Título: Problemas de Matemáticas para ópticos 2ed. Autores: Mª José Pujol López y Margarita Rodríguez Álvarez

Transcripción

1 /(0$6 ( 0$7(0È7,&$6 $$ Ï7,&6 -RVp XMRO /ysh] \ 0UJULW RGUtJXH] ÈOYUH]

2 Título: Problema de Matemátia para óptio ed. Autore: Mª Joé Pujol López y Margarita Rodríguez Álvarez I.S.B.N.: X epóito legal: A Edita: Editorial lub Univeritario Tel.: / ottolengo, San Viente (Aliante) Printed in Spain Imprime: Imprenta Gamma Tel.: /. ottolengo, - San Viente (Aliante) gamma@gamma.m Reervado todo lo dereho. Ni la totalidad ni parte de ete libro puede reproduire o tranmitire por ningún proedimiento eletrónio o meánio, inluyendo otoopia, grabaión magnétia o ualquier almaenamiento de inormaión o itema de reproduión, in permio previo y por erito de lo titulare del opyright.

3 Ï/* Ete libro etá onebido omo manual de trabajo para lo alumno que uran la materia de Matemátia en la iplomatura de Óptia y Optometría. Nuetro objetivo al eribirlo ha ido reunir, en un olo volumen, problema de área matemátia tan ditinta omo el álgebra y la geometría analítia, el álulo dierenial o la etadítia, que on objeto de etudio en eta aignatura. El libro onta de oho apítulo que e orreponden on lo ditinto tema del programa de la aignatura. ada uno de ello ontiene una oleión de problema que hemo reuelto on todo detalle, iempre apoyándono en lo ontenido expueto en la lae teória. Ademá, también hemo inluido una oleión de problema propueto, de di ultad imilar a la de lo reuelto, on u orrepondiente oluione al nal del apítulo para ailitar la autoevaluaión de nuetro alumno. También e inluyen do apéndie que ontienen enda oleione de problema obre onepto de álgebra lineal que lo alumno deberían dominar ante de abordar la reoluión de lo problema del apítulo 1. Eperamo que ete manual irva de máxima ayuda a nuetro alumno y que permita omplementar el trabajo realizado en la lae prátia de la aignatura. Aliante, Marzo de 00. LAS AUTORAS

4 Ë1,&( Ï/*... &StWXOR,$*1$/,$&,Ï1 ( 0$7,&(6 &Ï1,&$6 < &8È,&$6... &StWXOR &$/&8/,)((1&,$/... &StWXOR &È/&8/,17(*$/ (1 81$ 9$,$/(... &StWXOR,17(*$/(6 /(6... &StWXOR 6(,(6 ( )8,(... &StWXOR (&8$&,1(6,)((1&,$/(6... &StWXOR (67$Ë67,&$ (6&,7,9$... &StWXOR (*(6,Ï1 /,1($/... $SpQGLH (6$&,6 9(&7,$/(6... $SpQGLH 0$7,&(6 (7(0,1$17(6 < 6,67(0$6...

5 &StWXOR,$*1$/,$&,Ï1 ( 0$7,&(6 &Ï1,&$6 < &8È,&$6 PROBLEMAS RESUELTOS /(0$ iagonalie, i e poible, la matriz SOLUIÓN: E e La euaión araterítia de e b m bum b e b Eb E b b uya oluione, b y b, amba on multipliidad, on lo valore propio de. A ontinuaión, debemo alular el ubepaio de vetore propio aoiado a ada uno de lo valore propio. Para ualquier valor propio b, on vetore propio aquello vetore U e tale que E bu. En partiular, para b e plantea el.

6 6 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. itema homogéneo de rango E b U E e H H E e E? ne H H e uya oluión e H S e y e ne e. Por lo tanto, el ubepaio de vetore propio aoiado al valor propio b, denotado por ue, e ue E e U e m H S e e ne e ieh S e e ne e e m e Uj Lo vetore de diho ubepaio vetorial etán generado por la bae e deir, ieh e ES e j ue - E E H e E S e. por lo que _ ue multipliidad del valor propio b. el mimo modo, para alular el ubepaio de vetore propio aoiado al valor propio b, e plantea el itema H E b U E H E e E e El rango de diho itema e, por lo que e? H H

7 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. 7 uya oluión e y. Aí pue, e tiene ue E e U e m ie e m e Uj Lo vetore de diho ubepaio vetorial etán generado por la bae e deir, ie E j ue - E E E. por lo que _ ue multipliidad del valor propio b. Aí pue, la matriz e diagonalizable, e deir, (, on matriz de pao H S E e e y matriz diagonal ( E /(0$ lai que la ónia e nh n H ne. SOLUIÓN: Eribimo la ónia en orma matriial H y diagonalizamo la matriz n H H ne

8 8 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. uya euaión araterítia e m bum b H b b b ns La raíe de diha euaión on lo valore propio de, edeir,b by b e. A ontinuaión, alulamo lo ubepaio de vetore propio aoiado a ada uno de lo valore propio. Para b be plantea el itema homogéneo de rango 1 e E b U o, lo que e lo mimo,? e uya oluión e. Por lo tanto, el ubepaio de vetore propio aoiado a b bviene dado por ueb E U m ie m Uj Una bae de diho ubepaio e el vetor ie j o, lo que e lo mimo, el vetor unitario * *.Aípue, * ueb * el mimo modo, alulamo el ubepaio de vetore propio aoiado al valor propio b e, que denotaremo por uee. onideramo el itema E b U e? ne itema de rango 1 uya oluión e. Por lo tanto, e tiene uee E U m ie m Uj

9 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. 9 ubepaio que tiene omo bae al vetor ie j, edeir, * uee * Aí pue, la matriz e emejante a la matriz diagonal b ( e e deir, ( A, on matriz de pao ortonormal E A ontinuaión, haemo el ambio de oordenada en la euaión matriial de la ónia y obtenemo A H n E ne o, lo que e lo mimo, b e n S H ne b ne ns H ne Agrupando y ompletando uadrado en la euaión anterior, e obtienen en pao ueivo la iguiente euaione: b ne nee ne b ne ne e nee n n e be n nee S

10 10 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. Llamando n, e tiene o, lo que e lo mimo, b ne S e n b euaión que repreenta una elipe de emieje mayor y emieje menor. /(0$ lai que la ónia ne ne e. SOLUIÓN: Eribimo la ónia en orma matriial e y diagonalizamo la matriz n e e uya euaión araterítia e m bum b e b b b Reolviendo eta euaión e obtienen lo valore propio b y b. Para b e plantea el itema homogéneo de rango 1 E b U e? n ne uya oluión e. Por lo tanto, e tiene ue E U m ie m Uj

11 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. 11 ubepaio que tiene omo bae el vetor ie j, e deir, * ue * el mimo modo, para b, e tiene e E b U? e n itema de rango 1 uya oluión e.aípue, ue E U m ie m Uj ubepaio que tiene omo bae el vetor ie j, edeir, * ue * Porlotanto,lamatriz e emejante a la matriz diagonal ( e deir, ( A, on matriz de pao ortonormal E Si haemo el ambio de oordenada en la euaión matriial de la ónia, e obtiene A n e E

12 1 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. o, lo que e lo mimo, n Agrupando y ompletando uadrado en la euaión anterior, e obtienen en pao ueivo la iguiente euaione: E E n e Llamando e obtiene o, lo que e lo mimo, e e euaión que repreenta la do reta paralela /(0$ lai que la ónia ns nb n S. SOLUIÓN: Eribimo la ónia en orma matriial b y diagonalizamo la matriz n S b

13 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. 1 uya euaión araterítia e m bum b b b b b La raíe de eta euaión on lo valore propio de, b y b. Para b e plantea el itema homogéneo de rango 1 E b U b? n nb uya oluión e. Aí pue, e deir, ue E U m ie m Uj ue el mimo modo, para b e tiene b E b U * *? b n itema de rango 1 uya oluión e. Por lo tanto, e tiene ue E U m ie m Uj e deir, ue * * Aí pue, la matriz e emejante a la matriz diagonal (

14 1 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. e deir, ( A, on matriz de pao ortonormal E Si haemo el ambio de oordenada en la euaión matriial de la ónia, e obtiene A n S E o, lo que e lo mimo, n S S Agrupando y ompletando uadrado en la euaión anterior, e obtienen en pao ueivo la iguiente euaione: E H E H n S S e S e # $ n e. Llamando n e., e, e obtiene

15 o, lo que e lo mimo, 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. 1 euaión que repreenta una parábola. S /(0$ lai que la uádria. n nh e nh SOLUIÓN: Eribimo la uádria en orma matriial. y diagonalizamo la matriz. uya euaión araterítia e m bum. b b b n H e H E b b b n Reolviendo eta euaión e obtienen lo valore propio b, b Hy b e. Para b e plantea el itema homogéneo de rango E b U H? nh Pueto que el rango de ete itema e igual al número de inógnita, erá un itema

16 16 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. ompatible determinado y u oluión únia e. Por lo tanto, e tiene ue E U m - ie m Uj. el mimo modo, para alular el ubepaio de vetore propio aoiado al valor propio b H, e plantea el itema E b U El rango de diho itema e, por lo que e? uya oluión e. Aí pue, e tiene q ueh E U m r q r m U e deir, ueh -. - * *. Aí mimo, para b e,etiene E b U. itema homogéneo de rango? n. uya oluión e. Aí pue, q uee E U m r q r m U

17 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. 17 e deir, uee -. - * *. Porlotanto,lamatriz e emejante a la matriz diagonal ( H e e deir, ( A, on matriz de pao ortonormal * * * * Haiendo el ambio de oordenada en la euaión matriial de la uádria, e obtiene A n H e H * * * * o, lo que e lo mimo, H e n H S H nh ne nh S nh Agrupando y ompletando uadrado en la euaión anterior, e obtienen en pao ueivo la iguiente euaione: S nhe ne n S nb b nhe n n e n n

18 18 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. E nh nee n Llamando y ne obtiene o, lo que e lo mimo, nh ne * n *H n *e euaión que repreenta un hiperboloide de una hoja. /(0$ lai que la uádria e ne ne ne ne ne n n n SOLUIÓN: Eribimo la uádria en orma matriial e e n e y diagonalizamo la matriz e e e uya euaión araterítia e e b m bum e b e b b nb Sb n Reolviendo eta euaión e obtienen lo valore propio b, on multipliidad, y b H,raízimple. Para b e plantea el itema E b U

19 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. 19 n n uya oluión e. Por lo tanto, e tiene ue E U m ie m Uj ubepaio vetorial que tiene por bae a lo vetore E y E. ado que eto vetore propio no on ortogonale, no quedaremo on uno de ello, por ejemplo E, y buaremo otro vetor propio E que ea ortogonal a él. Para que E ea vetor propio tiene que umplir la euaione del ubepaio propio, en nuetro ao, n n y para er ortogonal a E,etienequeumplir E o, lo que e lo mimo, n. Reolviendo el itema? n n n e obtiene y, por lo que el vetor propio ortogonal que buamo e ualquiera de la orma E. Tomamo, por ejemplo, el vetor E, de manera que - ue. - * * * S *. S * S Para b He plantea el itema homogéneo de rango E b U e e e

20 0 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. o, lo que e lo mimo,?? e n n e n n uya oluión e y. Aí pue, ueh E U m ie m Uj e deir, ueh -. - * * *. Porlotanto,lamatriz e emejante a la matriz diagonal ( H e deir, ( A, on matriz de pao ortonormal * * S * * * S * * S * Haiendo el ambio de oordenada en la euaión matriial de la uádria, e obtiene A n * * S * * * S * * S * o, lo que e lo mimo, H n *

21 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. 1 n nh n ompletando uadrado en la euaión anterior, e obtienen en ueivo pao la euaione n nh n H n S S n nh n S Llamando y n S e tiene n nh o, lo que e lo mimo, *Se n *Se n *S euaión que repreenta un elipoide de emieje H y H /(0$ lai que la uádria n n SOLUIÓN: Eribimo la uádria en orma matriial * * S. n y diagonalizamo la matriz * * uya euaión araterítia e b * m bum * b b b b *e

22 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. Reolviendo eta euaión e obtienen lo valore propio b, b * y b *. Para b e plantea el itema homogéneo de rango E b U * * A? A uya oluión e. Por lo tanto, e tiene ue E U m ie m Uj -. el mimo modo, para alular el ubepaio de vetore propio aoiado al valor propio b, e plantea el itema * * E b U * * * El rango de diho itema e, por lo que e A? n A uya oluión e y. Aí pue, e tiene ue E U m ie m Uj e deir, ue -. - * *.

23 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. Aí mimo, para b, e tiene * * E b U * * * itema homogéneo de rango A? n A uya oluión e y.aípue, ue E U m ie m Uj e deir, - ue. - * *. Porlotanto,lamatriz e emejante a la matriz diagonal ( * * e deir, ( A, on matriz de pao ortonormal * * * * Haiendo el ambio de oordenada en la euaión matriial de la uádria, e obtiene A n * * * *

24 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. o, lo que e lo mimo, * n * * n Agrupando y ompletando uadrado en la euaión anterior, e obtienen en pao ueivo la iguiente euaione: E n E n n n Llamando n y e obtiene o, lo que e lo mimo, euaión que repreenta un ilindro hiperbólio. PROBLEMAS PROPUESTOS /(0$ ada la matriz, alule u valore y vetore propio y diagonalíela i e poible. S S /(0$ ada la matriz e S, alule u valore, vetore y ubepaio propio, aí omo u matriz diagonal y u matriz de e S pao.

25 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. /(0$ ada la matriz, alule u valore, vetore y ubepaio propio. iagonalie la matriz, i e poible, alulando u matriz ortonormal de pao. /(0$ lai que la ónia e n e ne n. /(0$ lai que la ónia ne e ns nb. /(0$ lai que la ónia e nb n S. /(0$ lai que la ónia e e n ns H nb. /(0$ lai que la uádria n n n S S n. /(0$ lai que la uádria n n n. /(0$ lai que la uádria n n n. /(0$ lai que la uádria n n. /(0$ lai que la uádria n n n n. SOLUIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS /(0$ Valore propio: b doble, b. Subepaio propio: u E ke l, u E kee*b * l. La matriz no e diagonalizable, pue _ u E y la multipliidad de b e. /(0$ Valore propio: b doble, b..

26 6 1. IAGONALIZAIÓN E MATRIES. ÓNIAS Y UÁRIAS. Subepaio propio: u E ke E *l, u E. ke l. Matriz de pao:. Matriz diagonal: (.. /(0$ Valore propio: b doble, b. Subepaio propio: u E ke E l, u E ke l. Matriz ortonormal de pao * * * *. Matriz diagonal ( A. /(0$ onjunto vaío. /(0$ Par de reta oinidente. /(0$ Parábola. /(0$ Hipérbola. /(0$ Elipoide de emieje, y *. /(0$ Paraboloide elíptio. /(0$ Hiperboloide de una hoja. /(0$ Par de plano que e ortan. /(0$ Hiperboloide de una hoja.