Propuesta de metodología de trabajo y objetivos de la asignatura Algebra, Cálculo Numérico y Geometría Analítica (CIBEX) y Algebra (Física- Médica) 1.- Cómo son las clases: Con la metodología que se implementa para las clases no hay mucha diferencia en las labores a desarrollar por los distintos estamentos docentes frente a los alumnos ( es decir entre profesores, jefes de trabajos prácticos y ayudantes) El método tiene por objetivo capacitar al estudiante, no sólo en la adquisición de conocimientos teóricos en Matemática sino la necesidad de llevar a la práctica dichos conocimientos en sus posibles aplicaciones. Además prepararlo para que se pueda mover por sí mismo, no sólo en el estudio, con la mayor eficiencia, aportándole seguridad y habilidades para desenvolverse en el futuro. La cátedra diferencia dos tipos de encuentros: las clases teórico- prácticas y el taller, que a continuación se explicaran. En las clases teórico-prácticas, el profesor orientaría al alumno por medio de las notas y bibliografía adecuada para que efectúe una primera leída de los temas a abordar en el siguiente encuentro; en este segundo encuentro el alumno interactuará con el profesor en el desarrollo de los temas previstos para la clase del día, siendo parte activa en ella, planteando sus inquietudes, dudas y soluciones. El material impreso contiene no sólo teoría sino que incluye la descripción de ejemplos y ejercicios. La idea es que el profesor, el JTP ó el ayudante sean los que evacuen las dudas de los alumnos indistintamente. Todos están capacitados para esa tarea. Las explicaciones en el pizarrón serán dadas por el profesor o el JTP prioritariamente, la idea es que estas explicaciones no sean demasiado largas, sean seguidas por el trabajo de los alumnos y vuelva a darse una explicación y trabajo por los alumnos y así siguiendo hasta la terminación de ese encuentro. Este tipo de clase que se llaman teórico-práctico, tiene dos encuentros semanales con un total de 5 horas y ½. En el taller, los docentes explican los mecanismos e instrucciones para resolver problemas de los temas involucrados. Además si en ese encuentro se agota el trabajo planeado, los alumnos deberán trabajar y los docentes colaborarán en los temas de la guía teórico-práctica. Este tipo de clase es de 2 horas y ½ semanales para c/ grupo de alumnos. 1
2.- Fundamentación del porqué de la materia: La asignatura es del primer cuatrimestre de las carreras de las licenciaturas de Química, Bioquímica, Farmacia, Tecnología en Alimentos, Física Médica, Optica, etc. Es requisito previo para cursarla haber aprobado las condiciones de ingreso a la Facultad. Se cursa en simultáneo con Análisis Matemático I e Introducción a la Química. Es correlativa de Análisis Matemático II y de Física I y Química General. Se repite en el 1ro. y 2do. Semestre del año. Con respecto a la coordinación de la asignatura para las distintas carreras de la Facultad, se mantiene una permanente relación con los otros Departamentos de la Facultad de los cuales dependen esas carreras, vía la Comisión de Enseñanza y Seguimiento de los Planes de Estudios, para que los temas impartidos cubran las necesidades de las futuras materias además de ser formativos en sí. Para los alumnos es el inicio en una rama de la Matemática. Es una materia que debe proveer de las herramientas necesarias en otras asignaturas de cada carrera, por lo cual es fundamental que el alumno adquiera con ella un manejo ágil de todos sus temas. El alumno debe entrar en contacto con la Matemática que es método y ciencia. Los docentes consultados del Departamento de Química manifestaron que los alumnos presentan por lo general problemas de orden práctico, concretamente falta de manejo de algunos mecanismos elementales de cálculo. Por ello es importante que el alumno se esmere en aprovechar las clases prácticas, el trabajo y la ejercitación es personal, para lograr una incorporación de los conceptos y las técnicas. Es independiente que se haga trabajo grupal para fomentar la discusión de los distintos temas lo que produce la mayoría de las veces un ataque de los temas por distintos puntos de vista. 3.- Objetivos (de la cátedra y que deben compartir los alumnos): El objetivo del curso es dotar al estudiante de las herramientas para la comprensión de las estructuras algebraicas, que además de su importancia teórica tienen 2
valiosísimas aplicaciones en otros campos de investigación. El objetivo máximo sería otorgar desenvolvimiento para elaborar sus propios conceptos. Estos cursos de carácter teórico-práctico, tratan de fomentar por parte del docente la participación activa del alumno. Se tiene por objetivo capacitar al estudiante, no sólo en la adquisición de conocimientos teóricos sobre Algebra y Geometría Analítica, sino que lleve a la práctica dichos conocimientos en sus posibles aplicaciones. Es objetivo del curso, prepararlo en Matemática dando conceptos que luego en las materias de su currícula profundizará y generalizará. Es un curso que debe proveer de las herramientas necesarias en otras asignaturas de cada especialidad, por lo cual es fundamental que el alumno tenga un manejo ágil de los temas. El curso no es un conjunto de definiciones, ni tampoco solamente enseñar a razonar, provee ejercicios de razonamiento que entrenen al alumno a resolver problemas y situaciones concretas de la vida diaria, pues el Algebra desde sus comienzos significó un método para resolver problemas prácticos y abrió la imaginación a nuevos problemas. La Geometría Analítica permite plasmar en ecuaciones los problemas geométricos y permite graficar en los espacios euclídeos esas relaciones además ayuda a la representación de funciones (tema y aplicación de las otras asignaturas). Se tratará de trabajar orgánicamente los Profesores y Auxiliares de la cátedra, con los ALUMNOS, para lograr esos objetivos. La tarea del profesor se complementa con el personal docente auxiliar que trabaja en la clase "práctica", guiando a los alumnos en la resolución de los ejercicios y problemas de aplicación. Se entiende por "teoría" la parte de la clase donde se introducen, recuerdan y/o comentan los conceptos, dando las definiciones y los teoremas que sean necesarios. Es fundamental que al contestar una pregunta del estudiante el docente lo haga con una contrapregunta orientadora para que el alumno pueda elaborar su respuesta y que ésta sea corroborada por el docente. Repito para concientizar: que el profesor orientará al educando, por medio de notas y/o bibliografía adecuada para que efectúe una primera leída (concienzuda) de los temas a abordar en la siguiente clase. En este siguiente encuentro el alumno podrá interactuar con el profesor en el desarrollo de los temas previstos para la clase del día y ser parte activa de ella, donde planteará sus inquietudes (dudas y soluciones). Se tratará 3
que las dudas sean resueltas entre todos los presentes (si es posible con sus compañeros con la supervisión del profesor, si no, serán aclaradas por el profesor). De esta manera se pretende que el alumno al finalizar la clase haya conseguido aprehender los conceptos fundamentales con que ha trabajado. El material impreso como fuente de información tiene la conveniencia que el estudiante tiene acceso a la repetición. 4.- Desarrollo programático: Se comenzará con un repaso a los temas de números vistos en la enseñanza escolar y repasados en el curso de nivelación, pero a pesar de ser un curso nivelatorio hay alumnos que no prestan suficiente dedicación a esos temas y siguen sin incorporar esos saberes. En el curso se articularán temas de Algebra con algunos de Lógica y de Teoría de Conjuntos. Una pequeña introducción al lenguaje de conjuntos y a los métodos de demostración. Se demostrarán algunas propiedades de las operaciones con conjuntos que el alumno conoce sin demostración. Se volverá al tema de números naturales para introducir los axiomas de Peano para trabajar con el Principio de Inducción, herramienta de demostración que será desde ese momento inseparable. No se definirán rigurosamente las operaciones aritméticas con naturales, pero sí se considerará importante su uso; se dará amplia ejercitación para la aplicación del Principio de Inducción. Se tiene la experiencia que es uno de los temas que mayor dificultad tiene para los alumnos. Luego se repasará la idea de sistemas de coordenadas para el plano y de recta en él. Es el inicio de Geometría Analítica. Se trabajará en la deducción de las ecuaciones de las cónicas. El propósito de este tema y su forma de desarrollarlo es para que el alumno comience ha ver de manera más rigurosa algunos aspectos de Matemática. Además estos temas tienen la ventaja que la representación ayuda a su mejor comprensión. Se continuará el curso introduciendo los conceptos de vectores del plano 3 espacio. Se destacarán sus aplicaciones por ejemplo a la Física. Se resaltarán las propiedades algebraicas y geométricas de las operaciones definidas con vectores que 2 y el 4
permiten las definiciones importantes para la obtención de ecuaciones para rectas y 3 planos en. Se mostrará la necesidad aritmética de introducir los números complejos, presentándolos como pares ordenados de números reales y definiendo en ese conjunto la suma y el producto, al demostrar las propiedades se destacará que se han conservado las "buenas" propiedades de los números reales, dándole importancia a las interpretaciones geométricas. Se pasará a la forma binómica identificando los números reales con complejos de segunda componente nula. Se destacará que no hay un orden compatible con las operaciones. Se representarán geométricamente en el plano conjuntos que permitirían al estudiante repasar y afianzar lugares geométricos ya vistos. Para potenciación y radicación se demostrarán las fórmulas de De Moivre dando importancia a la representación de las raíces n-ésimas. El tema polinomios tendrá el apoyo permanente de lo que el alumno sabe de números enteros. Se trabajará fundamentalmente en K[x], con K= C, haciendo un tratamiento en paralelo con Z. El Teorema Fundamental del Algebra sólo se enunciará. Se dará una caracterización de las raíces múltiples por medio de los polinomios derivados usando la fórmula de Taylor para K= R ó C. Polinomios es tema muy propicio para hacer una buena correlación con lo estudiado en Análisis Matemático I, pero siempre destacando la diferencia entre polinomio y función polinómica. El tema matrices y determinantes es orientado utilitariamente a la resolución de m ecuaciones lineales con n incógnitas, con ese fin se introducirán las operaciones elementales por filas y matrices elementales para fundamentar el método de Gauss. Utilizando equivalencia por filas calcular inversas de matrices y resolver sistemas de ecuaciones. Determinantes se dará en forma inductiva, luego de definido el menor de un elemento de una matriz nxn, el determinante de orden n se establece como la suma de los productos de los elementos de una fila por sus respectivos cofactores, sin probar se destaca que esta definición no es ambigua ( su demostración se podría hacer por inducción). La ventaja de esta definición es que no necesita de las permutaciones, además las demostraciones de las propiedades resultan muy sencillas. La demostración del valor del determinante de un producto de matrices cuadradas, haciendo uso de matrices elementales, permite obtener naturalmente la caracterización de las matrices no singulares como las de determinante no nulo. Se destacará al alumno que el método de Cramer, importante desde el punto de vista teórico, no es el más conveniente para la 5
resolución de sistemas de dimensiones considerables, destacando la ventaja del método de eliminación por la facilidad de su programación. 5.- Evaluación (no es lo único importante, pero es mejor aprobar!!!) Para la promoción se seguirán los lineamientos dados por la Comisión de Enseñanza y Seguimientos de Planes de Estudio y resoluciones del H. Consejo Académico. Por el momento la situación es como sigue: Para la promoción además de la asistencia a las clases, necesita la aprobación de dos parciales. Para la aprobación de los Trabajos Prácticos se debería aprobar los exámenes con nota mayor o igual que 4. Para aprobar la materia por promoción sin examen final, se deberán aprobar los exámenes con un promedio de al menos 6, sacando en c/ parcial una nota no inferior a 5. Se podrá rendir el segundo parcial debiendo la aprobación del parcial anterior. Habría un parcial extra, "flotante", para aquellos alumnos que al agotarse las fechas de todos y cada uno de los parciales adeuden a lo sumo uno. La corrección de los exámenes parciales y flotantes involucra a todas las categorías docentes, siguiendo pautas iguales en todas las comisiones dadas por el coordinador de la materia. 6.- El programa: PROGRAMA (desde el Año 2001) 1- Nociones básicas de la teoría de conjuntos: conjuntos definidos por comprensión y por extensión, pertenencia, inclusión. Operaciones entre conjuntos: unión, intersección, diferencia. Demostraciones. Conjunto de los números naturales: Principio de Inducción Completa. Binomio de Newton. 2- Geometría del Plano: El plano coordenado. Distancia entre puntos. Recta en el plano. Distintos tipos de ecuaciones de una recta. Posiciones relativas de dos rectas en el plano. Cónicas: elementos y ecuaciones de la circunferencia, de la parábola, de la elipse y de la hipérbola. Deducción del tipo de curva a partir de la ecuación implícita. 3- Vectores: Vectores en el plano y el espacio: suma, producto por un escalar. Producto escalar y producto vectorial. Propiedades. 4- Geometría en el espacio: Distancia entre puntos del espacio. Recta en el espacio. Plano. Distintos tipos de ecuaciones de una recta y de planos. Distancia entre rectas y planos. 6
5- Números complejos en las formas de: par ordenado, binómica, polar y trigonométrica. Operaciones y propiedades. Representación gráfica. Fórmula de De Moive para potencia y raíz. Ecuaciones. 6- Polinomios. Definiciones básicas. Igualdad, suma y producto de polinomios. División: existencia y unicidad de los polinomios cociente y resto. Raíces. Teorema del resto y su corolario. Raíces múltiples. Polinomios reducibles e irreducibles en R [x] y en C [x]. Polinomio derivado. Formula de Taylor para polinomios. Enunciado del Teorema Fundamental del Algebra y sus consecuencias. Relación entre coeficientes y raíces. Aproximación de raíces 7- Matrices. Operaciones: suma, producto de un escalar por una matriz, producto de matrices. Matrices invertibles. Matriz traspuesta. Operaciones elementales sobre las filas de una matriz. Matrices equivalentes por filas. Matrices elementales. Calculo de la inversa de una matriz por operaciones elementales. Sistemas de ecuaciones lineales. Forma matricial. Método de resolución de Gauss por operaciones elementales sobre las filas. Determinante de una matriz y sus propiedades. Relación entre determinante de una matriz e invertibilidad. Rango de una matriz. Teorema de Rouche-Frobenius. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones. MODALIDAD DE DICTADO: La materia es cuatrimestral. Con una carga horaria de 8 horas semanales. 5 horas 30 minutos de clases teóricoprácticas y 2:30 horas de clase práctica. BIBLIOGRAFIA: Los Apuntes de la Cátedra- de la profesora Galli, A.C. Barnett, Algebra, 6 ED, Mc Graw-Hill Interamericana Cotlar, M. y Sadosky, R. Introducción al Álgebra. EUDEBA Fernández, E. Álgebra y Geometría. Addison Weslesy. Gentile, E. Notas de Álgebra. EUDEBA, 3ra. Edición 1984 Gentile, E. Notas de Álgebra- Espacios Vectoriales. Ed. Functos. Kahn, P. Introducción al Álgebra Lineal. Harper and Row Publishers inc. Krause, E.F. Introduction to linear Algebra ", Holt, Rinehart and Winston, USA, Lang, S. Algebra lineal. Fondo Educativo Interamericano, México 1976. Larson, Álgebra Intermedia, Mc Graw-Hill Interamericana Oubina, Lía Introducción a la teoría de conjuntos. EUDEBA Rees, Álgebra, Mc Graw-Hill Interamericana Sagastume Berra, A. y Fernández, G. Álgebra y Calculo Numérico. Kapeluz, Bs. As. Santalo, L. Espacios vectoriales y Geometría Analítica. Monografías de la OEA. Sobel, M. y Lerner, N., Álgebra. Prentice-Hall- Hispanoamericana. 7