D I S T R I B U C I Ó N N O R M A L 1. V A R I A B L E A L E A T O R I A C O N T I N U A. F U N C I O N E S A S O C I A D A S Variable aleatoria continua es aquella que puede tomar valores en un conjunto infinito. Por ejemplo, las estaturas de los alumnos de un colegio, la longitud de un conjunto de tornillos, el tiempo de espera en las urgencias de un hospital,... Para este tipo de variables no tiene sentido preguntar por la probabilidad de que la variable tome un valor concreto, pues puede tomar infinitos (P(X=a)=0). Así, lo que nos interesará es la probabilidad de que la variable tome valores comprendidos en intervalos: P(a X b). F u n c i ó n de densidad: Una de las maneras de describir la distribución es disponer de una función continua f tal que el área sombreada de la figura, sea precisamente la probabilidad de que X esté entre a y b. P(a X b) En tal caso f se llama función de densidad de probabilidad de la variable X. Observemos que f no puede ser negativa y que el área total bajo la curva debe ser 1, pues es la probabilidad del suceso seguro. F u n c i ó n de distribución : Otra manera de describir cómo se distribuye la probabilidad es mediante la función de distribución acumulada que nos da la probabilidad de que la variable tome valores inferiores o iguales a un número dado: F(x) = P ( X x ) Si representamos gráficamente la función de densidad, la función de distribución F(x) representa el área bajo la curva de la región anterior a la abscisa x: F(a)=P(X a) MAp I Tema 9: Distribución normal - 1
2. D I S T R I B U C I Ó N N O R M A L La distribución normal es una de las distribuciones más importantes de una variable aleatoria continua. Se presenta en muchos tipos de problemas: estudio de tallas de individuos de una misma raza, efecto de una misma dosis de un fármaco, consumo de ciertos productos por individuos de un mismo grupo, distribución de errores en observaciones,... Su curva de densidad de frecuencia tiene forma de campana. Es simétrica y el eje de simetría es su media, y es igual a su moda y a su mediana. Las abscisas de los puntos de inflexión están situadas exactamente una desviación estándar por arriba y por debajo de la media. El área bajo la curva es 0,683 entre μ-σ y μ + σ, es 0,954 entre μ-2σ y μ +2σ, y es 0,997 entre μ-3σ y μ +3σ. Es decir, la probabilidad de que la variable aleatoria normal tome valores comprendidos entre los anteriores datos son, respectivamente, 68.3%, 95.4% y 99.7%. Para cada par de valores μ y σ existe una única distribución normal con media μ y desviación típica σ. Se designa N( μ,σ ). Dos distribuciones normales con la misma desviación típica tienen la misma forma pero están centradas en distinto lugar del eje x. Dos distribuciones normales con la misma μ y distinta σ están centradas en la misma posición, pero la que tenga mayor desviación típica será más aplanada y la que tenga menor σ será más picuda: MAp I Tema 9: Distribución normal - 2
Distribución normal tipificada : La distribución N(0,1), es decir, la normal de media 0 y desviación típica 1, recibe el nombre de distribución normal tipificada. Es habitual emplear la letra Z para designar la variable normal tipificada. El cálculo de probabilidades en distribuciones normales hay que reducirlo siempre al caso N(0,1), pues ya hay unas tablas (Anexo I) que nos dan calculadas las áreas de este tipo, correspondientes a las probabilidades P(Z a), a las que llamaremos Ф (a). (a>0) Ejemplos: P(Z 1,27) = Ф (1,27) = 0,8980 P(Z 0,6) = Ф (0,6) = 0,7258 Si a<0, tendremos: P(Z -a) = 1 - P(Z a) = 1- Ф (a) P(Z - 1,2) = 1 - P(Z 1,2) = 1-0,8849 = 0, 1151 P(Z -1,35) = 1- P(Z 1,35) = 1-0,9115 = 0,0885 P(Z a) = 1 - P(Z a) P(Z 0,84) = 1 -P(Z 0,84) = 1-0,7996 = 0,2004 P(Z 0,87) = 1- P(Z 0,87) = 1-0,8078 = 0,1922 P(a Z b) = P(Z b) - P(Z a) P(0,35 Z 1,62) = P(Z 1,62) - P(Z 0,35)= = 0,94738-0,6368 = 0,31058 P(0,83 Z 1,54) = P(Z 1,54) - P(Z 0,83)= = 0,9382-0,7967 = 0,1415 P( -0,96 Z 1,49) = P(Z 1,49) - P(Z -0,96)= =0,9319+0,8315-1=0,7634 Si la distribución que estamos manejando no es N(0,1), sino N(μ, σ) cualquiera, hacemos el cambio de variable: X - Z = A este cambio se le llama tipificación de la variable y con él pasa a ser N(0,1). Ejemplo: En una N(6,4) calcular P(5 X 8): P(5 X 5-6 8) = P 4 Z 8-6 4 = P(-0, 25 < Z 0, 5) = P(Z 0, 5) - P(Z -0, 25)= 0,6915-1+0,5987 = 0,2902 MAp I Tema 9: Distribución normal - 3
A p r o x i m a c i ó n d e l a b i n o m i a l p o r l a n o r m a l : Una binomial B(n,p) se parece a una curva normal tanto más cuanto mayor es el producto n p (o n q si q < p). Cuando n p y n q son mayores que 3, la aproximación es bastante buena. Y si son mayores que 5, es casi perfecta. Si queremos calcular probabilidades en una B(n,p) con n grande, las operaciones pueden ser enormes. Por ejemplo, para B(200, 0.3), el cálculo de P(X 70) supone obtener: 200 x=70 200 x 200-x.0,3.0,7 x lo que llevaría demasiado tiempo. Sin embargo, si tenemos en cuenta que n p 200 0,3 60 y npq 200 0,3 0,7 6,48 nuestra distribución se parecerá mucho a una N(60, 6.48). Sin embargo, al ser la binomial una distribución de una variable aleatoria discreta y la normal una continua, hay que efectuar el siguiente cambio: Entonces: P (X = r) = P( r-0,5 X r + 0,5) 69,5 60 P( X 70) P( X ` 69,5) P Z P( Z 1,46) 1 (1,46) 1 0,9279 0,0721 6,48 MAp I Tema 9: Distribución normal - 4
E J E R C I C I O S 1) Las estaturas de los habitantes de una población presentan una distribución normal de 170 cm de media y 10 cm de desviación típica. Calcula la probabilidad de que un individuo de esa población mida: a) Más de 170 cm. b) Entre 160 cm y 180 cm. (Sol: 0.5, 0.6826 ) 2) El promedio de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es de 51 kg, y la desviación típica 5 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, calcular cuántos estudiantes pesan: a) Entre 40 y 52 kg. b) Más de 62 kg. ( Soluc: 283; 7 aprox. ) 3) El nivel medio de colesterol en sangre de la población adulta es de 1,85 mg/ml, y la desviación típica es de 0,25 mg/ml. Si las medidas se distribuyen aproximadamente de forma normal, calcular: a) Porcentaje de la población con niveles superiores a 2 mg/ml. b) Porcentaje de la población con niveles inferiores a 1,35 mg/ml. ( Soluc: 27,43 % ; 2,28 % ) 4) Una finca produce naranjas con un diámetro medio de 58 mm, y desviación típica de 7 mm. Según el diámetro se pueden catalogar como calidad Extra las de 62 mm o más; categoría I las de 55 mm como mínimo y menos de 62 mm; categoría II las que tienen un diámetro inferior a 55 mm. Qué porcentaje produce de cada tipo? (Sol: E=28,43 % ; I= 38,21 % ; II= 33,36 % ) 5) Los errores de pesaje de una balanza siguen una distribución normal de promedio 0 y desviación típica 2 gramos. Calcula la probabilidad de que un objeto sea pesado con un error (por defecto o por exceso) inferior a un gramo. Si se realizan tres pesajes consecutivos de este objeto, calcula la probabilidad de que por lo menos en uno de los tres pesajes el error sea inferior a un gramo. ( Soluc: 0,383 ; 0,7651 ) 6) Se comprobó que la longitud en milímetros de los tornillos fabricados por una empresa se distribuyen siguiendo una N(35,0.7). Se consideran buenos los tornillos con longitud comprendida entre 34 y 36 milímetros. Los tornillos se empaquetan en bolsas de 20, y un comprador admite aquellas bolsas que como máximo tengan un tornillo defectuoso. Qué proporción de bolsas rechazaría? ( Soluc: 83,28 % ) 7) Un examen tipo test tiene 100 preguntas y cada pregunta cuatro respuestas diferentes, de las que sólo una es correcta. a) Calcular la probabilidad de que un estudiante que responde al azar acierte más de 20 preguntas. b) Calcular la probabilidad de que de las 20 primeras preguntas acierte a lo sumo 4. ( Soluc: 0,8508 ; 0,4 (aproximado por la normal) o 0,4148 ) 8) Los pesos de los individuos de una población se distribuyen normalmente con promedio 70 kg y desviación típica 6 kg. Calcula la probabilidad de que una persona determinada tenga un peso entre 64 y 76 kg. ( Soluc: 0.6826 ) 9) Calcula la probabilidad de que en 100 lanzamientos de una moneda salgan entre 50 y 60 caras. ( Soluc: 0,4315 ) 10) Los pesos de los pollos de una granja siguen una distribución normal de media 1800 g y desviación típica 300 g. a) Si se rechazan los pollos que pesan menos de kilo y medio, qué porcentaje de pollos debemos rechazar? b) Elegidos dos pollos al azar, cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de ellos pese más de dos kilos? ( Soluc: a) 15,87%; b)0,4396 ) MAp I Tema 9: Distribución normal - 5
11) Se aplicó a 300 alumnos de sexto de primaria un test de agresividad y se observó que sus puntuaciones se distribuyen normalmente con media 30 y desviación típica 12. Calcula: a) Qué proporción de alumnos tendrá en dicho test una puntuación entre 20 y 35? b) Cuántos alumnos, por término medio, tendrán puntuación superior a 42? ( Soluc: a) 45,95 %; b) 47,61 ) 12) La cantidad de café depositada en cada bolsa por una máquina envasadora automática sigue una distribución normal de media 1040 g y desviación típica 50 g. a) Calcula el porcentaje de paquetes que contienen más de un kilo. b) Calcula el valor de a, sabiendo que el 97,5% de los paquetes tiene menos de a gramos. c) Calcula el porcentaje de paquetes que tienen un contenido con un peso comprendido entre 950g y 1050 g. ( Soluc: a) 78,81%; b) 1138; c) 54,34% ) 13) En cierto hospital, los niños representan el 54% de los nacimientos. Calcula la probabilidad de que el número de niñas nacidas, de 2500 nacimientos, esté entre 1200 y 1400 (incluidos). ( Soluc: 0,0233 ) 14) El nivel de colesterol en los individuos depende de la edad y del sexo. En hombres con menos de 21 años, esta variable normal tiene un promedio de 160 mg/dl con una desviación típica de 10 mg/dl. a) Calcula el porcentaje de individuos de menos de 21 años cuyo nivel de colesterol esté entre 150 y 180 mg/dl. b) Calcula el nivel de colesterol x 0 que tiene la propiedad de que el 25% de los individuos de menos de 21 años tiene un nivel de colesterol por debajo de este valor. ( Soluc: a) 81,85 %; b) 153,2 ) 15) En un examen de matemáticas en el que se evaluó de 0 a 20 puntos, el 67% de los alumnos obtuvo una puntuación igual o menor que 12,2 y el 9% obtuvo puntuación superior a 16,7. Suponiendo que la distribución de las puntuaciones sea normal, calcula la media y la desviación típica. ( Soluc: 10; 5 respect.) 16) Tenemos una moneda trucada cuya probabilidad de que salga cara es 1/3 y la de cruz 2/3. Antes de tirar 120 veces la moneda hacemos la predicción de que el número de caras estará entre 35 y 45, ambos inclusive. Calcula la probabilidad de no acertar la predicción. (Sol: 0,2846 ) 17) El promedio de ventas diarias de un vendedor de unos grandes almacenes es de 950 y la desviación típica es de 200. Suponiendo que la distribución de ventas es normal, cuál es la probabilidad de vender más de 1250 en un día? ( Soluc:0,0668 ) 18) El peso en gramos de una pieza fabricada en serie se distribuye según una normal de media 52 gramos y desviación típica 6,5 gramos. Se pide: a) Probabilidad de que una pieza fabricada pese más de 68 gramos. b) Si el 30% de las piezas fabricadas pesan más que una pieza dada, cuánto pesa esta última? ( Soluc: a) 0,0069; b) 55,4125 g ) MAp I Tema 9: Distribución normal - 6
ANEXO I Tabla de la distribución normal N(0,1) MAp I Tema 9: Distribución normal - 7