CAPITULO 6 INTEGRALES MULTIPLES

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1 CAPITULO Nusts lms cus cults pun compn l mvillos quitctu l muno mi l cuso c plnt vguno ún scln ts l conociminto ininito Chistoph Mlow. INTEGALES MULTIPLES.. Intgls ols... Cálculo un intgl ol n gions gnls... Cmio on intgción... Cmio vil n un intgl ol... Apliccions l intgl ol l cálculo ás volúmns... Intgls tipls..7. Intgls tipls n gions gnls..8. Cmio vil n un intgl tipl..9. Apliccions l intgl tipl l cálculo volúmns.

2 . INTEGALES OBLES. n tl qu > ( ) ; qumos ncont l volumn l sólio limito po i on s un gión ctngul ini po l poucto ctsino intvlos : c / c. un unción ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] () c iviimos l intvlo [ ] [ ] n cls c cl tin un á ( ) c n n pticions. Qu ivii n. S V l volumn i un cl culqui si son incmntos ininitsimls ntoncs V pu consis como un pllpípo su volumn sá: V ( ) Si consimos V como l sum los volúmns i c cl: V Figu - V n n j i ij ( ) i j Cuno s tom un númo pticions n mu gn ntoncs tnmos: V lim n V c n n j i ( ) ij ( ) i j

3 Osvcions i) L intgl ol s un límit ) Pu isti o no ) Si ist s un númo l. ii) Siv p clcul l volumn limito po un unción i un gión. s llm gión Intgción p l cso l intgl ol s un suconjunto (gión pln culqui). c son los límits vn cuo l uicción l incil c ( ) ( ) c intn intn tn tn L intgl s vlú n os pocsos l intgl ini inpnints consino l constnt l vil qu no s intg; simp s vlú pimo l intgl intn lugo l tn. Ejmplo - Clcul ( ) Q ; on Q [ ] [ ] Solución: solvmos con l on intgción inico ( ) 7

4 Aho solvmos cmino l on intgción inico ( ) ( 8 ) [ 9 ] 7 Popis Sn g os cmpos scls intgls n. ( ± g) A A ± g A.. α A α A.. Si g ( ). A ; ntoncs A A Q K s g A.. S n ; ntoncs: Q Q A A n i i A A A A L n α : A. CÁLCULO E UNA INTEGAL OBLE EN EGIONES GENEALES. Aoptmos ts tipos gions plns: Tipo

5 () () Figu - {( ) / } : Tipo c g () g () : Figu - {( ) / g g c } Tipo Est tipo gions pun s tipo o tipo inistintmnt. Ls gions tipo son n li ls gions gnls

6 Figu - S gión intgción un gión pln tipo ; vlu: ( ) Figu - Suponmos tipo totlmnt inclui n un gión ctngul ) inimos ( ) ) ( ) c l siguint mn: ( ) ; ( ) ; ( ) () ()

7 Figu - Suponmos tipo totlmnt inclui n un gión ctngul inimos ) l siguint mn: ; ; ) solvino l intgl: c c ) ( ) ( ˆ ˆ Entoncs tnmos: ) ( ) ( s un gión tipo iéntic mn: c g g ) ( ) ( s un gión tipo () c () ()

8 Ejmplo - Clcul A ; on s l gión som l igu Figu -7

9 Solución: solvmos tomno incils hoiontls ntoncs tnmos: [ ] [ ] [ ] [ ] A. CAMBIO E OEN E INTEGACIÓN. Como s vio n cpítulos ntios p gions ctnguls l cmi l on intgción los límits ls intgls po s constnts s mntinn iguls. Sin mgo cuno tnmos gions tipo ésts no simp s pun solv ácilmnt con culqui on intgción. Es ci qu cuno l gión s tipo n lgunos csos ist un on intgción más convnint qu otos s impotnt intiiclo p cilit l cálculo l intgl on. Al hc l cmio on intgción s tn n cunt qu los límits vils sólo pun st psnts n l intgl intn éstos n st n unción l incil tno; los límits l intgl tn sán vlos constnts. Los límits tnos son constnts po los límits intnos NO son unción l incil tno Los límits intnos son unción l incil tno po los límits tnos NO son constnts

10 ( ) ( ) Los límits intnos son unción l incil tno los límits tnos son constnts Ejmplo - Clcul. Solución: Cuno intntmos solv con l on intgción inico nos mos cunt qu no pomos clcul ictmnt:. Po lo qu mos cmi l on intgción p tmin si s pu solv l intgl. Gicmos l gión intgción: Figu -8

11 Al cmi l on intgción tnmos: [ ] [ ]. CAMBIO E VAIABLE EN UNA INTEGAL OBLE. P uncions vil l l intgl: Pun s pss n téminos un nuv vil t po mio l g t g t s un unción uno uno (inctiv). Entoncs unción simp qu tnino n cunt qu: g' ( t) t g( c) g( ) l vil t s: ( g( t) ) g ( t) ' c t En om simil p un unción ( ) ( Φ( u v) ) Si ( u v) ( ( u v) ( u v) ) T : U : ( ) ( u v) uv Φ s un unción uno uno ; l intgl n unción gométicmnt Φ tnsom l gión intgción n ot gión intgción T. J ( u v) ( ) ( u v) : s llm jcoino l tnsomción s l vlo soluto l tminnt l mti incil Φ. S pu most qu l jcoino s un númo gulo l pnsión o compsión l á l gión intgción. Φ ( u v) ( ( u v) ( u v) ) s un unción ; qu lo único qu hc s tnsom l gión intgción oiginl n ot gión cuo l cmio vil scogio.

12 Ejmplo - Clcul l intgl ( ) cot po on s l gión. Solución: Pimo inimos ls lcions S u v u v u v cuo l cmio vil tnsommos l gión intgción. T T Φ ( u v ) T T T : Figu -9 : : : : T Figu - T : v T : u T : T : v T : u

13 inimos l unción Φ : Φ v u v u v u tminmos l jcoino l tnsomción: [ ] s Φ v u v u J solvmos l intgl plicno l cmio vil: [ ] v v u v u u v u u v v v v T v Cmio vils usuls: Pols L unción Φ qu in l cmio vil p coons pols s: sn cos Φ Entoncs l jcoino l tnsomción s: J sin cos cos sn sn cos s Po lo tnto l cmio vil p un tnsomción pol qu: T sn cos T

14 Ejmplo - Evlu l intgl : ln ( ) l on s l gión n cunt limit nt los cos cicunnci: ; >. Solución: El cmio coons más convnint l pol. cuo l cmio vil tnsommos l gión intgción. Φ ( ) T Figu - Figu - Como s un cmio vil conocio mplmos ictmnt n l intgl: ln ( ) ln( )( ) T [ ln ] ln ln. APLICACIONES E LA INTEGAL OBLE AL CÁLCULO E ÁEAS Y VOLÚMENES. Cálculo l á igus plns:

15 un unción. Al intg st unción so un gión otnmos l volumn l cilino s ltu. El volumn l cilino s igul l á su s (á ) po su ltu qu s ntoncs numéicmnt l vlo s igul l á l gión intgción. ( ) A[ ] Ejmplo - Solución: Encont l á l gión limit po l páol ct. Gicmos l gión intgción: l Figu -

16 cuo l gico s osv qu l on intgción ms convnint s tomno incils vticls. P sto ncsitmos conoc los puntos intscción ls cuvs: ± ± Entoncs solvmos l intgl: [ ] [ ] [ ] A A Cálculo volúmns: Como s mostó ntiomnt si l unción s continu n tl qu > ntoncs l intgl psnt l volumn jo l supici so l gión. Ejmplo -7 Encont l volumn un s io limito po los plnos coonos utilino intgls ols

17 Solución: Gicmos l gión intgción: Figu - Como l s s simétic sólo tommos n cunt sólo l pim octnt poctmos l volumn l plno : Φ ( ) T Figu - Figu -

18 Como l gión intgción s cicul ntoncs utilimos un cmio vil pol como s un cmio vil conocio mplmos ictmnt n l intgl: [ ] / V T. INTEGALES TIPLES. un unción n ; on s un pllpípo ctngul ini po l poucto ctsino intvlos : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] c c /. iviimos l intvlo [ ] [ ] c [ ] n n pticions. Qu ivii n n pllpípos c uno tin un volumn. inimos l poucto: I Si consimos I como l sum toos los I : n k k n j j n i i ijk I I Cuno s tom un númo pticions n mu gn ntoncs tnmos: c n k k n j j n i i ijk n I I lim

19 Ejmplo -8 solv intgl tipl Q V on [ ] [ ] [ ] Solución: solvmos l intgl: [ ] INTEGALES TIPLES EN EGIONES GENEALES. Aoptmos cuto tipos gions lmntls: Tipo : Supicis vils i jo

20 st tipo pomos ncont n os oms: ) g g / : g g V ) c h h / : c h h V Figu -7 Tipo : Supicis vils los costos st tipo pomos ncont n os oms: c) g g / : g g V ) h h / : h h V Figu -8 Tipo : Supicis vils lnt tás

21 st tipo pomos ncont n os oms: ) g g / : g g V ) c h h / : c h h V Figu -9 Tipo Cuno l gión s tl qu pu s consi como un gión tipo tipo o tipo inistintmnt. Es l único cso qu pmit hc cmio n l on intgción gnlmnt s i sólios limitos po l intscción os supicis (sólios cos) Ejmplo -9 Evlu l intgl tipl l unción n l gión limit po l cilino los plnos

22 Solución: Gicmos l gión intgción: Figu - inimos l intgl tomno l gión intgción como tipo : [ ] Aho inimos l intgl tomno l gión intgción como tipo :

23 [ ] Aho inimos l intgl tomno l gión intgción como tipo : [ ]

24 .8 CAMBIO E VAIABLE EN UNA INTEGAL TIPLE. Al igul qu p ls intgls ols s pu us un cmio vil n ls intgls tipls. P un unción : U : ( ) ( ) Φ u v w ( u v w) T Si ( u v w) ( ( u v w) ( u v w) ( u v w) ) uvw Φ s un unción uno uno gométicmnt Φ tnsom l gión intgción n ot gión intgción T. J ( u v w) ( ) ( u v w) : s llm jcoino l tnsomción s l vlo soluto l tminnt l mti incil Φ. Cmio vils usul: Cilínics L unción Φ qu in l cmio vil p coons pols s: Φ ( ) ( cos sn ) ( ) Entoncs l jcoino l tnsomción s: cos sn ( ) J s sn cos cos sin ( ) Po lo tnto l cmio vil usno coons cilínics qu: ( ) ( cos sn ) T Ejmplo - Clcul l intgl tipl W gión l s on. on W s l

25 Solución: El cmio coons más convnint s l séico. cuo l cmio vil tnsommos l gión intgción. Figu - Φ Figu - Como s un cmio vil conocio mplmos ictmnt n l intgl: T W Cmio vils usul: Eséics L unción Φ qu in l cmio vil p coons pols s: Q T

26 Φ ( ρ φ) ( ρ cos snφ ρ sn snφ ρ cosφ) ( ) Entoncs l jcoino l tnsomción s: J ( ρ φ) ( ) ( ρ φ) cosφ ρ sn ρ snφ cos snφ ρ sn snφ ρ cos cosφ sn snφ ρ cos snφ ρ sn cosφ cosφ ρ snφ ( ρ sn snφ cosφ ρ cos snφ cosφ) φ( ρ cos sn φ ρ sn sn φ) Po lo tnto l cmio vil usno coons séics qu: T ( ) ( ρ cos snφ ρ sn snφ ρ cosφ) ρ snφ φ Ejmplo - Evlu l intgl Q ( ) / V on Q s l s uniti Solución: El cmio coons más convnint s l séico. cuo l cmio vil tnsommos l gión intgción. Q Φ ( ρ φ ) T Figu - Figu - T

27 Como s un cmio vil conocio mplmos ictmnt n l intgl: Q ( ) / V T ( ) ρ ρ snφ ρ φ ρ [ cosφ] ρ ( ) ρ snφ ρ φ snφ snφ φ φ.9 APLICACIONES E LA INTEGAL TIPLE AL CÁLCULO E VOLÚMENES. so un gión. Al intg st unción so l gión otnmos l hipvolumn jo l un unción continu positiv ( ) gáic ( ) so. Si l unción ( ) ntoncs numéicmnt l vlo st hipvolumn so s igul l volumn l gión intgción. ( ) V [ ] Ejmplo - Clcul l volumn l tto coto po los plnos coonos l plno

28 Solución: Gicmos l gión intgción: Figu - inimos solvmos l intgl:

29 [ ] [ ] V V Ejmplo - S hc un gujo cm iámto tvés un s cm io simétic un iámto l s. Encont l volumn l sólio sultnt

30 Solución: Gicmos l gión intgción: Figu - inimos ls supicis qu limitn l gión: Es: Cilino: io l ntul l gión sult convnint ctu un cmio vils cilínics: Es: Cilino: Entoncs tminmos los límits constnts l gión: ± Como s un cmio vil conocio mplmos ictmnt n l intgl:

31 8 8 V Ejmplo - Hll l volumn un sólio limito po l hoj supio l cono po l s: 9

32 Solución: Gicmos l gión intgción: Figu -7 io l ntul l gión sult convnint ctu un cmio vils séics: Es: ρ Cono supio: Cono inio: φ φ Como s un cmio vil conocio mplmos ictmnt n l intgl:

33 [ ] [ ] φ φ φ φ φ ρ φ ρ φ ρ 8 9 cos 9 sn 9 sn sn V V