marco teórico. capítulo 1 Geometría Descriptiva Ing. Alberto M. Pérez G.

Transcripción

1 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. pítulo 1 mo tóio. Toos los ojtos os po l om, s un simpl lfil st l más omplj mquini, plnt inustil, o iil, t, son onios iniilmnt n fom mntl, y nts su fiión n s sitos on to pisión p sol on xtitu ulqui polm liono on su fom, tmño y funionli. Es l stuio l Gomtí Dsipti, lo qu pmit fini otmnt l psntión pln (poyión) los ojtos tiimnsionls nts ó spués su xistni l. Estui Gomtí Dsipti s stui l muno qu nos o, s sii l fom : tonillos; sots; ngnjs; lojs; sills; mss; tlisos; os; ss; unizions; ts; pss; plnts; glxis; n fin, toos los ojtos físios qu nos on pun s onios po l om mint psntions plns los mismos, y s l Gomtí Dsipti l qu fin ls gls qu ign l loión sts poyions. S log fini gáfimnt ulqui ojto, mint l sinttizión l mismo sus lmntos gométios ms simpls, omo lo son: puntos; líns; supfiis; ángulos; t. Es po lo tnto nsio qu l stuint Gomtí Dsipti omin y xps stos onptos n fom ot, zón po l ul s inii l psnt o on st pim pítulo, n l ul s sin n fom simpl los onptos gométios ásios myo uso n l stuio l Gomtí Dsipti. más, pnsno n l jitión páti l stuint n l soluión polms Gomtí Dsipti, s inluyn n st mo tóio ls foms lmntls : tzo; mnjo sus y ompás; y s inluy un sipión l onpto sl. S supon qu too l ontnio st pim pítulo s l onoiminto pio l stuint Gomtí Dsipti, zón po l ul s psnt n fom onis y on át piniplmnt infomtio.

2 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. NEPTS ÁSIS NEPTS ÁSIS. PUNT. Es l psntión un posiión fij l spio. No s un ojto físio, po lo tnto fom y imnsions. En l fig.1, s mustn lguns foms psnt un punto. LÍNE. otno líns on un íulo fig.1.\ Rpsntión un Punto. on un uo Es un susión infinit puntos. Un lín pu s: ) t, ) poligonl (qu), ó ) u\ fig.2. SEGÚN L PSIIÓN RELTIV EN QUE SE ENUENTREN DS RETS, SE DEFINEN M: ) Rts qu s otn. Si ls ts posn un punto n omún. En st so ls ts stán ontnis n un mismo plno\ fig.4. ) Rts plls. Si mntinn infinimnt l istni nt lls. En st so ls ts stán ontnis n un mismo plno\ fig.4. ) Rts qu s uzn. Son os ts qu no s otn ni son plls. En st so ls ts no stán ontnis n un mismo plno\ fig.4. P ) Rts qu s otn ) Rts plls ) Rts qu s uzn ÁNGUL. fig.4.\ Posiión lti nt ts. Poión un plno ompni nt os smits oign omún. ) u UN ÁNGUL, SEGÚN SU MEDID NGULR EN GRDS SEXGESIMLES 1, SE DEFINE M: ) óno. Si mi nt y \ fig.5. RET. ) Rt ) Poligonl (Qu) ) u fig.2.\ Líns. Lín iión onstnt. Un t pu s fini po os puntos, los qu un oino su mno istni. LGUNS PRTES DE UN RET SN: ) Smit. un ls os pts n qu ii un t, uno ulqui sus puntos\ fig.3. ) Sgmnto. Poión un t ompni nt os sus puntos\ fig.3. Ls smits son longitu infinit, mints qu los sgmntos son longitu finit. ) Llno. Si mi \ fig.5. ) omplto. Si mi \ fig.5. ) onxo. Si min mnos S finn su z\ fig.5: 1) guo. Si mi mnos ) Rto. Si mi ) tuso. Si mi nt 90 0 y DS ÁNGULS SE DEFINEN M: Ángulos onsutios. Si s uin uno ontinuión l oto. su z s nominn\ fig.5: ) omplmntios. Si l sum sus mis nguls s igul ) Suplmntios. Si l sum sus mis nguls s igul ) Smits () y () ) Sgmnto (-) fig.3.\ Pts un Rt. DS RETS QUE SE RTN DEFINEN UTR ÁNGULS, LS ULES, TMDS EN PRES, SE DEFINEN M: ) pustos. Si no posn ningun smit omún. En st so sus mis nguls son iguls\ fig.5f. ) ynts. Si posn un smit omún. En st so son ángulos suplmntios\ fig.5g. 1 Un go sxgsiml s l 90. pt l ángulo to. 2

3 Gomtí Dsipti NEPTS ÁSIS Ing. lto M. Péz G. SI DS RETS PRLELS SN RTDS PR UN TERER RET, SE FRMN H ÁNGULS, LS ULES, NSIDERDS EN PRES DE IGUL MEDID NGULR, SE DEFINEN M: ) Ángulos ltnos. Los uls s gupn n\ fig.5: 1) Ángulos ltnos intnos. 2) Ángulos ltnos xtnos. ) Ángulos osponints,\ fig.5i. ) óno 180 o <<360 0 ) Llno =180 0 ) Ángulos onsutios f) Ángulos opustos ltnos intnos ) Ángulos ltnos PLIGNL. ) omplto =360 0 ltnos xtnos. guo <90 0 omplmntios Rto =90 0 ) onxo <180 0 g) Ángulos ynts fig.5.\ Ángulos. tuso 90 o <<180 0 Suplmntios i) Ángulos osponints Lín fom po sgmntos tos onsutios no linos. Un poligonl pu s\ fig.6: ) Poligonl it. Si l pim y último sgmntos no stán unios\ fig.6. ) Poligonl. Si sgmnto st unio otos os\ fig.6. ) Polígonos guls. Polígonos n los uls toos sus los son igul longitu, y toos sus étis stán iunsitos n un iunfni. D uo l númo sus los, los polígonos guls s nominn\ fig.7: 1) Tiángulo quiláto. Polígono gul ts los. 2) uo. Polígono gul uto los. 3) Pntágono, xágono, ptágono u otágono gul. Polígono gul ino, sis, sit u oo los sptimnt. ) Polígonos iguls. Son polígonos n los uls sus los no son igul longitu, y/o sus étis no stán ontnios n un iunfni. S lsifin su z, sgún l númo sus los n\ fig.7: 1) Tiángulo. Polígono ts los. Los tiángulos s nominn\ fig.7: i) Tiángulo quiláto. Si sus ts ángulos son iguls. ii) Tiángulo isósls. Si solo os sus ángulos son iguls. iii) Tiángulo slno. Si sus ts ángulos son ifnts. i) Tiángulo tángulo. Si tinn un ángulo to. ) Tiángulo otusángulo. Si tinn un ángulo otuso. i) Tiángulo utángulo. Si sus ts ángulos son guos. 2) uiláto. Polígono uto los. Los uilátos s lsifin n\ fig.7: i) Pllogmo. uiláto n l qu los los opustos son pllos. S nominn su z: ) uo. Pllogmo n l ul los uto ángulos son tos y los uto los son igul longitu. ) Rtángulo. Pllogmo n l ul los uto ángulos son tos, po los los ynts no son igul longitu. ) Romo. Pllogmo qu no tin ángulos tos, po sus los son igul longitu. D) Romoi. Pllogmo qu no tin ángulos tos y sus los ynts no son igul longitu. ) Poligonl it PLÍGN. fig.6.\ Poligonl. ) Poligonl Figu gométi pln limit po un poligonl qu no s ot sí mism. Los polígonos s lsifin n\ fig.7: ii) Tpio. uiláto qu tin solo os los pllos. S finn su z omo: ) Tpio tángulo. Tpio qu tin os ángulos tos. ) Tpio isósls. Tpio n l qu sus los no pllos son igul longitu. iii) Tpzoi. uiláto qu no tin los pllos. 3

4 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. NEPTS ÁSIS 3) Pntágono, xágono, ptágono, otágono. Polígono ino, sis, sit u oo los sptimnt\ fig.7. Tiángulo quiláto uo Pntágono gul Hxágono gul ) Polígono gul Hptágono gul tágono gul Tiángulo uiláto Pntágono Hxágono Hptágono tágono Ts ángulos iguls Tiángulo quiláto uo Dos ángulos iguls Tiángulo isósls ) Polígono igul Ts ángulos ifnts Tiángulo slno Un ángulo to Tiángulo tángulo ) Tiángulo. Polígono ts los Rtángulo Romo Un ángulo otuso Tiángulo otusángulo Pllogmo. uiláto on los opustos pllos Tpio URV. Tpio tángulo Tpio. uiláto on solo os los pllos Tpio isósls ) uiláto. Polígono uto los fig.7.\ Polígono. Ts ángulos guos Tiángulo utángulo Romoi Tpzoi. uiláto sin los pllos Lín l plno o l spio qu no tin sgmntos tos. Ls us s lsifin n: ) óni. u qu s gn l sion un ono to oluión on un plno\ fig.8. DEPENDIEND DE L RELIÓN ENTRE LS ÁNGULS: o : Ángulo qu fom l plno () sionnt on l plno s l ono. o : Ángulo qu fomn ls gntis 2 (g) l ono on l plno s l mismo. LS ÓNIS SE DENMINN\ fig.8: 2 Rts qu ontinn l éti (V) l ono y un punto (P) su iunfni s. 4 1) iunfni. óni gn uno l plno () sionnt y l plno s l ono son pllos; ( ). 2) Elips. óni gn uno l ángulo ( ) s mno qu l ángulo ( ); ( ). 3) Páol. óni gn uno los ángulos ( ) y ( ) son iguls; ( ). 4) Hipéol. óni gn uno l ángulo ( ) s myo qu l ángulo ( ); ( ). El stuio ls ónis s gn impotni n los mpos l Ópti, stonomí, Físi, iologí, Infomáti, Ingnií, nt ots, y qu son l s l isño y onstuión lnts, spjos, y supfiis: líptis, iuls pólis ipólis, los uls son omponnts snils : miosopios, tlsopios, s, ntns pólis, toolitos, istniómtos, t, gn uso n sts inis. ) us Mtmátis, Físis, Estístis, t. Ests us son gns po uions popis un sts inis, y su stuio s gn utili n l soluión polms lionos on ls misms. En l fig.8 s must un u tigonométi. ) Espil químis. u l plno, gn po un punto (P) qu s mu on loi linl onstnt (), lo lgo un t (); mints st gi, on loi ngul unifom (), lo un punto fijo ontnio n ll\ fig.8. ) Inolut ó Enolnt. u l plno, gn po un punto fijo (P) un ilo, mints st s snoll pti un sgmnto, polígono gul ó iunfni\ fig.8. L inolut un íulo s utiliz n l onstuión los ints ngnjs. ) iloi. u l plno, gn po un punto fijo (P) un iunfni qu u sin slizs lo lgo un t ()\ fig.8. Ls ilois tinn pliión n l onstuión los ints ngnjs. f) tni. u pln qu fom, po l ión su popio pso, un ilo, ompltmnt omogéno, flxil inxtnsil, uno s fijn os sus puntos\ fig.9. L tni, tin gn pliión n l Ingnií Eléti p l isño y oloión líns létis, y qu los ls, l s suspnios, gnn st tipo us y su stuio pmit tmin los sfuzos qu sán somtios po l ión su popio pso. En l Ingnií iil s plin n l isño y onstuión punts olgnts. g) Hli. u l spio, gn po un punto (P), un t (), l ul s splz, on loi onstnt (), y ot, on loi onstnt (), so ot t (), on l qu s ot (fig.9). Un éli pu s: 1) Héli ilíni. Si l punto (P) qu l gn s un punto fijo l t ()\ fig.91.

5 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. NEPTS ÁSIS g V P iunfni Elips Páol ) óni Hipol plin tmién n l Inusti Puliiti p l onstuión isos puliitios. ) tni 1,0 f(x)=sno ) Héli 0,5 0-0,5-1, ) u tigonométi P P 1) Héli ilíni 2) Héli óni fig.9.\ tni - Héli. p P ÍRUL. Figu gométi pln limit po un iunfni. En l fig.10. S mustn l íulo y sus pts. iunfni Tngnt o íulo Rio Diámto u ) Espil químis Snt P P D P Sto unt íulos onéntios Inolut un Rt. Inolut un Polígono. Inolut un íulo. Sgmnto ) Inolut ó (nolnt) Smiíulo íulos Exéntios fig.10.\ íulo y sus pts. ) iloi fig.8.\ u. 2) Héli óni. Si l punto (P) qu l gn, s mu, on loi linl onstnt ( p), lo lgo l t ()\ fig.92. Ls élis tinn pliión n l Ingnií Máni p l onstuión oss tonillos y tonillos sin fín p ngnjs tnspotos; tmién n l Ingnií iil y quittu ls élis s utilizn p l isño y onstuión sls n spil (sls ol); s P SUPERFIIE. onfiguión gométi qu pos solo os imnsions. Los pinipls tipos supfii son: ) Supfii gl. Supfii gn po l moiminto un t, nomin gntiz (g), mntniénos n ontto on ot ú ots líns, nomins itis (), y umplino más its oniions ptiuls. Ent ls supfiis gls s pun mnion\ fig.11: 1) Plno. Supfii gl gn po l moiminto un gntiz (g), qu s mntin n ontto on un itiz () t, sino plls tos ls posiions l gntiz\ fig.11. 5

6 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. NEPTS ÁSIS ) Supfii utu simpl. Supfii gl n l ul os posiions ynts l gntiz (g) son oplns (son plls o s otn)\ fig.11. Ls supfiis utu simpl son supfiis sollls, s i qu pun xtns so un plno. Ejmplos sts supfiis son: 1) Supfii ilini. Supfii gn po l moiminto un gntiz (g) qu s mntin n ontto on un itiz () u, sino más plls tos ls posiions l gntiz. Ls supfiis ilínis pun s\ fig.111: i) Supfii ilini oluión. Supfii ilíni n l ul tos ls posiions l gntiz (g) quiistn un j (), pllo ll. ii) Supfii ilini nó oluión. Supfii ilíni n l ul no s posil fini un j () qu quiist tos ls posiions l gntiz (g). 2) Supfii óni. Supfii gl gn po l moiminto un gntiz (g), mntniénos n ontto on un itiz () u, tnino, tos ls posiions l gntiz (g), un punto omún (V), nomino éti. S lsifin\ fig.112: i) Supfii óni oluión. Supfii óni n l ul, tos ls posiions l gntiz (g), fomn l mismo ángulo on un j (), qu ps po l éti (V). ii) Supfii óni nó oluión. Supfii óni n l ul no s posil fini un j (), qu fom l mismo ángulo on tos ls posiions l gntiz. ) Supfii l. Es un supfii gl nó solll, s i, n l ul, os posiions susis l gntiz no son oplns. Ent st tipo supfiis, s pu it\ fig.11: 1) ilinoi. L gntiz (g) s splz mntniénos pll un plno ito () y poy so os itis ( 1 y 2) us\ fig ) onoi. L gntiz (g) s splz mntniénos pll un plno ito () y poy so os itis, sino un lls t ( 1) y l ot u ( 2)\ fig ) Supfii olmnt gl. Supfii gl n l ul po uno sus puntos psn os gntis (g 1 y g 2). Ent lls s pun it\ fig.113: i) Poloi ipólio. L gntiz (g) s splz mntniénos pll un plno ito () y poy so os itis ts ( 1 y 2) qu s uzn. ii) Hipoloi oluión. L gntiz (g) s poy so os itis ( 1 y 2) iuls, plls, y s mu mntnino onstnt l ángulo ( ) qu fom lls. ) Plno Plno Dito Supfii ilini oluión V Supfii óni oluión. Plno Dito Plno Dito g 2 g g 1) Supfii ilini 2) Supfii óni ) Supfiis utu simpl 1) ilinoi P g 1 2 Poloi Hipólio. g ) Supfii olmnt gl ) Supfiis ls Supfii ilini nó oluión V Supfii óni nó oluión. Plno Dito Plno Dito 2 fig.11.\ Supfiis Rgls. g 2) onoi P g g 1 g 2 g 1 Hipoloi Roluión. ) Supfii ol utu. Son supfiis gns po l moiminto un gntiz (g) u. Ests supfiis no ontinn líns ts y po lo tnto no son sollls. Ent lls son muy onois ls uáis, ls uls son supfiis gns po l otión un u óni lo uno sus js. Ls uáis son\ fig.12: 1) Esf. L gntiz (g) s un iunfni. 2) Elipsoi. L gntiz (g) s un lips. g 1 2 6

7 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. NEPTS ÁSIS 3) Poloi. L gntiz (g) s un páol. 4) Hipoloi. L gntiz (g) s un ipéol. Esf SÓLID. g Elipsoi g Poloi fig.12.\ Supfiis ol utu. Espio limito po supfiis. S lsifin n: g g g Hipoloi ) Polio. Sólio limito po supfiis plns (polígonos). Los polígonos qu limitn l sólio s nominn s; los los stos polígonos ists; y los puntos on onun is ists étis. Los polios s nominn\ fig.13: 1) Polio igul. Polio qu pos s ifnts y/o ists longitus istints. Sgún l númo sus s, s nominn: Tto, pnto, xo, pto ú oto. Polio uto, ino, sis, sit, u oo s sptimnt\ fig.13. 2) Polio gul. Polio uys s son polígonos guls iguls, y tos sus ists son igul longitu; n onsuni, toos sus étis stán ontnios n un sf. Los polios guls son ino y s nominn\ fig.13: i) Tto gul. Polio finio po uto tiángulos quilátos iguls. ii) Hxo gul (uo). Polio finio po sis uos iguls. iii) to gul. Polio finio po oo tiángulos quilátos iguls. i) Doo gul. Polio finio po o pntágonos guls iguls. ) Ioso gul. Polio finio po int tiángulos quilátos iguls. 3) Pism. Polio finio po os polígonos iguls y pllos (ss) y uys s ltls son pllogmos. L t qu un los ntos gométios ls ss s nomin j l pism (). Los pisms s nominn\ fig.13: i) Pism to. Si l j (), s ppniul ls ss; n uyo so tos sus s ltls son tángulos. ii) Pism oliuo. Si l j (),no s ppniul ls ss. iii) Pism gul. Pism uys ss son polígonos guls. Pun su z s: 7 ) Pism gul to. Pism gul uyo j (), s ppniul ls ss; n uyo so tos sus s ltls son tángulos iguls. ) Pism gul oliuo. Pism gul uyo j (), no s ppniul ls ss. i) Pllpípo. Pism uys ss son pllogmos. Pun s su z tos u oliuos. 4) Piámi. Polio finio po un polígono s, y uys s ltls son tiángulos qu posn un éti omún (V), nomino éti l piámi, no ontnio n l plno s. L t qu ps po l éti l piámi y l nto gométio l s s nomin j l piámi (). Ls piámis s nominn\ fig.13: i) Piámi t. Si l j (), s ppniul l s. ii) Piámi oliu. Si l j (), no s ppniul l s. iii) Piámi gul. Piámi uy s s un polígono gul. Pun su z s: ) Piámi gul t. Piámi gul uyo j (), s ppniul l s; n uyo so, tos sus s ltls son tiángulos isósls iguls. ) Piámi gul oliu. Piámi gul uyo j (), no s ppniul l s. ) upo ono. Sólio qu ontin supfiis us. Ent llos s pun mnion\ fig.14: 1) ilino. Sólio limito po un supfii ilíni y po os ss plns plls. L t qu ps po los ntos gométios ls ss s nomin j l ilino (), y s pll l gntiz (g) l supfii ilíni. Los ilinos pun s\ fig.14: i) ilino to. Si l j (), s ppniul ls ss. ii) ilino oliuo. Si l j (), no s ppniul ls ss. iii) ilino oluión. ilino limito po un supfii ilíni oluión. Pun su z s: ) ilino oluión to. ilino oluión uyo j (), s ppniul ls ss. ) ilino oluión oliuo. ilino oluión uyo j (), no s ppniul ls ss. 2) ono. Sólio limito po un supfii óni y po un s pln. L t qu ps po l éti (V), l supfii óni y l nto gométio l s s nomin j l ono (). Los onos pun s\ fig.14:

8 Gomtí Dsipti NEPTS ÁSIS Ing. lto M. Péz G. i) ono to. Si l j (), s ppniul l s. ii) ono oliuo. Si l j (), no s ppniul l s. iii) ono oluión. ono limito po un supfii óni oluión. Pun su z s: ii) Too (nillo). Su supfii l gn un iunfni ó un lips, qu gi lo un j (), opln on ll, y situo fu ll. ) ono oluión to. ono oluión uyo j (), s ppniul l s. ) ono oluión oliuo. ono oluión uyo j (), no s ppniul l s. ilino to ilino oliuo ilino nó oluión ilino to oluión ilino oluión oliuo ilino oluión ) ilino V V V V Tto Pnto Hxo Hpto ) Polios iguls to. ono to ono oliuo ono to oluión ono oluión oliuo ono nó oluión ono oluión ) ono Tto gul Hxo gul (uo) to gul Doo gul Ioso gul ) Polios guls Esf Elipsoi Poloi Hipoloi Too Sólios limitos po supfiis uáis ) Sólios oluión fig.14.\ upos onos. Pism to Pism igul Pism oliuo ) Pisms Pism gul to Pism gul Pism gul oliuo TRZD. En l fig.15, s mustn los tipos ásios tzo, utilizos n l loión un iujo. ontono isil Poiminto ontono inisil Piámi t Piámi oliu Piámi igul ) Piámis Piámi gul t fig.13.\ Polios. Piámi gul Piámi gul oliu Ej Vo tmño ot fig.15.\ Líns tzo. 3) Sólio oluión. Sólio limito po un gntiz u qu ot lo un j. Ent llos s pun mnion\ fig.14: i) Esf, lipsoi, poloi ipoloi. Espios limitos po stos tipos supfii y sits. 8

9 Gomtí Dsipti TRZD Ing. lto M. Péz G. EL JUEG DE ESUDRS. ) Rts 45 0 ) Rts 75 0 Un jugo sus, s ompon un su y un tón. Sino l ipotnus l su, igul longitu qu l tto myo l tón\ fig.16. tón Esu fig.16.\ Jugo sus. TRZD DE RETS N LS ESUDRS. Po mio ls sus, pun tzs ts plls, ts ppniuls y ts qu s otn ulqui ángulo qu s múltiplo 15 0, sgún pu oss n ls fig.17 fig.19: // ) Rts 15 0 fig.19.\ Tzo ts 45 0 ; 75 0 y TRZD DE UN RET (t) TNGENTE UN IRUNFERENI. ) Po un punto (T), ontnio n l iunfni.\ fig.20. ) ) t T T ) Rts plls ) Rts ppniuls t fig.17.\ Tzo ts plls; y ppniuls. fig.20.\ Rt (t), tngnt un iunfni, n un punto (T) ll. ) Po un punto (), no ontnio n ll. Ejmplo: Tz un t (t), tngnt un iunfni, y qu ps po un punto () xtno ll\ fig.21: ) Rts 30 0 ) Rts 60 0 fig.18.\ Tzo ts 30 0 ; y Soluión: ) S tz l sgmnto (-), y s fin su punto mio (M)\ fig.21. ) on nto n (M), s iuj l o qu ps po l nto () l iunfni, tminno sus puntos ot (T 1 y T 2) on l mism. ) Ls ts (t 1 y t 2), qu ptn l punto () y psn po los puntos (T 1 y T 2), son tngnts l iunfni. 9

10 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. TRZD T1 t 1 M T 2 t fig.21.\ Rt (t), tngnt un iunfni, y qu ps po un punto (), xtno ll. fig.24.\ Diujo un tiángulo quiláto (), onoio l éti () y l t () qu ontin l lo (-). DIVISIÓN DE UN SEGMENT EN PRTES IGULES. Ejmplo: Diii l sgmnto (-) n ino pts iguls\ fig.22. Soluión: ) S tz un t () ulqui, qu ps po uno los xtmos l sgmnto; n l jmplo s tzó po l punto ()\ fig.22. ) S mn n l t (), y pti l punto (), ino iisions iguls. fig.25.\ Diujo un tiángulo quiláto (), onoio l éti () y l iunfni qu lo iunsi. ) S tnspotn, mint ts plls, ls ino iisions l t (), l sgmnto (-) fig.22.\ Diisión un sgmnto n ino pts iguls. ) UDRD\ fig.26; y fig.27. D ) Tzno ppniuls y igonls. D ) Tzno ppniuls y os. fig.26.\ Diujo un uo (D), onoio l lo (). TRZD DE PLÍGNS REGULRES. ) TRIÁNGUL EQUILÁTER\ fig.23; fig.24; y fig ) Po mio los ángulos. ) otno os. fig.23.\ Diujo un tiángulo quiláto (), onoio l lo (). fig.27.\ Diujo un uo (D), onoio l éti (), y l iunfni qu lo iunsi. D 10

11 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. TRZD ) HEXÁGN REGULR\ fig.30; y fig.31. ) PENTÁGN REGULR\ fig.28; y fig.29. E D =-2 1 F M Punto mio (-) 2 fig.30.\ Diujo un xágono gul (DEF), onoio l lo (). ) S fin l éti () D E D E =-2 E F M ) S fin l éti (E) M ) S fin l éti (D) fig.31.\ Diujo un xágono gul (DEF), onoio l éti () y l iunfni qu lo iunsi. fig.28.\ Diujo un pntágono gul (DE), onoio l lo (). ) HEPTÁGN REGULR\ fig.32; y fig.33. E F D G 30 0 = fig.32.\ Diujo un ptágono gul (DEFG), onoio l lo (). 1 E E G =- F fig.29.\ Diujo un pntágono gul (DE), onoio l éti () y l iunfni qu lo iunsi. D fig.33.\ Diujo un ptágono gul (DEFG), onoio l éti () y l iunfni qu lo iunsi. E D f) TÁGN REGULR\ fig.34; y fig

12 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. TRZD F 45 0 E D El métoo gnl mosto n l fig.36, s s n iii l iunfni qu iunsi l polígono, n tnts pts iguls, omo l númo los qu tná l polígono iuj. El métoo gnl mosto n l fig.37, s s n iii l iámto l iunfni qu iunsi l polígono, n tnts pts iguls, omo l númo los qu tná l polígono iuj. D G D fig.34.\ Diujo un otágono gul (DEFGH), onoio l lo (). H ) S ii l iámto n sit pts iguls. Y s finn los étis (V y V 1 ) V V G H F fig.35.\ Diujo un otágono gul (DEFGH), onoio l éti () y l iunfni qu lo iunsi. E D ) S tzn, s los étis (V y V 1 ), y psno po ls iisions ps, ls ts qu ontinn los étis l polígono. G 1 3 V V 1 4 F 5 fig.37.\ Diujo un ptágono gul, (Métoo gnl). E D MÉTDS GENERLES DE TRZD DE PLÍGNS REGULRES. Po mio los métoos gnls mostos n ls fig.36, fig.38, s pun iuj polígonos guls ulqui númo los. ) NID UN VÉRTIE () Y L IRUNFERENI QUE L IRUNSRIE = 51, ,428 0 x 1 = 51,4 o 51,428 0 x 2 = 102,9 o 51,428 0 x 3 = 154,3 o 51,428 0 x 4 = 205,7 o 51,428 0 x 5 = 257,1 o 51,428 0 x 6 = 308,6 o 51,428 0 x 7 = 360,0 o 257, ,6 0 F G E 0 =360 0 D 205, ,3 0 51, ,9 0 ) NID UN LD. El métoo mosto n l fig.38, s s n iii l smiíulo io (-), iujo so l lo (-) o, n tnts pts iguls, omo los tná l polígono iuj , , = 25,714 0 G 102,9 0 77,1 0 51,4 0 F 1 E 1 D 1 1 ) S ii l smiíulo io (-) n sit pts iguls. 25, F 1 E 1 D 1 fig.38.\ Diujo un ptágono gul, (Métoo gnl). G F E 1 D fig.36.\ Diujo un ptágono gul, (Métoo gnl). 12

13 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. ESL ESL. Es l popoión umnto o isminuión qu xist nt ls imnsions ls y ls imnsions psnts un ojto. En fto, p psnt un ojto gns imnsions, n iiis tos sus mis po un fto myo qu uno, n st so nomino sl uión; y p psnt ojtos pquñs imnsions, tos sus mis s multiplin po un fto myo qu uno, nomino sl mpliión. L sl utiliz s tmin ntons n funión ls mis l ojto y ls mis l ppl n l ul sá psnto. El iujo o sl mntná st fom tos ls popoions l ojto psnto, y mostá un imgn l pini l l mismo. Finlmnt, n inis so l iujo ls imnsions l ojto l, y l sl n qu sio loo. En l fig.39, s must un uo 1 m. lo iujo n sus imnsions ls (iujo sl ntul ó sl 1/1). En l fig.39, s must l mismo uo psnto n sl 2/1 (multiplis sus mis po os). Y n l fig.39, s must l mismo uo psnto n sl 1/2 (iiis sus mis po os). s: 2/1 0 1 m 2 3 sl ntul s: 1/1 0 1 m s: 1/1, m s: 1/ m 15 s: 1/2, m 15 s: 1/ m s: 1/1 s: 2/1 s: 1/2 s: 1/7, m m 1 m 1 m s: 1/ m m 1 m 1 m fig.39.\ Rpsntions sl un uo. s: 1/ m En l fig.40, s mustn lgunos ftos sls uión y mpliión. fig.41.\ Esls. sl 1/1 1/1,25 1/2 1/2,5 1/5 1/7,5 1/10 sls uión fto uión 1 1,25 2 2,5 5 7,5 10 longitu psntión 1 mto 100 ms. 80 ms. 50 ms. 40 ms. 20 ms. 13,33 ms. 10 ms. sl 1/1 1,33/1 2/1 4/1 5/1 8/1 10/1 sls mpliión fto umnto 1 1, longitu psntión 1 m. 1 ms. 1,33 ms. 2 ms. 4 ms. 5 ms. 8 ms. 10 ms. ESLÍMETR. Es un gl ó un jugo gls qu ontin simultánmnt is sls ifnts. Son muy omuns los slímtos fom tingul qu ontinn sis sls omo l mosto n l fig.42. fig.40.\ Ftos sls uión y mpliión. P it l lizión multipliions ó iisions n l loión un iujo sl, s tj on gls gus nomins sls, ls uls son onstuis n s los ftos uión ó mpliión ls sptis sls. En l fig.41, s mustn lguns sts sls. fig.42.\ Eslímto. 13

14 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. pítulo 2 SISTEMS DE PRYEIÓN. En st pítulo s un sipión los sistms poyión ms utilizos n Ingnií y quittu, siino l funmnto ásio l juión poyions n stos sistms. El ojtio pinipl l pítulo s qu l stuint onoz stos sistms poyión, y sp intifi uno un ojto st psnto n uno llos. l igul qu l pítulo ntio, l át l psnt pitulo s ásimnt infomtio po lo tnto s psntn ls tístis ms snils stos sistms poyión sin nt n sipions pofuns sus métoos tjo.

15 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. SISTEMS DE PRYEIÓN SISTEMS DE PRYEIÓN. Un sistm poyión s un sistm po mio l ul pu s fini l poyión un ojto so un supfii. En too sistm poyión intinn uto lmntos nominos:\ fig.43: ) jto. Es l ojto qu s s psnt. Pu s un punto, t, plno, supfii, sólio, t; n fin ulqui lmnto gométio ú ojto n si. ) Punto osión. Punto s l ul s os l ojto qu s qui psnt. Es un punto ulqui l spio. ) Supfii poyión. Es l supfii so l ul s poytá l ojto. Gnlmnt s un plno; unqu tmién pu s un supfii sféi, ilíni, óni, t. ) Poytnts. Son ts imginis qu unn los puntos l ojto on l punto osión. L poyión (P') ulqui punto (P) l ojto s otin intptno su poytnt on l plno poyión. 1) Poyión otogonl. Tmién nomin poyión otogáfi. S otin uno ls poytnts son ppniuls l plno poyión. L poyión otogonl s muy utiliz n l isño pizs mánis y mquinis\ fig.44. Los pinipls tipos poyión otogonl son: i) Poyión n ists múltipls. ist s un poyión otogáfi. P otn un ist s olo l plno poyión pfntmnt pllo un ls s pinipls l ojto\ fig.45. Punto osión muy ljno fig.45.\ Vist otogáfi. Punto sión Poytnt P Poyión Supfii Poyión P jto Los ojtos s psntn gnlmnt n ts ists otogáfis. Los métoos utilizos p tmin sts ists son: ) Poyión n l séptimo tio (séptimo otnt). Uso n los Estos Unios y ná.\ fig.46. fig.43.\ Sistm poyión. Séptimo tio LS SISTEMS DE PRYEIÓN MS USDS SN: ) Poyión ilíni. S otin uno l punto osión s nunt un istni tn gn l ojto, qu pmit onsi qu ls poytnts son plls l intpts on l plno poyión (fig.44). Los pinipls tipos poyión ilíni son: Plnt ) Poyión otogonl ) Poyión oliu fig.44.\ Poyión ilíni. Fontl D fig.46.\ Poyión n ists múltipls n l séptimo tio. 15

16 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. SISTEMS DE PRYEIÓN ) Poyión n l pim tio (pim otnt). Uso n too l muno, xpto n los Estos Unios y ná.\ fig.47. iii) Poyión xonométi. S otin uno l plno poyión no s pllo ninguno los ts js pinipls l ojto\ fig.49. Pim tio Punto osión muy ljno fig.49.\ Poyión xonométi. D Fontl L poyión xonométi, pnino los ángulos qu fomn nt sí los js xonométios (poyions los js pinipls l ojto), s nomin: Plnt fig.47.\ Poyión n ists múltipls n l pim tio. ii) Poyión ot. Es un poyión otogonl so l qu s otn n punto, lín, u ojto psnto l ltu (ot) l mismo on spto ulqui plno fni qu s pllo l plno poyión\ fig.48. L poyión ot s muy páti uno s nsio psnt gáfimnt ojtos iguls; zón po l ul s us funtmnt p l isño tos iins; onstuión punts, pss, uutos, gsoutos, ts, tminión ás pls, tzo linos, y iujos topogáfios plnts y pfils tnos, nt otos. Punto osión muy ljno 0 2 fig.48.\ Poyión ot ) Poyión isométi. S otin uno los ts ángulos qu fomn los js xonométios son iguls. l psnt ojtos n poyión isométi s mi n un mism sl so los ts js isométios.\ fig fig.50.\ Poyión isométi. ) Poyión iméti. S otin uno solo os los ts ángulos qu fomn los js xonométios son iguls. l psnt un ojto n poyión iméti mis n os los js xonométios on un mism sl y on un sl ifnt n l t j xonométio. L fom gáfi tmin l lión nt ls sls so los ts js xonométios p ulqui istiuión los mismos, s must n l fig.52. No ostnt, n l fig.51, s mustn ts istiuions muy uss js imétios on sus sptis sls, sts popoions ifin muy poo los 16

17 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. SISTEMS DE PRYEIÓN los tóios ls, los uls s usos ifuultián gnmnt l juión l imtí. l fini un poyión oliu l j nt (j pofuni l ojto) s pu poyt fomno ulqui ángulo ( o ) on spto los otos os; inpnintmnt st ángulo ( o ), l pofuni l ojto s pu poyt tmién n ulqui longitu (tóimnt st un longitu infinit). Po lo tnto, l iuj n poyión oliu, s tz l j nt ulqui ángulo, y s min ls pofunis so l n ulqui sl\ fig / 4 3 / / / 2 0 X 0 Y ,5 2, Z / / / / / fig.52.\ Poyión timéti. 1 fig.51.\ Poyions imétis. ) Poyión timéti. S otin uno los ts ángulos qu fomn los js xonométios son ifnts. En l poyión timéti j xonométio pos su popi sl ifnt l los otos os.\ fig.52 2) Poyión oliu. S otin uno ls poytnts no son ppniuls l plno poyión (fig.44). Pfntmnt l iuj n poyión oliu s olo l plno poyión pllo un ls s pinipls l ojto; y qu st fom i s poytá n o tmño\ fig.53. Punto osión muy ljno fig.53.\ Poyión oliu. 17

18 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. SISTEMS DE PRYEIÓN j nt ulqui sl 1 ulqui ángulo 1 fig.54.\ Poyión oliu. 1 Sin mgo, l sl utiliz p l j nt lgis n fom intuiti, n funión l ángulo n qu s iuj, moo qu l psntión l ojto must un piión l su fom y popoions. Ent ls poyions olius ms utilizs s pun mnion: i) Poyión ll\ S oiginó n l iujo ls fotifiions mils.\ fig fig.55.\ Poyión ll. ii) Poyión gint\ Ri st nom io qu s usó gnmnt n l inusti l mul.\ fig.56 1 / fig.57.\ Poyión oliu é. ) Poyión óni. Dnomin tmién pspti. S otin uno l punto osión y l ojto s nuntn ltimnt nos\ fig.58. Gométimnt, un fotogfí s un pspti; zón po l ul l poyión óni sops n xlni los más sistms poyión po s l qu ms s l ist l otni po l oso. El iujo n pspti s muy utilizo n l isño quittónio, iil, inustil, puliitio, t. ls psptis pun s: 1) Pspti un punto fug. S otin uno l plno poyión s pllo un ls s pinipls l ojto (l plno poyión s pllo os los ts js pinipls l ojto)\ fig.59. 2) Pspti os puntos fug. S otin uno l plno poyión s pllo solmnt uno los ts js pinipls l ojto\ fig.60. 3) Pspti ts puntos fug. S otin uno ninguno los ts js pinipls l ojto s pllo l plno poyión\ fig Poytnts Plno Poyión jto 1 fig.56.\ Poyión gint. Punto sión Poyión iii) Poyión oliu é. Es un poyión oliu liz so un iujo n plnt un ifiión, unismo, t. on l finli pi su fom tiimnsionl\ fig.57. fig.58.\ Poyión óni. 18

19 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. SISTEMS DE PRYEIÓN Punto osión Plnt Hoizont Plno poyión Punto fug fig.59.\ Pspti un punto fug. Pspti Punto osión Fontl fig.62.\ Diujo un pspti un punto fug. Punto osión Plnt fig.60.\ Pspti os puntos fug. Plno poyión Punto osión Punto osión Hoizont Punto fug Punto fug fig.61.\ Pspti ts puntos fug. Fontl Ls psptis uno, os, y ts puntos fug, pun iujs n fom snill pti ls poyions n ists múltipls, omo s must n ls fig.62; fig.63; y fig.64, sptimnt. fig.63.\ Diujo un pspti os puntos fug. 19

20 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. SISTEMS DE PRYEIÓN 0 Plnt 0 0 Punto fug M 1 M 2 Punto fug M 3 Fontl Punto fug fig.64.\ Diujo un pspti ts puntos fug. 20

21 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. pítulo 3 PRYEIÓN DIÉDRI. ominz n st pítulo l stuio l sistm Dol Poyión togonl ó Poyión Diéi, l ul s l ojtio stuio pinipl st o. S inii on un sipión st sistm poyión, qu s s fini l poyión otogonl los ojtos n fom simultán so os plnos poyión ppniuls nt sí. D st fom s otin os poyions otogonls l ojto n stuio, po mio ls uls, s pu oni l fom tiimnsionl l mismo. Un z qu l stuint ompn los funmntos l sistm Dol Poyión togonl, sá pz psnt ojtos, y poá sol ulqui polm liono on l fom tiimnsionl los mismos, sin nsi lo omplis psptis o psntions n otos sistms poyión ms loiosos. Dspués l sipión st impotnt sistm poyión, omnzmos n st pítulo jitnos n l loión l ol poyión otogonl l "ojto" ms simpl qu pu s onsio "l punto". P ontinu spués on l stuio l poyión iéi l t y l plno.

22 Gomtí Dsipti PRYEIÓN DE PUNTS Ing. lto M. Péz G. PRYEIÓN DE PUNTS. DLE PRYEIÓN RTGNL. Tmién llm poyión iéi. Es l poyión otogonl simultán un ojto so os plnos poyión ppniuls nt sí, llmos: plnos pinipls poyión; y n fom ptiul nominos: plno til poyión (); y plno oizontl poyión (). En l fig.65, s must l poyión iéi un punto (). L nomnltu utiliz psnt: ) :Plno til poyión. DIEDRS. Tmién nominos unts, son ls uto zons n qu los plnos pinipls poyión, l onsis l xtnsión infinit llos, iin too l spio qu los o\ fig.66. PL PLN LTERL Z I II III ) :Plno oizontl poyión. ) :Posiión l l punto (). ) :Poyión otogonl l punto () so l plno til Poyión. Y IV ) Plno ltl ) unts (Dios) fig.66.\ Plno ltl / unts. ) :Poyión otogonl l punto () so l plno oizontl poyión. ) Poyión iéi l punto () Y Z LT ) El sistm ol poyión otogonl fig.65.\ L ol poyión otogonl (poyión iéi). En l fig.65, s must l sistm poyión iéi on l siguint nomnltu iionl. ) LT :Lín ti. Es l intsión nt los plnos til y oizontl poyión. ) :ign. Punto omún los ts js oons, pti l ul s min ls oons los puntos. ) X :Ej oons (X). Ej so l ul s min ls oons (X) los puntos; oini on l lín ti. X DIUJ EN PRYEIÓN DIÉDRI. En l fig.65 s must un squm n pspti l sistm poyión iéi; no ostnt, l poyión iéi n sí, no s jut n pspti, si no qu s filit su loión otno l plno oizontl poyión lo l lín ti, st lo oinii on l plno til poyión, omo lo must l fig.67. En l fig.67 s must l mismo squm n poyión fontl. Y finlmnt, l fig.67, must l squm tjo n poyión iéi; st s otin sustituyno los js oons po un t oizontl (lín ti, ó j (X)), n l ul s sñl l oign po un pquño sgmnto til qu l ot. Es muy impotnt tn psnt qu n l psntión finiti (fig.67), los js oons y l oign no jn xisti; si no qu n sio sustíos l psntión, y unqu no s n iujos llos xistn n ls posiions qu ini l fig.67. Y Y Z Y X Z Y X ) Y :Ej oons (Y). Ej so l ul s min ls oons (Y) los puntos. ) Gio l plno oizontl poyión ) Rpsntión fontl spués l gio l ) Rpsntión finiti utiliz ) Z :Ej oons (Z). Ej so l ul s min ls oons (Z) los puntos. PLN LTERL DE PRYEIÓN. Es un plno uxili poyión qu st finio po los js oons (Y) y (Z)\ fig.66. So st plno, uno s nsio, s poytn otogonlmnt los ojtos, nominános sts poyions: poyions ltls. fig.67.\ Diujo n poyión iéi. RDENDS DE UN PUNT. Son ls istnis, xpss n milímtos, qu l mis so los js oons, pti l oign, pmitn fini on xtitu l uiión un punto n l spio qu lo o (fig.68). En poyión iéi, ls oons s nominn: X : Distni l plno ltl. 22

23 Gomtí Dsipti PRYEIÓN DE PUNTS Ing. lto M. Péz G. Y Z : Vulo ó ljminto. : ot ó ltu. Ls oons un punto s xpsn simp n on y sps po punto y om (;), y l nom l punto s simp un lt myúsul ó un númo. Po jmplo, l notión P(08; 16; 10), intifi un punto (P) on ls siguints oons: P X : Distni l punto (P) l plno ltl... : 08 mms. ( X ; + Y ; + Z) ) Punto n l pim unt ( X ; - Y ; + Z) ) Punto n l sguno unt P Y : Vulo l punto (P)... : 16 mms. P Z : ot l punto (P)... : 10 mms. Ls oons un punto, tmién psntn ls istnis s l punto los plnos pinipls poyión y l plno ltl. El punto P(08 ; 16; 10), y mniono s nunt istnis : ( X ; - Y ; - Z) D D D D D(D X ; +D Y ; -D Z) D D 08 mms. : Dl plno ltl. ) Punto n l t unt ) Punto n l uto unt 16 mms. : Dl plno til poyión. 10 mms. : Dl plno oizontl poyión. P P P (P y=16) (P Z=10) (P X=08) ) Esqum n pspti (P X=08) P (P Z=10) (P y=16) P 1) Esqum tóio P P 2) Esqum finitio ) Poyión iéi fig.68.\ Rpsntión iéi l punto P(08 ; 16 ; 10). En l fig.68 s must un squm n pspti l poyión iéi st punto (P), y n l fig.681, l poyión iéi popimnt i l mismo; ls ifs nots nt péntsis inin ls mis ls qu n tn sos sptios sgmntos, stos los no s sin n l lámin, fom qu l psntión finiti s l most n l fig.682. PSIINES PRTIULRES DE UN PUNT. Ls oons un punto, pun tn lo: positio, o, ó ngtio, pnino l posiión qu st oup on spto l oign; unqu gnlmnt s it sign los ngtios l oon (X). on spto un sistm poyión iéi, ls posiions qu pu oup un punto n l spio son: ) Punto n un unt\ fig.69: 1) Pim unt:...(+ X ; + Y ; + Z). 2) Sguno unt:...(+ X ; - Y ; + Z). 3) T unt:...(+ X ; - Y ; - Z). fig.69.\ Uiión un punto n un unt. ) Punto n un plno pinipl poyión\ fig.70: 1) Plno til poyión:... E(+E X ; 00 ; +E Z). F(+F X ; 00 ; -F Z). 2) Plno oizontl poyión:... G(+G X ; +G Y ; 00). G=G H(+H X ; -H Y ; 00). E=E E(E X ; 00 ; +E Z) G E G E E F(F X ; 00 ; -F Z) ) Punto n l plno til poyión G(G X ; +G Y ; 00) G G F F=F H=H H(H X ; -H Y ; 00) ) Punto n l plno oizontl poyión fig.70.\ Uiión un punto n un plno pinipl poyión. ) Punto n l plno ltl\ fig.71: Pu más st n: 1) PL y pim unt:... (00 ; + Y ; + Z). 2) PL y sguno unt:... J(00 ; -J Y ; +J Z). 3) PL y t unt:... K(00 ; -K Y ; -K Z). 4) PL y uto unt:... L(00 ; +L Y ; -L Z). H H F F H H 4) uto unt:...d(+d X ; +D Y ; -D Z). 23

24 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. PRYEIÓN DE PUNTS PL (00 ; +I Y ; +I Z) ) Punto n l PL y pim unt J J PL J J J J J(00 ; -JY ; +JZ) ) Punto n l PL y sguno unt Z Z R=R R S R S=S R R(00 ; 00; +R Z) S(00 ; 00; -S Z) S S fig.74.\ Punto n l j (Z). K K K K PL K K K(00 ; -K Y ; -K Z) ) Punto n l PL y t unt L L PL L L L(00 ; +L Y ; -L Z) ) Punto n l PL y uto unt L L PRYEIÓN LTERL DE UN PUNT. S llm sí l poyión otogonl un punto so l plno ltl\ fig.75. En st sistm poyión, l punto osión s nunt un istni infinit l plno ltl, n iión l j (X), l ul s poyt n su totli n l punto oign (). fig.71.\ Uiión un punto n l plno ltl. Z PL Z ) Punto n l oign\ fig.72:...m(00 ; 00 ; 00). M=M =M N=N =N X M =M N =N M(00 ; 00; 00) N(N X ; 00; 00) ) Punto n l oign ) Punto n l j (X) fig.72.\ Punto n l oign; punto n l j (X) (lín ti). Y l Z Y fig.75.\ Poyión ltl. X Y l Z Y ign j X El punto osión, pu tmién uis n sntio opusto l j (X), sultno n st so, l poyión ltl, omo s must n l fig.76. ) Punto n un j oons: 1) Ej (X): fig.72...n(+n X ; 00 ; 00). 2) Ej (Y): fig.73...p(00 ; +P Y ; 00). Q(00 ; -Q Y ; 00). 3) Ej (Z): fig.74...r(00 ; 00 ; +R Z). S(00 ; 00 ; -S Z). Q Y l Z PL Y Z X Z ign j X Y l Z Y P=P P Q Q=Q fig.76.\ Poyión ltl. Y P P P P(00 ; +P Y; 00) Q(00 ; -Q Y; 00) fig.73.\ Punto n l j (Y). Y Q Q En l sistm poyión ltl, los plnos til () y oizontl () poyión, s nuntn totlmnt poytos so los js (Z) (Y) sptimnt, los uls s osn otános 90 0, omo pu oss n ls fig.75 y fig

25 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. PRYEIÓN DE PUNTS REPRESENTIÓN DE PUNTS EN PRYEIÓN LTERL. En l fig.77, s psntn ls poyions ltls los puntos (,, y D), uios n los unts (I; II; III y IV), sptimnt, y n l fig.77 s psntn ls poyions ltls los mismos puntos, mino l sntio l j (Y). Y -D Z D l l + Z + Y +D Y Z - Y - Y - Z l l + Z + Z l + Y - Y + Z -D Z - Z +D Y - Y D l ( X; + Y; + Z) ( X; - Y; + Z) ( X; - Y; - Z) D(D X; +D Y; -D Z) fig.77.\ Poyión ltl\ jmplos. TENIÓN DE L PRYEIÓN LTERL DE UN PUNT, PRTIR DE SU PRYEIÓN DIÉDRI. Gnlmnt l poyión ltl un punto s otin pti su ol poyión otogonl. En l fig.78, s must, mn jmplo, l poiminto sgui p tmin l poyión ltl ( l ) un punto (), pti sus poyions til ( ) y oizontl ( ) (fig.78) siguino p llo l poiminto siguint: l l Z Y EJE (Y): oini on l lín ti, y s iig i l ó izqui (n l jmplo i l ). ) S tsln l ot ( Z) y l ulo ( Y) l punto () i l j (Z)\ fig.78. ) S ot, mint un o on nto n l punto () y oino un unt p (n l jmplo l IV ), l ulo ( Y) l punto (), s l j (Z) st l j (Y) (fig.78); y s fin l poyión ltl ( l ) l punto () po mio ts plls los js (Z Y). Ejmplo1: Dfini ls poyions ltls los puntos (;;; y D)\ fig.79. Soluión: En l fig.79, s must omo otn ls poyions ltls stos puntos; uino l j (Z) igul istni l plno ltl qu l punto (), y iigino l j (Y) i l. Pu oss n l fig.79, qu los os n sío tzos oino sólo los unts ps (II ó IV ). L zón sto s mntn l signo l ulo los sptios puntos n mos sistms, uino sus poyions ltls n l unt oto. D Z Y II l Z D D l I Z Y Z Z Y Y II Z Z Y Y l Y D l III l D IV Y VI fig.79.\ tnión ls poyions ltls pti l ol poyión otogonl\ jmplo. fig.78.\ Dtminión l poyión ltl un punto (), pti su ol poyión otogonl. ) S finn los js poyión\ fig.78: EJE (Z): Ppniul l lín ti, y po ulqui punto () ll. Ejmplo2; Dfini l poyión ltl l tiángulo étis (;;)\ fig.80. Soluión: \ fig

26 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. PRYEIÓN DE PUNTS Y fig.80.\ Poyión ltl un tiángulo (;;). PSIIÓN RELTIV ENTRE DS PUNTS. En l fig.81, s sñln los noms os los sntios n uno los js oons. En s stos sntios, s pu xps, n fom lti, l posiión un punto on spto oto. Ejmplo: Exps l posiión lti nt los puntos ( y )\ fig.81. Soluión. L posiión lti nt los puntos ( y ) pu xpss, nt ots, ls siguints mns: ) El punto () s nunt l izqui (tin mnos istni l plno ltl); po jo (tin mnos ot); y po lnt (tin myo ulo) l punto (). ) El punto () s nunt l (tin ms istni l plno ltl); ms lto (tin myo ot); y po tás (tin mno ulo) l punto (). l l Z l Y: Hi lnt. Z: Hi i (ms lto) X: Hi l. ) Expsión los sntios los js oons ) Dol poyión otogonl los puntos ( y ) fig.81.\ Posiión lti nt os puntos. Ejmplo: Dfini ls poyions los puntos: (L soluión s psnt n l fig.82) (45; -20; 05) (?; 25;?) (?;?;?) D (60;?;?) 10 mms l plno ltl; y 5 mms po nim (). 15 mms l (); 30 mms lnt (); y 15 mms po nim l plno oizontl poyión. En l IV unt; 15 mms l plno oizontl poyión; y 20 mms l plno til poyión. E (?;?;?) ontnio n l plno til poyión; 25 mms l izqui (D); y 15 mms jo l plno oizontl poyión. F (?;?;?) G (65;?;?) H (?; 10; 20) (?;?;?) H F H En l j (Z); y 35 mms po jo (). 05 mms lnt (); y 30 mms ms lto qu (D). En l plno ltl. En l lín ti; 15 mms l oign. = E G =G En sumn: ompno ls istnis l plno ltl os puntos, pu is ul llos stá l izqui ó l l oto; ompno los ulos os puntos, s fin ul llos stá po lnt ó po tás l oto; y, ompno ls ots os puntos, pu tmins ul llos stá po nim o po jo l oto. F E D sl mms fig.82.\ Poyión puntos\ jmplo. D 26

27 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. PRYEIÓN DE RETS PRYEIÓN DE RETS. Ls ts s signn on lts minúsuls (; ; ;...). Un t () pu s fini po mio os puntos ( y )\ fig.83. TRZS DE UN RET. Son los puntos on l t s intpt on los plnos pinipls poyión; s nominn\ fig.86: ) Tz Vtil. Punto on l t s intpt on l plno til poyión. Gnlmnt s sign on l lt (V). ) Tz Hoizontl. Punto on l t s intpt on l plno oizontl poyión. Gnlmnt s sign on l lt (H). DETERMINIÓN DE LS TRZS DE UN RET. Ls tzs un t s tminn, n ol poyión otogonl, intptno sus poyions on l lín ti\ fig.86. fig.83.\ Poyión iéi un t. PUNT NTENID EN UN RET. Si un punto (P) st ontnio n un t (), ntons ls poyions til (P ) y oizontl (P ) l punto stán ontnis n ls poyions til ( ) y oizontl ( ) l t, sptimnt\ fig.84. D st fom, s posil tmin ls poyions un punto onoi un sol sus ts oons, si s stl qu st ontnio n un t \ fig.85. VISIILIDD. Solmnt pun s isils l oso los lmntos gométios qu s nuntn n l pim unt, io qu los plnos pinipls poyión tpn los ojtos ontnios n los otos ts unts, omo pu oss n l fig.86. Ls pts inisils s psntn on líns ontono inisil, omo lo must l fig.86; unqu tmién s funt, n l sollo polms n poyión iéi, psntls on líns poiminto)\ fig.88. P P P V=V V P P V H=H H V H H fig.84.\ Punto ontnio n un t. fig.86.\ Tzs un t. X Z UDRNTES QUE TRVIES UN RET. onsino l xtnsión infinit un t, ll pu: ( X ;? ;? ) ) onoi l istni l plno ltl (? ; Y ;? ) ) onoio l ulo Y (? ;? ; Z ) ) onoi l ot fig.85.\ Uiión un punto () n un t (). ) Mntns n un unt. Si s pll l lín ti; n st so l t no pos tzs\ fig.87. ) ts os unts. Si s pll solo uno los plnos pinipls poyión, o si s ot on l lín ti; n st so l t tin un sol tz\ fig.87. ) ts ts unts. Si no umpl on ningun ls oniions ntios; n st so l t tin os tzs\ fig

28 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. PRYEIÓN DE RETS ) S mntin n un unt ) tis ts unts DIFERENI DE T ENTRE DS PUNTS / TRIÁNGUL DE RETIMIENT HRIZNTL. L ifni ot ( - Z ) nt os puntos ( y ) s, mtmátimnt, l lo soluto l st ls ots mos puntos ( - Z = Z- Z). Gáfimnt, s tmin tzno, po uno los puntos (), un t () ppniul l plno oizontl poyión, y po l oto (), un t () pll l mismo plno, qu s ot on l pim. Ests os ts, son n onsuni ppniuls y junto on l poyión l l t () fomn un tiángulo tángulo nomino: Tiángulo timinto oizontl\ fig.89. El tiángulo timinto oizontl un sgmnto (-) gnlmnt s iuj, n ol poyión otogonl, so l poyión oizontl ( - )l mismo.\ fig.91. ) tis os unts fig.87.\ Rt qu tis 1, 2 ó 3 unts. L nomnltu utiliz n ls fig.89, fig.90, y fig.91. psnt: Z - : Difni ot nt los puntos ( y ). DETERMINIÓN DE LS UDRNTES QUE TRVIES UN RET. Ls tzs un t son tmién los puntos on l t mi unt, po lo tnto, p tmin qu unts tis un t () (fig.88), pu sguis l siguint poiminto: ) S finn ls tzs til (V) y oizontl (H) l t (). Y s otn ls os smits y l sgmnto n qu l mism qu iii\ fig.88. ) S uin ts puntos (1; 2 y 3) itios, uno llos situo n un sts ts pts l t\ fig.88. ) S tmin n qu unt s nunt uio uno los puntos ntios, los uls s osponn l unt n qu s nunt l pt l t qu lo ontin\ fig Y - : Difni ulo nt los puntos ( y ). : Ángulo qu fom l sgmnto (-) (l t ()) on l plno oizontl poyión. : Ángulo qu fom l sgmnto (-) (l t ()) on l plno til poyión. : Poyión ti l punto (). : Poyión ti l punto (). : Longitu l (o tmño) l sgmnto (- ) (istni nt los puntos ( y ). Z - Z - V H Z - - ) Dfini los unts qu tis l t () V H - = 1 1 V V H 2 =2 H V V H 2 =2 H 3 3 I. II. III. fig.88.\ Dtminión los unts qu tis un t. fig.89.\ Tiángulo timinto oizontl. DIFERENI DE VUEL ENTRE DS PUNTS / TRIÁNGUL DE RETIMIENT VERTIL. L ifni ulo ( Y - ) nt os puntos ( y ) s, mtmátimnt, l lo soluto l st los ulos mos puntos ( Y - = Y- Y). Gáfimnt, s tmin tzno, po uno los puntos () un t () ppniul l plno til poyión, y po l oto (), un t () pll l mismo plno, qu s ot on l pim. Ests os ts, son n onsuni 28

29 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. PRYEIÓN DE RETS ppniuls y junto on l poyión l l t () fomn un tiángulo tángulo nomino: Tiángulo timinto til.\ fig.90 El tiángulo timinto til un sgmnto (-) gnlmnt s iuj, n ol poyión otogonl, so l poyión til ( - ) l mismo\ fig = Y - Y - - Y - fig.90.\ Tiángulo timinto til. En l fig.92, s must l iujo los tiángulos timinto l sgmnto (-) y n fig.92 l onstuión l opz l mismo sgmnto. Y - Y Z - ) Tiángulos timinto Z - fig.92.\ opz. - ) opz MEDIIÓN DE DISTNIS EN RETS. Y - Z - omo pu oss n ls fig.89 y fig.90, l longitu l ( -) un sgmnto (-) s fom uno st s poyto otogonlmnt. Po lo tnto, n ol poyión otogonl l longitu l ( -) un sgmnto (-), mis n l ipotnus uno sus tiángulos timinto (fig.91 ó fig.91). Z - - Y Y - Z - - ) Tiángulo timinto oizontl Y - ) Tiángulo timinto til ) Ui so l t (), l punto (2), l istni ( 1-2) l punto (1) y su Y - 1 ) S iuj un tiángulo timinto l sgmnto (-) fig.91.\ Diujo los tiángulos timinto. Po mio l iujo los tiángulos timinto un sgmnto (-), pu tmins l o tmño ( -) l mismo; sí omo tmién los ángulos ( y ) qu fom on los plnos oizontl y til poyión sptimnt, omo pu oss n ls fig.89 fig.92. RPZ. S nomin opz l onstuión gométi los tiángulos timinto un sgmnto (-), unios po sus ipotnuss, y iunsitos n un iunfni; uyo iámto s igul l o tmño ( -) l mismo. Y Y - ) S ui, so l ipotnus l tiángulo timinto, l punto (2) l istni ( 1-2) l punto (1) Y Y ) S finn ls poyions l punto (2) fig.93.\ Miión istnis n ts. 29

30 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. PRYEIÓN DE RETS D igul fom, p ui un punto (2) un istni ( 1-2) tmin oto punto (1) o, stno mos puntos ontnios n un mism t; tmién iujs un tiángulo timinto l t omo s ini n l fig.93. 1) Rt ontni n l plno til poyión. Es un so ptiul l ntio. Su poyión oizontl oini on l lín ti, po qu toos sus puntos tinn ulo igul o (Y=0)\ fig.97. RETS EN PSIINES PRTIULRES. Si un t s pll uno los plnos pinipls poyión, s poyt so l n o tmño, y po lo tnto no s nsio iuj los tiángulos timinto p mi istnis so ll, o tmin los ángulos qu fom on los plnos pinipls poyión. Po lo tnto l onoiminto st tipo ts pmit sol itos polms on myo piz. ontinuión s sin sts posiions ptiuls: ) Rt oizontl. Es un t pll l plno oizontl poyión; po lo tnto, s poyt so st plno n o tmño; su poyión til s pll l lín ti, po qu toos sus puntos tinn igul ot (Z=t.), y po lo tnto fom un ángulo o gos on l plno oizontl poyión ( =0 0 )\ fig.94. 1) Rt ontni n l plno oizontl poyión. Es un so ptiul l ntio. Su poyión til oini on l lín ti, po qu toos sus puntos tinn ot igul o (Z=0)\ fig.95. = H - H Y=t. H=H H fig.96.\ Rt fontl. = = =0 0 - = H=H =H H =H V=V Z=t - V - - fig.94.\ Rt oizontl. V V =0 0 V =V V=V =V - = = = - =0 0 fig.95.\ Rt ontni n l plno oizontl poyión. fig.97.\ Rt ontni n l plno til poyión. ) Rt pll l lín ti. Es un t pll simultánmnt los plnos til y oizontl poyión; po lo tnto, s un t oizontl y fontl, y n onsuni tin ls popis ms; s i, su ot s onstnt (Z=t) y su ulo tmién (Y=t). Sus poyions oizontl y til son plls lín ti; stán n o tmño; y fomn ángulos o gos on los plnos til y oizontl poyión ( ) \ fig.98. 1) Rt ontni n l lín ti. Es un so ptiul l ntio. Sus poyions stán ontnis n lín ti\ fig Z=t. ) Rt fontl. Es un t pll l plno til poyión; po lo tnto, s poyt so st plno n o tmño; su poyión oizontl s pll l lín ti, po qu toos sus puntos tinn igul ulo (Y=t.), y po lo tnto fom un ángulo o gos on l plno til poyión ( =0 0 )\ fig = =0 0 Y=t - fig.98.\ Rt pll l lín ti. 30

31 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. PRYEIÓN DE RETS = = = = - = = = - = =0 0 = fig.99.\ Rt ontni n l lín ti. = ) Rt til. Es un t ppniul l plno oizontl poyión; po lo tnto, su poyión oizontl s un punto, y su poyión til s os n o tmño y ppniul lín ti; fom ángulos nont gos on l plno oizontl poyión ( =90 0 ) y o gos on l plno til poyión ( =0 0 )\ fig H=H = = = = H =0 0 fig.100.\ Rt til. - H H = = = ) Rt punt. Es un t ppniul l plno til poyión; po lo tnto, su poyión til s un punto, y su poyión oizontl s os n o tmño y ppniul lín ti; fom ángulos o gos on l plno oizontl poyión ( =0 0 ) y nont gos on l plno til poyión ( =90 0 )\ fig.101. PL = l - = l = l H=H =H l V=V =V l H =V l Z V =H H = fig.102.\ Rt pfil. NSTRUIÓN DE RETS. V =V l + = 90 0 l - l H l =H L posiión lti nt los lmntos qu fomn los tiángulos timinto un t no í; po jmplo: l tto (Z) s simp opusto l ángulo () y ppniul l tto ( )\ fig.92. Po lo tnto s posil fini ls poyions inomplts un t, si s pos infomión iionl qu pmit iuj sus tiángulos timinto. ontinuión s nlizn lgunos stos sos. ) SE NE L PRYEIÓN VERTIL ( V ) DE L RET () Y EL ÁNGUL ( ) QUE EST FRM N EL PLN VERTIL DE PRYEIÓN. Ejmplo: Dfini l poyión oizontl ( ) l t () qu ontin l sgmnto (-) qu fom l ángulo ( 0 ) on l plno til poyión; stno () po tás ()\ fig.103. Soluión: L poyión oizontl ( ) l t (), pu finis iujno l tiángulo timinto til l sgmnto (-) pti su poyión til\ fig.103. Y V=V = = = - V - =0 0 =90 0 V = = = V - Y - Y - fig.101.\ Rt punt. f) Rt pfil. Es un t ppniul l lín ti (pll l plno ltl); sus poyions son ppniuls lín ti. Su o tmño, sí omo los ángulos qu fom on los plnos pinipls poyión, pun tmins n un poyión ltl l mism\ fig.102. fig.103.\ onstuión ts ( + ). ) SE NE L PRYEIÓN HRIZNTL ( ) DE L RET () Y EL ÁNGUL ( ) QUE EST FRM N EL PLN HRIZNTL DE PRYEIÓN. Ejmplo: Dfini l poyión til l sgmnto (-) qu fom l ángulo ( 0 ) on l plno oizontl poyión; stno () po jo ()\ fig.104. Soluión: 31

32 Gomtí Dsipti Ing. lto M. Péz G. PRYEIÓN DE RETS L poyión til l sgmnto (-) pu finis iujno l tiángulo timinto oizontl l mismo pti su poyión oizontl\ fig.104. Z - Z - fig.104.\ onstuión ts ( + ). ) SE NE L PRYEIÓN HRIZNTL ( ) DE L RET () Y EL ÁNGUL ( ) QUE EST FRM N EL PLN VERTIL DE PRYEIÓN. Ejmplo: Dfini l poyión til l sgmnto (-) qu su i tás fomno l ángulo ( 0 ) on l plno til poyión\ fig.107. Soluión: L poyión til l sgmnto (-) pu finis tminno l ifni ulo ( Y - ) l mismo, y iujno pti ll, su tiángulo timinto til\ fig.107. ) SE NE L PRYEIÓN VERTIL ( ) DE L RET () Y EL ÁNGUL ( ) QUE EST FRM N EL PLN HRIZNTL DE PRYEIÓN. Ejmplo: Dfini l poyión oizontl l sgmnto (-) qu j i lnt fomno l ángulo ( 0 ) on l plno oizontl poyión\ fig.105. Soluión: L poyión oizontl l sgmnto (-) pu finis tminno l ifni ot ( Z - ) l mismo, y iujno, pti ll, su tiángulo timinto oizontl\ fig Y fig.107.\ onstuión ts ( + ). Z - En l fig.108, s must omo, p l mismo jiio, si s í l lo l ángulo ( 0 ) o, pu s qu l soluión s un t oizontl\ fig.108; o qu l jiio no tng soluión\ fig.108. ) L soluión s un t oizontl Son tngnts ) No y soluión No s otn fig.105.\ onstuión ts ( + ). En l fig.106, s must omo, p l mismo jiio, si s í l lo l ángulo ( 0 ) o, pu s qu l soluión s: un t fontl\ fig.106; o qu l jiio no tng soluión\ fig.106. Z - Son tngnts Z - No s otn ) L soluión s un t fontl ) No y soluión fig.106.\ onstuión ts ( + ) \ sos ptiuls. Y - Y - fig.108.\ onstuión ts ( + ) \ sos ptiuls. ) SE NE L PRYEIÓN HRIZNTL ( ) DE L RET () Y EL VERDDER TMÑ ( -) DE UN SEGMENT. Ejmplo: Dfini l poyión til l sgmnto (-), longitu ( -), sino qu j i l \ fig.109. Soluión: L poyión til l sgmnto (-) pu finis iujno l tiángulo timinto oizontl l mismo pti su poyión oizontl\ fig