PRÁCTICA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL CURSO CALCULO II. Práctica 5 (7/03/2017)

Transcripción

1 PRÁTIA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN AMPO VETORIAL URSO ALULO II Prácticas Matlab Objetivos Práctica 5 (7/03/07) o Dibujar una muestra de un campo vectorial sobre una curva. o Profundizar en el estudio de algunas aplicaciones físicas de la integral de línea de un campo vectorial: flujo circulación. o Utilizar representaciones gráficas como auda para entender las definiciones las propiedades de la integral de línea de un campo vectorial. Ejercicios Flujo a través de una curva plana. Sea V( x, )=( x) i j el campo de velocidades de un fluido la circunferencia de radio R centrada en el origen. a) Representa la circunferencia el campo V en ocho puntos repartidos uniformemente sobre ella. Puedes hacerlo más general preparando una función que dependa del número de puntos donde se quiera dibujar el campo del radio de la circunferencia. b) El flujo saliente total de un campo vectorial V viene dado por Vn ds donde n es el vector normal unitario de, que apunta hacia fuera. alcula el flujo saliente total para el campo de este ejercicio confirma que el resultado es coherente con el campo representado en el apartado anterior. c) Dibuja con Matlab una muestra de la componente normal del vector velocidad en los puntos donde dibujaste el campo, utilizando otro color. d) alcula la circulación de V dibuja, en la misma figura en otro color, las componentes tangenciales del campo sobre en los mismos puntos.

2 PÁGINA MATLAB: INTEGRALES DE LÍNEA Resolución Este es el ejercicio propuesto nº9 del tema. Apartado a) Haz la representación tomando R utlizando unas ecuaciones paramétricas de la circunferencia. Después haz la generalización creando una función con dos parámetros de entrada: m puntos radio R. % APARTADO a) % Dibujo de la circunferencia de radio R R=; t=0:pi/50:*pi; % vector de ángulos x=r*cos(t); % primera coordenada de los puntos de =R*sin(t); % segunda coordenada de los puntos de plot(x,) % dibujo de la circunferencia axis equal hold on %dibujo de una muestra de m vectores del campo m=8; tv=linspace(0,*pi,m+) ; % nuevo vector de ángulos %tv=0:*pi/m:*pi % también se puede definir así xv=r*cos(tv); v=r*sin(tv); % nuevas coordenadas de los puntos % para dibujar los vectores U=(xv+).^;U=v; % componentes del campo quiver(xv,v,u,u) % dibujo de una muestra de m vectores Apartado b) Recuerda que si el vector de posición de la curva es r(t) x( t) i ( t) j, un vector tangente es r(t) x( t) i ( t) j un vector normal N() t () t i x() t j. Las ecuaciones paramétricas de la circunferencia son: Por lo tanto un vector tangente es, un vector normal saliente es, x Rcos t, Rsen t, 0 t dr dxidj sen ticostj Rdt dndidxj costisen tj Rdt Donde hemos llamado, dn n ds, siendo n costi sen tj ds Rdt Planteamos a mano la integral de flujo: 0 Vn ds Rcost RcostR sen t dt alculamos la integral con Matlab, utilizando cálculo simbólico

3 MATLAB: PRÁTIA 5 PÁGINA 3 % APARTADO b) % alculamos la integral de flujo en forma simbólica sms u Flujo=int((R*cos(u)+)^*R*cos(u)+R^*sin(u)^,u,0,*pi) Apartado c) omo sabemos que el vector normal unitario es la componente normal del vector velocidad es n costi sen tj R cos t cos t R sen t sen t cos t sen t V Vn n i j n El código en Matlab para dibujar estos vectores sería, % Dibujo de una muestra de la componente normal del campo W=(xv+).^.*cos(tv)+v.*sin(tv); % omponente normal de V en color rojo quiver(x,y,w.*cos(tv),w.*sin(tv), 'r') Apartado d) Sabemos que el vector tangente unitario es es decir, dr dxidj sen ticostj Rdt % módulo de la componente normal dr T ds, siendo T sen ticostj ds Rdt Planteamos a mano la integral para calcular la circulación: 0 VT ds R cost Rsen t R sen t cost dt omo sabemos que T sen ticostj la componente tangencial del vector velocidad es R cos t sen t R sen t cos t sen t cos t V VT T i j t ódigo para calcular la integral dibujar estos vectores con Matlab: % APARTADO d) % alculamos la integral de flujo en forma simbólica sms u Flujo=int((R*cos(u)+)^*(-R*sin(u))+R^*sin(u)*cos(u),u,0,*pi) El código en Matlab para dibujar estos vectores sería,

4 PÁGINA 4 MATLAB: INTEGRALES DE LÍNEA % Dibujo de una muestra de la componente tangencial del campo S=-(xv+).^.*sin(tv)+v.*cos(tv); % módulo de la componente normal % omponente tangencial de V en color negro quiver(x,y,-s.*sin(tv),s.*cos(tv), 'k') Podemos escribir una función de Matlab para ejecutar todos los apartados de este ejercicio en función del radio de la circunferencia del número de puntos donde se dibujan los vectores. function flujocir(r,m) % APARTADO a) % Dibujo de la circunferencia de radio R t=0:pi/50:*pi; % vector de ángulos x=r*cos(t); % primera coordenada de los puntos de =R*sin(t); % segunda coordenada de los puntos de plot(x,) % dibujo de la circunferencia axis equal hold on %dibujo de una muestra de m vectores del campo tv=linspace(0,*pi,m+) ; % nuevo vector de ángulos %tv=0:*pi/m:*pi % también se puede definir así xv=r*cos(tv); v=r*sin(tv); % nuevas coordenadas de los puntos % para dibujar los vectores U=(xv+).^;U=v; % componentes del campo quiver(xv,v,u,u) % dibujo de una muestra de m vectores %del campo sin escalar % APARTADO b) % alculamos la integral de flujo en forma simbólica sms u Flujo=int((R*cos(u)+)^*R*cos(u)+R^*sin(u)^,u,0,*pi) % APARTADO c) % Dibujo de una muestra de la componente normal del campo W=(xv+).^.*cos(tv)+v.*sin(tv); % omponente normal de V en color rojo quiver(x,y,w.*cos(tv),w.*sin(tv), 'r') % módulo de la componente normal % APARTADO d) % alculamos la integral de flujo en forma simbólica sms u Flujo=int((R*cos(u)+)^*(-R*sin(u))+R^*sin(u)*cos(u),u,0,*pi) % Dibujo de una muestra de la componente tangencial del campo S=-(xv+).^.*sin(tv)+v.*cos(tv); % módulo de la componente normal % omponente tangencial de V en color negro quiver(x,y,-s.*sin(tv),s.*cos(tv), 'k') hold off end omprueba estos resultados ejecutando la función en la ventana de comandos con R m 8 flujocir(,8)

5 MATLAB: PRÁTIA 5 PÁGINA 5 irculación alrededor de una curva cerrada. Sea el contorno del triángulo cuos vértices están en los puntos A (,), B (, ) (,3) recorrida en sentido positivo. a) Utiliza el teorema de Green en el cálculo de la integral I = ( x ) dx ( x ) d b) omprueba el resultado del apartado anterior haciendo la integral directamente. c) Dibuja una muestra del campo vectorial actuando sobre el triángulo razona si el resultado obtenido para la integral es coherente con el modo de actuar del campo. TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO. Hipótesis: los elementos que intervienen en este teorema son la curva que es cerrada, simple, suave por partes orientada positivamente ; la región D del plano encerrada por la curva ; un campo vectorial F ( x, )=( M( x, ), N( x, )) de clase sobre D ; Tesis: bajo estas hipótesis se verifica que M dx N d N M da = x D Resolución Este es el ejercicio propuesto nº del tema. Apartado a) omprobamos que se cumplen las condiciones para aplicar el teorema de Green: está formada por la unión de tres curvas suaves es cerrada F es un campo de clase sobre la curva la región encerrada por ella. Aplicamos el teorema para calcular la integral, siendo M x x M (, ) 4 N x x N x (, ) ( ) x ( ) Una curva es suave por partes si es unión finita de curvas suaves. Una curva está orientada positivamente si se recorre dejando el recinto a su izquierda.

6 PÁGINA 6 MATLAB: INTEGRALES DE LÍNEA Además, la región encerrada por la curva es, Por lo tanto, D x, / x, x 4x 4x ( ) ( ) ( ) x x dx x d x ddx El código para calcular esta integral es sms x fun=*x-*;; I=int(int(fun,,x,4-x),x,,) Apartado b). alculamos la integral de línea a lo largo del segmento AB Segmento AB: x, x, d dx La integral sobre este segmento es %Segmento AB fun=8*x^; val=int(fun,x,,) I 8 xdx. alculamos la integral de línea a lo largo del segmento B Segmento B: x 4, x, d dx La integral sobre este segmento es I x ( x 4) 6 dx %Segmento B (sentido opuesto) fun=*x^+*(4-x)^-6; val=int(fun,,) 3. alcula la integral de línea directamente a lo largo del segmento A Segmento A: x,, d d, dx 0 La integral sobre este segmento es %Segmento A (sentido opuesto) fun3=(+)^; val3=int(fun3,,3) 4. Integral a lo largo de val=val-val-val3 3 3 I d

7 MATLAB: PRÁTIA 5 PÁGINA 7 Apartado c) ódigo en Matlab para hacer la representación plot([ ],[ 3 ],'r')%dibujamos el triángulo hold on t=linspace(,,0); quiver(t,t,4*t.^,4*t.^);%dibujamos diez vectores en AB s=(4-t); quiver(t,s,*t.^+*s.^,4*ones(size(t)))%diez vectores en B v=linspace(,3,0); quiver(ones(size(v)),v,+*v.^,(+v).^)%diez vectores en A hold off Resumen de comandos Todos los comandos utilizados en esta práctica son conocidos de prácticas anteriores.