Universidad Simón Bolívar. Matemáticas VI (MA-2113). Preparaduría n 4. christianlaya@hotmail.com ; @ChristianLaya Teorema de Gauss y campos conservativos Teorema de Gauss: sea V un dominio delimitado por la superficie S cerrada, orientada (siempre para el exterior), es decir, apuntando siempre para el exterior. Sea F un campo vectorial de. Se cumple que: 1. Halle el flujo del vector, a través de la superficie total del cono tal que y a través de la superficie lateral de este mismo cono. Notemos que el cono está completamente abierto en su base. Para utilizar el teorema de Gauss debemos cerrar la superficie. Para ello, procedemos a tapar el cono con un disco que sea lo suficientemente grande como para cubrir la totalidad de la base del cono. Procedemos a hallar la intersección del cono con el plano : Lo cual representa un disco cerrado, el cual, utilizaremos para tapar el cono: Nuestra superficie será: Donde es el cono (sin tapa), D es el disco y es el cono tapado. El flujo será: Integral 1: Como es una superficie cerrada y F es un campo de clase procedemos a utilizar el teorema de Gauss:
Buscamos: Entonces: Viendo V el cono macizo definido por: Tomando coordenadas cilíndricas: Donde: Integral 3: Parametrizamos el plano: Con z-componente positiva. Se verifica que dicho vector y la normal tienen igual orientación. Finalmente:
2. Sea, de clase, tal que. Sea la superficie definida por: Orientada con la normal que apunta hacia la región definida por. Calcule: Basándonos en el hecho de que Gauss una vez que cerremos la superficie. podemos resolver el problema mediante el método de Procedemos a taparla mediante la utilización de un disco definido por: La semiesfera con tapa será: Teniendo así: La superficie S tiene normal apuntando hacia la semiesfera negativa, es decir, este vector va desde el borde de la semiesfera hasta su centro (lo que nos hace pensar que ésta se mueve en sentido antihorario). La superficie debe mantener la orientación, por ende, vemos que la tapa tiene orientación contraria, pues si S tiene sentido antihorario entonces la tapa (vista desde el origen) debe tener sentido horario. Procedemos entonces a calcular las integrales por separado. Primera integral: la resolvemos mediante el uso del teorema de Gauss, ya que S es una superficie cerrada.
Segunda integral: se tiene que: Siendo: Con orientación positiva vista desde el origen de coordenadas. Notemos que ésta es contraria a la del vector normal, pues como el disco tiene orientación horaria su normal es negativa. Tomando coordenadas polares se tiene que: Finalmente: 3. Sea F un campo vectorial definido por y sea S la superficie orientada con la normal que tiene z-componente negativa, definida por: Calcule el flujo de F a través de S. El flujo de F a través de S vendrá dado por:
Procedemos a tapar el cono con un disco de radio 1, definido por: Así: Y se tendrá que: Procedemos a calcular las integrales por separado. Integral 1: notemos que es una superficie cerrada, el campo es de clase y por ende podemos utilizar el teorema de Gauss: Siendo: Así pues: Integral 2: procedemos a parametrizar el disco: Siendo: Con orientación positiva vista desde el origen de coordenadas. Notemos que ésta es contraria a la del vector normal, pues como el disco tiene orientación horaria su normal es negativa.
Finalmente: 4. Sea F el campo vectorial definido por y sea S la superficie orientada con la normal en la dirección definida por: Calcule el flujo de F a través de S. Notemos que la superficie es un paraboloide invertido y trasladado. Procedemos a tapar el paraboloide con un disco: Así: Tal que: Entonces, utilizando el teorema de Gauss: Básicamente se tiene que: Entonces: Sin embargo:
Entonces: Finalmente: Campos conservativos Un campo vectorial de clase se llama conservativo si el vector es gradiente de cierta función escalar. Es decir,. A esta función f se le denomina función potencial de. Si es un campo conservativo se cumple que: (Condiciones necesarias mas no suficientes) Si es un campo conservativo entonces se cumple que: Siendo una curva cerrada, simple y orientable definida en el intervalo 5. Determine si el campo es conservativo: Notemos que el campo no es de clase notemos que: pues en (0,0) las derivadas parciales no son continuas. Sin embargo,
Como el campo no es de clase podemos afirmar (directamente) que éste no es conservativo. Sin embargo, si quisiéramos demostrar la afirmación procedemos a hacer lo siguiente: Sabemos que un campo es conservativo si para una cierta curva cerrada C se cumple que a lo largo de ésta la integral de línea de F es nula. Consideremos una curva circunferencia unitaria como curva C contenida en el plano parametrización de ésta viene dada por:. Una Así: Calculemos: Con lo que se demuestra que el campo no es conservativo. 6. Halle los valores de las constantes para que el campo sea conservativo: Tenemos que F es un campo de clase, pues es función de polinomios y de funciones trigonométricas. Para que F sea conservativo se debe cumplir que: 7. Sea c la curva simple que va desde (1,1,1) hasta (1,2,4). Calcule:
Tenemos que la función, es: La cual es de clase por ser composición de polinomios. Como se garantiza que el campo es conservativo y que existe una función potencial f tal que. Hallemos la función potencial f: Teniendo así tres ecuaciones con tres incógnitas: Derivamos la ecuación (1) con respecto a y: Derivamos la ecuación (1) con respecto a z:
Teniendo así dos ecuaciones con dos incógnitas. Derivamos (4) con respecto a z: Así: Finalmente, la ecuación potencial f, es: Por teorema del campo conservativo se tiene: 8. Conociendo que, desde (1,1,0) hasta (0,3,3) calcule: Y la función es de clase por estar compuesta de polinomios. Como el campo es conservativo se cumple que existe una función potencial f tal que. Entonces:
Obteniendo así tres ecuaciones con tres incógnitas: Integramos: Derivamos la ecuación (1) con respecto a z: Derivamos la ecuación (1) con respecto a y: Derivamos la ecuación (4) con respecto a y: Finalmente, la función potencial f, es: Por teorema de campo conservativo, se tiene que:
9. Sea definida por y sea. Calcule: Veamos si el campo es conservativo: Como F es un campo vectorial continuo (polinomios), es de clase y el campo es conservativo existe una función f tal que por ser función compuesta de polinomios. Entonces: Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas. Derivamos la ecuación (3) con respecto a x:
Derivamos la ecuación (3) con respecto a y: Derivamos la ecuación (4) con respecto a y: Finalmente, la ecuación potencial f, es: Por teorema de campo conservativo se tiene que: 10. Sea F el campo vectorial definido por: Es F conservativo? Halle la integral de F sobre ABC, donde AB es el trozo de curva que va desde (0,0,0) hasta el punto (1,1,0) y BC es el arco definido por: Como F es un campo vectorial continuo (polinomios), es de clase y el campo es conservativo existe una función f tal que por ser función compuesta de polinomios. Entonces:
Tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas. Derivamos la ecuación (3) con respecto a x: Derivamos la ecuación (3) con respecto a y: Derivamos la ecuación (4) con respecto a y: Finalmente, la ecuación potencial f, es: Recordemos que la integral de línea es independiente de la trayectoria tomada. Si se quiere la integral de F sobre ABC pues sólo nos interesan los puntos inicial (A) y final (C).
El punto A es conocido (0,0,0), sin embargo, el punto C debemos calcularlo. Tenemos que el arco BC está parametrizado, por ende, éste será el valor de la parametrización cuando. Entonces, el punto C será. Por el teorema de campos conservativos se tiene que: Se agradece la notificación de errores Christian Laya