T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS P R E S E N T A RUTH ORTIZ ZARCO

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN ANÁLISIS COMPARATIVO DE LAS METODOLOGÍAS MODERNAS PARA LA VALUACIÓN DE OPCIONES SOBRE DIVISAS T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE: MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS P R E S E N T A RUTH ORTIZ ZARCO MÉXICO, D.F. NOVIEMBRE DE 009

Agradecimienos A Dios, por obsequiarme el maravilloso don de la vida, acompañarme en cada momeno de ella; y permiirme hoy un logro más. A mis padres, como una pequeña muesra del enorme amor y agradecimieno que sieno hacia ellos, por dedicar su vida enera a formarnos a mis hermanos y a mí. A mi esposo Jorge, por que durane mis esudios de maesría, esuvo presene en odo momeno y dispueso a darme su apoyo, paciencia, confianza y amor. A mi hijo, pues se convirió en uno de los principales moivos para culminar esa eapa de mi vida de manera saisfacoria. A mi direcor de esis, el docor Miguel flores Orega, por deposiar su confianza en mí, y dedicar su iempo y esfuerzo en la orienación de mi esis A odos los profesores que inervinieron en mi formación profesional, como un agradecimieno por haber comparido sus conocimienos y experiencias. A mis amigas, Angélica y Alejandra; por su compañerismo y su ayuda a lo largo de los esudios de maesría, pues fueron pare imporane en la culminación de esa. A mis hermanos, con mucho amor; por su apoyo y compañía a lo largo de mi vida. Al Insiuo Poliécnico Nacional, por brindarme una oporunidad de superación A los docores, Humbero Ríos y Gerardo Ángeles, porque al desempeñar su papel como direcores de la sección, se mosraron accesibles ane oda circunsancia y me brindaron su apoyo siempre que lo necesié. I

Índice Agradecimienos.......I Índice general..ii Índice de figuras y gráficas.... IV Índice de ablas.... V Glosario...... VI Resumen...... X Absrac.... XII Inroducción......XIII Capíulo 1. Fuuros y opciones como herramienas financieras 1.1 La imporancia de la ciencia financiera y de los producos derivados, en el mundo acual.... 1 1.1.1 Relevancia de la ciencia financiera y de la adminisración de riesgo..1 1.1. Imporancia de los producos derivados...3 1. Evolución de la eoría financiera...5 1.3 Mercado de divisas..10 1.4 Fuuros y opciones sobre divisas....1 1.4.1 Fuuros sobre divisas......13 1.4. Opciones sobre divisas......14 1.4.3 Vínculo enre el mercado de divisas y el mercado financiero 15 Capíulo. Herramienas eóricas mulidisciplinarías para valuar producos derivados.1 La probabilidad y los procesos esocásicos como herramiena financiera..... 17.1.1 Experimeno aleaorio, espacio muesral y σ-álgebra....17.1. Función de disribución y función de densidad.....18.1.3 Proceso esocásico y filración..19.1.4 El concepo de valor esperado...0.1.5 Proceso esocásico maringala... 0.1.6 Teorema de Girsanov.....1. Movimieno browniano, movimieno geomérico browniano y proceso de Wiener.....1 Movimieno browniano y proceso de Wiener...... Movimieno geomérico browniano.......3..3 Filraciones del movimieno browniano. 4.3 El cálculo esocásico en la valuación de producos derivados...5.3.1 Caminaa aleaoria.5.3. Inegral y diferencial esocásicas..6.3.3 Lema de Iô....7.4 La ecuación de difusión de calor........7 II

Capíulo 3. Análisis de los méodos modernos para valuar fuuros y opciones sobre divisas 3.1 Enfoque probabilisa...9 3. Ecuación de calor.... 31 3.3 Porafolios replicanes. 34 3.4 Teorema de Girsanov......36 3.5 Pago coninuo de dividendos...... 38 3.6 Ecuaciones diferenciales parciales.. 40 3.6.1 Precios del acivo subyacene y de la opción.40 3.6. Equilibrio de mercado........4 3.6.3 Obención alernaiva de la fórmula de Black y Scholes...44 3.6.4 Solución de la ecuación diferencial parcial de Black y Scholes 46 3.7 Tabla comparaiva y análisis de los seis enfoques.. 54 Capíulo 4. Deerminación del precio de una opción europea de compra sobre una divisa 4.1 Opciones del dólar de Esados Unidos de América..60 4.1.1 Caracerísicas del conrao de opción sobre el dólar noreamericano en el MexDer....61 4.1. Mecanismo de negociación del conrao de opción sobre el dólar noreamericano en el MexDer......6 4.1.3 Caracerísicas y procedimieno de negociación 6 4. Deerminación del precio de una opción sobre divisas por el enfoque de ecuaciones diferenciales.....63 4..1 Idenificación de variables. 63 4.. Obención del precio eórico de una opción europea de compra...... 63 4.3 Equilibrio, sobrevaluación o subvaluación de la opción. 70 4.4 Efeco de la variación de la asa de inerés en la fórmula de Black y Scholes.... 75 Conclusiones....81 Bibliografía..83 III

Índice de figuras y gráficos Figura 1. Disinos insrumenos derivados...4 Figura. Clasificación de los fuuros sobre divisas.13 Gráfica 1. Equilibrio, pérdidas y ganancias de la opción de compra del 15 de sepiembre de 008...69 Gráfica. Equilibrio, pérdidas y ganancias de la opción de compra del 15 de diciembre de 008...70 Gráfica 3. Equilibrio, pérdidas y ganancias de la opción de compra del 13 de marzo de 009. 70 Gráfica 4. Equilibrio, pérdidas y ganancias de la opción de compra del 14 de junio de 009...71 Gráfica 5. Equilibrio, pérdidas y ganancias de la opción de compra del 14 de sepiembre de 009...71 Gráfica 6. Equilibrio, pérdidas y ganancias de la opción de compra del 14 de diciembre de 009...7 Gráfica 7. Equilibrio, pérdidas y ganancias de la opción de compra del 1 de marzo de 010... 7 IV

Índice de ablas Tabla 1. Análisis comparaivo de los seis enfoques modernos para la valuación de opciones sobre divisas. 53 Tabla. Daos para valuar una opción europea de compra sobre el dólar noreamericano......6 Tabla 3. Valuación de la opción de compra del 15 de sepiembre de 008..63 Tabla 4. Valuación de la opción de compra del 15 de diciembre de 008 64 Tabla 5. Valuación de la opción de compra del 13 de marzo de 009..65 Tabla 6. Valuación de la opción de compra del 15 de junio de 009...66 Tabla 7. Valuación de la opción de compra del 14 de sepiembre de 009.. 67 Tabla 8. Valuación de la opción de compra del 14 de diciembre de 009...68 Tabla 9. Valuación de la opción de compra del 1 de marzo de 010.. 68 Tabla 10. Efeco de las variaciones de la asa de inerés en la valuación de la opción del 15 de sepiembre de 008 73 Tabla 11. Efeco de las variaciones de la volailidad en la valuación de la opción del 15 de sepiembre de 008...74 Tabla 1. Efeco de las variaciones de la asa de inerés en la valuación de la opción del 15 de diciembre de 008. 75 Tabla 13. Efeco de las variaciones de la volailidad en la valuación de la opción del 15 de diciembre de 008..75 Tabla 14. Efeco de las variaciones de la asa de inerés en la valuación de la opción del 13 de marzo de 009...76 Tabla 15. Efeco de las variaciones de la volailidad en la valuación de la opción del 13 de marzo de 009...77 V

Glosario Acción: Cada una de las pares en que se considera dividido el capial social de una sociedad anónima o de una sociedad en comandia por acciones. Tíulo de crédio que sirve para acrediar y ransmiir la calidad y los derechos de socio, en esa clase de sociedades. La acción posee res valores: nominal, conable y de mercado. El valor nominal es aquél que resula de dividir el capial social enre el número de acciones de la empresa en un deerminado momeno. El valor conable de una acción es aquél que resula de dividir el capial conable enre el número de acciones de la empresa en un deerminado momeno. El valor de mercado es aquél que la ofera y la demanda deerminan en ciero momeno y con ciero volumen de operaciones. Acivo financiero: Se caraceriza por esar expresado y ser represenaivo en moneda corriene acual. Su mono se fija por conrao y origina a sus enedores un aumeno o disminución en el poder de compra según engan o no una rediuabilidad por encima de la inflación. Acivo subyacene: Acivo que, en los mercados de producos derivados, esá sujeo a un conrao normalizado y es el objeo de inercambio. Es decir, es aquel acivo sobre el que se efecúa la negociación de un acivo derivado. Adminisración financiera: Técnica que iene por objeo la obención de recursos financieros que requiere una empresa, incluyendo el conrol y adecuado uso de los mismos, así como el conrol y proección de los acivos de la empresa. Algunos auores consideran que debe comprender las siguienes acividades: planificación y conrol financiero; adminisración del capial de rabajo; inversiones en acivo fijo y decisiones sobre esrucura de capial. Arbiraje: Operaciones simuláneas de compra y vena de un mismo acivo, en diferenes mercados, con la finalidad de obener beneficios inmediaos aprovechando las discrepancias de precios fruo de las ineficiencias exisenes en los mercados. En el mercado de opciones y oros producos derivados, el arbiraje implica una esraegia que combina la compra de un conrao que se considera subvaluado y la vena de oro considerado sobrevaluado; vinculados a dos acivos subyacenes relacionados; esperando obener un beneficio libre de riesgo, sin que medie una inversión. Asigna: Fideicomiso adminisrado por Bancomer S.A., idenificado como Asigna, Compensación y Liquidación, cuyo fin es el de compensar y liquidar conraos de fuuros y conraos de opciones, y para acuar como conrapare en cada operación que se celebre en MexDer. Aversión al riesgo: Supueso que suele hacerse en finanzas respeco al comporamieno de los inversores: se supone que a los inversores no les gusa el riesgo, por ano para que alguien acepe asumir un mayor riesgo al realizar una inversión deberá esperar un mayor rendimieno de la misma. VI

Boleín: Es el medio de difusión de la información de mercado generada en las sesiones de negociación de la bolsa, así como de la información relaiva a los acivos subyacenes, a los socios liquidadores y operadores, y a la cámara de compensación. Call: Opción de compra que oorga a su propieario el derecho de comprar el acivo subyacene negociado a una fecha de vencimieno deerminada. Cámara de compensación: Enidad que se encarga de cenralizar y organizar los pagos y cobros denro del mercado. Evia el movimieno físico de los íulos y proporciona agilidad al sisema. Es la insiución esablecida por los bancos del sisema y adminisrada por el Banco de México para inercambiar cheques y efecos comerciales a cargo de cada uno de ellos, liquidándose los saldos resulanes del conjuno de operaciones. De esa manera, los bancos manienen un conaco permanene para liquidar los efecos comerciales que represenen movimienos del fondo y/o carera, compensando los crédios recíprocos y saisfaciéndose en dinero únicamene las diferencias. Disminuye, de ese modo, el movimieno innecesario de numerario y, al suprimir los pagos direcos, facilia las liquidaciones y evia riesgos y pérdidas de iempo. Coberura: Es una operación que preende reducir los disinos riesgos de una inversión. Los producos derivados son uilizados habiualmene con ese fin. Commodiy: Término anglosajón que se aplica a odo produco vendido a granel, a menudo se vende en los mercados financieros. Los más comunes son el oro, el café, el peróleo, ec. Conrao de fuuro: Conrao esandarizado en plazo, mono, canidad y calidad, enre oros, para comprar o vender un acivo subyacene, a un ciero precio, cuya liquidación se realizará en una fecha fuura. Si en el conrao de fuuro se paca el pago por diferencias, no se realizará la enrega del acivo subyacene. De acuerdo con el subyacene es como se deermina el ipo de fuuro, así se iene que un fuuro sobre divisas se esá refiriendo a que el valor subyacene objeo del conrao es una canidad deerminada de ciera moneda exranjera. Conrao de opción: Conrao esandarizado, en el cual el comprador, mediane el pago de una prima, adquiere del vendedor el derecho, pero no la obligación, de comprar (call) o vender (pu) un acivo subyacene a un precio pacado (precio de ejercicio) en una fecha fuura, y el vendedor se obliga a vender o comprar, según corresponda, el acivo subyacene al precio convenido. El comprador puede ejercer dicho derecho, según se haya acordado en el conrao respecivo. Si en el conrao de opción se paca el pago por diferencias, no se realizará la enrega del acivo subyacene. Conrao forward: El realizado por dos pares que acuerdan comprar o vender un arículo específico en una fecha fuura. Difiere de un fuuro en que es conraado direcamene enre las pares, sin inervención de una cámara de compensación y sólo puede realizarse hasa su vencimieno. VII

Coización: Precio de mercado de un acivo. Cupón cero: Caracerísica de los íulos de rena fija que no pagan inereses durane la vida del íulo, suelen ser a coro plazo y emiirse al descueno. Cupón: Proviene de los aniguos íulos físicos de donde había que recorar un cupón para cobrar los dividendos o derechos de suscripción. Hoy en día se denominan así los pagos o inereses que paga un íulo valor. Derivados: Familia o conjuno de insrumenos financieros, implemenados a parir de 197, cuya principal caracerísica es que esán vinculados a un valor subyacene o de referencia (íulos represenaivos de capial o de deuda, índices, asas, y oros insrumenos financieros). Los producos derivados surgieron como insrumenos de coberura ane flucuaciones de precio en producos agroindusriales (commodiies), en condiciones de elevada volailidad. Los principales derivados financieros son: fuuros, opciones sobre fuuros, warrans y swaps. Desviación esándar: Caracerísica de una muesra o población que cuanifica su dispersión o variabilidad. Tiene las mismas unidades que la variable. la desviación ípica es invariane con respeco al origen de la disribución. Su cuadrado es la varianza. Disribución normal: Disribución eórica de probabilidad que se usa ano en la esadísica aplicada como en la eórica. Aparece en la prácica con mucha frecuencia como consecuencia del imporane resulado que esablece el eorema cenral del límie. Tiene una forma en forma de campana, y viene caracerizada por únicamene dos valores: la media y la varianza. Divisa: Medio de cambio cifrado en una moneda disina a la nacional o domésica Especulación: Acuación consisene en asumir conscienemene un riesgo superior al corriene con la esperanza de obener un beneficio superior al medio que se obiene normalmene en una operación comercial o financiera. La especulación se ejerce en orno a la compra y vena de cualquier caegoría de bienes de consumo, primeras maerias, íulos, valores, divisas, ec. Fecha de liquidación: Es el día hábil en que son exigibles las obligaciones derivadas de un conrao conforme a las condiciones generales de conraación. Fecha de vencimieno: Es el día hábil en que expira el plazo de un conrao conforme a las condiciones generales de conraación. Filración: Conjuno de información disponible, compuesa por las σ-álgebras que son úiles para la invesigación. Función: Expresión que liga dos o más variables de forma deerminísica. VIII

Liquidaciones diarias: Sumas de dinero que deban soliciarse, recibirse y enregarse diariamene, según corresponda, y que resulen de la valuación diaria que realice la cámara de compensación por aporaciones iniciales mínimas, fondo de compensación y por variaciones en el precio de cierre de cada conrao abiero, con respeco al precio de cierre del día hábil inmediao anerior o, en su caso, con respeco al precio de conceración. Mercado de fuuros: Mercado en el que puede formalizarse un conrao para el suminisro de mercancías o acivos financieros, en una fecha fuura predeerminada. MexDer: Sociedad anónima denominada Mercado Mexicano de Derivados, S.A. de C.V., que iene por objeo proveer las insalaciones y demás servicios para que se coicen y negocien los conraos de fuuros y conraos de opciones. Over he couner (OTC): Término que se uiliza para denominar a odas aquellas operaciones o producos que se negocian fuera de una bolsa organizada de valores. En Esados Unidos exise un mercado conocido como OTC en el cual se negocian bonos, producos derivados y acciones de empresas, el cual iene requisios de coización más flexibles que las grandes bolsas de valores. En México se refiere principalmene a la compra-vena a fuuro de dólares, asas de inerés y oros insrumenos auorizados, que se realizan direcamene enre paricipanes e inermediarios, enendiéndose como paricipanes a las personas físicas nacionales y exranjeras y los inermediarios a las insiuciones de crédio o casas de bolsa que obienen auorización por escrio del Banco de México para realizar operaciones de compra-vena con oros inermediarios y paricipanes. Posición cora: Posición que maniene un inversionisa que se compromee a vender un bien subyacene, mediane un conrao financiero. Número de conraos de cada una de las series respeco de las cuales el cliene acúa como vendedor. Posición larga: Posición que maniene el comprador de un fuuro número de conraos de cada una de las Series, respeco de los cuales el cliene acúa como comprador. Precio de ejercicio: En el mercado de opciones, es el precio al que se podrá ejercer el derecho sobre el subyacene en la fecha de vencimieno. Precio de liquidación al vencimieno: Precio de referencia que da a conocer MexDer y con base al cual Asigna realiza la liquidación de los conraos de fuuros y/o conraos de opciones en la fecha de liquidación. El precio de liquidación al vencimieno se deermina por unidad de acivo subyacene. Precio fuuro: Precio por unidad de acivo subyacene acordado en un conrao de fuuro en la fecha de celebración. Ese se ajusará diariamene para efeco de reflejar las pérdidas y ganancias. Probabilidad: Asignación de un número enre cero y uno a cada resulado experimenal. Producos derivados: Familia o conjuno de insrumenos financieros, cuya principal caracerísica es que esán vinculados a un valor subyacene o de referencia. Los principales IX

producos derivados son los fuuros, las opciones, los warrans, las opciones sobre fuuros y los swaps. Pu: Opción de vena que oorga a su propieario el derecho a vender el acivo subyacene negociado en una fecha de vencimieno deerminada Riesgo de mercado: Es el que afeca al enedor de cualquier ipo de valor, ane las flucuaciones de precio ocasionadas por los movimienos normales del mercado. Se deriva de cambios en los precios de los acivos y pasivos financieros (o volailidades) y se mide a ravés de los cambios en el valor de las posiciones abieras. Incluye el riesgo base, el cual se presena cuando se rompe o cambia la relación enre los producos uilizados para cubrirse muuamene, y el riesgo gamma, ocasionado por relaciones no lineales enre los subyacenes y el precio o valor del produco derivado Socio liquidador: Fideicomiso que paricipa en el parimonio de la cámara de compensación, eniendo como finalidad celebrar y liquidar, por cuena propia o de clienes, conraos de fuuros y conraos de opciones operados en bolsa. Tasa de inerés: Porcenaje de rendimieno (para el inversionisa) o coso (para el emisor), respeco al capial compromeido por un insrumeno de deuda. Tipo de cambio: Precio de la moneda de un país expresado en érminos de la moneda de oro país. Valuación: Acción y efeco de señalar a una cosa el valor correspondiene a su esimación; ponerle precio. Variable aleaoria: Variable que oma un número finio o infinio de valores, de forma que no cubre odos los posibles valores numéricos enre dos dados, en conraposición de las coninuas. Variable: Objeo maemáico que puede omar diferenes valores. Generalmene asociado a propiedades o caracerísicas de las unidades de la muesra. Lo conrario de variable es consane. Variable coninua: Aquella que puede omar una infinidad de valores, de forma que dados dos valores cualesquiera, ambién pueda omar cualquier valor enre dichos valores. Varianza: Caracerísica de una muesra o población que cuanifica su dispersión o variabilidad. La varianza iene unidades al cuadrado de la variable. Su raíz cuadrada posiiva es la desviación ípica. La varianza muesral es un esimador sesgado de la varianza poblacional. X

Resumen En esa esis se presenan los aspecos eóricos necesarios para hacer un análisis comparaivo de las meodologías modernas que se uilizan para valuar opciones financieras, el rabajo se enfoca al caso de las opciones sobre divisas y en paricular al dólar noreamericano; el análisis pare de los concepos fundamenales de esadísica, física, cálculo esocásico, finanzas, economía y maemáicas, para después realizar el análisis individual de cada una de las meodologías y comprender la ineracción mulidisciplinaria que se realiza al incorporar las herramienas eóricas de cada disciplina y uilizarlas para la valuación de producos derivados. Con un enfoque que va de lo paricular a lo general, inducivo, se presena la revisión concepual de los seis enfoques eóricos que se uilizan para desarrollar la formulación del méodo de valuación de opciones que presenaron Black y Scholes; su modelo es el referene obligado en la lieraura relaiva a la valuación de opciones. En el análisis comparaivo de los seis procedimienos se examinaron en principio los supuesos de los que pare cada meodología, se idenifican los elemenos eóricos comunes y se describen las diferencias eóricas; en cada caso se analiza el grado de complejidad en la obención de resulados. El análisis pare del modelo de referencia, que es el desarrollado por Fischer Black, Myron Scholes y Rober Meron publicado en 1973, el cual fue laureado con el premio nobel en 1997. El modelo produce una ecuación diferencial parcial de segundo orden de la cual se pueden obener múliples soluciones, que dependen de las condiciones iníciales y de fronera. En la prácica las condiciones iníciales y de fronera se uilizan para modelar los insrumenos financieros disponibles en el mercado de derivados. Denro de los resulados que apora la esis esa la comprensión de la eoría bajo los disinos enfoques que ienen diferene complejidad y varían en rapidez en la que se logra la deducción del modelo y la sencillez con la que se rabajan los concepos eóricos, lo cual permie la inegración concepual de diferenes disciplinas como la física, las maemáicas, el cálculo esocásico, las finanzas, la esadísica y la economía para comprender a los producos derivados. El rabajo incluye la aplicación del modelo para la valuación de opciones sobre el dólar noreamericano, los resulados se validan para disinos precios de ejercicio y el cálculo se realiza con el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales de Black Scholes, los resulados se comparan con los que publica el MexDer, por medio de un análisis rerospecivo, se obienen las pérdidas y ganancias a fin de saber si el mercado esá equilibrado o exise una sobrevaluación o subvaluación del derivado. Adicionalmene se hace un análisis para observar el efeco de la asa de inerés libre de riesgo, que se idenificó como la variable que mayor efeco iene en la valuación de opciones sobre divisas y se presenan los resulados más relevanes. XI

Absrac This hesis presens he heoreical aspecs needed o make a comparaive analysis of modern mehodologies used o value financial opions, he work focuses on he case of opions on currency and in paricular he U.S. dollar, he analysis of he conceps fundamenal saisical, physics, sochasic calculus, finance, economics and mahemaics, and hen perform he individual analysis of each of he mehodologies and mulidisciplinary undersanding he ineracion ha akes place by incorporaing he heoreical ools of each discipline and use for he valuaion of goods derivaives. Wih an approach ha goes from he paricular o he general concepual review presens six heoreical approaches used o develop he formulaion of opion-pricing mehod ha showed Black and Scholes model is is poin of reference in he lieraure on he valuaion of opions. In he comparaive analysis of he six procedures are discussed in principle ha he assumpions of each mehodology par, idenifies he common heoreical elemens and describes he heoreical differences, in each case he examines he degree of complexiy in he resuls. The analysis of he reference model, which is developed by Fischer Black, Myron Scholes and Rober Meron published in 1973, which was awarded he Nobel prize in 1997. The model produces a parial differenial equaion of second order which you can ge muliple soluions, depending on he iniial and boundary condiions. In pracice, he iniial and boundary condiions are used o model financial insrumens available in he derivaives marke. Wihin he resuls provided by he hesis is he undersanding of he heory under he various approaches ha have differen complexiy and range in speed is achieved in which he deducion of he model and simpliciy wih which he heoreical work, which allows concepual inegraion of differen disciplines such as physics, mahemaics, sochasic calculus, finance, saisics and economics o undersand he producs. The work includes applying he model for valuing opions on he U.S. dollar, he resuls are validaed for differen exercise prices and he calculaion is made wih he approach of parial differenial equaions, Black Scholes, he resuls are compared wih published he MexDer, hrough a rerospecive analysis, we obain he gain or loss o know wheher he marke is balanced or here is an overvaluaion or undervaluaion of he derivaive. Addiionally, an analysis o observe he effec of ineres rae risk free, which was idenified as he variable ha has he greaes effec on he valuaion of currency opions and presens he mos relevan resuls. XII

Inroducción En los úlimos años, el mundo ha sido esigo de una revolución financiera reflejada en los cambios en las insiuciones financieras y en los mercados de capiales, que ha promovido la innovación de insrumenos financieros, ano a nivel nacional como a nivel inernacional; despiera en mi un inerés paricular por desarrollar el presene rabajo de esis por el gran crecimieno de los mercados financieros y en especial el de los producos derivados, que nacieron con el objeivo de coberura ane los riesgos, y frene a la relevancia que para México represena conar con producos derivados que coicen en la bolsa de derivados, para así promover un marco de esabilidad macroeconómica al faciliar el manejo del riesgo ano a los inermediarios financieros, como a los agenes económicos; ese ema además de ineresane es sumamene imporane y relevane para el mercado financiero nacional. El objeivo de la esis es analizar de comparaivamene, el desarrollo de los seis enfoques meodológicos con los que se deduce el modelo de Black y Scholes, que es uilizado para calcular el precio de los conraos de fuuros y opciones de compra o vena sobre diversos acivos subyacenes. Ese rabajo uiliza como acivo subyacene el precio fuuro de una divisa, el dólar noreamericano; al análisis permiirá comparar los enfoques enre sí y señalar los supuesos, susenos eóricos, herramienas mulidisciplinarías, y grado de complejidad de cada uno de los méodos. Se elije como acivo subyacene a las divisas, ya que debido a la globalización la mayoría de los países en odo el mundo, son economías abieras que para ineracuar enre sí requieren el uso de divisas, y una fuere variación en el precio de esas puede llevar a los agenes involucrados en las ransacciones comerciales a obener enormes pérdidas, por lo ano los fuuros y opciones sobre divisas son el insrumeno perfeco para cubrirse ane al riesgo. Dada la complejidad maemáica del ema seleccionado en ese rabajo, un objeivo adicional es mosrar de forma didácica y sencilla la eoría que susena el modelo de valuación de opciones y fuuros. El desarrollo de los seis enfoques meodológicos, es de inerés por el hecho de ser una úil y una poderosa herramiena para odas las insiuciones financieras, empresas nacionales y ransnacionales y por supueso para odos aquellos profesionisas del área financiera con una visión global. Ese análisis permiirá una mejor comprensión del modelo de valuación de fuuros y opciones, además de enender los supuesos y el enlace y de los de las diversas ciencias que fundamenan la meodología de la valuación y que son: economía, esadísica, maemáicas, física y por supueso las finanzas. El modelo maemáico de mayor imporancia para la valuación de insrumenos derivados, es el desarrollado por Fisher Black, Myron Scholes y Rober C. Meron; quienes uilizando las écnicas de análisis esocásico, lograron la obención del modelo perfeco para valuar una opción europea que no paga dividendos y así enconrar su precio, cuando el precio del acivo subyacene iene un comporamieno geomérico browniano, al modelo es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, cuyas soluciones esán en función de sus condiciones iniciales y de fronera y corresponden a los producos derivados disponibles en el mercado. XIII

La hipóesis de esa invesigación es que, si se uiliza el enfoque meodológico de ecuaciones diferenciales parciales para la valuación de conraos de opción sobre divisas, se obiene una venaja en relación a la uilización de los oros cinco enfoques, que son: el enfoque probabilisa, la ecuación de calor, los porafolios replicanes, el eorema de Girsanov y el de pago coninuo de dividendos, enonces, se iene la venaja de uilizar la inuición de economía financiera, ya que el enfoque es un resulado de equilibrio general, por lo ano las ecuaciones resulanes no requieren para su solución de herramienas maemáicas sofisicadas y pone énfasis en las ideas esenciales en que descansa la adminisración de riesgos. El modelo de Black y Scholes, iene una fuere influencia en la forma en que los inermediarios financieros valoran y realizan coberuras con los producos derivados, por lo ano es claro que ese modelo es una pieza fundamenal en el crecimieno de la economía financiera y por lo ano del mercado financiero. El conenido de esa esis se desarrolla en cuaro capíulos. El primero, analiza la imporancia de la ciencia financiera con aplicación en la vida diaria; se hace una reseña hisórica de los avances eóricos de las finanzas necesarios para la comprensión de los producos derivados y sus aplicaciones; ambién se describe de manera específica los aspecos relevanes del mercado de divisas, fuuros y opciones que se uilizan en el mercado de divisas. El segundo capíulo presena el marco eórico en que se basan los seis enfoques meodológicos raados en el rabajo y que son necesarios para susenar la ineracción enre las diversas ciencias con los producos derivados; por lo que se hace referencia a aspecos del cálculo esocásico, se analiza el lema de Iô, la ecuación de difusión de calor, el eorema de Girsanov, el movimieno geomérico browniano, enre oros subsanciales insrumenos para la valuación de opciones y fuuros sobre divisas. En el ercer capíulo, se dedica al desarrollo de los seis enfoques meodológicos para la deerminación que son: probabilísico, ecuaciones diferenciales parciales, ecuación de difusión de calor, porafolios replicanes, eorema de Girsanov y pago coninuo de dividendos. En cada caso se obiene la ecuación que permie obener el precio eórico con que se valúan las opciones o bien los fuuros financieros. Además se incluye una abla que resume los aspecos relevanes de cada méodo. Por úlimo, el capíulo cuaro incluye la valuación de los conraos de opción de compra sobre el dólar noreamericano uilizando un conjuno de precios de ejercicio, se uiliza el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales de Black y Scholes y el resulado se compara con el publicado por el MexDer; por raarse de un análisis de rerospeciva, se obienen las pérdidas ó ganancias a fin de saber si el mercado esá equilibrado o exise una sobrevaluación o subvaluación del derivado. Se analizan los siguienes conraos de opción de compra: el de sepiembre de 008, diciembre de 008, marzo de 009, junio de 009, sepiembre de 009, diciembre de 009 y marzo de 009. Por ora pare se demuesra que al valuar mediane la ecuación diferencial parcial de Black y Scholes, el parámero que más influencia iene en la deerminación del precio del produco derivado es la asa de inerés libre de riesgo. XIV

Capíulo 1. Fuuros como herramiena financiera En ese capíulo se desarrollan cinco punos básicos: el primero consise en mencionar la imporancia de la ciencia financiera y de los producos derivados en la vida diaria, el segundo es una reseña hisórica de los avances eóricos de la ciencia financiera, el ercero menciona los aspecos más imporanes del mercado de divisas, el cuaro hace referencia a los fuuros y opciones sobre divisas y el quino analiza el vínculo enre el mercado de derivados y los mercados financieros. 1.1 La imporancia de la ciencia financiera y de los producos derivados, en el mundo acual. Pese a que el crecimieno de los producos derivados se inensificó durane las décadas de 1980 y 1990, la hisoria regisra la exisencia de ese ipo de insrumenos desde el siglo XII, cuando los vendedores de cieros producos firmaban conraos o leras de cambio que promeían la enrega de la mercancía al comprador en una fecha fuura. En la acualidad prácicamene ningún individuo, empresa o proyeco con enfoque de negocios, escapa a los fueres impacos que provocan las flucuaciones de los ipos de cambio, las asas de inerés y los precios de las acciones y de las maerias primas, enre oras variables; por lo ano día a día cobra mayor imporancia el desarrollo de los producos derivados financieros. 1.1.1 Relevancia de la ciencia financiera y de la adminisración de riesgos. La ciencia financiera, es la rama de la economía, que esudia como en una sociedad los individuos o agenes, inercambian acivos y riesgos financieros, bajo condiciones de escasez. De esa forma el esudio del riesgo, es una ciencia cuyas caracerísicas son: racionalidad y objeividad, pare de los hechos y siempre regresa a ellos, rasciende a los hechos, es analíica y especializada, define sus propios concepos y érminos, comunicable, explica los hechos mediane leyes generales y las leyes a ravés de principios y por úlimo es una ciencia provisional. La adminisración de riesgos financieros es una rama especializada de las finanzas, que se dedica al manejo o coberura de los riesgos financieros. Primero es necesario conocer el significado de la palabra riesgo; la cual iene sus raíces en el laín risicare que significa areverse, y en el griego rizha que significa navegar por un acanilado para alcanzar la cosa, por lo que omar un riesgo es decidirse a navegar por un acanilado, con el objeivo de alcanzar la cosa. Philippe Jorion 1 define el riesgo, en érminos generales como la inceridumbre sobre los flujos fuuros o resulados fuuros. El incremeno en la volailidad de las principales variables financieras ha creado un nuevo campo, la ingeniería financiera, cuyo objeivo es proporcionar alernaivas creaivas para proegerse conra los riesgos financieros, o para especular con ellos, los producos derivados brindan un mecanismo a ravés del cual las insiuciones pueden cubrirse eficienemene de los riesgos financieros; y es jusamene, 1 Jorion, Philippe; 008, Valor en Riesgo, México, Ediorial Limusa, ed. 1

que en respuesa a la necesidad de adminisrar y cubrir los riesgos financieros, los mercados de derivados han regisrado un crecimieno explosivo. La imporancia de la ciencia financiera se refleja claramene en el hecho, de que acualmene ningún individuo, empresa, gobierno o proyeco con enfoque de negocios, escapa a los fueres impacos que provocan las flucuaciones del ipo de cambio, las asas de inerés y los precios de las acciones, y las maerias primas, enre muchas oras variables. En oras palabras, la ciencia financiera, permie a los agenes económicos reducir los efecos de los diversos ipos de riesgos, cabe señalar que enre los más comunes y generales se encuenran: el riesgo de mercado, derivado de los precios de los acivos y pasivos financieros; el riesgo de crédio, que surge cuando las conrapares esán poco dispuesas o imposibiliadas para cumplir sus obligaciones conracuales; el riesgo de liquidez, que surge cuando una ransacción no puede ser conducida a los precios prevalecienes en el mercado, debido a una baja operaividad en el mercado; el riesgo operacional, que consise en las pérdidas poenciales resulanes de sisemas inadecuados, fallas adminisraivas, conroles defecuosos, fraude, o error humano; el riesgo legal, que se presena cuando una conrapare no iene la auoridad legal o regulaoria para realizar una ransacción; el riesgo de ransacción; el de raducción y el económico. De acuerdo con García Padilla una adecuada coberura de riesgos, debe considerar los siguienes elemenos : Deerminación de las exposiciones más imporanes al riesgo en la unidad de análisis. Cuanificación de los cosos asociados a riesgos que ya han sido idenificados. Elegir la posura que se quiera omar: eviar el riesgo; prevención y conrol de pérdidas; reención del riesgo y finalmene, la ransferencia del riesgo. Implemenar la decisión omada Evaluar y revisar periódicamene las decisiones. La adminisración de riesgos de mercado y de crédio con producos derivados, ha mosrado un crecimieno imporane, impulsado por el acelerado desarrollo de las ecnologías de la información, lo cual, a su vez, ha faciliado su operación y diversificación. Así las bolsas en que se negocian y coizan producos derivados lisados y los mercados sobre mosrador proporcionan mayores alernaivas de inversión y de coberura con más y mejor información, Las écnicas e insrumenos financieros permiieron la expansión en el iempo y el espacio de las acividades de inversión y comercialización. Sin ellas, nunca hubieran sido posibles ni el crecimieno ni la globalización económica. A lo largo de los siglos, ha ido en aumeno la especialización de las insiuciones financieras y de las finanzas, culminando en la aparición de un verdadero sisema financiero. Dembinski y Poni 3 esablecen que el sisema financiero cumple res funciones principales: García Padilla, Vícor Manuel; 006, Inroducción a las finanzas, México, Compañía ediorial coninenal, 1e.

Asegura el flujo de pagos del que depende el normal funcionamieno de la acividad económica. Al hacerlo, el sisema financiero ayuda al dinero a operar como medio de pago. Asegura que los recursos monearios disponibles se usen efecivamene en oda la economía al poner el exceso de liquidez de algunos agenes a disposición de oros acores que ienen planes de comercialización o inversión, pero que carecen de la liquidez necesaria. Al hacerlo, el sisema financiero permie que el dinero opere como un verdadero depósio de riqueza. Crea bienes financieros, es decir, conraos ransferibles con derechos y obligaciones; y esima los riesgos inherenes a los conraos, fija sus precios y facilia su inercambio. Al fijar precios a los bienes, el sisema financiero amplía la función del dinero como parón de valor a una caegoría específica de operaciones. 1.1. Imporancia de los producos derivados. Un produco financiero derivado es un insrumeno o conrao cuyo valor depende del valor de uno o varios acivos financieros denominados subyacenes, ales como ipos de cambio, monedas, asas de inerés, índices accionarios, commodiies, insrumenos de deuda, ec. Por ano, el valor del produco derivado exise por su dependencia del valor o precio del acivo subyacene 4. La imporancia de los producos derivados, descansa en el hecho de que odo conrao derivado iene por objeo brindar la posibilidad de ransferir el riesgo. Los mercados de fuuros surgieron inicialmene vinculados a la operación del mercado de producos agropecuarios, ales como el arroz, la maneca, la soja y el peróleo, enre oros; pero con el paso del iempo se expandieron hacia insrumenos financieros como divisas, asas de inerés, acciones, índices bursáiles, enre oros. El principal objeivo de los mercados de fuuros es proporcionar coberura ane cambios desfavorables en el precio como consecuencia de una variable económica. Eso se logra mediane un mecanismo que hace posible que quienes quieran eliminar riesgo puedan ransferirlo a quienes esén dispuesos a asumirlo. Hoy en día, la coberura es un hecho coidiano. Los seguros para auomóviles, propiedades e incluso para las cosechas, ane desasres naurales como el granizo; esán ampliamene difundidos. Ese ipo de coberura es una esraegia defensiva que se realiza con el fin de lograr proección conra pérdidas en el valor de los bienes, causados por daños o desrucción oal de los mismos 5. El puno clave es recordar que la coberura en opciones es una herramiena empleada para minimizar el riesgo que se produce cuando las coizaciones se mueven en forma adversa. De acuerdo con Alfonso de Lara, los producos derivados se llevan a cabo con res 3 H. Dembinski, Paul y Marina Poni; 00, Por qué las finanzas son de inerés para el bien común?, Suiza, Ialia, hp://www.henciclopedia.org.uy/auores/dembinski/finanzas.hm. 4 ITAM, Producos derivados, 004, México, 004, hp://derecho.iam.mx/faculad/maeriales/profc/del%0cueo/derecho %0Financiero/PRODUCTOS%0DERIVADOS.pp#650. 5 Billafañe Blog, Alfredo; 008, Producos derivados, Buenos Aires, hp://profvillafane.blogspo.com /008/03/derivadosfinancieros.hml 3