8- CÁLCULO ESTRUCTURAL POR EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS (FEM)

Transcripción

1 Proecto Menorquín Yacht 8- CÁLCULO STRUCTURAL POR L MÉTODO D LOS LMTOS FIITOS (FM) 8.3- Modeliación ateática 8.3.-Obtención de constantes elásticas de una láina por el prograa Regla de las eclas Modelo de Halphin-Tsai 8.3.-Macroecánica de una láina Macroecánica del lainado Modeliación ateática del coportaiento de las estructuras sándwich Modelo de Reissneir Mindlin Aplicación del Método de los leentos Finitos (MF) Desarrollo de una intera de usuario para el prograa RaSeries Validación del Método Conclusiones 8.4-Peculiaridades del prograa Ra series Solver 8.4.-Generación de alla Presiones principales Von Misses orativa de reerencia del prograa Raseries 7

2 Proecto Menorquín Yacht 8.3- Modeliación ateática 8.3.-Obtención de constantes elásticas de una láina por el prograa Regla de las eclas Para producir la epresión atricial del aterial por tanto las constantes elásticas de cualquier lainado, es necesario deterinar,, υ (ó υ ) G para una láina unidireccional. Se trata de hoogeneiar el aterial a nivel icroscópico de anera que se pueda tratar la láina coo un aterial hoogéneo ortótropo. sto se realia ediante el estudio icroecánico de la láina. l valor de las constantes elásticas depende de: : ódulo de Young de la ibra : ódulo de Young de la atri υ : cociente de Poisson de la ibra υ : coeiciente de Poisson de la atri V : relación entre voluen de ibra voluen total de la láina V : relación entre voluen de la atri voluen total de la láina Deterinación del espesor Deterinación de Deterinación de υ Deterinación de e ( ) ω * ρ * ρ ρ * W ( ρ ρ ) ( µ ) ( ) V + ( ν ν ) + ν V ν V V ó + Deterinación de G ( V + V ) V + ( V ) G V G V + G G G V G + V G V G G + G ( V ) G 8

3 Proecto Menorquín Yacht l prograa orece otras orulaciones obtenidas epíricaente, coo las obtenidas en el odelo de Halphin-Tsai. Modelo de Halphin-Tsai: Módulo cortante interlainar G 3 G η 3 V +η3 ( V ) 3 4 ν + G ; η3 (( V ) + V G / G 4 ( ν ) / G Para el ódulo de cortante G 3 se suele asuir con relativa seguridad en ateriales ortótropos, que G G 3. La ecuación del ódulo de resistencia transversal es: + ξηv ηv ; η ( ) ( ) + ξ La ecuación de Halphin-Tsai para el ódulo cortante en el plano G es: G G + ξηv ηv ; η ( G G ) ( G G ) + ξ ξ + 4V 9

4 Proecto Menorquín Yacht Macroecánica de una láina. Las ibras están orientadas en direcciones deinidas no de una anera aleatoria, por ejeplo en una dirección o en direcciones perpendiculares, o a ±45º, igura 3. Figura 3.- Orientación de ibras de reuero en lainados ortotrópicos. n el análisis de aterial ortotrópico los subíndices representan lo siguiente: - Subíndice para la dirección principal del aterial, la única en el caso de ibras en aterial unidireccional. - Subíndice para la dirección perpendicular a la principal. sta notación no debe conundirse con la que corresponde a las de tensiones principales. Cuando se aplica una tensión en abas direcciones de anera independiente, se produce un alargaiento de las ibras en esa dirección una contracción del aterial en la dirección perpendicular, ver igura 4. Figura 4.- ecto de la aplicación de tensiones a ateriales ortotrópicos.

5 Proecto Menorquín Yacht Si es el Módulo de Young del aterial en la dirección υ es el coeiciente de Poisson del aterial, se cuple que el alargaiento en la dirección principal es: en la dirección perpendicular es: ν De ora siilar, la aplicación de una tensión en la dirección causa una deoración en esa dirección cuo valor es: en la dirección perpendicular : ν Si se aplican las tensiones de ora siultánea, puesto que las deoraciones son pequeñas, se cuple que las deoraciones en las direcciones valen siultáneaente: ν ν puesto en ora atricial queda: ν ν La atri es siétrica, por lo que se cuple que:

6 Proecto Menorquín Yacht ν ν La atri del aterial se puede obtener invirtiendo la anterior: ν ν ν νν ν ν ν ν ν ecto de la tensión cortante l ódulo de rigide del aterial ortotrópico con respecto a las direcciones - es G. Por tanto, τ G. τ ν ν ν νν ν ν ν ν ν G [ ] l valor de G es distinto de ( + ν ) de ( + ν ), no es igual, coo ocurre en el caso de ateriales isotrópicos. G es una constante elástica separada, independiente de los valores de Módulo de Young de los coeicientes de Poisson. Una láina de aterial ortotrópico está copletaente deinida por cuatro constantes elásticas independientes,,, υ (o υ ) G.

7 Proecto Menorquín Yacht Figura 5.- Vista general eplosionada de un lainado siétrico de tres capas. Si un lainado está soetido a una carga por unidad de longitud en el borde de,, se producen unas tensiones, τ. Para deterinar las deoraciones es necesario conocer las constantes elásticas en el sistea de reerencia -,,, τ G. s claro que cada láina contribuirá a los valores de,, υ G, así coo que la dirección principal de cada láina no está alineada con la dirección del sistea de reerencia, igura 5. s necesario transorar las tensiones deoraciones en las direcciones - a tensiones deoraciones en las direcciones -. De la igura 6 se obtienen las relaciones entre tensiones en abos sisteas de reerencia. Figura 6.- Relación entre sisteas de reerencia. De la igura central se obtiene el valor de : d cos θ ( cos θ + τ sen θ) d + ( sen θ + τ cos θ) cos cos θ + τ θ + sen sen θ cos θ + sen θ tg θ cos θ + τ θ + τ sen θ cos θ d tg θ cos θ tg θ 3

8 Proecto Menorquín Yacht De la igura de la derecha se obtienen los valores de τ : d cos θ ( sen θ τ cos θ) d tg θ + ( cos θ τ sen θ) sen θ cos θ tg θ τ sen θ + cos sen θ cos θ τ θ tg θ + sen θ cos θ cos d θ τ sen θ cos θ τd cos θ τ ( sen θ + τ cos θ) d + ( cos θ τ sen θ) sen θ cos θ + τ sen θ cos θ + cos θ + cos θ sen θ + τ cos θ cos θ tg θ τ ( cos θ sen θ) d tg θ sen θ cos θ tg θ Poniendo las epresiones en ora atricial, las tensiones en los ejes del aterial son: τ cos θ sen θ sen θcos θ sen cos θ θ sen θcos θ sen θcos θ sen θ cos θ τ ( cos θ sen θ) [ T] τ Invirtiendo la atri, se obtienen las tensiones en los ejes globales: τ cos θ sen θ sen θ cos θ sen cos θ θ sen θ cos θ sen θ cos θ sen θ cos θ τ ( cos θ sen θ) - [ T] [ ] Análogaente, las deoraciones se transoran de la isa anera: cos θ sen θ sen θcos θ sen cos θ θ sen θcos θ sen θcos θ sen θcos θ ( cos θ sen θ) [ T] - Relacionando estas ecuaciones : 4

9 Proecto Menorquín Yacht τ - - [ ] [ T] [ ] [ T] [ ][ T] [] donde los valores de la atri se obtienen realiando el producto atricial [ ] [ ][ T] T - : : θ + ( + ) 4 4 ( + 4 ) sen θcos θ + ( sen θ + cos θ) 3 ( 33 ) sen θcos θ + ( + 33 ) 4 4 θ + cos θ + ( + 33 ) sen θcos θ 3 ( ) sen θcos θ + ( + ) 4 4 ( + ) sen θcos θ + ( sen θ + cos θ) cos sen 4 4 sen θ sen θ cos θ 33 3 sen θ cos θ sen θcos ν ν ; ; ; 33 G νν νν νν νν 3 θ son unciones de las constantes elásticas unidireccionales vistas anteriorente. La atri del aterial para todo el lainado se puede obtener suando las atrices transoradas de cada capa. Los cálculos realiados hasta ahora son válidos para el caso de tensión plana. sta es la hipótesis que se aplica en la teoría clásica de placas lainadas. Sin ebargo, a la hora de aplicar teorías ás coplejas coo la de deoración a cortante de prier orden, es necesario considerar, adeás, los esueros tangenciales en los otros ejes de la láina. Para considerar el esuero cortante interlainar, es necesario copleentar las ecuaciones de tensión plana con las siguientes: τ τ 3 3 G 3 G * * 3 3 * 3 [ ] 3 donde * es la atri de rigide interlainar. 5

10 Proecto Menorquín Yacht La atri de transoración para las tensiones interlainares es: cos θ sen θ [ T ] * sen θ cos θ De esta ora, se pueden relacionar las tensiones en los ejes locales de la láina los globales: τ τ * * * τ 3 * * 3 * * * * [ T ] [ T ] [ ] [ T ] [ ][ T ] τ 3 3 * * donde los valores de * son: * * * * * cos sen θ + θ + sen cos * * ( ) sen θ cos θ * * θ θ Macroecánica del lainado Una ve estudiado el coportaiento de una láina su caracteriación icroecánica tal coo se verá posteriorente, se dispone de los valores necesarios para realiar el análisis copleto del coportaiento acroecánico del lainado. Se pasará de un aterial lainar no hoogéneo, en el sentido de que cada capa puede tener distintas propiedades, a un aterial equivalente hoogéneo ortótropo. l análisis de lainados se realia a partir del odelo de la teoría clásica de placas lainadas, cuas dos hipótesis son: - Una sección recta perpendicular a la supericie edia peranece recta después de que la placa se deore, igura 7. sta suposición se basa en observaciones eperientales, e iplica que las deoraciones unitarias tangenciales son constantes a través del espesor. sta hipótesis es válida para lainados inos es una buena aproiación en la aor parte de los casos, ecepto cuando el lainado es grueso las capas tienen u dierente rigide a cortante. 6

11 Proecto Menorquín Yacht - La longitud de la línea AD peranece constante, igura 7. sto iplica que la deoración unitaria noral es. sta hipótesis se basa tabién en observaciones eperientales. s una buena hipótesis que se satisace en la aor parte de los casos, ecepto para lainados u gruesos. Figura 7.- Geoetría de deoración en el plano -. Se considera el sistea de coordenadas de las iguras 7 8, donde la supericie edia está situada a la itad del espesor de la plancha. Figura 8.- Fueras oentos resultantes en una placa plana. Usando la priera hipótesis anterior, los desplaaientos en cada punto a través del espesor son: 7

12 Proecto Menorquín Yacht u v (,, ) u (, ) φ (, ) (,, ) v (, ) φ (, ) donde u(,,) v(,,) son los desplaaientos de cada punto (,,) a lo largo de la direcciones "" e "" respectivaente. Las unciones u, v, w, representan los desplaaientos de cada punto (,) de la supericie edia de la placa, Las unciones Φ (,) Φ (,) son los giros en sentido antihorario de la noral a la supericie edia en cada punto de la isa, línea AD de la igura 7. Utiliando la segunda hipótesis anterior, sabiendo que los valores de Φ Φ son u pequeños, la deoración transversal es la isa para cada punto a lo largo del espesor de la plancha: (,, ) w (, ) w Las variables independientes en las epresiones anteriores son, u (,), v (,), w (,), Φ (,) Φ (,). l hecho de que todas sean independientes de la coordenada es la principal característica de la teoría clásica de placas, en contraste con el problea elástico tridiensional, en donde las variables u, v w dependen de las tres coordenadas,,. Las deoraciones unitarias en cada punto de la placa son unción de los desplaaientos: (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) u v u v + v w + u w + que se pueden epresar en unción de los valores de u, v w anteriores, coo: 8

13 Proecto Menorquín Yacht (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) u φ v φ u φ φ v + w + w + φ φ + Coo se observa, son independientes de la coordenada "", es decir, son constantes a través del espesor, debido a la priera hipótesis. Las tres prieras ecuaciones se pueden epresar atricialente coo: + κ + κ κ donde,, son las deoraciones unitarias de la supericie edia. Con esta epresión, las deoraciones en cualquier punto de la placa son conocidas una ve deterinadas la deoración la curvatura de la supericie edia. Conocidas las deoraciones en un punto de la placa, es actible conocer las tensiones. Para ello, sólo ha que identiicar la capa en la que se encuentra el punto aplicar la relación atricial vista en icroecánica de una láina: τ κ κ κ Una ve obtenidas las tensiones en los ejes globales, coo se ha visto es sencillo convertirlas a ejes locales de cada láina. n estos ejes locales es posible aplicar los criterios de rotura. 9

14 Proecto Menorquín Yacht coo: Los valores de,,, de las curvaturas de leión, de torsión, se deinen (, ) κ (, ) (, ) (, ) u v u v + κ κ (, ) φ φ φ φ ( ), + Las deoraciones unitarias interlainares por cortante son la cuarta quinta ecuaciones de partida anteriores: (,, ) (,, ) φ φ w + w + Por conveniencia se separan las deoraciones unitarias en deoraciones en el plano (,, ) curvaturas ( κ, κ, κ ), de anera que si sólo actúan ueras en el plano, sólo se inducen las deoraciones en el iso no es necesario considerar las curvaturas. Si sólo se aplican oentos o cargas transversales, sólo es necesario calcular las curvaturas. La distribución lineal de tensiones en una capa del lainado, igura 9, es causada por la leión por tanto por la curvatura, el térino constante es causado por el alargaiento. La distribución de tensiones es lineal a través del espesor porque las deoraciones unitarias son lineales a través del iso, la ecuación constitutiva (rigide) es constante a través del espesor de cada capa. Figura 9.- Distribución de tensiones en una capa debidas a leión alargaiento. 3

15 Proecto Menorquín Yacht Mientras las deoraciones unitarias peranecen lineales para toda la placa lainada, las tensiones son lineales por capas, igura, porque las rigideces son distintas en cada una de ellas, a que lo noral es que el lainado esté copuesto por capas de características distintas. Figura.- Deoraciones unitarias tensiones debidas a leión alargaiento de placa lainada. Si el espesor de la placa es ucho enor que las otras dos diensiones de la isa, las deoraciones por cortante τ τ se pueden despreciar, los giros de la línea noral AD de la igura 7, son iguales a las pendientes de la supericie edia: φ φ w w Sustituendo en las epresiones de las curvaturas, quedan: κ κ κ (, ) (, ) (, ) w w w stas curvaturas, junto con las deoraciones unitarias (,, ), constituen la base de la teoría clásica de placas, es decir, supone que τ τ son nulas. Cuando se 3

16 Proecto Menorquín Yacht tiene en cuenta sus valores, la teoría correspondiente se denoina teoría de deoración por cortante de prier orden. La teoría clásica da buenos resultados para placas isotrópicas (acero, aluinio), porque estos ateriales son u rígidos a cortante G /.5, por lo que la deoración por cortante, si no es cero, es u pequeña. Sin ebargo, los ateriales copuestos tienen bajo ódulo a cortante, G</, requieren tener en cuenta la deoración transversal por cortante. Para realiar el análisis copleto del lainado ha que obtener estas deoraciones, para ello, ha que conocer la relación entre las deoraciones las ueras oentos aplicados, que son las variables de entrada conocidas. s necesario integrar las tensiones a través del espesor para obtener sus resultantes. Al realiar esto, se consigue pasar de nuevo de un aterial lainar a un aterial hoogéneo. t t τ d V t t V d M M M t t τ d donde, son las ueras ailes cortante en el plano por unidad de longitud a lo largo del borde de la placa, V V son las ueras cortantes por unidad de longitud M, M M son los oentos por unidad de longitud, según se ve en la igura 8. Las ueras oentos resultantes se calculan realiando la integración de ora discontinua a lo ancho de capas, a que las tensiones en cada capa son lineales, pero no son continuas de una capa a otra: τ d 3

17 Proecto Menorquín Yacht 33 d V V τ d M M M donde es la coordenada de la supericie eterior de la capa -ésia, igura. Figura.- Geoetría de un lainado de capas. Sustituendo las tensiones por su relación con las deoraciones, queda: κ κ κ + τ d d d Se realia de ora análoga para las ueras cortantes oentos lectores. Al ser la atri constante para cada capa ser las deoraciones curvaturas de la supericie edia independientes de la coordenada "", es posible realiar una operación de suatorio sobre sus coponentes, ientras que sólo se realia la integración sobre el espesor de cada capa. n ora atricial etensa copacta se puede epresar:

18 Proecto Menorquín Yacht 34 κ κ κ D D D D D D D D D A A A A A A A A A M M M H H H H V V c H D A V M Las atrices [A], [], [D] [H] se conocen respectivaente coo atri etensional, atri de acoplaiento, atri de leión atri de rigide a cortante. Son siétricas, los coeicientes se obtienen realiando la integración de la ora siguiente: [ ] [ ] [] ( ) ( ) ( ) ( ) + + d d d [ ] [ ] A [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] 3,, j i, ; t,,3 j i, ; t A ij ij ij ij ij ij

19 Proecto Menorquín Yacht 35 [ ] [ ] [] ( ) ( ) ( ) ( ) d d d M [ ] [ ] D M [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] 3,, j i, ; t t 3 D,,3 j i, ; t 3 ij 3 3 ij ij ij ij ij + De ora siilar se obtienen los coeicientes de la atri [H]: [ ], j i, ; t t t 4 t 4 5 H 3 * ij ij + donde es la coordenada de la supericie edia de la láina, igura. Una ve obtenidos los coeicientes de estas atrices, se invierte la atri global para obtener el vector de deoraciones, que perite obtener las tensiones en cada capa. V M H D A c A continuación, se resue el proceso copleto de cálculo de un eleento lainado: - A partir de las constantes de ibra resina se calculan las propiedades de la capa o láina:,,g, G, ν ν,,g, ν

20 Proecto Menorquín Yacht 36 - Obtener los valores de (,, G, ) * (G 3, G 3 ). - Obtener los valores ( ),θ ( ) θ, * *. - Cálculo de las atrices [A], [], [D] [H]. - Obtención de las deoraciones : c, +. - Obtención de las tensiones en ejes locales τ ; [ ] c * * τ τ. - Obtención de las tensiones en los ejes globales del aterial: τ τ T - Por últio, coparar las tensiones en los ejes del aterial con las tensiones áias. isten dierentes criterios de allo, coo el de Tsai-Hill el de Tsai-Wu.

21 Proecto Menorquín Yacht Modeliación ateática del coportaiento de las estructuras sándwich ásicaente eisten dos étodos básicos para el análisis de las estructuras sándwich. Los dos étodos tienen en consideración la no linealidad geoétrica de la contribución de las ueras cortantes en la lecha total. Son el odelo de prier orden (FSDT) el odelo de aor grado. n térinos generales, se puede airar que es ás conveniente utiliar la teoría de prier orden para obtener las deoraciones globales resolver el problea de estabilidad. Para la aplicación de la teoría de FSDT el prograa se ha basado en el odelo de Reissneir Mindlin que supone que las pieles eteriores actúan coo ebranas cuando sus espesores son despreciables con respecto al espesor del núcleo h << h c. Se ha de señalar que la teoría de Reissneir Mindlin no inclue la copresibilidad del núcleo, de anera que éste sólo puede absorber las tensiones tangenciales. Las hipótesis aproiaciones nos audan a sipliicar los cálculos analíticos reducir la coplejidad de las ecuaciones dierenciales, pero estas sipliicaciones tienen que ser consistentes con el enóeno ísico real del problea que estaos resolviendo. n el caso de estructuras sándwich vaos a suponer un estado de tensión plana en las pieles eteriores, hipótesis respaldada por el hecho de utiliar pieles delgadas. Se desprecia tabién la contribución del núcleo en la rigide a la leión, lo que resulta correcto si trabajaos con núcleos débiles. Un núcleo es débil cuando se cuple la siguiente desigualdad: Finalente, se hace notar que en la FSDT la tensión noral transversal es nula por lo tanto se descartan los probleas derivados de la de lainación. Forulación de la FSDT según el odelo de Reissneir Mindlin Asuiendo el estado de tensión plana para cada láina del lainado podeos escribir la relación constitutiva de cada capa ediante las siguientes epresiones que 37

22 Proecto Menorquín Yacht relacionan las tensiones deoraciones en las direcciones de orientación de las ibras que se denoinan ejes del aterial. La dirección ().Dirección longitudinal, es paralela a la orientación de las ibras ientras que la dirección ().Dirección transversal, es perpendicular a () en el plano de la láina Para encontrar la relación entre las tensiones deoraciones en los ejes locales de la láina (O) teneos que realiar la siguiente transoración: 38

23 Proecto Menorquín Yacht De donde se obtiene, Las hipótesis utiliadas para la orulación de las anteriores relaciones son las isas que plantea el odelo de Reissneir Mindlin: Una línea recta perpendicular a la supericie edia peranece recta después de la transoración. sta hipótesis está basada en hechos eperientales deostrados para placas delgadas, esto iplica que son constantes a través del espesor. sta teoría alla cuando hablaos de espesores grandes por ello es necesaria la utiliación de la teoría de deoración a cortante de prier orden que supone una variación de las deoraciones angulares a través del espesor del lainado. Un segento del espesor perpendicular a la supericie edia peranece inetensible lo que iplica una deoración unitaria nula en la dirección perpendicular al plano edio. sta hipótesis es acorde con las observaciones eperientales ecepto en el caso de placas u gruesas. Finalente, para sipliicar la orulación es conveniente trabajar con unciones que dependen eclusivaente de e, para ello realiaos una integración a través del espesor que nos perite encontrar las siguientes resultantes de tensiones: Una ve calculadas las integrales anteriores obteneos las siguientes relaciones: 39

24 Proecto Menorquín Yacht Donde 4

25 Proecto Menorquín Yacht Aplicación del Método de los leentos Finitos (MF) La orulación integral necesaria para la resolución por el MF se basa en el planteaiento de la ecuación del equilibrio interno, aplicando la teoría de los trabajos virtuales e igualando el trabajo virtual de los esueros internos eternos: l siguiente paso es discretiar la estructura ediante su división en eleentos, que en nuestro caso van a ser triángulos de seis nodos (ver igura). ste tipo de eleento ha sido seleccionado por su acilidad para autoatiar el proceso de discretiación (generación de la alla) así coo por la calidad de los resultados que orece. Siguiendo la aplicación típica del MF, los desplaaientos de los puntos interiores de estos eleentos se interpolan en unción de los desplaaientos en los nodos de la siguiente anera: presando de igual ora todas las variables del problea, podeos escribir: 4

26 Proecto Menorquín Yacht Siendo, Sustituendo los paráetros de la ecuación del equilibrio por sus valores llegaos a la siguiente epresión: Y inalente, aplicando la integración nuérica ediante la cuadratura de Gauss- Legendre bidiensional obteneos los siguientes resultados: s iportante señalar que para evitar el enóeno del bloqueo inducido por los térinos provenientes de la deoración a cortante transversal en placas delgadas, se utilia la subintegración de la atri c usando para ello una cuadratura reducida. 4

27 Proecto Menorquín Yacht Desarrollo de una intera de usuario para el prograa RaSeries l trabajo de desarrollo del odelo de cálculo se ha copleentado con el desarrollo de una intera de usuario especíica. l lenguaje de prograación usado es Tcl/T. ste lenguaje es de tipo script, no copilado se divide en dos bloques: el TCL, unciones e instrucciones propias de un lenguaje de prograación estándar T (ToolKit) unciones procediientos para el desarrollo de ventanas gráicas (widget). sta intera ha sido desarrollada bajo el concepto de Twidget del entorno de pre post proceso del prograa RaSeries, basada en el sistea GiD. l Twidget perite el desarrollo de nuevas interaces gráicas de usuarios bajo el entorno GiD. Twidget acilita distintos procediientos de counicación entre las estructuras de datos internas de GiD la nueva intera creada. La intera de usuario desarrollada se divide en dos aplicaciones bien dierenciadas: Lainate Shell: Aplicación para la deinición generación de un aterial lainado. aval Stieners: Aplicación para la deinición generación de rigidiadores de ateriales copuestos de tipo naval con sección trapeoidal variable. Lainate Shell sta aplicación perite deinir todas las propiedades de un lainado asignarlo a una supericie del odelo en estudio. La intera gráica está organiada en ora de noteboo consta de dos páginas Materials: n esta página es posible deinir las propiedades ecánicas activar el criterio de rotura (Tsai-Wu) para cada capa que orará el aterial lainado. isten dos aneras de poder deinir las propiedades ecánicas de una capa, introduciendo los ódulos de Young, coeiciente de Poisson ódulos de corte directaente o ediante una descripción en coposición de ibra resina; evidenteente en este segundo caso la aplicación realia un cálculo autoático de las propiedades ecánicas del espesor de la capa. Secuencia de lainado: n esta página se deine la secuencia de lainado, asignando los espesores ángulos de las ibras de cada capa. La ventana perite la descripción visual del lainado. 43

28 Proecto Menorquín Yacht aval Stieners sta aplicación perite deinir todas las propiedades de un rigidiador naval asignarlo a una línea del odelo en estudio. La intera gráica está organiada en ora de noteboo consta de tres páginas: Materials: n esta página es posible deinir las propiedades ecánicas para cada capa que orará el aterial lainado. isten dos aneras de poder deinir las propiedades ecánicas de una capa, introduciendo los ódulos de Young, coeiciente de Poisson ódulos de corte directaente o ediante una descripción en coposición de ibra-resina; evidenteente en este segundo caso la aplicación realia un cálculo autoático de las propiedades ecánicas del espesor de la capa. Secuencia de lainado: n esta página se deine la secuencia de lainado, asignando los espesores ángulos de las ibras de cada capa. Coo resultado de este proceso se realia el cálculo autoático de espesores propiedades ecánicas. La ventana perite la descripción visual del lainado. Deinición de las propiedades del rigidiador: n esta página se perite la asignación de chapas asociadas, obteniendo el ódulo a cortante del núcleo peritiendo el cálculo de las propiedades geoétricas de la sección. 44

29 Proecto Menorquín Yacht Validación del Método Para la validación del código de eleentos initos desarrollado se realiaron dierentes pruebas. n prier lugar se coprobó el correcto uncionaiento de la hoogeniación en cuanto a las pieles se reiere. Para esto se coparó el resultado analítico de una placa lainada con las lechas obtenidas del odelo de eleentos initos. Habiendo obtenido unos resultados adecuados, se pasó al estudio de distintas coniguraciones sándwich. n particular, se estudió una placa lainada de pieles ortótropas con núcleo de PVC en un caso de adera de balsa en otro. Se realiaron estudios basados en dierentes hipótesis, por un lado asuiendo un estado de tensión plana en las pieles un núcleo que solo soporta la cortante, por otro, teniendo en cuenta la rigide a leión del núcleo. De esta ora, es posible coparar el eecto que tiene la hipótesis de un núcleo blando sobre la lecha total. stos estudios se copararon con resultados analíticos eperientales para una placa soetida a una presión hoogénea uera del plano. A continuación se presentan los resultados ás representativos de este estudio. Placa lainada sólida l caso de análisis consiste en una placa de longitud a,6 (eje ), anchura b,8 (eje ) espesor t,6. sta placa se considera sipleente apoada en todos sus bordes está cargada con una presión unioreente distribuida en la dirección de de q, MPa. l lainado se copone de vidrio coo reuero resina epo coo atri. La secuencia de lainación era [/9/+-45] 4s con un espesor por capa de,5. De esta ora, las propiedades de las capas resultan ser La solución a este problea se puede obtener ediante el étodo de avier, según el cual: Donde s a/b, 45

30 Proecto Menorquín Yacht Para este caso la lecha resultante es de 9,6. ste iso cálculo se realió utiliando el étodo de los eleentos initos (MF) con la alla que se uestra en la igura 8. La alla ue generada de anera autoática con el prograa de cálculo RaSeries. Asiiso la introducción de datos, el cálculo el postproceso de los resultados, se realió dentro del iso prograa. La áia lecha obtenida del cálculo de eleentos initos ue de,5. sto proporciona una dierencia del 5 % rente al cálculo analítico. s iportante hacer notar que la resolución del étodo de avier deja sin considerar la lecha producida por la deoración a cortante de la placa, por lo que se puede airar que el error de la solución MF debe ser enor de ese valor, a que la deoración inal, una ve considerada la deoración por cortante, ha de ser aor de los 9,6 ilíetros que nos orece el étodo de avier. 46

31 Proecto Menorquín Yacht Placa sándwich Para el caso de la placa lainada en sándwich en prier lugar se realió un estudio de convergencia. n este estudio se buscaba obtener la densidad de alla adecuada para realiar el resto de las coprobaciones. l caso de análisis consistía en una placa de,83 por,9 etros. sta placa estaba epotrada en sus lados cortos (,9 ) apoada en los largos (,83 ). Se obtuvieron para unas pieles copuestas de tejido plano (igual núero de ibras en la dirección de la urdibre que de la traa) de ibra de vidrio con un graaje de 68 graos/. La resina que se usó coo atri ue el vinlester Derane 884. l núcleo del panel era de espua lineal de PVC con una densidad de 7 g/ 3. l proceso de anuactura utiliado ue el de SCRIMPVARTM (inusión de resina asistida por vacío). sto se traduce en unas propiedades del aterial tales coo: ste aterial se distribuó en el lainado para el prograa de cálculo de la siguiente ora: dos pieles con las propiedades del plástico reorado en ibra de vidrio (PRFV) un espesor de 3, ilíetros, un núcleo de PVC de,7 ilíetros. A eectos del proceso de la obtención de las atrices constitutivas del aterial tratado coo hoogéneo, se utilió cada aterial coo si uese una capa del lainado. De esta ora ediante el odelo de FSDT obteneos sus atrices A,, D, H que se utiliarán para el cálculo del odelo de eleentos initos. 47

32 Proecto Menorquín Yacht n cuanto a las allas de cálculo, se generaron 8 dierentes de 3, 56,68, 34, 634, 84,.8,.48 eleentos, tal coo se uestra en la igura. Los resultados obtenidos para una presión hoogénea de 4.8 Pa se detallan a continuación: n este caso, observaos que un allado interedio de 64 eleentos sería suiciente para obtener buenos resultados. Para conseguir una aor precisión en los cálculos posteriores, se ha utiliado el siguiente escalón en las allas, es decir 84 eleentos para posteriores análisis. sta puede parecer una alla bastante ina para un caso relativaente siple, pero considerando el reducido tiepo de ejecución necesario se decidió utiliarla en aras de una aor precisión. ste tipo de coparativa nos da adeás una idea cualitativa de qué tipo de alla utiliar en caso de realiar otra serie de análisis de geoetrías ás coplejas. n este caso el error coetido es de un,6 % ( eperiental-nuérico /eperiental), lo que supera las epectativas de cálculo de la aoría de los casos prácticos en ingeniería. s tabién iportante encionar que este error está u por debajo de la banda de incertidubre de la edición eperiental. Una ve deinida la alla a utiliar, se realió un análisis de la curva de deoración para copararla con los resultados eperientales. Así, sobre el iso panel se realiaron los cálculos para tres presiones dierentes para las que se tenían valores de lecha obtenidos eperientalente. Con las isas condiciones de contorno el iso aterial se resolvió el problea por edio del MF para unas presiones de 3., Pa. stas presiones representan la carga necesaria 48

33 Proecto Menorquín Yacht en el caso eperiental para obtener lechas de L/ L/5, respectivaente, siendo L la longitud del panel. stos resultados ueron analiados junto con el caso anterior que representa la presión eperiental necesaria para conseguir una lecha de L/. Los resultados obtenidos ueron: Todos estos cálculos se realiaron considerando todas las propiedades de cada uno de los ateriales constituentes. De esta ora, el núcleo está considerado coo una capa ás soporta su parte proporcional de las cargas de leión. Igualente, tabién se considera la contribución de las pieles a la resistencia a la cortante. Sin ebargo, la ora clásica de calcular las estructuras sándwich (que coúnente son de pieles delgadas) es la de considerar que el núcleo soporta toda la cortante nada de la leión que las pieles están en un estado de tensión plana. Por esta raón se realiaron dos estudios dierentes. Por un lado se copara el cálculo del panel con el núcleo de PVC, asuiendo que las pieles se encuentran en un estado de tensión plana el núcleo soportando el esuero cortante. Por otro lado, se realió un cálculo de un panel con un aterial de núcleo ás rígido en cuanto a propiedades de leión, enos rígido en cuanto a propiedades de cortante coo es la adera de balsa. 49

34 Proecto Menorquín Yacht Las propiedades del panel de PVC ueron las utiliadas en el caso presentado anteriorente, ientras que para el panel con el núcleo de adera de balsa se consideraron unas propiedades análogas para las pieles unas propiedades del núcleo: Los resultados obtenidos se uestran en la siguiente igura, donde los resultados eperientales se coparan con los resultados de la solución de eleentos initos ignorada la rigide a leión del núcleo (nuérica ), con la solución de eleentos initos considerando dicha rigide (nuérica ). Tabién se inclue en la igura la banda de error eperiental para cada caso: uéricaente, los resultados obtenidos son: Resultados Panel con úcleo de PVC 5

35 Proecto Menorquín Yacht Resultados Panel con úcleo de alsa Coo se puede observar, tanto en las iguras coo en los resultados nuéricos, el argen de error está u por debajo de lo requerido en los casos prácticos en ingeniería naval. Más aun si teneos en cuenta la banda de error de los resultados eperientales. Por ello podeos airar que tanto el panel con el núcleo de PVC coo el construido con el núcleo de adera de balsa quedan odeliados con una precisión aceptable cuando se tienen en cuenta todas sus propiedades. n cuanto al odelo sipliicado, si bien su utilidad tabién parece clara, lo es enos en cuanto al panel de adera de balsa, donde se llega a coeter un error del 4,3 %, en el caso de la presión ás alta. 5

36 Proecto Menorquín Yacht Conclusiones Se ha ipleentado validado un étodo para estudiar el coportaiento de placas sándwich en coniguraciones coúnente utiliadas en la industria naval. l trabajo de ipleentación ha consistido en la conversión de un prograa de cálculo clásico MF para su utiliación en estructuras tipo sándwich. La especial idiosincrasia de este tipo de estructuras se puede observar en los resultados obtenidos en los ejeplos de este artículo. Se observa que los resultados obtenidos están en todos los casos dentro del argen de error aceptado para este tipo de cálculo. Así, un análisis sipliicado nos puede peritir encontrar con un cierto grado de coniana el coportaiento de la estructura. Sin ebargo, el bajo coste coputacional etra de realiar un análisis teniendo en cuenta todas las propiedades del núcleo las pieles parece a priori un aliciente para realiar este tipo de cálculos siguiendo este odelo. La diicultad de esta ipleentación es la baja disponibilidad en uchos casos de propiedades ecánicas suicientes suicienteente iables para su ipleentación. n esos casos se ha observado que el cálculo teniendo en cuenta solaente las propiedades en el plano de las pieles uera de él, del núcleo, da unos resultados aceptables. A este respecto, se ha de tener en cuenta que el tipo de sándwich estudiado tiene una relación de espesores pieles-núcleo (d/h ) de 4, con lo que nos encontraos en la ona de pieles gruesas. n esta ona la hipótesis de que las pieles no soportan cortante se viola por tanto la utiliación del odelo sipliicado se vuelve dudosa. Sin ebargo, los resultados obtenidos, si bien con un error aor (3,8 % 8, % de error edio para la placa con núcleo de PVC balsa, respectivaente) se pueden considerar aceptables para una priera aproiación. n eecto, estos resultados se encuentran aún dentro de la banda de incertidubre de los resultados eperientales en el caso del panel con núcleo PVC. n el caso del panel con núcleo de adera de balsa los resultados son algo peores su error supera a la incertidubre eperiental. sto podría ser debido a la enor rigide a cortante de la adera de balsa con respecto al PVC. De esta ora la contribución de las pieles al soporte de las ueras cortantes es ás iportante aún ha de tenerse en cuenta. Se observa adeás que el coportaiento del panel con el núcleo de balsa en los resultados eperientales se desvía ucho ás del coportaiento lineal que el del panel con el núcleo de PVC. Todo esto unido a la aor rigide a 5

37 Proecto Menorquín Yacht leión de la adera de balsa parece indicar que sería ás recoendable considerar la utiliación del odelo ás copleto para su cálculo. De esta ora, el odelo ás copleto, aquel que inclue enos sipliicaciones utilia todas las propiedades portantes de los eleentos del sándwich en su cálculo, obtiene ejores resultados en abos tipos de panel. specíicaente,,8% 4,5 % de error edio para el panel con el núcleo de PVC para el del núcleo de balsa, respectivaente. Una ve ás, el panel con el núcleo de balsa se presenta ás coplicado de odelar apropiadaente. Coo se puede observar en los resultados eperientales, este panel uestra un coportaiento enos aín a un odelo lineal en la relación presión-lecha para odelarlo con ás precisión sería necesario recurrir a tipos de cálculo ás coplejos. Por últio, es especialente destacable el hecho de que esta ipleentación ha sido copletaente integrada dentro de un prograa de cálculo (RaSeries), incluendo una variedad de herraientas de pre postproceso que lo hacen especialente adecuado para su uso en la industria naval. n este sentido es iportante señalar que las prieras aplicaciones prácticas del odelo a han sido llevadas a cabo, a plena satisacción de los usuarios. 53

38 Proecto Menorquín Yacht 8.4-Peculiaridades del prograa Ra series Solver l prograa selecciona el ejor solver dependiendo del taaño del problea, las opciones con el solver (ecuaciones que se usó internaente) son: Sline: Se utilia el solver Toles con el alacén de la atri sline. s un solver directo que requiere una gran cantidad de eoria. La ventaja es que siepre da una solución si el problea se deine correctaente. Si ha dierentes casos de carga, el solver directaente puede guardar ucho tiepo de proceso. Sparse: Utilia un solver de gradiantes conjugados con atri vacía. ste es un solver iterativo que requiere ucha enos eoria que uno directo. Puede que no converja en algunos casos. Si no da una solución, después de coprobar la deinición del problea, probar con el solver Sline. Si se coprueba esta opción, varios paráetros podrán cabiar: Tolerancia del Solver: Cuando el proceso de iteración del solver alarga esta tolerancia, el solver se parará. Mínia tolerancia del Solver: Si el solver llega a este áio núero de iteraciones, esta tolerancia decidirá si los resultados se aceptan. oralente, la ejor opción es seleccionar Autoatic. Los usuarios avanados suelen seleccionar el solver Sline si no ocupa ucha eoria el solver Sparse para grandes probleas. Sooth per aterial: Cuando se eclan dos ateriales u dierentes, coo acero horigón, las tensiones no son continuas entre los ateriales. ntonces, es necesario seleccionar esta opción para ver el salto de las tensiones entre el contorno de los dos ateriales Generación de alla Rasolid acepta 4-noded and -noded tetraedros coo eleentos que deinen el sólido. sto, es posible para enallar los volúenes con cualquier tetraedro oral ó Cuadráticos (ver Meshing->uadratic leents). Se utiliará siepre tetraedros cuadráticos ecepto cuando, debido a la coplejidad de la geoetría, el ínio del total de nodos es deasiado grande para la 54

39 Proecto Menorquín Yacht capacidad del ordenador. stos dan ucha ás precisión en los resultados para el iso total de nodos. Si se utilian uchos eleentos para enallar la geoetría, se obtendrá ás eactitud en los resultados. Al iso tiepo, se necesita ucho tiepo de proceso de ordenador de eoria RAM. Seleccione Calculate->View process ino después de hacer un análisis preliinar, para obtener inoración de los requisitos de la eoria el tiepo que se necesita de ordenador. Tabién es interesante para enallar los pequeños eleentos en las onas del sólido que tendrá un gradiante aor en los resultados. Para estiar la precisión de los resultados reeridos al núero de nodos en la alla en el tipo de tetraedros, coprobar el test de gráicos. Para obtener los taaños deseados de los eleentos, utiliar las opciones de GiD para controlar el taaño de alla, coo: Meshing->Assing unstr. Sies->Points Meshing->Assing unstr. Sies->Lines Meshing->Assing unstr. Sies->Suraces Meshing->Assing unstr. Sies-> cordal error Presiones principales Siguiendo la teoría de la elasticidad, las ueras en un voluen dierencial pueden epresarse en ejes globales ediante este tensor: Siepre es posible encontrar otra base X_Y_Z_, dierente para cada nodo, donde el tensor está representado coo: 55

40 Proecto Menorquín Yacht stos son los valores propios de la atri la nueva base se ha hecho con "eigenvectors. stos valores representan el áio el ínio de valores de uera para cada punto del sólido Von Misses Von Misses es una tensión escalar que da un signiicado al valor de todas las ueras en un punto dado del sólido. Se puede coparar con el áio aceptable de ueras para este aterial. sta epresión viene dada por: orativa de reerencia del prograa Raseries Diseño de acuerdo con las reglas de las sociedades de clasiicación: n este apartado vaos a presentar en pocas líneas algunos aspectos relacionados con los criterios de diseño proporcionados por las sociedades de clasiicación ureau Veritas (V) Det orse Veritas (DV). l espesor ínio requerido para las pieles eteriores se calcula según Coo puede apreciarse, la ecuación lineal del DV para espesores ínios de las pieles eteriores penalia los buques de gran eslora, ientras que la ecuación proporcionada por el V parece ás raonable. 56

41 Proecto Menorquín Yacht Las tensiones norales, tangenciales lechas áias para una presión dada q están epresadas ediante las siguientes ecuaciones: donde W es el ódulo de la placa sándwich. Para una placa con pieles eteriores del iso espesor teneos W d t pe, donde d es la distancia entre los ejes neutros de las pieles eteriores. Las ecuaciones están obtenidas para placas con relación de aspecto igual a la unidad sipleente soportadas. La ecuación del DV proporciona ecuaciones que dependen de unos actores de corrección que dependen a su ve de las condiciones de contorno de la relación de aspecto de los paneles a calcular, todo esto hace que las reglas del DV sean ás detalladas precisas que las del V. Las tensiones desarrolladas en las pieles eteriores son aproiadaente las isas para las dos reglas (las del V son un 4 % ás altas que las del DV), ientras que las tensiones áias dadas por DV son un 35 % ás altas que las ipuestas por el V. Las tensiones tangenciales áias proporcionadas por el V son un 6 % as altas que las del DV. sto es debido a la sipliicación utiliada en las reglas del V que se aniiesta en que las reglas del V cubren todas las condiciones de contorno todas las relaciones de aspecto. Para grandes relaciones de aspecto las tensiones 57

42 Proecto Menorquín Yacht tangenciales que se desarrollan en el núcleo proporcionadas por el V son solaente un 8 % aor que las del DV, a que las reglas del V están basadas principalente en la teoría de vigas. Las lechas relativas del punto edio de un panel soetido a una presi ón q están epresadas ediante las siguientes epresiones: donde es el ódulo elástico de las pieles eteriores Gn el ódulo a cortante del núcleo. Las órulas están dadas para una placa con bordes epotrados. Para epresar las ecuaciones del V del DV de la isa ora se han realiado las siguientes sipliicaciones en la órula del V. Según se observa, las reglas del V son ás conservadoras que las del DV nos proporcionan una lecha para una placa sándwich siétrica con bordes epotrados ientras que con las reglas del DV podeos realiar los cálculos para varias coniguraciones de las pieles eteriores unos bordes sipleente apoados. Métodos Analíticos Aproiados de cálculo n este apartado presentaos dierentes étodos analíticos aproiados para el cálculo del sencillo ejeplo que se uestra en la siguiente igura n la siguiente tabla se uestran los paráetros geoétricos, ecánicos de la carga del problea a analiar: 58

43 Proecto Menorquín Yacht Método analítico Utiliando la teoría desarrollada para paneles sándwich planos con los cuatro bordes sipleente apoados (Zenert, D. 997) teniendo en cuenta el eecto de la contribución de la deoración a cortante en la lecha total se llegan a las siguientes epresiones: D: Rigide del panel. : Modulo de Young de la piel eterior 9.3 /. h : espesor de la piel eterior. h c : espesor del núcleo. La rigide a cortante se calcula de la siguiente ora: S: Rigide a cortante [/]. G H : Modulo a cortante del núcleo H 4 /. 59

44 Proecto Menorquín Yacht La lecha causada por la leión puede ser descrita ediante una sua de serie de Fourier esta calculada para el punto edio del panel: w b : lecha áia causada por leión. q: carga unioreente distribuida, Mpa. υ: Coeiciente de Poisson,3. a : longitud del panel. b: anchura del panel. Siendo el resultado que se obtiene de w b 7, La lecha causada por el eecto de la deoración a cortante es igual a wb,5, que se obtiene de: La lecha total es la sua de las dos lechas causadas por el eecto de leión de la cortante (aplicando el teorea de la superposición) wt wb + ws 7,63 Método aproiado Utiliaos la órula propuesta por D. Zenert (997), dada por 6

45 Proecto Menorquín Yacht sta órula nos da un error del 6 %. La eplicación de este enóeno reside en el hecho de considerar solaente térinos de prier orden en el desarrollo de Fourier, especialente en el térino de la leión. Método analítico n este apartado utiliareos una aproiación desarrollada por S.P Tiosheno & S. Woinows-Krieger (959) que calcula la lecha del horigón reorado. Haciendo el síil Acero-pieles eteriores Horigón-úcleo l oento de inercia de las pieles eteriores respecto a la ibra edia es igual a: l oento de inercia del núcleo respecto a la ibra edia es igual a: Se calcula la rigide a leión de la siguiente anera: Se calcula la lecha áia ediante la siguiente ecuación: l valor del paráetro (depende del actor de ora a/b que es igual a,7 obtenido a partir de los datos proporcionados en el libro de S.P.Tiosheno & S. Woinnows- Krieger, (959, p.). De acuerdo con la teoría desarrollada por M, Lev 6

46 Proecto Menorquín Yacht (Tiosheno, S.P. & Woinnows-Kriger, S., 959, pp. 3), el oento áio es igual a: β: actor nuérico que depende del actor de ora del panel, es igual a,9. q: carga aplicada, / b: anchura del panel 75 β: actor nuérico que depende del actor de ora del panel, es igual a,485. q: carga aplicada, / b: anchura del panel 75 De esta anera, las deoraciones unitarias áias (en sentido O) son iguales a: Ha que señalar que el nivel de deoración es u alto a que el líite es de µ de acuerdo con (Teti, G.C.R, 989). oenclatura d: Distancia entre las ibras edias de las pieles h c : spesor del núcleo h : spesor de la piel eterior h t : spesor total del lainado r, n s : Puntos de integración a lo largo de las direcciones, W q : Pesos asociados a cada punto de integración : Matri de deoración ebranal : Matri de deoración por leión 6

47 Proecto Menorquín Yacht c : Matri de deoración por cortante D: Rigidea leión D : Rigide torsional: : Módulo de Young G: Módulo de cortante J: Jacobiano de la transoración entre las coordenadas naturales del eleento, las cartesianas, L: Operador dierencial genérico M pe : Masa de la piel eterior M n : Masa del núcleo i : Función de ora del nodo i S: Rigide a cortante: [T] : Matri de transoración de coordenadas θ: Ángulo de orientación de las ibras, : Coordenadas naturales del eleento inito isoparaétrico : Deoración : Tensión : Deoración angular υ: Coeiciente de Poisson 63