Título: Problemas de matemáticas para ópticos

Transcripción

1 52/(0$6 ( 0$7(0È7,&$6 $5$ Ï7,&26 -RVp XMRO /ysh] \ 0UJULW 5RGUtJXH] ÈOYUH]

2 Título: Problema de matemátia para óptio Autor: Mª Joé Pujol López y Margarita Rodríguez Álvarez I.S.B.N.: epóito Legal: A dita: ditorial lub Univeritario Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma - Tel.: /. ottolengo, 25 San Viente (Aliante) gamma@gamma.m Reervado todo lo dereho. Ni la totalidad ni parte de ete libro puede reproduire o tranmitire por ningún proedimiento eletrónio o meánio, inluyendo otoopia, grabaión magnétia o ualquier almaenamiento de inormaión y itema de reproduión, in permio previo y por erito de lo titulare del opyright.

3 5Ï/2*2 te libro etá onebido omo manual de trabajo para lo alumno que uran la materia de Matemátia en la iplomatura de Óptia y Optometría. Nuetro objetivo al eribirlo ha ido reunir, en un olo volumen, problema de área matemátia tan ditinta omo el álgebra y la geometría analítia, el álulo dierenial o la etadítia, que on objeto de etudio en eta aignatura. l libro onta de oho apítulo que e orreponden on lo ditinto tema del programa de la aignatura. ada uno de ello ontiene una oleión de problema que hemo reuelto on todo detalle, iempre apoyándono en lo ontenido expueto en la lae teória. Ademá, también hemo inluido una oleión de problema propueto, de di ultad imilar a la de lo reuelto, on u orrepondiente oluione al nal del apítulo para ailitar la autoevaluaión de nuetro alumno. También e inluyen do apéndie que ontienen enda oleione de problema obre onepto de álgebra lineal que lo alumno deberían dominar ante de abordar la reoluión de lo problema del apítulo 1. peramo que ete manual irva de máxima ayuda a nuetro alumno y que permita omplementar el trabajo realizado en la lae prátia de la aignatura. Aliante, Marzo de LAS AUTORAS

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5 Ë1,&( 5Ï/2*2... &StWXOR,$*21$/,$&,Ï1 ( 0$75,&(6 &Ï1,&$6 < &8È5,&$6... &StWXOR &$/&8/2,)(5(1&,$/... &StWXOR &È/&8/2,17(*5$/ (1 81$ 9$5,$/(... &StWXOR,17(*5$/(6 2/(6... &StWXOR 6(5,(6 ( )285,(5... &StWXOR (&8$&,21(6,)(5(1&,$/(6... &StWXOR (67$Ë67,&$ (6&5,7,9$... &StWXOR 5(*5(6,Ï1 /,1($/... $SpQGLH (6$&,26 9(&725,$/(6... $SpQGLH 0$75,&(6 (7(50,1$17(6 < 6,67(0$6...

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7 &StWXOR,$*21$/,$&,Ï1 ( 0$75,&(6 &Ï1,&$6 < &8È5,&$6 PROBLMAS RSULTOS 52/(0$ iagonalie, i e poible, la matriz SOLUIÓN: e 2 La euaión araterítia de e b m bum b e b b 2 b 2 2 b uya oluione, b y b 2, amba on multipliidad 2, on lo valore propio de. A ontinuaión, debemo alular el ubepaio de vetore propio aoiado a ada uno de lo valore propio. Para ualquier valor propio b, on vetore propio aquello vetore 5 U e tale que bu. n partiular, para b e plantea el 5.

8 6 1. IAGONALIZAIÓN MATRIS. ÓNIAS Y UÁRIAS. itema homogéneo de rango 2 b U e H 2 H 2 e? ne 2 H 2 2 H e uya oluión e H S e y 2 e ne e. Por lo tanto, el ubepaio de vetore propio aoiado al valor propio b, denotado por u,e u 2 e 5 U e m H S e 2 e ne e ih S e e ne e e m e 5 Uj Lo vetore de diho ubepaio vetorial etán generado por la bae ih e S e j e deir, u - H e S e. por lo que _ u 2 multipliidad del valor propio b. el mimo modo, para alular el ubepaio de vetore propio aoiado al valor propio b 2, e plantea el itema b 2 U H H e 2 2 e l rango de diho itema e 2, por lo que e? H H 2

9 1. IAGONALIZAIÓN MATRIS. ÓNIAS Y UÁRIAS. 7 uya oluión e y 2. Aí pue, e tiene u 2 e 5 U e m 2 i e m e 5 Uj Lo vetore de diho ubepaio vetorial etán generado por la bae i j e deir, u -. por lo que _ u 2 multipliidad del valor propio b 2. Aí pue, la matriz e diagonalizable, e deir, (, on matriz de pao H S e e y matriz diagonal ( 52/(0$ lai que la ónia 2 e nh 2 n 2 H ne. SOLUIÓN: ribimo la ónia en orma matriial 2 2 n H ne 2 H y diagonalizamo la matriz 2 2 H

10 8 1. IAGONALIZAIÓN MATRIS. ÓNIAS Y UÁRIAS. uya euaión araterítia e m bum b 2 2 H b b2 b ns La raíe de diha euaión on lo valore propio de, edeir,b byb 2 e. A ontinuaión, alulamo lo ubepaio de vetore propio aoiado a ada uno de lo valore propio. Para b be plantea el itema homogéneo de rango 1 e 2 b U 2 2 o, lo que e lo mimo,? e uya oluión e 2 2. Por lo tanto, el ubepaio de vetore propio aoiado a b bviene dado por ub 2 5 U 2 m 2 2 i 2 m 5 Uj Una bae de diho ubepaio e el vetor i 2j o, lo que e lo mimo, el vetor unitario * 2*.Aípue, ub * 2* el mimo modo, alulamo el ubepaio de vetore propio aoiado al valor propio b 2 e, que denotaremo por ue. onideramo el itema 2 b 2 U 2 e 2? ne 2 itema de rango 1 uya oluión e 2 2. Por lo tanto, e tiene ue 2 5 U 2 m 2 2 i22 2 m 2 5 Uj

11 1. IAGONALIZAIÓN MATRIS. ÓNIAS Y UÁRIAS. 9 ubepaio que tiene omo bae al vetor i2 j, edeir, 2 2* ue * Aí pue, la matriz e emejante a la matriz diagonal b ( e e deir, ( A, on matriz de pao ortonormal 2 2 A ontinuaión, haemo el ambio de oordenada en la euaión matriial de la ónia y obtenemo A 2 H n 2 2 ne o, lo que e lo mimo, b n S e H ne b 2 ne 2 ns H ne Agrupando y ompletando uadrado en la euaión anterior, e obtienen en pao ueivo la iguiente euaione: b 2 ne ne 2 2 ne b 2 ne ne e ne 2 2 n n e b n2 2 ne 2 S

12 10 1. IAGONALIZAIÓN MATRIS. ÓNIAS Y UÁRIAS. Llamando n2, e tiene o, lo que e lo mimo, b 2 ne 2 S 2 2 e n b euaión que repreenta una elipe de emieje mayor y emieje menor 2. 52/(0$ lai que la ónia 2 ne ne 2 2 e. SOLUIÓN: ribimo la ónia en orma matriial 2 2 e y diagonalizamo la matriz n 2 e 2 2 e uya euaión araterítia e m bum b 2 2 e b b2 b Reolviendo eta euaión e obtienen lo valore propio b yb 2. Para b e plantea el itema homogéneo de rango 1 2 b U 2 e 2? n2 2 2 ne 2 uya oluión e 2 2. Por lo tanto, e tiene u 2 5 U 2 m 2 2 i22 2 m 2 5 Uj

13 1. IAGONALIZAIÓN MATRIS. ÓNIAS Y UÁRIAS. 11 ubepaio que tiene omo bae el vetor i2 j, e deir, 2 2* u * el mimo modo, para b 2, e tiene e 2 b 2 U 2 2? e n itema de rango 1 uya oluión e 2 2.Aípue, u 2 5 U 2 m 2 2 i 2 m 5 Uj ubepaio que tiene omo bae el vetor i 2j, edeir, * u 2 2* Porlotanto,lamatriz e emejante a la matriz diagonal ( e deir, ( A, on matriz de pao ortonormal 2 2 Si haemo el ambio de oordenada en la euaión matriial de la ónia, e obtiene A n 2 e 2 2

14 12 1. IAGONALIZAIÓN MATRIS. ÓNIAS Y UÁRIAS. o, lo que e lo mimo, n 2 Agrupando y ompletando uadrado en la euaión anterior, e obtienen en pao ueivo la iguiente euaione: n 2 e Llamando e obtiene o, lo que e lo mimo, 2 e 2 e euaión que repreenta la do reta paralela /(0$ lai que la ónia 2 ns nb 2 n2 S. SOLUIÓN: ribimo la ónia en orma matriial b y diagonalizamo la matriz n 2 S b

15 1. IAGONALIZAIÓN MATRIS. ÓNIAS Y UÁRIAS. 1 uya euaión araterítia e m bum b b b b2 b La raíe de eta euaión on lo valore propio de, b y b 2. Para b e plantea el itema homogéneo de rango 1 b U b 2? n 2 nb 2 uya oluión e 2. Aí pue, u 2 5 U 2 m 2 i2 2 m 2 5 Uj e deir, u el mimo modo, para b 2 e tiene b b 2 U * * 2? b n 2 2 itema de rango 1 uya oluión e 2. Por lo tanto, e tiene u 2 5 U 2 m 2 i m 5 Uj e deir, u * * Aí pue, la matriz e emejante a la matriz diagonal (

16 1 1. IAGONALIZAIÓN MATRIS. ÓNIAS Y UÁRIAS. e deir, ( A, on matriz de pao ortonormal Si haemo el ambio de oordenada en la euaión matriial de la ónia, e obtiene A n 2 S o, lo que e lo mimo, n 2 2 S 2 S Agrupando y ompletando uadrado en la euaión anterior, e obtienen en pao ueivo la iguiente euaione: 2 2 H H 2 n S 2 S 2 2 e 2 S 2 2 e # $ 2 2 n e. Llamando n e., e, e obtiene 2 2

17 o, lo que e lo mimo, 1. IAGONALIZAIÓN MATRIS. ÓNIAS Y UÁRIAS S euaión que repreenta una parábola. 52/(0$ lai que la uádria. 2 n n2h e nh5 SOLUIÓN: ribimo la uádria en orma matriial 5. 5 y diagonalizamo la matriz. n 2H e H 5 uya euaión araterítia e. b m bum b b b b 2 2b n2 Reolviendo eta euaión e obtienen lo valore propio b, b 2 Hy b e. Para b e plantea el itema homogéneo de rango 2 b U H 2? 2 nh 2 Pueto que el rango de ete itema e igual al número de inógnita, erá un itema

18 16 1. IAGONALIZAIÓN MATRIS. ÓNIAS Y UÁRIAS. ompatible determinado y u oluión únia e 2. Por lo tanto, e tiene u 2 5 U m 2 - i m 5 Uj. el mimo modo, para alular el ubepaio de vetore propio aoiado al valor propio b 2 H, e plantea el itema b 2 U 2 l rango de diho itema e 2, por lo que e? 2 uya oluión e 2. Aí pue, e tiene q uh 2 5 U m r q r m 2 5 U e deir, uh -. - *2 *2. Aí mimo, para b e,etiene b U 2. itema homogéneo de rango 2? n 2. uya oluión e 2. Aí pue, q ue 2 5 U m 2 r q r m 5 U

19 1. IAGONALIZAIÓN MATRIS. ÓNIAS Y UÁRIAS. 17 e deir, ue -. - *2 *2. Porlotanto,lamatriz e emejante a la matriz diagonal ( H e e deir, ( A, on matriz de pao ortonormal *2 *2 *2 *2 Haiendo el ambio de oordenada 5 en la euaión matriial de la uádria, e obtiene 5 A n 2H e H *2 *2 *2 *2 5 5 o, lo que e lo mimo, 5 H n H S H e nh 2 ne5 2 nh S nh5 5 Agrupando y ompletando uadrado en la euaión anterior, e obtienen en pao ueivo la iguiente euaione: 2 S nh 2 2 ne 5 2 n25 2 S nb b nh 2 2 n n e 5 2 n25 n

20 18 1. IAGONALIZAIÓN MATRIS. ÓNIAS Y UÁRIAS. 2 nh 2 ne5 n 2 Llamando y 5 5 ne obtiene o, lo que e lo mimo, 2 nh 2 ne * n *H n 5 2 *e euaión que repreenta un hiperboloide de una hoja. 52/(0$ lai que la uádria e 2 ne 2 ne5 2 ne ne5 ne5 n n n 5 SOLUIÓN: ribimo la uádria en orma matriial 5 e e e 5 y diagonalizamo la matriz n e e e 5 uya euaión araterítia e e b 2 2 m bum 2 e b e b b n2b 2 Sb n2 Reolviendo eta euaión e obtienen lo valore propio b 2, on multipliidad 2, y b 2 H,raízimple. Para b 2e plantea el itema b U