f v P v r v =t v GEOMETRÍA A v DESCRIPTIVA h v B v A r r h B h t h B d h h M h P h A h Ing. Alberto M. Pérez G.

Transcripción

1 . f P =t GEOMETRÍ DESRIPTIV DESRIPTIV P M t g P M f Ing. lto M. Péz G.

2 GEOMETRÍ DESRIPTIV Unisi los ns Núlo Unisitio Rfl Rngl Dptmnto Ingnií Tujillo-Vnzul Tjo psnto on fins snso l tgoí sistnt n l slfón l Unisi los ns Tujillo; Ing. lto M. Péz G.

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4 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. TL DE ONTENIDO TL DE ONTENIDO. INTRODUIÓN...xi JUSTIFIIÓN...xii OJETIVOS...xiii METODOLOGÍ... xi pítulo 1. mo tóio....1 onptos ásios....2 PUNTO...2 LÍNE...2 RET...2 ÁNGULO...2 POLIGONL...3 POLÍGONO...3 URV...4 ÍRULO...5 SUPERFIIE...5 SÓLIDO...7 TRZDO...8 EL JUEGO DE ESUDRS...9 TRZDO DE RETS ON LS ESUDRS...9 TRZDO DE UN RET TNGENTE UN IRUNFERENI...9 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PRTES IGULES...10 TRZDO DE POLÍGONOS REGULRES...10 MÉTODOS GENERLES DE TRZDO DE POLÍGONOS REGULRES...12 ESL...13 ESLÍMETRO...13 pítulo 2. sistms poyión sistms poyión ) PROYEIÓN ILÍNDRI ) PROYEIÓN ORTOGONL...15 i) Poyión n ists múltipls...15 ii) Poyión ot...16 iii) Poyión xonométi...16 ) Poyión Isométi...16 ) Poyión Diméti...16 ) Poyión Timéti...17 iii

5 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. TL DE ONTENIDO 2) PROYEIÓN OLIU...17 i) Poyión ll...18 ii) Poyión Gint...18 iii) Poyión Oliu é...18 ) PROYEIÓN ÓNI ) Pspti un punto fug ) Pspti os puntos fug ) Pspti ts puntos fug...18 pítulo 3. Poyión DIÉDRI Poyión DE PUNTOS...22 DOLE PROYEIÓN ORTOGONL...22 PLNO LTERL DE PROYEIÓN...22 DIEDROS...22 DIUJO EN PROYEIÓN DIÉDRI...22 OORDENDS DE UN PUNTO...22 POSIIONES PRTIULRES DE UN PUNTO...23 ) Punto n un unt...23 ) Punto n un plno pinipl poyión...23 ) Punto n l plno ltl...23 ) Punto n l oign...24 ) Punto n un j oons...24 PROYEIÓN LTERL DE UN PUNTO...24 REPRESENTIÓN DE PUNTOS EN PROYEIÓN LTERL...25 OTENIÓN DE L PROYEIÓN LTERL DE UN PUNTO PRTIR DE SU PROYEIÓN DIÉDRI...25 POSIIÓN RELTIV ENTRE DOS PUNTOS...26 Poyión DE RETS PUNTO ONTENIDO EN UN RET...27 TRZS DE UN RET...27 DETERMINIÓN DE LS TRZS DE UN RET...27 VISIILIDD...27 UDRNTES QUE TRVIES UN RET...27 DETERMINIÓN DE LOS UDRNTES QUE TRVIES UN RET...28 DIFERENI DE OT ENTRE DOS PUNTOS / TRIÁNGULO DE RETIMIENTO HORIZONTL...28 DIFERENI DE VUELO ENTRE DOS PUNTOS / TRIÁNGULO DE RETIMIENTO VERTIL...28 ROPZ...29 MEDIIÓN DE DISTNIS EN RETS...29 RETS EN POSIIONES PRTIULRES...30 ) Rt oizontl ) Rt ontni n l plno oizontl poyión...30 ) Rt fontl...30 i

6 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. TL DE ONTENIDO 1) Rt ontni n l plno til poyión...30 ) Rt pll l lín ti ) Rt ontni l lín ti...30 ) Rt til...31 ) Rt punt...31 f) Rt pfil...31 ONSTRUIÓN DE RETS...31 ) onoi l poyión til y l ángulo (β o )...31 ) onoi l poyión oizontl y l ángulo ( o )...31 ) onoi l poyión til y l ángulo ( o )...32 ) onoi l poyión oizontl y l ángulo (β o )...32 ) onoi l poyión oizontl y l o tmño...32 f) onoi l poyión til y l o tmño...33 g) onoio l o tmño y los ángulos ( o ) y (β o )...33 Poyión DE plnos...35 TEOREMS DE PLNOS...36 RET QUE PERTENEE UN PLNO...36 PUNTO QUE PERTENEE UN PLNO...37 TRZS DE UN PLNO...37 DETERMINIÓN DE LS TRZS DE UN PLNO...38 RETS RTERÍSTIS DE UN PLNO...38 ) Rts tístis fontls...38 ) Rts tístis oizontls...38 PUNTO QUE PERTENEE UN PLNO DEFINIDO POR RETS RTERÍSTIS...39 PUNTO QUE PERTENEE UN PLNO DEFINIDO POR TRZS...39 NOTIÓN ONVENID DE PLNOS DEFINIDOS POR TRZS...39 PLNOS EN POSIIONES PRTIULRES...39 ) Plno fontl...40 ) Plno oizontl...40 ) Plno til...40 ) Plno punt...40 ) Plno pfil...40 f) Plno pllo l lín ti...40 g) Plno qu ps po l lín ti ) Plno pim isto ) Plno sguno isto...40 pítulo 4. intsión; pllismo; y ppniuli intsión INTERSEIÓN ENTRE RET Y PLNO...42 NÁLISIS DE VISIILIDD EN L INTERSEIÓN DE UN RET ON UN PLNO...43

7 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. TL DE ONTENIDO INTERSEIÓN ENTRE DOS PLNOS...44 NÁLISIS DE VISIILIDD EN L INTERSEIÓN DE DOS PLNOS...45 INTERSEIÓN DE TRES PLNOS...46 PRLELISMO...47 PRLELISMO ENTRE RETS...47 PRLELISMO ENTRE RET Y PLNO...47 RET PRLEL UN PLNO...47 PLNO PRLELO UN RET...48 RET PRLEL DOS PLNOS...48 PRLELISMO ENTRE PLNOS...48 PERPENDIULRIDD PERPENDIULRIDD ENTRE RETS...49 RETS PERPENDIULRES Y RETS ORTOGONLES...50 PERPENDIULRIDD ENTRE RET Y PLNO...50 PLNO PERPENDIULR UN RET...50 RET PERPENDIULR OTR RET...51 RETS DE MÁXIM PENDIENTE DE UN PLNO...51 RETS DE MÁXIM INLINIÓN DE UN PLNO...51 PERPENDIULRIDD ENTRE PLNOS...52 PLNO PERPENDIULR OTROS DOS...52 pítulo 5. PROLEMS MÉTRIOS PROLEMS MÉTRIOS DISTNI ENTRE DOS PUNTOS...54 DISTNI ENTRE UN PUNTO Y UN PLNO...54 DISTNI ENTRE UN PUNTO Y UN RET...54 DISTNI ENTRE DOS RETS QUE SE RUZN...54 PERPENDIULR OMÚN DOS RETS QUE SE RUZN...55 ÁNGULO ENTRE DOS RETS QUE SE ORTN...56 ÁNGULO ENTRE DOS RETS QUE SE RUZN...56 ÁNGULO ENTRE UN RET Y UN PLNO...56 ÁNGULO ENTRE DOS PLNOS...57 pítulo 6. LUGRES GEOMÉTRIOS LUGRES GEOMÉTRIOS...59 PUNTO QUE EQUIDIST DE DOS PUNTOS DDOS...59 PUNTO QUE EQUIDIST DE DOS PUNTOS DDOS Y SE ENUENTR EN UN RET DD...59 RET QUE SE ORT ON DOS RETS DDS Y PS POR UN PUNTO DDO...59 RET QUE ONTIENE UN PUNTO DDO Y FORM UN ÁNGULO DDO ON EL PLNO HORIZONTL DE PROYEIÓN...60 RET QUE ONTIENE UN PUNTO DDO Y FORM UN ÁNGULO DDO ON EL PLNO VERTIL i

8 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. TL DE ONTENIDO DE PROYEIÓN...60 PLNO QUE ONTIENE UN RET DD Y FORM UN ÁNGULO DDO ON EL PLNO HORIZONTL DE PROYEIÓN...61 PLNO QUE ONTIENE UN RET DD Y FORM UN ÁNGULO DDO ON EL PLNO VERTIL DE PROYEIÓN...62 RET ONTENID EN UN PLNO DDO Y QUE FORM UN ÁNGULO DDO ON EL PLNO HORIZONTL DE PROYEIÓN...62 RET ONTENID EN UN PLNO DDO Y QUE FORM UN ÁNGULO DDO ON EL PLNO VERTIL DE PROYEIÓN...63 pítulo 7. MÉTODOS PR OTENER PROYEIONES EN VERDDERO TMÑO RETIMIENTO DE PLNOS GENERLIDDES DEL RETIMIENTO DE PLNOS...66 RETIMIENTO DIRETO Y RETIMIENTO INVERSO...66 RETIMIENTO TRVÉS DE L TRZ HORIZONTL DE UN PLNO...67 RETIMIENTO DE VRIOS PUNTOS...68 RETIMIENTO DE L TRZ VERTIL DE UN PLNO...68 RETIMIENTO DE UN PUNTO DE UN PLNO, POR MEDIO DEL RETIMIENTO PREVIO DE L TRZ VERTIL DEL PLNO...68 RETIMIENTO TRVÉS DE L TRZ VERTIL DE UN PLNO...69 RETIMIENTO DE VRIOS PUNTOS...69 RETIMIENTO DE L TRZ HORIZONTL DE UN PLNO...70 RETIMIENTO DE UN PUNTO DE UN PLNO, POR MEDIO DEL RETIMIENTO PREVIO DE L TRZ HORIZONTL DEL PLNO...70 RETIMIENTO TRVÉS DE UN RET RTERÍSTI HORIZONTL DE UN PLNO...71 RETIMIENTO DE VRIOS PUNTOS...71 RETIMIENTO DE UN RET RTERÍSTI FRONTL DE UN PLNO...72 RETIMIENTO TRVÉS DE UN RET RTERÍSTI FRONTL DE UN PLNO...72 RETIMIENTO DE VRIOS PUNTOS...73 RETIMIENTO DE UN RET RTERÍSTI HORIZONTL DE UN PLNO...74 ROTIÓN ROTIÓN DE UN PUNTO LREDEDOR DE UN EJE DE PUNT...77 ROTIÓN DE VRIOS PUNTOS...77 ROTIÓN DE UN RET...77 ROTIÓN DE UN PLNO UN POSIIÓN VERTIL...78 ROTIÓN DE UN PLNO EN POSIIÓN VERTIL HST UN POSIIÓN FRONTL...79 ROTIÓN DE UN PLNO ULQUIER UN POSIIÓN FRONTL...79 ROTIÓN DE UN PLNO UN POSIIÓN DE PUNT...80 ROTIÓN DE UN PLNO EN POSIIÓN DE PUNT HST UN POSIIÓN HORIZONTL...82 ROTIÓN DE UN PLNO ULQUIER UN POSIIÓN HORIZONTL...83 MIO DE PLNOS DE Poyión ii

9 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. TL DE ONTENIDO MIO DEL PLNO VERTIL DE PROYEÍON PR OSERVR EN POSIIÓN DE PUNT UN PLNO ULQUIER...85 MIO DEL PLNO HORIZONTL DE PROYEÍON PR OSERVR EN POSIIÓN HORIZONTL UN PLNO DE PUNT...86 OSERVIÓN EN POSIIÓN HORIZONTL DE UN PLNO ULQUIER POR MEDIO DE DOS MIOS DE PLNO DE PROYEIÓN SUESIVOS...87 MIO DEL PLNO HORIZONTL DE PROYEÍON PR OSERVR EN POSIIÓN VERTIL UN PLNO ULQUIER...88 MIO DEL PLNO VERTIL DE PROYEÍON PR OSERVR EN POSIIÓN FRONTL UN PLNO QUE SE ENUENTR EN POSIIÓN VERTIL...88 OSERVIÓN EN POSIIÓN FRONTL DE UN PLNO ULQUIER POR MEDIO DE DOS MIOS DE PLNO DE PROYEIÓN SUESIVOS...89 pítulo 8. POLIEDROS POLIEDROS DETERMINIÓN DE L VISIILIDD EN LS PROYEIONES DE POLIEDROS...92 TETREDRO REGULR...94 ONSTRUIÓN DE UN TETREDRO REGULR ONOIDO UN VÉRTIE Y UN RET QUE ONTIENE L EJE...95 ONSTRUIÓN DE UN TETREDRO REGULR ONOIDO UN VÉRTIE Y UN RET QUE ONTIENE UN RIST...96 ONSTRUIÓN DE UN TETREDRO REGULR ONOIDO EL PLNO QUE ONTIENE UN R Y EL VÉRTIE NO ONTENIDO EN ESE PLNO...97 UO...99 ONSTRUIÓN DE UN UO ONOIDO UN VÉRTIE Y EL EJE ONSTRUIÓN DE UN UO ONOIDO UN VÉRTIE Y UN RET QUE ONTIENE UN DIGONL MYOR PIRÁMIDE REGULR RET ONSTRUIÓN DE UN PIRÁMIDE REGULR RET ONOID L LTUR; EL EJE; Y UN VÉRTIE DE L SE ONSTRUIÓN DE UN PIRÁMIDE REGULR RET ONOIDO EL PLNO DE L SE; UN RET QUE ONTIENE UN RIST PRINIPL; Y L LONGITUD DE LS RISTS DE L SE ONSTRUIÓN DE UN PIRÁMIDE REGULR RET ONOIDO EL VÉRTIE PRINIPL; Y EL PLNO SE ON UN RET QUE ONTIENE UN DE LS RISTS DE L SE PRISM REGULR RETO ONSTRUIÓN DE UN PRISM REGULR RETO ONOIDO UN PLNO SE ON UNO DE LOS VÉRTIES DE L MISM; Y EL ENTRO DE L OTR SE ONSTRUIÓN DE UN PRISM REGULR RETO ONOIDO EL EJE; L LTUR; Y UN VÉRTIE ONSTRUIÓN DE UN PRISM REGULR RETO ONOID L LTUR; UN VÉRTIE; Y UN RET QUE ONTIENE UN RIST PRINIPL iii

10 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. TL DE ONTENIDO ILIOGRFÍ ix

11 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. INTRODUIÓN intouión. unqu los oms no n poio pons uo p llg un lnguj munil pls y fss, xistio un lnguj lmnt unisl s los timpos ms motos: l lnguj gáfio. L i omuni los pnsmintos un pson ot po mio figus xistió s l ntigu. Los oms pimitios gistn sus is po mio figus s so pils, pis, ps ns, t. Ls foms ms ntigus situ s lizon on figus, omo lo pun los joglífios gipios. Ms lnt, sts figus fuon simplifis, y tnsfoms n los símolos sttos qu ion oign l situ tul, l ul tin po lo tnto su funmnto n l iujo. En l figu siguint s must un jmplo omo pti los joglífios gipios: lp (uy) y Ns (spint) pun oluiono los ts ltinos ( y N) sptimnt. lp (uy) Ns (spint) L psntión gáfi s solló ásimnt n os iions istints: ) l tísti y ) l téni. En l ntigu pátimnt too l muno ilto, no xistí l impnt, po lo tnto no í pióios ni lios, y los poos qu í n mnusitos lizos n ppio o pgmino y no n squils l púlio. En gnl l gnt pní suno, mino sultus, iujos, uos, xpustos n lugs púlios. El tist no simplmnt un tist, tmién un msto, un filósofo, un mio xpsión y omuniión. En unto l psntión téni, s solló s los ominzos l istoi gist nt l nsi psnt los ojtos isños p su postio onstuión o fiión. D ls uins ntiguos ifiios, uutos, punts, y ots stutus un onstuión s u qu no puion s lnto sin l pi loión iujos uiosmnt ppos qu siin guí sus onstutos. El iujo ténio ms ntiguo qu s ono s un go lizo so un lost pi qu psnt l isño n plnt un fotlz, lizo lo l ño po l Ingnio lo Gu. En l ño 30.., l quitto omno Vituius siió un tto so quittu. S tiuy los quittos itlinos lti, unllsi y otos l sollo, pinipios siglo quin, l toí ls poyions ojtos so plnos imginios poyión (poyión n ists). Y unqu Lono Vini us iujos p tnsmiti los más sus is y isños onstuions mánis, no stá muy lo qu y o iujos n los qu pin ists otogáfis, unqu s muy pol qu los ui o. El tto Lono Vini so pintu, pulio n 1.651, s onsi omo l pim lio impso so l toí iujo poyions; po st nfoo l pspti, no l poyión otogáfi. En unto l Gomtí (pt l mtmáti qu s oup ls popis, mis y lions nt puntos, líns, ángulos, supfiis y upos), tuo su oign n Egipto i l ño , y su sollo s ió l nsi páti l miión tnos. Hi l ño Tls Milto l intoujo n Gi y funó l sul jóni. Su isípulo Pitágos funó l sul pitgói qu io gn n l gomtí mostno, nt otos su fmoso tom p los tiángulos tángulos ( = 2 ). Otos psonjs stos n st mpo fuon: Znón, Hippis, Pltón, Hipóts, Euoxio, químis, t. En l siglo ts.. Eulis n su o Elmntos ulmin un polong oluión ls is y stl fom sistmáti los funmntos l gomtí lmntl. Dunt l mi s osó poo n n l mpo l gomtí, ontimnt l sollo xtoinio qu s osó n l mon, n l ul Dsgus stlió los funmntos l Gomtí Poyti y Mong los l Gomtí Dsipti, l ul s l gmáti l lnguj gáfio. on spto l Gomtí Dsipti, sus ominzos stán soios n los polms qu s nonton n l isño ifiios y fotifiions milits n Fni n l siglo iioo. S onsi Gsp Mong ( ), y ito, omo l "innto" l gomtí sipti, unqu pion sus sfuzos is puliions so Estotomí (t y téni tll l m o pi on fins onstutios), quittu, y pspti on y s plin muos los onptos l gomtí sipti. Fu finls l siglo iioo uno Mong, sino pofso l Esul Tnológi Fni, solló los pinipios l poyión qu onstituyn l s l iujo ténio oy n í. Ponto s onoió qu stos pinipios l gomtí sipti tnín tn gn impotni milit qu s oligó Mong mntnlos n sto st 1.795, ño pti l ul s onition n pt impotnt l uión téni n Fni y lmni; y postiomnt n los Estos Unios. Su lio L Géométi Dsipti, s onsi un omo l pim txto p xpon los pinipios ásios l iujo poytists. Los pinipios Mong llgon los Estos Unios n 1.816, ponts Fni, y los tjo l S. lu ozt, pofso l mi Milit Wst Point. El pofso ozt pulio n l pim txto n inglés so gomtí sipti. En los ños siguints s onition stos pinipios n pt gul l pln stuios los pimos ños ingnií n l Instituto Politénio Rnssl, n l Unisi H, n l Unisi Yl, y n ots, onitiénos st fom oy n í l gomtí sipti n mti stuio n los pimos ños ls s Ingnií y quittu n l gn myoí ls unisis l muno. xi

12 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. JUSTIFIIÓN JUSTIFIIÓN. Es muy omún qu l stuint Ingnií, quittu, ú ots s fins, inii sus stuios on l impsión qu l tjo n l ms iujo sá un tii impotni suni n su i pofsionl, y po lo tnto sntio i timpo y sfuzo n quii l ominio un tii tn utini omo l loión iujos, popi ntmnt los iujnts. Est fom pns s ompltmnt ón, pus s l ominio l xpsión gáfi sus is lo qu lo á ms y mjo pofsionl. Y ljos onil omo un tii sin impotni simill omo lo qu lmnt s: l s ó pi funmnto so l qu ifiá to su i pofsionl. Es pismnt n st iniio sus stuios, l momnto n l ul l futuo pofsionl tom un isión qu ftá to su i, pus lgi, pójimnt lno, si funá su ifiio so o ó n. El pofsionl l Ingnií, quittu, o ulqui ot fín, s pz xps gáfimnt y on to li sus is. Too poyto onst : álulos sfuzos, nálisis moimintos, isño y imnsionminto pts, spifiión mtils, poso nsmlj y/o onstuión, nt otos sptos, sts tístis no s xpsn on pls, unqu son utilizs n un pontj, n los plnos qu sin guí p l onstuión too poyto, y l xpsii stos plnos s sponsili nt l poytist y lo qu tminá qu l spto finl l poyto s o nó l qu él onio iniilmnt. Es po st zón nsio qu l poytist omin ls ténis iujo y xpsión gáfi, pus n s muos squms nts oni un i finiti, y stos no los liz l iujnt, pus l no s quin st sollno l i. Si in s ito qu l momnto liz un poyto s lon muos squms mno lz, tmién s funt, n st fs isño, l lizión iujos ténios unqu no finitios p fij tlls onstutios qu sí imposil fini n un squm impiso, y stos n l myoí los sos tmpoo los liz l iujnt. Po st zón, l Ingnio ó quitto omin l iujo mno lz y l Diujo Ténio y st onsint qu l spto xpsio un iujo s lgo muy psonl qu l soll y tnsmiti sus iujnts, p qu sus iujos xpsn lo qu l qui i y n l fom n qu él lo qui i. Quizás pus un pofsionl l Ingnií ó quittu qu no omin l iujo y sus ténis s ompl un s qu z l; y n s st mism ompión pu is qu un Ingnio o quitto qu iuj ml s quilnt un s qu l ml, y mos oán l isgo qu sus is sn zs, ún sino gns is, po no sio xpusts n fom l y pis, usno st fom l inompnsión ls misms. Es quí on tin gn igni l gio popul qu i: No impot sólo lo qu s i; sino tmién omo s i. xii

13 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. OJETIVOS OJETIVOS. L Gomtí Dsipti s ls mtis qu s pnn "ino" y no solo "ino". Y s quizás st spto lo qu ifiult su pnizj, sino nsio po pt l stuint l lizión onstnt jiios pátios qu l pmitn onsoli los onoimintos tóios pimnt xpustos. Est spto l Gomtí Dsipti, unqu s onsio n l nsñnz n ul l mism, sio suio n l loión l myoí los txtos. Sino po st zón uno los ojtios l psnt o susn st ni, olono l ln los stuints Gomtí Dsipti, sí omo los pofsionls l Ingnií y/o quittu qu sí lo quin, un txto tóio n l ul pun is los onptos funmntls l mism. Ot ls ifiults on qu s nunt l stuint Gomtí Dsipti s l go sinttizión qu s lnz l psnt ojtos tiimnsionls mint squms iimnsionls. Esto tmién sio suio o uito mn instisftoi n un gn nti txtos Gomtí Dsipti, po lo tnto n l loión l psnt o n sio inluis un gn i ilustions tiimnsionls lizs n psptis iss, y psnts pllmnt junto su osponint psntión n Dol Poyión Otogonl. S ptn simismo qu l psnt o si omo mtil poyo y onsult p los stuints Gomtí Dsipti, quins unt l tnsuso su sistni ii lss s nuntn on l ifiult l tom punts, n lgunos sos ifíil loión, y qu po lo tnto son opios n fom impis n sus unos, tyno postiomnt sultos sstosos n l momnto ptn onsoli los onoimintos quiios. El ontnio l psnt o st so n l pogm ignt l mti Sistms Rpsntión 10 ito n l Unisi Los ns. xiii

14 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. METODOLOGÍ METODOLOGÍ. on l finli lnz los ojtios popustos, l psnt o s soll l siguint mn: ) En su ominzo s psnt un mo tóio n l ul s xponn los onptos ásios l Gomtí Elmntl; tls omo: punto; lín; t; plno; t. ontinuno st sión s xponn, n fom ntmnt páti, los poimintos tzo on ls sus, y iujo polígonos guls st oo los po métoos ptiuls y gnls. Los onptos xpustos n st sión s supon qu son l onoiminto pio po pt l stuint Gomtí Dsipti, po lo tnto son mostos n fom ntmnt gáfi, po mio ilustions snills y fáil intptión, no ostnt si s ifiult su ompnsión n stuis stos métoos po mio ulqui txto ásio Gomtí. Toos los onptos tóios quí xpustos son gn impotni p l ompnsión l sto st o y l stuint no ps st sión si no ompn y/o jut sin ifiult los poimintos pátios quí mostos, y qu son l s l tjo n Dol Poyión Otogonl. ) Sigu st xposiión onptos ásios un intouión los Sistms Poyión, psntno un sipión los ms omuns. Esto s on l finli qu l stuint onoz y ifni ls istints foms psntión los ojtos. ) ontinuión s si tllmnt l sistm Dol Poyión Otogonl, tmién nomino sistm Poyión Diéi, l ul s l ojto pinipl st o. En lnt s finián on xtitu los métoos psntión puntos, ts, plnos, polios, tminión intsions, tzo ts y plnos pllos y ppniuls, poimintos osión lmntos gométios n o tmño, isiili, t. pti st sión, toos los onptos son xpustos l siguint mn: 1) S xpon, mint un omntio tóio, l onpto qu s qui miti. Est s lío po l stuint, ls s qu lo onsi nsio st log su ompnsión. 2) ompñ l onpto tóio n stuio un gáfio n pspti qu lo ilust, l ul, l s oso pllmnt on l ltu, filitá gnmnt l ompnsión l i qu s qui xps. 3) S inluy, n fom simultán on l gáfio n pspti, un sgun ilustión l mismo onpto, po lo n ol poyión otogonl. Esto s on l finli pit l stuint n l soluión páti polms Gomtí Dsipti. Ests os ilustions n omps minuiosmnt p log l ompnsión totl ls misms. 4) Sguimnt s soll, mn jmplo, y ntmnt n Dol Poyión Otogonl, un jiio liono on l onpto ién xpusto, xplino on tll l loión l mismo. Po mio stos jiios l stuint poá s unt si quiio l ompnsión lo xplio y s nunt n oniions ontinu l stuio los siguints onptos. En gnl, st o s stui iniilmnt n l on xpusto y n l fom sit, y qu uno los onptos mitios iniilmnt tin lión on los qu sán psntos postiomnt. No ostnt, un z onoio too l ontnio st o, l stuint poá s unt qu logá ps fáilmnt ulqui tm n ptiul po mio l simpl osión los gáfios qu lo ompñn, sin qu s nsio l numnt too l ontnio tóio xpusto. on spto l nomnltu utiliz n l loión l psnt o, su signifio s xpli n l momnto n qu s intoui po pim z, po onsi qu st s l momnto ms popiio p su ompnsión. Finlmnt, l stuint jits n l soluión polms, solino p llo los jiios qu poá nont n ulqui polmio ó guí jiios Gomtí Dsipti. xi

15 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. pítulo 1 mo tóio. Toos los ojtos os po l om, s un simpl lfil st l más omplj mquini, plnt inustil, o iil, t, son onios iniilmnt n fom mntl, y nts su fiión n s sitos on to pisión p sol on xtitu ulqui polm liono on su fom, tmño y funionli. Es l stuio l Gomtí Dsipti, lo qu pmit fini otmnt l psntión pln (poyión) los ojtos tiimnsionls nts ó spués su xistni l. Estui Gomtí Dsipti s stui l muno qu nos o, s sii l fom : tonillos; sots; ngnjs; lojs; sills; mss; tlisos; os; ss; unizions; ts; pss; plnts; glxis; n fin, toos los ojtos físios qu nos on pun s onios po l om mint psntions plns los mismos, y s l Gomtí Dsipti l qu fin ls gls qu ign l loión sts poyions. S log fini gáfimnt ulqui ojto, mint l sinttizión l mismo sus lmntos gométios ms simpls, omo lo son: puntos; líns; supfiis; ángulos; t. Es po lo tnto nsio qu l stuint Gomtí Dsipti omin y xps stos onptos n fom ot, zón po l ul s inii l psnt o on st pim pítulo, n l ul s sin n fom simpl los onptos gométios ásios myo uso n l stuio l Gomtí Dsipti. más, pnsno n l jitión páti l stuint n l soluión polms Gomtí Dsipti, s inluyn n st mo tóio ls foms lmntls : tzo; mnjo sus y ompás; y s inluy un sipión l onpto sl. S supon qu too l ontnio st pim pítulo s l onoiminto pio l stuint Gomtí Dsipti, zón po l ul s psnt n fom onis y on át piniplmnt infomtio.

16 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. ONEPTOS ÁSIOS ONEPTOS ÁSIOS. PUNTO. Es l psntión un posiión fij l spio. No s un ojto físio, po lo tnto fom y imnsions. En l fig.1, s mustn lguns foms psnt un punto. LÍNE. otno líns on un íulo fig.1.\ Rpsntión un Punto. on un uo Es un susión infinit puntos. Un lín pu s: ) t, ) poligonl (qu), ó ) u\ fig.2. SEGÚN L POSIIÓN RELTIV EN QUE SE ENUENTREN DOS RETS, SE DEFINEN OMO: ) Rts qu s otn. Si ls ts posn un punto n omún. En st so ls ts stán ontnis n un mismo plno\ fig.4. ) Rts plls. Si mntinn infinimnt l istni nt lls. En st so ls ts stán ontnis n un mismo plno\ fig.4. ) Rts qu s uzn. Son os ts qu no s otn ni son plls. En st so ls ts no stán ontnis n un mismo plno\ fig.4. P ) Rts qu s otn ) Rts plls ) Rts qu s uzn ÁNGULO. fig.4.\ Posiión lti nt ts. Poión un plno ompni nt os smits oign omún. ) u UN ÁNGULO, SEGÚN SU MEDID NGULR EN GRDOS SEXGESIMLES 1, SE DEFINE OMO: ) óno. Si mi nt y \ fig.5. RET. ) Rt ) Poligonl (Qu) ) u fig.2.\ Líns. Lín iión onstnt. Un t pu s fini po os puntos, los qu un oino su mno istni. LGUNS PRTES DE UN RET SON: ) Smit. un ls os pts n qu ii un t, uno ulqui sus puntos\ fig.3. ) Sgmnto. Poión un t ompni nt os sus puntos\ fig.3. Ls smits son longitu infinit, mints qu los sgmntos son longitu finit. ) Llno. Si mi \ fig.5. ) omplto. Si mi \ fig.5. ) onxo. Si min mnos S finn su z\ fig.5: 1) guo. Si mi mnos ) Rto. Si mi ) Otuso. Si mi nt 90 0 y DOS ÁNGULOS SE DEFINEN OMO: Ángulos onsutios. Si s uin uno ontinuión l oto. su z s nominn\ fig.5: ) omplmntios. Si l sum sus mis nguls s igul ) Suplmntios. Si l sum sus mis nguls s igul ) Smits () y () ) Sgmnto (-) fig.3.\ Pts un Rt. DOS RETS QUE SE ORTN DEFINEN UTRO ÁNGULOS, LOS ULES, TOMDOS EN PRES, SE DEFINEN OMO: ) Opustos. Si no posn ningun smit omún. En st so sus mis nguls son iguls\ fig.5f. ) ynts. Si posn un smit omún. En st so son ángulos suplmntios\ fig.5g. 1 Un go sxgsiml s l 90. pt l ángulo to. 2

17 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. ONEPTOS ÁSIOS SI DOS RETS PRLELS SON ORTDS POR UN TERER RET, SE FORMN OHO ÁNGULOS, LOS ULES, ONSIDERDOS EN PRES DE IGUL MEDID NGULR, SE DEFINEN OMO: ) Ángulos ltnos. Los uls s gupn n\ fig.5: 1) Ángulos ltnos intnos. 2) Ángulos ltnos xtnos. ) Ángulos osponints,\ fig.5i. ) óno 180 o <<360 0 β ) Llno =180 0 ) Ángulos onsutios β β f) Ángulos opustos β β ltnos intnos ) Ángulos ltnos POLIGONL. β ) omplto =360 0 β β ltnos xtnos. guo Rto Otuso <90 0 = o <<180 0 β omplmntios +β=90 0. ) onxo <180 0 g) Ángulos ynts β fig.5.\ Ángulos. β Suplmntios +β= β β i) Ángulos osponints Lín fom po sgmntos tos onsutios no linos. Un poligonl pu s\ fig.6: ) Poligonl it. Si l pim y último sgmntos no stán unios\ fig.6. ) Poligonl. Si sgmnto st unio otos os\ fig.6. ) Poligonl it POLÍGONO. fig.6.\ Poligonl. β β β ) Poligonl Figu gométi pln limit po un poligonl qu no s ot sí mism. Los polígonos s lsifin n\ fig.7: β ) Polígonos guls. Polígonos n los uls toos sus los son igul longitu, y toos sus étis stán iunsitos n un iunfni. D uo l númo sus los, los polígonos guls s nominn\ fig.7: 1) Tiángulo quiláto. Polígono gul ts los. 2) uo. Polígono gul uto los. 3) Pntágono, xágono, ptágono u otágono gul. Polígono gul ino, sis, sit u oo los sptimnt. ) Polígonos iguls. Son polígonos n los uls sus los no son igul longitu, y/o sus étis no stán ontnios n un iunfni. S lsifin su z, sgún l númo sus los n\ fig.7: 1) Tiángulo. Polígono ts los. Los tiángulos s nominn\ fig.7: i) Tiángulo quiláto. Si sus ts ángulos son iguls. ii) Tiángulo isósls. Si solo os sus ángulos son iguls. iii) Tiángulo slno. Si sus ts ángulos son ifnts. i) Tiángulo tángulo. Si tinn un ángulo to. ) Tiángulo otusángulo. Si tinn un ángulo otuso. i) Tiángulo utángulo. Si sus ts ángulos son guos. 2) uiláto. Polígono uto los. Los uilátos s lsifin n\ fig.7: i) Pllogmo. uiláto n l qu los los opustos son pllos. S nominn su z: ) uo. Pllogmo n l ul los uto ángulos son tos y los uto los son igul longitu. ) Rtángulo. Pllogmo n l ul los uto ángulos son tos, po los los ynts no son igul longitu. ) Romo. Pllogmo qu no tin ángulos tos, po sus los son igul longitu. D) Romoi. Pllogmo qu no tin ángulos tos y sus los ynts no son igul longitu. ii) Tpio. uiláto qu tin solo os los pllos. S finn su z omo: ) Tpio tángulo. Tpio qu tin os ángulos tos. ) Tpio isósls. Tpio n l qu sus los no pllos son igul longitu. iii) Tpzoi. uiláto qu no tin los pllos. 3

18 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. ONEPTOS ÁSIOS 3) Pntágono, xágono, ptágono, otágono. Polígono ino, sis, sit u oo los sptimnt\ fig.7. 1) iunfni. óni gn uno l plno () sionnt y l plno s l ono son pllos; ( 0 =0 0 ). 2) Elips. óni gn uno l ángulo ( 0 ) s mno qu l ángulo (β 0 ); ( 0 < β 0 ). Tiángulo quiláto uo Pntágono gul Hxágono gul ) Polígono gul Hptágono gul Otágono gul 3) Páol. óni gn uno los ángulos ( 0 ) y (β 0 ) son iguls; ( 0 = β 0 ). 4) Hipéol. óni gn uno l ángulo ( 0 ) s myo qu l ángulo (β 0 ); ( 0 > β 0 ). Tiángulo uiláto Pntágono Hxágono Hptágono Otágono Ts ángulos iguls Tiángulo quiláto Dos ángulos iguls β Tiángulo isósls ) Polígono igul Ts ángulos ifnts γ β Tiángulo slno Un ángulo to Tiángulo tángulo ) Tiángulo. Polígono ts los Un ángulo otuso Tiángulo otusángulo Ts ángulos guos Tiángulo utángulo β β β β uo Rtángulo Romo Romoi Pllogmo. uiláto on los opustos pllos Tpio URV. Tpio tángulo Tpio isósls Tpio. uiláto on solo os los pllos ) uiláto. Polígono uto los fig.7.\ Polígono. Tpzoi. uiláto sin los pllos Lín l plno o l spio qu no tin sgmntos tos. Ls us s lsifin n: ) óni. u qu s gn l sion un ono to oluión on un plno\ fig.8. DEPENDIENDO DE L RELIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS: o : Ángulo qu fom l plno () sionnt on l plno s l ono. β o : Ángulo qu fomn ls gntis 2 (g) l ono on l plno s l mismo. LS ÓNIS SE DENOMINN\ fig.8: 2 Rts qu ontinn l éti (V) l ono y un punto (P) su iunfni s. 4 El stuio ls ónis s gn impotni n los mpos l Ópti, stonomí, Físi, iologí, Infomáti, Ingnií, nt ots, y qu son l s l isño y onstuión lnts, spjos, y supfiis: líptis, iuls pólis ipólis, los uls son omponnts snils : miosopios, tlsopios, s, ntns pólis, toolitos, istniómtos, t, gn uso n sts inis. ) us Mtmátis, Físis, Estístis, t. Ests us son gns po uions popis un sts inis, y su stuio s gn utili n l soluión polms lionos on ls misms. En l fig.8 s must un u tigonométi. ) Espil químis. u l plno, gn po un punto (P) qu s mu on loi linl onstnt (), lo lgo un t (); mints st gi, on loi ngul unifom (ϖ), lo un punto fijo ontnio n ll\ fig.8. ) Inolut ó Enolnt. u l plno, gn po un punto fijo (P) un ilo, mints st s snoll pti un sgmnto, polígono gul ó iunfni\ fig.8. L inolut un íulo s utiliz n l onstuión los ints ngnjs. ) iloi. u l plno, gn po un punto fijo (P) un iunfni qu u sin slizs lo lgo un t ()\ fig.8. Ls ilois tinn pliión n l onstuión los ints ngnjs. f) tni. u pln qu fom, po l ión su popio pso, un ilo, ompltmnt omogéno, flxil inxtnsil, uno s fijn os sus puntos\ fig.9. L tni, tin gn pliión n l Ingnií Eléti p l isño y oloión líns létis, y qu los ls, l s suspnios, gnn st tipo us y su stuio pmit tmin los sfuzos qu sán somtios po l ión su popio pso. En l Ingnií iil s plin n l isño y onstuión punts olgnts. g) Hli. u l spio, gn po un punto (P), un t (), l ul s splz, on loi onstnt (), y ot, on loi onstnt (ϖ), so ot t (), on l qu s ot (fig.9). Un éli pu s: 1) Héli ilíni. Si l punto (P) qu l gn s un punto fijo l t ()\ fig.91.

19 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. ONEPTOS ÁSIOS g β ο V P iunfni 0 = 0 0 β ο Elips 0 < β 0 ο ο β ο Páol 0 = β 0 ) óni ο β ο Hipol 0 > β 0 plin tmién n l Inusti Puliiti p l onstuión isos puliitios. ) tni 1,0 f(x)=sno 0 ) Héli 0,5 0-0,5-1, ) u tigonométi 0 P P ϖ 1) Héli ilíni 2) Héli óni fig.9.\ tni - Héli. p ϖ P ÍRULO. Figu gométi pln limit po un iunfni. En l fig.10. S mustn l íulo y sus pts. ϖ iunfni Tngnt o íulo Rio Diámto u ) Espil químis Snt P P D P Sto unt íulos onéntios Inolut un Rt. Inolut un Polígono. Inolut un íulo. Sgmnto ) Inolut ó (nolnt) Smiíulo íulos Exéntios fig.10.\ íulo y sus pts. ) iloi fig.8.\ u. 2) Héli óni. Si l punto (P) qu l gn, s mu, on loi linl onstnt ( p ), lo lgo l t ()\ fig.92. Ls élis tinn pliión n l Ingnií Máni p l onstuión oss tonillos y tonillos sin fín p ngnjs tnspotos; tmién n l Ingnií iil y quittu ls élis s utilizn p l isño y onstuión sls n spil (sls ol); s P SUPERFIIE. onfiguión gométi qu pos solo os imnsions. Los pinipls tipos supfii son: ) Supfii gl. Supfii gn po l moiminto un t, nomin gntiz (g), mntniénos n ontto on ot ú ots líns, nomins itis (), y umplino más its oniions ptiuls. Ent ls supfiis gls s pun mnion\ fig.11: 1) Plno. Supfii gl gn po l moiminto un gntiz (g), qu s mntin n ontto on un itiz () t, sino plls tos ls posiions l gntiz\ fig.11. 5

20 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. ONEPTOS ÁSIOS ) Supfii utu simpl. Supfii gl n l ul os posiions ynts l gntiz (g) son oplns (son plls o s otn)\ fig.11. Ls supfiis utu simpl son supfiis sollls, s i qu pun xtns so un plno. Ejmplos sts supfiis son: 1) Supfii ilini. Supfii gn po l moiminto un gntiz (g) qu s mntin n ontto on un itiz () u, sino más plls tos ls posiions l gntiz. Ls supfiis ilínis pun s\ fig.111: i) Supfii ilini oluión. Supfii ilíni n l ul tos ls posiions l gntiz (g) quiistn un j (), pllo ll. ii) Supfii ilini nó oluión. Supfii ilíni n l ul no s posil fini un j () qu quiist tos ls posiions l gntiz (g). 2) Supfii óni. Supfii gl gn po l moiminto un gntiz (g), mntniénos n ontto on un itiz () u, tnino, tos ls posiions l gntiz (g), un punto omún (V), nomino éti. S lsifin\ fig.112: i) Supfii óni oluión. Supfii óni n l ul, tos ls posiions l gntiz (g), fomn l mismo ángulo on un j (), qu ps po l éti (V). ii) Supfii óni nó oluión. Supfii óni n l ul no s posil fini un j (), qu fom l mismo ángulo on tos ls posiions l gntiz. ) Supfii l. Es un supfii gl nó solll, s i, n l ul, os posiions susis l gntiz no son oplns. Ent st tipo supfiis, s pu it\ fig.11: 1) ilinoi. L gntiz (g) s splz mntniénos pll un plno ito (δ) y poy so os itis ( 1 y 2 ) us\ fig ) onoi. L gntiz (g) s splz mntniénos pll un plno ito (δ) y poy so os itis, sino un lls t ( 1 ) y l ot u ( 2 )\ fig ) Supfii olmnt gl. Supfii gl n l ul po uno sus puntos psn os gntis (g 1 y g 2 ). Ent lls s pun it\ fig.113: i) Poloi ipólio. L gntiz (g) s splz mntniénos pll un plno ito (δ) y poy so os itis ts ( 1 y 2 ) qu s uzn. ii) Hipoloi oluión. L gntiz (g) s poy so os itis ( 1 y 2 ) iuls, plls, y s mu mntnino onstnt l ángulo ( 0 ) qu fom lls. ) Plno δ Plno Dito Supfii ilini oluión V g 1) Supfii ilini Supfii ilini nó oluión Supfii óni oluión. Supfii óni nó oluión. 2) Supfii óni ) Supfiis utu simpl δ Plno Dito Plno Dito g 2 g 1) ilinoi P g δ Plno Dito Plno Dito g 1 2 Poloi Hipólio. Hipoloi Roluión. 3) Supfii olmnt gl ) Supfiis ls 2 fig.11.\ Supfiis Rgls. V g 2) onoi ) Supfii ol utu. Son supfiis gns po l moiminto un gntiz (g) u. Ests supfiis no ontinn líns ts y po lo tnto no son sollls. Ent lls son muy onois ls uáis, ls uls son supfiis gns po l otión un u óni lo uno sus js. Ls uáis son\ fig.12: 1) Esf. L gntiz (g) s un iunfni. 2) Elipsoi. L gntiz (g) s un lips. 0 P g g 1 g 2 g 1 g 1 2 6

21 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. ONEPTOS ÁSIOS 3) Poloi. L gntiz (g) s un páol. 4) Hipoloi. L gntiz (g) s un ipéol. Esf SÓLIDO. g Elipsoi g g Poloi fig.12.\ Supfiis ol utu. Espio limito po supfiis. S lsifin n: g g Hipoloi ) Polio. Sólio limito po supfiis plns (polígonos). Los polígonos qu limitn l sólio s nominn s; los los stos polígonos ists; y los puntos on onun is ists étis. Los polios s nominn\ fig.13: 1) Polio igul. Polio qu pos s ifnts y/o ists longitus istints. Sgún l númo sus s, s nominn: Tto, pnto, xo, pto ú oto. Polio uto, ino, sis, sit, u oo s sptimnt\ fig.13. 2) Polio gul. Polio uys s son polígonos guls iguls, y tos sus ists son igul longitu; n onsuni, toos sus étis stán ontnios n un sf. Los polios guls son ino y s nominn\ fig.13: i) Tto gul. Polio finio po uto tiángulos quilátos iguls. ii) Hxo gul (uo). Polio finio po sis uos iguls. iii) Oto gul. Polio finio po oo tiángulos quilátos iguls. i) Doo gul. Polio finio po o pntágonos guls iguls. ) Ioso gul. Polio finio po int tiángulos quilátos iguls. 3) Pism. Polio finio po os polígonos iguls y pllos (ss) y uys s ltls son pllogmos. L t qu un los ntos gométios ls ss s nomin j l pism (). Los pisms s nominn\ fig.13: i) Pism to. Si l j (), s ppniul ls ss; n uyo so tos sus s ltls son tángulos. ii) Pism oliuo. Si l j (),no s ppniul ls ss. iii) Pism gul. Pism uys ss son polígonos guls. Pun su z s: 7 ) Pism gul to. Pism gul uyo j (), s ppniul ls ss; n uyo so tos sus s ltls son tángulos iguls. ) Pism gul oliuo. Pism gul uyo j (), no s ppniul ls ss. i) Pllpípo. Pism uys ss son pllogmos. Pun s su z tos u oliuos. 4) Piámi. Polio finio po un polígono s, y uys s ltls son tiángulos qu posn un éti omún (V), nomino éti l piámi, no ontnio n l plno s. L t qu ps po l éti l piámi y l nto gométio l s s nomin j l piámi (). Ls piámis s nominn\ fig.13: i) Piámi t. Si l j (), s ppniul l s. ii) Piámi oliu. Si l j (), no s ppniul l s. iii) Piámi gul. Piámi uy s s un polígono gul. Pun su z s: ) Piámi gul t. Piámi gul uyo j (), s ppniul l s; n uyo so, tos sus s ltls son tiángulos isósls iguls. ) Piámi gul oliu. Piámi gul uyo j (), no s ppniul l s. ) upo ono. Sólio qu ontin supfiis us. Ent llos s pun mnion\ fig.14: 1) ilino. Sólio limito po un supfii ilíni y po os ss plns plls. L t qu ps po los ntos gométios ls ss s nomin j l ilino (), y s pll l gntiz (g) l supfii ilíni. Los ilinos pun s\ fig.14: i) ilino to. Si l j (), s ppniul ls ss. ii) ilino oliuo. Si l j (), no s ppniul ls ss. iii) ilino oluión. ilino limito po un supfii ilíni oluión. Pun su z s: ) ilino oluión to. ilino oluión uyo j (), s ppniul ls ss. ) ilino oluión oliuo. ilino oluión uyo j (), no s ppniul ls ss. 2) ono. Sólio limito po un supfii óni y po un s pln. L t qu ps po l éti (V), l supfii óni y l nto gométio l s s nomin j l ono (). Los onos pun s\ fig.14:

22 Gomtí Dsipti ONEPTOS ÁSIOS Ing. lto M. Péz G. i) ono to. Si l j (), s ppniul l s. ii) ono oliuo. Si l j (), no s ppniul l s. iii) ono oluión. ono limito po un supfii óni oluión. Pun su z s: ii) Too (nillo). Su supfii l gn un iunfni ó un lips, qu gi lo un j (), opln on ll, y situo fu ll. ) ono oluión to. ono oluión uyo j (), s ppniul l s. ) ono oluión oliuo. ono oluión uyo j (), no s ppniul l s. ilino to ilino oliuo ilino nó oluión ilino to oluión ilino oluión oliuo ilino oluión ) ilino V V V V Tto Pnto Hxo Hpto ) Polios iguls Oto. ono to ono oliuo ono to oluión ono oluión oliuo ono nó oluión ono oluión ) ono Tto gul Hxo gul (uo) Oto gul Doo gul Ioso gul ) Polios guls Esf Elipsoi Poloi Hipoloi Too Sólios limitos po supfiis uáis ) Sólios oluión fig.14.\ upos onos. Pism to Pism igul Pism oliuo ) Pisms Pism gul to Pism gul Pism gul oliuo TRZDO. En l fig.15, s mustn los tipos ásios tzo, utilizos n l loión un iujo. ontono isil Poiminto ontono inisil Piámi t Piámi oliu Piámi igul ) Piámis Piámi gul t fig.13.\ Polios. Piámi gul Piámi gul oliu Ej Vo tmño ot fig.15.\ Líns tzo. 3) Sólio oluión. Sólio limito po un gntiz u qu ot lo un j. Ent llos s pun mnion\ fig.14: i) Esf, lipsoi, poloi ipoloi. Espios limitos po stos tipos supfii y sits. 8

23 Gomtí Dsipti TRZDO Ing. lto M. Péz G. EL JUEGO DE ESUDRS. ) Rts 45 0 ) Rts 75 0 Un jugo sus, s ompon un su y un tón. Sino l ipotnus l su, igul longitu qu l tto myo l tón\ fig.16. tón Esu fig.16.\ Jugo sus. TRZDO DE RETS ON LS ESUDRS. Po mio ls sus, pun tzs ts plls, ts ppniuls y ts qu s otn ulqui ángulo qu s múltiplo 15 0, sgún pu oss n ls fig.17 fig.19: // ) Rts 15 0 fig.19.\ Tzo ts 45 0 ; 75 0 y TRZDO DE UN RET (t) TNGENTE UN IRUNFERENI. ) Po un punto (T), ontnio n l iunfni.\ fig.20. ) ) t T T ) Rts plls ) Rts ppniuls t O O fig.17.\ Tzo ts plls; y ppniuls. fig.20.\ Rt (t), tngnt un iunfni, n un punto (T) ll. ) Po un punto (), no ontnio n ll. Ejmplo: Tz un t (t), tngnt un iunfni, y qu ps po un punto () xtno ll\ fig.21: ) Rts 30 0 ) Rts 60 0 fig.18.\ Tzo ts 30 0 ; y Soluión: ) S tz l sgmnto (-O), y s fin su punto mio (M)\ fig.21. ) on nto n (M), s iuj l o qu ps po l nto (O) l iunfni, tminno sus puntos ot (T 1 y T 2 ) on l mism. ) Ls ts (t 1 y t 2 ), qu ptn l punto () y psn po los puntos (T 1 y T 2 ), son tngnts l iunfni. 9

24 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. TRZDO T1 t 1 O M T 2 O t fig.21.\ Rt (t), tngnt un iunfni, y qu ps po un punto (), xtno ll. fig.24.\ Diujo un tiángulo quiláto (), onoio l éti () y l t () qu ontin l lo (-). DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PRTES IGULES. Ejmplo: Diii l sgmnto (-) n ino pts iguls\ fig.22. Soluión: O O ) S tz un t () ulqui, qu ps po uno los xtmos l sgmnto; n l jmplo s tzó po l punto ()\ fig.22. ) S mn n l t (), y pti l punto (), ino iisions iguls. fig.25.\ Diujo un tiángulo quiláto (), onoio l éti () y l iunfni qu lo iunsi. ) S tnspotn, mint ts plls, ls ino iisions l t (), l sgmnto (-) fig.22.\ Diisión un sgmnto n ino pts iguls. ) UDRDO\ fig.26; y fig.27. D ) Tzno ppniuls y igonls. D ) Tzno ppniuls y os. fig.26.\ Diujo un uo (D), onoio l lo (). TRZDO DE POLÍGONOS REGULRES. ) TRIÁNGULO EQUILÁTERO\ fig.23; fig.24; y fig.25. O O ) Po mio los ángulos. ) otno os. fig.23.\ Diujo un tiángulo quiláto (), onoio l lo (). fig.27.\ Diujo un uo (D), onoio l éti (), y l iunfni qu lo iunsi. D 10

25 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. TRZDO ) HEXÁGONO REGULR\ fig.30; y fig.31. ) PENTÁGONO REGULR\ fig.28; y fig.29. E D =-2 1 F M Punto mio (-) 2 fig.30.\ Diujo un xágono gul (DEF), onoio l lo (). ) S fin l éti () D E D E =-2 E O F O M ) S fin l éti (E) M ) S fin l éti (D) fig.31.\ Diujo un xágono gul (DEF), onoio l éti () y l iunfni qu lo iunsi. fig.28.\ Diujo un pntágono gul (DE), onoio l lo (). ) HEPTÁGONO REGULR\ fig.32; y fig.33. E F D G O O O 30 0 = fig.32.\ Diujo un ptágono gul (DEFG), onoio l lo (). 1 E O E O G =- O F O fig.29.\ Diujo un pntágono gul (DE), onoio l éti () y l iunfni qu lo iunsi. D fig.33.\ Diujo un ptágono gul (DEFG), onoio l éti () y l iunfni qu lo iunsi. E D f) OTÁGONO REGULR\ fig.34; y fig

26 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. TRZDO F 45 0 E D El métoo gnl mosto n l fig.36, s s n iii l iunfni qu iunsi l polígono, n tnts pts iguls, omo l númo los qu tná l polígono iuj. El métoo gnl mosto n l fig.37, s s n iii l iámto l iunfni qu iunsi l polígono, n tnts pts iguls, omo l númo los qu tná l polígono iuj. D G D fig.34.\ Diujo un otágono gul (DEFGH), onoio l lo (). H ) S ii l iámto n sit pts iguls. Y s finn los étis (V y V 1 ) V O V O G H F O fig.35.\ Diujo un otágono gul (DEFGH), onoio l éti () y l iunfni qu lo iunsi. E D ) S tzn, s los étis (V y V 1 ), y psno po ls iisions ps, ls ts qu ontinn los étis l polígono. 1 G 2 3 V V 1 4 F 5 6 fig.37.\ Diujo un ptágono gul, (Métoo gnl). E 7 D MÉTODOS GENERLES DE TRZDO DE POLÍGONOS REGULRES. Po mio los métoos gnls mostos n ls fig.36, fig.38, s pun iuj polígonos guls ulqui númo los. ) ONOIDO UN VÉRTIE () Y L IRUNFERENI QUE L IRUNSRIE = 51, ,428 0 x 1 = 51,4 o 51,428 0 x 2 = 102,9 o 51,428 0 x 3 = 154,3 o 51,428 0 x 4 = 205,7 o 51,428 0 x 5 = 257,1 o 51,428 0 x 6 = 308,6 o 51,428 0 x 7 = 360,0 o 257, ,6 0 F G E O 0 =360 0 O D 205, ,3 0 51, ,9 0 ) ONOIDO UN LDO. El métoo mosto n l fig.38, s s n iii l smiíulo io (-), iujo so l lo (-) o, n tnts pts iguls, omo los tná l polígono iuj = 25, ,9 0 77, ,6 0 51,4 0 F 1 E 1 G D 1 154,3 0 25, ) S ii l smiíulo io (-) n sit pts iguls. F 1 E 1 D 1 fig.38.\ Diujo un ptágono gul, (Métoo gnl). G F E 1 D fig.36.\ Diujo un ptágono gul, (Métoo gnl). 12

27 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. ESL ESL. Es l popoión umnto o isminuión qu xist nt ls imnsions ls y ls imnsions psnts un ojto. En fto, p psnt un ojto gns imnsions, n iiis tos sus mis po un fto myo qu uno, n st so nomino sl uión; y p psnt ojtos pquñs imnsions, tos sus mis s multiplin po un fto myo qu uno, nomino sl mpliión. L sl utiliz s tmin ntons n funión ls mis l ojto y ls mis l ppl n l ul sá psnto. El iujo o sl mntná st fom tos ls popoions l ojto psnto, y mostá un imgn l pini l l mismo. Finlmnt, n inis so l iujo ls imnsions l ojto l, y l sl n qu sio loo. En l fig.39, s must un uo 1 m. lo iujo n sus imnsions ls (iujo sl ntul ó sl 1/1). En l fig.39, s must l mismo uo psnto n sl 2/1 (multiplis sus mis po os). Y n l fig.39, s must l mismo uo psnto n sl 1/2 (iiis sus mis po os). s: 2/1 0 1 m 2 3 sl ntul s: 1/1 0 1 m s: 1/1, m s: 1/ m 15 s: 1/2, m 15 s: 1/ m s: 1/1 s: 2/1 s: 1/2 s: 1/7, m m 1 m 1 m s: 1/ m m 1 m 1 m fig.39.\ Rpsntions sl un uo. s: 1/ m En l fig.40, s mustn lgunos ftos sls uión y mpliión. fig.41.\ Esls. sl 1/1 1/1,25 1/2 1/2,5 1/5 1/7,5 1/10 sls uión fto uión 1 1,25 2 2,5 5 7,5 10 longitu psntión 1 mto 100 ms. 80 ms. 50 ms. 40 ms. 20 ms. 13,33 ms. 10 ms. sl 1/1 1,33/1 2/1 4/1 5/1 8/1 10/1 sls mpliión fto umnto 1 1, longitu psntión 1 m. 1 ms. 1,33 ms. 2 ms. 4 ms. 5 ms. 8 ms. 10 ms. ESLÍMETRO. Es un gl ó un jugo gls qu ontin simultánmnt is sls ifnts. Son muy omuns los slímtos fom tingul qu ontinn sis sls omo l mosto n l fig.42. fig.40.\ Ftos sls uión y mpliión. P it l lizión multipliions ó iisions n l loión un iujo sl, s tj on gls gus nomins sls, ls uls son onstuis n s los ftos uión ó mpliión ls sptis sls. En l fig.41, s mustn lguns sts sls. fig.42.\ Eslímto. 13

28 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. pítulo 2 SISTEMS DE PROYEIÓN. En st pítulo s un sipión los sistms poyión ms utilizos n Ingnií y quittu, siino l funmnto ásio l juión poyions n stos sistms. El ojtio pinipl l pítulo s qu l stuint onoz stos sistms poyión, y sp intifi uno un ojto st psnto n uno llos. l igul qu l pítulo ntio, l át l psnt pitulo s ásimnt infomtio po lo tnto s psntn ls tístis ms snils stos sistms poyión sin nt n sipions pofuns sus métoos tjo.

29 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. SISTEMS DE PROYEIÓN SISTEMS DE PROYEIÓN. Un sistm poyión s un sistm po mio l ul pu s fini l poyión un ojto so un supfii. En too sistm poyión intinn uto lmntos nominos:\ fig.43: ) Ojto. Es l ojto qu s s psnt. Pu s un punto, t, plno, supfii, sólio, t; n fin ulqui lmnto gométio ú ojto n si. ) Punto osión. Punto s l ul s os l ojto qu s qui psnt. Es un punto ulqui l spio. ) Supfii poyión. Es l supfii so l ul s poytá l ojto. Gnlmnt s un plno; unqu tmién pu s un supfii sféi, ilíni, óni, t. ) Poytnts. Son ts imginis qu unn los puntos l ojto on l punto osión. L poyión (P') ulqui punto (P) l ojto s otin intptno su poytnt on l plno poyión. 1) Poyión otogonl. Tmién nomin poyión otogáfi. S otin uno ls poytnts son ppniuls l plno poyión. L poyión otogonl s muy utiliz n l isño pizs mánis y mquinis\ fig.44. Los pinipls tipos poyión otogonl son: i) Poyión n ists múltipls. ist s un poyión otogáfi. P otn un ist s olo l plno poyión pfntmnt pllo un ls s pinipls l ojto\ fig.45. Punto osión muy ljno fig.45.\ Vist otogáfi. Punto Osión Poytnt P Poyión Supfii Poyión P Ojto Los ojtos s psntn gnlmnt n ts ists otogáfis. Los métoos utilizos p tmin sts ists son: ) Poyión n l séptimo tio (séptimo otnt). Uso n los Estos Unios y ná.\ fig.46. fig.43.\ Sistm poyión. Séptimo tio LOS SISTEMS DE PROYEIÓN MS USDOS SON: ) Poyión ilíni. S otin uno l punto osión s nunt un istni tn gn l ojto, qu pmit onsi qu ls poytnts son plls l intpts on l plno poyión (fig.44). Los pinipls tipos poyión ilíni son: Plnt ) Poyión otogonl ) Poyión oliu fig.44.\ Poyión ilíni. Fontl D fig.46.\ Poyión n ists múltipls n l séptimo tio. 15

30 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. SISTEMS DE PROYEIÓN ) Poyión n l pim tio (pim otnt). Uso n too l muno, xpto n los Estos Unios y ná.\ fig.47. iii) Poyión xonométi. S otin uno l plno poyión no s pllo ninguno los ts js pinipls l ojto\ fig.49. Pim tio Punto osión muy ljno fig.49.\ Poyión xonométi. D Fontl L poyión xonométi, pnino los ángulos qu fomn nt sí los js xonométios (poyions los js pinipls l ojto), s nomin: Plnt fig.47.\ Poyión n ists múltipls n l pim tio. ii) Poyión ot. Es un poyión otogonl so l qu s otn n punto, lín, u ojto psnto l ltu (ot) l mismo on spto ulqui plno fni qu s pllo l plno poyión\ fig.48. L poyión ot s muy páti uno s nsio psnt gáfimnt ojtos iguls; zón po l ul s us funtmnt p l isño tos iins; onstuión punts, pss, uutos, gsoutos, ts, tminión ás pls, tzo linos, y iujos topogáfios plnts y pfils tnos, nt otos. Punto osión muy ljno 0 2 fig.48.\ Poyión ot ) Poyión isométi. S otin uno los ts ángulos qu fomn los js xonométios son iguls. l psnt ojtos n poyión isométi s mi n un mism sl so los ts js isométios.\ fig fig.50.\ Poyión isométi. ) Poyión iméti. S otin uno solo os los ts ángulos qu fomn los js xonométios son iguls. l psnt un ojto n poyión iméti mis n os los js xonométios on un mism sl y on un sl ifnt n l t j xonométio. L fom gáfi tmin l lión nt ls sls so los ts js xonométios p ulqui istiuión los mismos, s must n l fig.52. No ostnt, n l fig.51, s mustn ts istiuions muy uss js imétios on sus sptis sls, sts popoions ifin muy poo los 16

31 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. SISTEMS DE PROYEIÓN los tóios ls, los uls s usos ifuultián gnmnt l juión l imtí. l fini un poyión oliu l j nt (j pofuni l ojto) s pu poyt fomno ulqui ángulo ( o ) on spto los otos os; inpnintmnt st ángulo ( o ), l pofuni l ojto s pu poyt tmién n ulqui longitu (tóimnt st un longitu infinit). Po lo tnto, l iuj n poyión oliu, s tz l j nt ulqui ángulo, y s min ls pofunis so l n ulqui sl\ fig / 4 3 / / / 2 0 X 0 Y ,5 2, β 0 Z γ / / / / / fig.52.\ Poyión timéti. 1 fig.51.\ Poyions imétis. ) Poyión timéti. S otin uno los ts ángulos qu fomn los js xonométios son ifnts. En l poyión timéti j xonométio pos su popi sl ifnt l los otos os.\ fig.52 2) Poyión oliu. S otin uno ls poytnts no son ppniuls l plno poyión (fig.44). Pfntmnt l iuj n poyión oliu s olo l plno poyión pllo un ls s pinipls l ojto; y qu st fom i s poytá n o tmño\ fig.53. Punto osión muy ljno fig.53.\ Poyión oliu. 17

32 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. SISTEMS DE PROYEIÓN j nt ulqui sl 1 ulqui ángulo 1 fig.54.\ Poyión oliu. 1 Sin mgo, l sl utiliz p l j nt lgis n fom intuiti, n funión l ángulo n qu s iuj, moo qu l psntión l ojto must un piión l su fom y popoions. Ent ls poyions olius ms utilizs s pun mnion: i) Poyión ll\ S oiginó n l iujo ls fotifiions mils.\ fig fig.55.\ Poyión ll. ii) Poyión gint\ Ri st nom io qu s usó gnmnt n l inusti l mul.\ fig.56 1 / fig.57.\ Poyión oliu é. ) Poyión óni. Dnomin tmién pspti. S otin uno l punto osión y l ojto s nuntn ltimnt nos\ fig.58. Gométimnt, un fotogfí s un pspti; zón po l ul l poyión óni sops n xlni los más sistms poyión po s l qu ms s l ist l otni po l oso. El iujo n pspti s muy utilizo n l isño quittónio, iil, inustil, puliitio, t. ls psptis pun s: 1) Pspti un punto fug. S otin uno l plno poyión s pllo un ls s pinipls l ojto (l plno poyión s pllo os los ts js pinipls l ojto)\ fig.59. 2) Pspti os puntos fug. S otin uno l plno poyión s pllo solmnt uno los ts js pinipls l ojto\ fig.60. 3) Pspti ts puntos fug. S otin uno ninguno los ts js pinipls l ojto s pllo l plno poyión\ fig Poytnts Plno Poyión Ojto 1 fig.56.\ Poyión gint. Punto Osión Poyión iii) Poyión oliu é. Es un poyión oliu liz so un iujo n plnt un ifiión, unismo, t. on l finli pi su fom tiimnsionl\ fig.57. fig.58.\ Poyión óni. 18

33 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. SISTEMS DE PROYEIÓN Punto osión Plnt Hoizont Plno poyión Punto fug fig.59.\ Pspti un punto fug. Pspti Punto osión Fontl fig.62.\ Diujo un pspti un punto fug. Punto osión Plnt fig.60.\ Pspti os puntos fug. Plno poyión Punto osión Punto osión Hoizont Punto fug Punto fug fig.61.\ Pspti ts puntos fug. Fontl Ls psptis uno, os, y ts puntos fug, pun iujs n fom snill pti ls poyions n ists múltipls, omo s must n ls fig.62; fig.63; y fig.64, sptimnt. fig.63.\ Diujo un pspti os puntos fug. 19

34 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. SISTEMS DE PROYEIÓN 0 Plnt β 0 γ 0 Punto fug M 1 M 2 Punto fug M 3 Fontl Punto fug fig.64.\ Diujo un pspti ts puntos fug. 20

35 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. pítulo 3 PROYEIÓN DIÉDRI. ominz n st pítulo l stuio l sistm Dol Poyión Otogonl ó Poyión Diéi, l ul s l ojtio stuio pinipl st o. S inii on un sipión st sistm poyión, qu s s fini l poyión otogonl los ojtos n fom simultán so os plnos poyión ppniuls nt sí. D st fom s otin os poyions otogonls l ojto n stuio, po mio ls uls, s pu oni l fom tiimnsionl l mismo. Un z qu l stuint ompn los funmntos l sistm Dol Poyión Otogonl, sá pz psnt ojtos, y poá sol ulqui polm liono on l fom tiimnsionl los mismos, sin nsi lo omplis psptis o psntions n otos sistms poyión ms loiosos. Dspués l sipión st impotnt sistm poyión, omnzmos n st pítulo jitnos n l loión l ol poyión otogonl l "ojto" ms simpl qu pu s onsio "l punto". P ontinu spués on l stuio l poyión iéi l t y l plno.

36 Gomtí Dsipti PROYEIÓN DE PUNTOS Ing. lto M. Péz G. PROYEIÓN DE PUNTOS. DOLE PROYEIÓN ORTOGONL. Tmién llm poyión iéi. Es l poyión otogonl simultán un ojto so os plnos poyión ppniuls nt sí, llmos: plnos pinipls poyión; y n fom ptiul nominos: plno til poyión (); y plno oizontl poyión (). En l fig.65, s must l poyión iéi un punto (). L nomnltu utiliz psnt: ) :Plno til poyión. DIEDROS. Tmién nominos unts, son ls uto zons n qu los plnos pinipls poyión, l onsis l xtnsión infinit llos, iin too l spio qu los o\ fig.66. PL PLNO LTERL Z I II III ) :Plno oizontl poyión. ) :Posiión l l punto (). ) :Poyión otogonl l punto () so l plno til Poyión. Y IV ) Plno ltl ) unts (Dios) fig.66.\ Plno ltl / unts. ) :Poyión otogonl l punto () so l plno oizontl poyión. ) Poyión iéi l punto () Y Z O LT ) El sistm ol poyión otogonl fig.65.\ L ol poyión otogonl (poyión iéi). En l fig.65, s must l sistm poyión iéi on l siguint nomnltu iionl. ) LT :Lín ti. Es l intsión nt los plnos til y oizontl poyión. ) O :Oign. Punto omún los ts js oons, pti l ul s min ls oons los puntos. ) X :Ej oons (X). Ej so l ul s min ls oons (X) los puntos; oini on l lín ti. X DIUJO EN PROYEIÓN DIÉDRI. En l fig.65 s must un squm n pspti l sistm poyión iéi; no ostnt, l poyión iéi n sí, no s jut n pspti, si no qu s filit su loión otno l plno oizontl poyión lo l lín ti, st lo oinii on l plno til poyión, omo lo must l fig.67. En l fig.67 s must l mismo squm n poyión fontl. Y finlmnt, l fig.67, must l squm tjo n poyión iéi; st s otin sustituyno los js oons po un t oizontl (lín ti, ó j (X)), n l ul s sñl l oign po un pquño sgmnto til qu l ot. Es muy impotnt tn psnt qu n l psntión finiti (fig.67), los js oons y l oign no jn xisti; si no qu n sio sustíos l psntión, y unqu no s n iujos llos xistn n ls posiions qu ini l fig.67. Y Y Z O Y X Z O Y X ) Y :Ej oons (Y). Ej so l ul s min ls oons (Y) los puntos. ) Gio l plno oizontl poyión ) Rpsntión fontl spués l gio l ) Rpsntión finiti utiliz ) Z :Ej oons (Z). Ej so l ul s min ls oons (Z) los puntos. PLNO LTERL DE PROYEIÓN. Es un plno uxili poyión qu st finio po los js oons (Y) y (Z)\ fig.66. So st plno, uno s nsio, s poytn otogonlmnt los ojtos, nominános sts poyions: poyions ltls. fig.67.\ Diujo n poyión iéi. OORDENDS DE UN PUNTO. Son ls istnis, xpss n milímtos, qu l mis so los js oons, pti l oign, pmitn fini on xtitu l uiión un punto n l spio qu lo o (fig.68). En poyión iéi, ls oons s nominn: X : Distni l plno ltl. 22