SELECTIVIDAD. SEPTIEMBRE-2013 OPCIÓN B

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1 Selectividad septiembre-0 Opción B SELECTIVIDAD. SEPTIEMBRE-0 OPCIÓN B CUESTIÓN A. Para elaborar un menú se dispone de un primer plato y un segundo plato. Una porción del primer plato contiene 6 mg de vitamina C, mg de hierro y 0 mg de calcio, y aporta 0 calorías. Una porción del segundo contiene mg de vitamina C, mg de hierro y 0 mg de calcio, y aporta 65 calorías. Cuántas porciones de cada plato deben utilizarse para que el menú aporte el menor número de calorías, sabiendo que debe contener al menos 6 mg de vitamina C, 0 mg de hierro y 0 mg de calcio? Vit. C Fe Ca º plato º plato 0 65 mínimo Variables: Llamaremos: número de porciones de primer plato y número de porciones de segundo plato Función objetivo: f (, y) 0 65y Pendiente de las rectas de nivel: m Restricciones: ❶ 0 ❷ y 0 ❸ 6 y 6 ❹ y 0 ❺ 0 0y 0 Rectas asociadas: ❶ 0 ❷ y 0 ❸ y ❹ y 0 ❺ y Representación gráfica:

2 Selectividad septiembre-0 Opción B Gráficamente se observa claramente que la solución "mínima" está en el punto B. Cálculo de vértices: Vértice A Obviamente, el vértice A viene determinado por la recta ª y el eje OY A ( 0, ) Vértice B Este vértice está en la intersección de las rectas ª y ª: y restando: y 0 Sustituyendo en la ª ecuación: y 0 y 8 B (,8 ) Vértice C El vértice C viene determinado por la intersección de la recta ª y la 5ª, por lo que resolviendo el sistema: y 0 restando: y y Sustituyendo en la ª ecuación: 0 8 C ( 8, ) Vértice D Como antes, el vértice D viene determinado por la recta 5ª y el eje OX D (,0 ) Valor de la función objetivo en los vértices: Vértice A f (0,) Vértice B 780

3 Selectividad septiembre-0 Opción B f (,8) Vértice C f (8,) Vértice D f (,0) Tal y como se había previsto gráficamente, el mínimo se alcanza en el punto B Valor de la función objetivo en los vértices: Se deben utilizar porciones del primer plato y 8 del segundo para obtener el mínimo aporte calórico, que alcanzaría las 70 calorías. CUESTIÓN A. Los ingresos obtenidos por la fabricación de unidades diarias de cierto producto vienen dados por (I ) 8 556, y los costes vienen dados por la función C() a) Determinar la función que epresa los beneficios obtenidos por la fabricación de unidades diarias del producto (sabiendo que los beneficios se definen como los ingresos menos los costes) y calcular el número de unidades diarias que hay que fabricar para obtener un beneficio máimo. b) Cuánto vale dicho beneficio máimo? a) B() (I ) C() ( 8 556) ( 56 8) B() (I ) C() Para obtener los etremos, igualamos la primera derivada a 0: B'() B'() B ''() 00 < 0 Como la segunda derivada es constante y negativa, el punto de abscisa 8 es un máimo Por tanto se deberá fabricar 8 unidades diarias b) B(8) euros es le máimo beneficio que se obtendría con la fabricación de 8 unidades diarias. CUESTIÓN A. Se da la siguiente gráfica, que corresponde a la función: f(), y se pide calcular el área que encierra la gráfica de la función con el eje OX y las rectas - y.

4 Selectividad septiembre-0 Opción B El recinto cuya área debemos calcular es Con los recintos especificados en el dibujo, la superficie sería: B A S a) d ) ( A ) ( ) ( ) ( ) ( a) d ) ( B ( ) Por tanto, u 7 7 S CUESTIÓN A. Sean A y B dos sucesos independientes de un mismo eperimento aleatorio, tales que 0, (A) P y 8 0, (B) P

5 Selectividad septiembre-0 Opción B 5 a) Calcular P(A B) y P(A B) b) Calcular P (A / B) a) Si son independientes, P (A B) P(A) P(B) 0, 0,8 0, 6 por lo tanto, P (A B) P(A) P(B) P(A B) 0, 0,8 0,6 0,8 b) Por ser independientes, P (A / B) P(A) 0, CUESTIÓN A5. Hace veinte años la edad en que la mujer tenía su primer hijo seguía una distribución normal con media 9 años y desviación típica de años. Recientemente en una muestra aleatoria de mujeres se ha obtenido, para dicha edad, una media de años. Con un nivel de significación de 0,05 se puede afirmar que la edad media en la que la mujer tiene su primer hijo es mayor actualmente que hace veinte años? º.- Formulación de hipótesis nula e hipótesis alternativa H 0 : µ 9 H : µ < 9 º.- Distribución en el muestreo y el estadístico de contraste Contraste para la media: σ X N µ, N 9, n y por tanto, el estadístico de contraste es Z º.- Selección del tipo de contraste Contraste unilateral N ( 9, 0,667) X µ σ n X 9 0,667 º.- Obtención de los valores críticos. Regiones de aceptación y rechazo z 0,95 ( ) 0, 95 0,05 y ( z ) P( z z ) P z,65 (,6 ) (,65 ) P z P z Región de aceptación: (,65, ) 5º.- Localización del valor del estadístico 9 0,667 0,995 0,9505 Para z,9976 (,65, ) 6º. Conclusión 5

6 Selectividad septiembre-0 Opción B 6 Aceptamos la hipótesis nula y rechazamos la alternativa. Con un nivel de significación del 5%, podemos afirmar que la edad media en la que la mujer tiene su primer hijo es mayor actualmente. 6