Cónicas singulares y degeneradas. Elementos principales

Transcripción

1 Son cuvs plns sguno go. Tmbién s ls llm Sccions ónics, poqu son l sulto intsct con un plno un cono volución. Ls cuvs cónics popimnt ichs son ts: Elips, ábol Hipébol, unqu ltno l cono o l posición l plno pun buscs ots figus, nt lls l cicunfnci. ELISE RÁOL HIÉROL ónics singuls y gns Elmntos pincipls ocos : son los puntos contcto l scción con ls sfs tngnts l plno qu l pouc inscits n l cono. iámtos : cts qu psn po l cnto gomético. os iámtos son conjugos cuno c uno ps po l pol l outo. Ejs : myo (o focl) y mno. Son los únicos iámtos conjugos ppniculs. étic : culqui punto l j myo sob l cuv. icunfnci focl : io igul l j myo, y cnto n uno los focos. En l ábol l lmnto osponint s l ct ictiz. icunfnci pincipl (o cicunscit): tin como iámto l j myo. Un ct tngnt un lips s cot n ll con ls ppniculs qu s tcn s los focos. Rios vctos : sgmntos qu unn un punto l cuv con los os focos. OLONIO ERG E s consib l intscción l cono con un plno ppnicul un gntiz, y l cónic sultnt pní qu l ángulo st spcto l j fus igul (pábol), mno (lips) o myo (hipébol) 5º. stónomo y gómt, fu iscípulo químs y l scul Euclis. Su ob pincipl s un tto 8 libos sob ls cuvs cónics, tn complto qu unt gncions fu conocio como l gn gómt. u l pimo n mpl los téminos ELISE HIÉROL, y n most qu los ts tipos pincipls cónics pun poucis n l mismo cono volución. ntiomnt l solo finió los pincipls lmntos y popis ls cuvs, tminó tngnts y nomls (ls líns más cots qu s pun tz s un punto un cónic), y fomuló gn cnti toms y mostcions. Ent sus potcions pis hbí un métoo ápio p clcul l longitu l cicunfnci pti l iámto. Tom polonio : L sum los cuos os iámtos conjugos n un lips (l ifnci, n l cso l hipébol) s constnt igul, po tnto, l sum los cuos los js.

2 cicunfncis focls Es l lug gomético los puntos los qu l sum istncis otos os fijos s constnt (los puntos fijos son los focos, y l sum istncis s igul l iámto myo) cicunfnci pincipl + = Tmbién s l lug gomético los cntos ls cicunfncis tngnts ot qu psn po un punto intio st, o los puntos qu quiistn un cicunfnci y un punto intio. Ej mno j myo onstucción os los focos y l j myo: Loclizción puntos sánonos n l pim finición, colocmos vis mcs bitis (,,,) nt l cnto y un los focos. Ests ivisions pmitn tom con l compás ps istncis (/, /), qu sumn l mi. Tzno cos s los focos con mis pcils toms s y, loclizmos los puntos l cuv. u finis tmbién con cts tngnts qu sán ppniculs n l cicunfnci pincipl ots tzs s los vétics (ch). onstucción os los js myo y mno: En l pim cso s utiliz l tom Thls p lcion ls os mis imtls, y tsvs ls smicus ppniculs l cicunfnci Tzo nvolvnts cosponint l j mno, l j myo. En l tc métoo s tz un ctángulo qu tin los En l figu cntl s colocn ls cicunfncis los iámtos myo y mno concéntics, qu son fins l lips. S loclizn puntos l cuv tzno pimo vios ios comuns. js como mins. S ivi s l punto mio uno los js n l mismo númo pts iguls qu l lo pllo l oto. Los xtmos st último, linos con ls ivisions, án los puntos buscos. opocionli nt los js myo y mno fini uc poyccions

3 ' onstucción os los iámtos conjugos: l mismo moo qu un cicunfnci vist n pspctiv s un lips, os iámtos ppn- O iculs pcán con un ángulo ifnt, y sán iámtos conjugos. Si imginmos qu l conjugl mno nts l mismo tmño y ppnicul l myo, pomos plic l supusto splzminto sus xtmos (' =, '=) l sto los puntos un cicunfnci inicil. Tmbién pomos inscibi los iámtos conjugos n un omboi los p llos llos y ' plic l métoo cuc poyccions. ictiz Es un cuv pln, bit y un m. S fin como l lug gomético los puntos qu quiistn oto punto y un ct (oco y ct ictiz). cuv u comps un lips n l qu uno los focos s splz l infinito. L ct ictiz cospon l cicunfnci focl. foco Ej u constuis cotno con cos s l foco cts plls l ictiz, tomno como io l vétic = istnci ést c un ls plls. Tmbién po cuc poyccions si conocmos l j, l vétic y un punto l cuv, o finil unino l foco con Tngnt pincipl istintos puntos l tngnt pincipl y tzno s stos puntos cts ppniculs, qu sán tngnts l cuv Loclizción puntos oyccions Envolvnts

4 síntots L Hipébol s un cuv pln, bit y con os ms. Es l lug gomético los puntos los qu l ifnci istncis otos os fijos s constnt. cicunfnci pincipl Tmbién s l lug gomético los cntos ls cicunfncis tngnts ot qu psn po un punto xtio ést, o los puntos qu quiistn un cicunfnci y un punto xtio. L mi nominl l j myo sigu sino l istnci nt los vétics l cuv. Ls síntots son ls tng nts l cuv n l infinito. pnino los tos, su constucción s hc po métoos sncilmnt iguls los mplos n ls ots cuvs cónics. - = cic. ocls Loclizción puntos, os l j myo y los focos o poyccions, os l j myo, los focos y un punto. o nvolvnts, os l j myo y los focos opis ls cuvs cónics : ulqui ct tz s un foco un lips sá flj n icción l oto foco. En l pábol toos los fljos sán pllos l j. sí, ls ntns pbólics pmitn l misión o cpción uniiccionl ls ons. En l hipébol, los fljos fomán un hz ivgnt polizo po l foco contio. Ls stuctus convxs bss n cuvs cónics psntn un muy bun sistnci ls psions xtios, sino utilizs, nt ots coss, n l constucción cos y punts.

5 TNGENTES Y NORMLES n n n Tngnt y noml n un punto l cuv: son ls bisctics los ángulos poucios po ls cts qu psn po y po c uno los focos. Su posición n l Hipébol s invs qu n l Elips. En l ábol s consi l sguno foco n l infinito. T E T E E T T T T Tngnts s un punto xtio l cuv: Tács un cicunfnci con cnto n E qu ps po uno los focos, y cicunfnci focl con cnto n l oto (ct ictiz, n l ábol). Ls cts tngnts son ls mitics los sgmntos finios po c intscción nt los os cos y l pim foco. Los puntos tngnci stán linos con los intscción y l cnto l cicunfnci focl. T T T T T Tngnts plls un icción : Tács po un foco un ppnicul l icción, y l cicunfnci focl con cnto n l oto foco. Ls tngnts (un n l cso l ábol) y los puntos tngnci qun finios l mism mn qu n l cso ntio.

6 INTERSEIÓN ON RET I I M M I I S conocn l j y los focos y l lips, sí como l ct scnt. Mint un ppnicul, s locliz l simético l foco spcto l ct:, S tz un cicunfnci qu ps po los os puntos siméticos con cnto n culqui punto, con tl qu cot l focl. S tz l j icl mbs psno po los puntos cot, y s locliz n cnto icl on cot l polongción. S un l cnto con y s l punt o mio M s tz un tc cicunfnci qu cot l focl n los puntos y. Unino c uno llos con, s obtinn n ls intsccions I I. Un métoo lgo más bv consist n scog culqui punto n l ct y tz l cicunfnci iámto. Ls mitics los sgmntos y n n l ct los puntos intscción. I M I T I I S conocn l j y los focos y l hipébol, sí como l ct scnt. Mint un ppnicul, s locliz l simético l foco spcto l ct:, S tz un cicunfnci qu ps po los os puntos siméticos con cnto n culqui punto, con tl qu cot l focl. S tz l j icl mbs psno po los puntos cot, y s locliz n cnto icl on cot l polongción. S un l cnto con y s l p unto mio M s tz un tc cicunfnci qu cot l focl n los puntos y. Unino c uno llos con, s obtinn n ls intsccions I I. S conocn l j un pábol, l foco y l ct ictiz, sí como l ct scnt. Mint un ppnicul, s locliz, simético spcto, y s polong hst cot l ictiz n. S tz un cicunfnci con cnto n qu tin como iámto, sí como l cu ppnicul qu ps po. on cnto n s tz ot cicunfnci qu ps tmbién po y, qu cot l ictiz n los puntos y. Tzno po llos plls l j tnmos n los puntos intscción.