('lugar de la Raíe'); rlou(gr_g); aue Ste Reone From: U() Root Lou Deign To: Y( ) Time (e.) Real Axi Y obervamo ómo de nuevo el efeto de lo olo que retendíamo omo dominante, quedan inhibido or el efeto del olo en adena errada omo oneuenia del olo introduido en el origen. Aunque la deformaión del LDR ha ido equeña, no e ha roduido la eerada anelaión del olo ero. E or ello que e habitual en ete método la realizaión de un reajute fino mediante el delazamiento del ero haia la izquierda. 6 Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial

27 Imag Axi Aunte de R. Automátia II Caítulo : Ténia de omenaión en el LDR Alternativa. Ajute de la aión integral de forma que el ero rovoado ajute el omortamiento tranitorio.. Conideramo a riori la neeidad de la aión integral (olo en el origen) y utilizamo el ero rovoado ara dieñar la aión orretora del ero: 8º 9,º 8,47º 57º 98,7º 4 º artan ( a,7) S S Real Axi Obervamo que la aortaión de ete ángulo on un olo ero e irrealizable. Por ello, lo que roedemo e a realizar el dedoblamiento del mimo, de forma que entre do ero e aorte el ángulo neeario ara que S erteneza al LDR: 98,7 ' 99º 99º artan a,8 a,7. Calulo la ganania neearia ara que lo olo de la rama e itúen en,8:,,8 4,7 6,6 4 (,7,8) 4 (,7,8) Por lo que el regulador PID (la aión derivativa e oneuenia de realizar el dedoblamiento del ero) adotará la iguiente exreión: (,8) R( ) 6,6 Simulando en MatLab obtenemo: Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 6

28 Imag Axe Amlitude To: Y() Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II 4 Root Lou Deign.4 Ste Reone From: U() Real Axi Time (e.) Al medir la eñal de reueta, tenemo un tiemo de etableimiento de, una obreoilaión de un 8%, y un error de oiión ero ueto que el itema e de tio I. Vemo ómo en ete ao el ajute ha ido ai exato. En ete ao lo do olo omlejo onjugado que aareen omo oneuenia del regulador, i que e anelan on el ero doble...7 Ajute del regulador de adelanto-retrao Su funión de tranferenia e de la forma: ( a)( ) R( ) ( b)( d) d a b Como u roio nombre india, eta red e el reultado de ombinar una red de adelanto on una de retrao. Su método de ajute, e también equivalente a realizar rimero el ajute de la red de adelanto (PD) ara lograr el omortamiento dinámio del itema, y oteriormente realizar el ajute de la red de retrao de forma que e umlan la ondiione imueta al ermanente. Se realiza a ontinuaión el ajute de una red de adelanto-retrao aara el ejemlo realizado en el aartado anterior:. Primero alulamo la red de adelanto de forma que la rama del LDR aen or el unto en el que deeamo que e oiionen lo olo dominante del itema. Ete ajute e exatamente el mimo al que e realizó ara el ajute de la red de adelanto: 6 Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial

29 Aunte de R. Automátia II Caítulo : Ténia de omenaión en el LDR S,7 j 8º 67,7º. En ete ao e va a fijar la oiión del ero de forma que anele el egundo olo má ignifiativo en adena abierta a b,7,7 artan artan b 9,86 R( ) 9,8 d. Obtengo la ganania que oiiona lo olo en el unto deeado. Tendré en uenta la anelaión realizada ara imlifiar lo álulo: d ddb 4,6 4. Calulo el error, y omo oneuenia el fator neeario que debe aortar la red de retrao ara umlir on la eeifiaione imueta al régimen ermanente: e, 99 4,6 lim R( ) G( ) 9,86 d d 68,74 Obervamo que hay que aortar muha ganania etátia, or lo que robablemente, el olo reultante en adena errada e onvierta en dominante, y or tanto rovoque la ralentizaión de todo el itema. 5. Fijo el ero a una déada or debajo del olo má ignifiativo en adena abierta in ontar lo olo en el origen i e que lo hubiera:, d, 68,74,4 6. Realulo, y obervo omo la variaión de la ganania e inignifiante. Por tanto el regulador finalmente queda omo: ( )(,) R ( ) 4,6 ( 9,86)(,4) Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 6

30 Imag Axe Amlitude To: Y() Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II Simulado en MatLab, obervamo que el efeto del olo que va dede,4 a,, e dominante ómo ya habíamo revito: Root Lou Deign Ste Reone From: U() Real Axi Time (e.) Al medir lo arámetro de la reueta, no enontramo on una obreoilaión nula, y un tiemo e etableimiento de egundo. El error, ueto que ólo deende de la ganania etátia i que e umle. Exerimentalmente obervamo que ara obtener una reueta erana a la deeada, debemo ajutar hata un uarto del olo, y aumentar la ganania al doble. Ejeriio: Dieñar una red de adelanto de fae ara la maqueta de rátia de la Peltier, de forma que u reueta ante el ealón no uere una obreoilaión del %, y alane el régimen ermanente en meno de 8 egundo. El error de oiión deberá er inferior al %. Para el ejeriio e oniderará la funión de tranferenia ara la maqueta,45 dada or: G ( ). (,7)(,55). Calulo el unto donde queremo que e ituen lo olo dominante en adena errada: artan 6,87º ln,,9 t S,9, 76 j. Dibujo el LDR, y omruebo i ete aa or el unto alulado: 64 Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial

31 Imag Axe Aunte de R. Automátia II Caítulo : Ténia de omenaión en el LDR Root Lou Deign Real Axi. Calulamo el aorte neeario de la red ara lograr la deformaión de la rama, de forma que aen or S.,76,7 8 artan º,9,7,76,55 artan 79,94º,55,9,79 79,94 8,8º 4. Utilizamo en ete ao el ajute que onigue la mínima ganania de la red ara evitar aí aturaione de la etaa de otenia. Utilizamo or tanto el riterio de la bietriz. 6º º º z.5º 6.4º 5º.5º 6.4º 7.9º a.9 tan 5º.76 a b b a z,9,76 5. Ajutamo ahora el valor de la ganania, on lo que tenemo el regulador: Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial 65

32 Caítulo : Ténia de omenaión en el lugar de la raíe Aunte de R. Automátia II.76 (.97.9) (.55.9) (.7.9).76 (.9.7).7 r R( ) 6, Dto. Eletrónia, Automátia e Informátia Indutrial