Los lugares geométricos de todos los puntos del espacio en los cuales la magnitud escalar tiene un mismo valor.

Transcripción

1 Física para iencias e Ingeniería ÁLGEBRA ETORIAL Introducción A lo largo del estudio de la Física surgen una serie de propiedades, tanto de magnitudes escalares como vectoriales, que se epresan por medio de nuevos conceptos tales como gradiente, divergencia, laplaciana, rota - cional, sus relaciones con nuevas definiciones tales como flujo circulación de un vector, así como ciertos teoremas transformaciones de vectores. 2.2 oncepto de campo escalar campo vectorial. Representación gráfica. En general, se llama campo a una magnitud física cuo valor es función del punto del espacio que se considere del instante en que se mida. i la magnitud es función solamente el punto del espacio que se considere,, por tanto, independiente del tiempo, se dice que es un campo estacionario. egún la naturalea de la magnitud física puede ser un campo escalar, o un campo vectorial. ampo escalar i se trata de un campo escalar estacionario de una cierta magnitud, será, en general, función de las coordenadas de cada punto del espacio: = (,, ). Las representaciones geométricas audan a tener una idea clara de cómo varían ciertas magnitudes físicas. Los campos escalares estacionarios suelen representarse por medio de las llamadas superficies de nivel, o superficies equipotenciales, que se definen como: Los lugares geométricos de todos los puntos del espacio en los cuales la magnitud escalar tiene un mismo valor. En la práctica, se dibujan las superficies de nivel que corresponden a valores de la magnitud escalar, que se diferencian en una cantidad constante. De esta forma se conoce el valor de en los diferentes puntos del espacio, además, se visualia rápidamente en qué regiones eperimenta la maor rapide de variación, que son aquéllas donde las superficies de nivel se encuentran más próimas unas a otras. Las superficies de nivel en el espacio forman un sistema de capas envolventes sin ningún punto de contacto, a que dos superficies de nivel correspondientes a valores distintos de la magnitud escalar no pueden cortarse. i lo hicieran, la magnitud tendría a la ve dos valores distintos en los puntos de intersección, lo cual es absurdo. Un ejemplo sencillo de representación gráfica de un campo escalar estacionario es el de las superficies de nivel utiliadas en la confección de mapas en los cuales la cota de cada punto es función de su posición en el plano de dibujo: = (, ). [Fig. 2-1]. e dibujan las curvas de nivel (, ) = cte. a intervalos constantes. Las regiones del mapa donde se aproiman las curvas de nivel son aquéllas donde la pendiente es maor. FIG. 2-1 ampo vectorial e denomina campo vectorial a una magnitud física de carácter vectorial que es, en general, función de cada punto del espacio del instante que se considere. on ejemplos de campos vectoriales: los campos de fueras gravitatorias, electrostáticas, magnéticas, los campos de velocidades en el seno de un fluido en movimiento, etc. i la magnitud vectorial es solamente función de cada punto del espacio, pero no es función del tiempo, se dice que es un campo estacionario. Los campos vectoriales se representan por medio de las llamadas líneas de fuera, que se obtienen traando, a partir de cada punto del espacio, un pequeño segmento en la dirección del vector correspondiente a dicho punto. El etremo de dicho segmento sirve de origen para traar otro segmento en la nueva dirección que tenga la magnitud vectorial, así sucesivamente. De esta forma se obtiene una línea poligonal. i se dibuja nuevamente esta línea poligonal, tomando los puntos más próimos entre sí, los segmentos que determinan serán más pequeños, en el límite, cuando las longitudes de estos segmentos tiendan a cero, la línea poligonal se convertirá en una línea curva, denominada línea de fuera del campo vectorial. FIG. 2-2

2 2.2 ÁLGEBRA ETORIAL aletos Física para iencias e Ingeniería Por la forma en que se ha dibujado, se deduce que la línea de fuera tiene la propiedad de ser tangente en cada punto al vector campo que eiste en dicho punto, su sentido es el de dicho vector campo. Para que las líneas de fuera indiquen en cada punto el módulo, además de la dirección sentido del vector campo, se conviene en dibujarlas de la siguiente forma: En cada punto se toma una pequeña superficie de área da, perpendicular a la dirección del vector en dicho punto, se dibujan, a partir de los puntos de dicha superficie un número de líneas de fuera, dn, uniformemente distribuidas, igual al producto del módulo del vector por el área da del elemento de superficie. De esta forma queda determinado el módulo del vector en dicho punto, por la densidad, De forma que en aquellas regiones en las que las líneas de fuera estén más próimas entre sí el módulo del vector campo tendrá un maor valor. Y por el contrario, el módulo será menor en aquellas regiones donde las líneas de fuera estén más separadas. 2.3 Gradiente de un magnitud escalar Una magnitud escalar se modifica, en general, de un punto a otro la variación que eperimenta al pasar del punto (,, ) al (+d, +d, +d) es dn da d = d + d + d d d d Esta epresión se puede considerar como el producto de los vectores i + j + k d d d dl = d i +d j +d k de modo que podemos conocer la variación de la magnitud escalar en todo el campo si conocemos el vector definido por la relación [2.2]. Un vector cuas componentes son las derivadas de una magnitud escalar respecto a las coordenadas respectivas se define como gradiente de dicha magnitud. 2.4 OPerador nabla grad = d i + d j + d [2.1] [2.2] [2.3] k [2.4] e puede representar simbólicamente el vector [2.4] introduciendo el operador denominado nabla = i + j + k [2.5] d d d que indica una operación a realiar con la magnitud a la que se aplique. En este caso, indica la derivada parcial de una magnitud respecto a la coordenada correspondiente = grad = d i + d j + d k [2.6] 2.5 Flujo de un vector e llama flujo de un vector E a través de un elemento de superficie ds a la epresión dφ = E.ds [2.7] siendo ds un vector normal al elemento de superficie cuo módulo es igual a su área. i el elemento pertenece a una superficie que encierra un volumen, dicho vector se toma en el sentido de la normal hacia el eterior del volumen encerrado por la superficie. Puesto que el flujo es una magnitud escalar, el flujo a través de toda la superficie será Φ = E.ds [2.8]

3 Física para iencias e Ingeniería ÁLGEBRA ETORIAL Divergencia de un vector e puede hallar una epresión mu útil del flujo de un vector a través de una superficie si se divide el volumen encerrado por dicha superficie en paralelepípedos elementales, por medio de tres series de planos infinitamente próimos paralelos a los coordenados. El flujo es igual a la suma de los flujos a través de la superficie de cada paralelepípedo, pues cualquier cara interior al volumen pertenece a dos paralelepípedos consecutivos,, en consecuencia, el flujo a través de ella interviene dos veces con signos opuestos, a que uno de ellos es entrante, el otro, saliente, quedando solamente los flujos a través de las caras que forman la superficie. X Z O A D FIG. 2-3 E H B F G Y i consideramos uno de los paralelepípedos de aristas d, d, d, el flujo, por ejemplo, a través de la cara ABD paralela al plano YZ es igual al producto de la componente E del vector E por el área dd de dicha cara. i en el centro del paralelepípedo el vector es E, su componente E en el centro de la cara ABD es E + 1 E 2 d d el flujo a través de ella E + 1 E 2 d d dd iguiendo el mismo raonamiento, el flujo a través de la cara opuesta EFGH, es, teniendo en cuenta el cambio de sentido de la normal, E 1 E 2 d d d d Procediendo de la misma forma para los otros dos pares de caras sumando todas las epresiones, se obtiene para el flujo total a través del paralelepípedo de volumen dv = ddd dφ 1 = E d + E d + E d d d d La epresión entre corchetes se denomina, divergencia del vector E según [2.5] [2.9] div E = E d + E d + E d = E [2.10] es decir, su epresión es el producto escalar del operador nabla por el vector. 2.7 Teorema de Green egún [2.9], el flujo del vector E a través de la superficie es igual a la suma de las epresiones [2.8] etendida a todo el volumen encerrado por dicha superficie E.da = div E dv epresión que constitue el enunciado del teorema de Green. 2.8 Operador laplaciana i el vector E deriva de un potencial, es decir, si el vector se puede epresar a partir de una función escalar, por medio de la relación E = grad = [2.12] la divergencia del vector es [2.11]

4 2.4 ÁLGEBRA ETORIAL aletos Física para iencias e Ingeniería div E = div grad = ( ) = = i + j + k i + j + k = 2 d d d d d d d d + 2 [2.13] 2 d 2 La epresión [2.12] 2.9 irculación de un vector 2 d d d 2 se representa simbólicamente introduciendo el operador denominado laplaciana, que indica que ha que calcular las derivadas parciales segundas de la magnitud a la que se aplique respecto a la coordenada correspondiente: 2 d d d = Δ [2.14] 2 El operador laplaciana se puede aplicar igualmente a un vector en ese caso representa un vector cuas componentes son las laplacianas de las componentes del vector ΔE = i ΔE + j ΔE + k ΔE [2.15] e denomina circulación de un vector a lo largo de una línea a la integral L E dl [2.16] amos a calcular la circulación de un vector a lo largo de un rectángulo de lados d, d, paralelos a los ejes OY OZ, contenido en el plano YZ, siguiendo el sentido ABD. i en el centro del rectángulo el vector es E, la circulación es X Z O D A ds FIG. 2-4 a lo largo de DA B La circulación total es Y a lo largo de AB a lo largo de B a lo largo de D E + E 1 2 d d E E 1 2 d d E E dd E E 1 2 d d E E 1 2 d d iguiendo el mismo raonamiento, si el rectángulo estuviera situado en el plano XY o en el XZ las circulaciones serían E E d d o E E d d

5 Física para iencias e Ingeniería ÁLGEBRA ETORIAL Rotacional de un vector e puede obtener una epresión general definiendo un vector denominado rotacional cua epresión es rot E = E E i + E E j + E E k omparando [2.16] la epresión [2.5] del operador nabla[2.17], teniendo en cuenta la epresión del producto vectorial de dos vectores, se deduce inmediatamente que [2.17] rot E = E = E E i + E E j + E E k [2.18] De modo que, si definimos otro vector ds normal al elemento de superficie, de módulo igual a su área, cuo sentido sea el correspondiente a aquel en que se recorre la línea, cua epresión es ds = d d i +d d j +d d k [2.19] se puede considerar que la circulación a lo largo de un rectángulo elemental orientado de cualquier modo con respecto a los ejes de coordenadas tiene por epresión E dl = rot E ds = E ds 2.11 Teorema de tokes = E E dd i + E E d d j + E E d d k onsideremos ahora una curva cerrada [Fig. 2.5], situada en una región del espacio en el que eiste un campo vectorial. Imaginemos una superficie cualquiera limitada por dicha curva dividimos esa superficie en rectángulos infinitesimales por intersección de dos series de planos infinitamente próimos perpendiculares entre sí. [2.20] La circulación a lo largo de la curva es, evidentemente, la suma de las circulaciones a lo largo de cada uno de los infinitos rectángulos elementales recorridos en el mismo sentido que la curva, pues cada lado de cada rectángulo es recorrido dos veces en sentidos contrarios queda como resultado de dicha suma la circulación a lo largo de los lados eteriores que forman la periferia o contorno de la curva. Por tanto, según lo indicado anteriormente, E dl = rot E ds = E ds [2.21] FIG. 2-5 relación que epresa el llamado teorema de tokes, según el cual La circulación de un vector a lo largo de una curva cerrada es igual al flujo del rotacional de dicho vector a través de una superficie cualquiera limitada por la curva. i el vector E deriva de un potencial, es decir, si el vector se puede epresar a partir de una función escalar, por medio de la relación E = grad = [2.11] el rotacional del vector es rot E = E = ( ) = por consiguiente, una cualquiera de sus componentes, por ejemplo la componente es ( ) = 2 2 = 0

6 2.6 ÁLGEBRA ETORIAL aletos Física para iencias e Ingeniería otro tanto ocurre con las otras componentes, de modo que, De forma análoga, es fácil comprobar que rot grad = = 0 [2.22] div rot E = E = 0 [2.23] 2.12 Relaciones importantes de álgebra vectorial a) i se aplica el rotacional a un vector, que es a su ve, el rotacional de otro vector, entonces rot rot E = rot 2 E = ( E) teniendo en cuenta la propiedad del doble producto vectorial rot rot E = rot 2 E = ( E) = E ( )E Desarrollando el último término ( )E = 2 E d 2 sustituendo en [2.23] queda + 2 E d E i + 2 E d 2 d E d E d 2 = grad dive ( )E j + 2 E d 2 rot rot E = rot 2 E = grad dive ΔE + 2 E d E k = ΔE d 2 [2.24] [2.25] b) i calculamos la divergencia del producto vectorial de dos vectores desarrollando, ordenando términos se obtiene div ( a b ) = (a b a b )+ (a b a b )+ (a b a b ) div ( a b a ) =b a +b a a +b a a a b b +a b b +a b b teniendo en cuenta la epresión del rotacional de un vector, queda c) En algunos casos es útil transformar una integral del tipo dl grad ϕ div ( a b ) = b rot a a rot b [2.26] etendida a una curva cerrada, siendo ϕ una función que cumple con la condición Δϕ = 0, en una integral de superficie. Para ello, si consideramos la componente del producto vectorial del integrando siendo el vector a haciendo uso del teorema de tokes (dl grad ϕ ϕ ϕ d d ) = = (dl grad ϕ ) = ( 2 ϕ a = 0i + ϕ j ϕ k a dl + 2 ϕ 2 )ds + 2 ϕ 2 ds + 2 ϕ ds

7 Física para iencias e Ingeniería ÁLGEBRA ETORIAL 2.7 según la condición impuesta a la función ϕ, queda (dl grad ϕ ) = 2 ϕ ds + 2 ϕ 2 ds + 2 ϕ ds = (grad ϕ ds) Para las componentes, se pueden escribir relaciones análogas, de modo que resulta finalmente dl grad ϕ = grad (grad ϕ ds) [2.27] d) Para concluir este grupo de relaciones vamos a analiar dos transformaciones que se deducen directamente del teorema de Green. onsideremos el vector a = b siendo una función escalar. i calculamos la divergencia de dicho vector div a = div ( b ) = b d + b d + b d +b d +b d +b d recordando las definiciones de gradiente de una magnitud escalar, de la divergencia de un vector, resulta div a = div ( b ) = div b + b grad aplicando el teorema de Green ( b ) ds = ( div b + b grad )dv = div b dv + e) upongamos un vector definido por la epresión a =U grad siendo U dos funciones escalares. i consideramos el producto escalar b grad dv ( b ) ds = div b dv + b grad dv [2.28] a ds = (U grad ) ds =U n ds donde representa la derivada respecto a la normal al elemento de superficie, calculamos la divergencia n cia del vector a div a = div(u grad ) = U + U + U +U que, teniendo en cuenta la definición de gradiente el producto escalar de dos vectores, queda div a = div(u grad ) = grad U grad +U Δ i ahora aplicamos el teorema de Green [2.10] al vector a a ds = (grad U grad +U Δ )dv = (grad U grad dv +U Δ + U Δ dv si escribimos esta última relación permutando entre sí las funciones U, restamos las dos ecuaciones obtenemos el denominado lema de Green. (U Δ ΔU )dv = (U U n n )dv [2.29]