PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA VALORIZACIÓN DE OPCIONES REALES MULTIDIMENSIONALES MEDIANTE SIMULACIÓN DE MONTECARLO UTILIZANDO EL ALGORITMO LSM. JORGE LUIS URZÚA VALDÉS Tesis para opar al grado de Magíser en Ciencias de la Ingeniería Profesor Supervisor: GONZALO CORTAZAR S. Saniago de Chile, Mayo, 004.
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA Deparameno de Ingeniería Indusrial y de Sisemas VALORIZACIÓN DE OPCIONES REALES MULTIDIMENSIONALES MEDIANTE SIMULACIÓN DE MONTECARLO UTILIZANDO EL ALGORITMO LSM. JORGE LUIS URZÚA VALDÉS Tesis presenada a la Comisión inegrada por los profesores: AUGUSTO CASTILLO R. GONZALO CORTAZAR S. PETER KNIGHTS. JORGE VERA A. Para complear las exigencias del grado de Magíser en Ciencias de la Ingeniería Saniago de Chile, Mayo, 004.
A mi señora Pascale y A mis padres Taiana y Luis ii
AGRADECIMIENTOS En primer lugar quiero agradecer al profesor Gonzalo Corazar por su consane guía y apoyo en el desarrollo de esa esis. Sus orienaciones han sido el pilar de esa invesigación y de mi formación profesional. Quiero agradecer a mis compañeros de Magíser: Andrea, Eric y Javier por las inolvidables jornadas de rabajo. Un reconocimieno especial es para Lorenzo Naranjo y Miguel Grave, compañeros y grandes invesigadores, con los que hemos comparido enriquecedoras discusiones. Se agradece el apoyo financiero del proyeco FONDEF I10400, FONDECYT y Fundación COPEC-UC. Quiero agradecer a mi familia, por su incondicional cariño y apoyo, a mis padres Taiana y Luis y a mis hermanos Renao, Gabriel y Tomás. Finalmene, quiero agradecer a Pascale y a sus padres Ella y Sergio por su paciencia y comprensión, en odas las horas dedicadas a ese rabajo. iii
INDICE GENERAL Pág. DEDICATORIA... ii AGRADECIMIENTOS...iii INDICE DE TABLAS... ix INDICE DE FIGURAS... xii RESUMEN...xviii ABSTRACT... xix I INTRODUCCIÓN... 1 II OPCIONES REALES Y EVALUACIÓN DE INVERSIONES EN RECURSOS NATURALES... 6.1 Deficiencias del Valor Presene Neo... 7. Tipos de Opciones Reales en la Lieraura... 7.3 Opciones Reales en Recursos Naurales y Valoración Neural al Riesgo... 11 III MÉTODOS DE EVALUACIÓN DE OPCIONES AMERICANAS Y ALGORITMO LSM... 13 3.1 Evolución de meodologías de Valorización de Opciones... 13 3. Descripción del Algorimo LSM en Longsaff y Schwarz (001)... 15 3..1 Valor Esperado de Coninuar... 16 3.. Resolución Backward... 17 3..3 Resolución Forward... 19 3.3 Comparación de algorimos para Opciones Americanas... 0 3.3.1 Árboles Binomiales... 1 3.3. Diferencias Finias... 3 3.3.3 Barraquand - Marineau... 6 3.3.4 Algorimo LSM... 8
IV MODELOS DE PRECIOS DE COMMODITIES Y VALORIZACIÓN DE ACTIVOS CONTINGENTES... 31 4.1 Reorno por Conveniencia de un Commodiy... 33 4. Dinámica Ajusada por Riesgo para Procesos de Precios Commodiies... 34 4.3 Modelos Propuesos en la lieraura para la dinámica del Precio de un Commodiy... 35 4.3.1 Modelo de Brennan y Schwarz (1985)... 35 4.3. Modelo 1 de Schwarz (1997)... 36 4.3.3 Modelo de Gibson y Schwarz (1990)... 36 4.3.4 Modelo 3 de Schwarz (1997)... 37 4.3.5 Modelo de Corazar y Schwarz (003)... 37 4.4 Momenos de las variables de esado para procesos de precios de Commodiies... 38 4.5 Valorización de Conraos Fuuros sobre el precio de un Commodiy... 41 4.6 Valorización de Opciones Europeas sobre el precio Spo de un Commodiy... 4 V ANÁLISIS DE BASES DE REGRESIÓN PARA PROCESOS DE PRECIOS DE COMMODITIES EN ALGORITMO LSM... 44 5.1 Bases de Regresión en algorimo LSM: Especificaciones y Noación... 44 5. Opciones Europeas y Valor Esperado de Coninuar... 48 5.3 Descripción Función Esperanza Condicional... 49 5.4 Ajuse de Funciones de Regresión a Opciones Europeas: Procedimieno... 5 5.5 Resulados Ajuse Funciones de Regresión... 56 5.5.1 Ajuse Funciones de Regresión en Modelo de Brennan y Schwarz (1985)... 57 5.5. Ajuse Funciones de Regresión en Modelo Gibson y Schwarz (1990)... 59 5.5.3 Ajuse Funciones de Regresión en Modelo de Corazar y Schwarz (003)... 64 VI RESOLUCION DE LA OPCION DE INVERSION EN SCHWARTZ (1997) MEDIANTE LSM 70 6.1 Descripción Opción de Inversión en Schwarz (1997)... 70
6. Resolución General de la Opción de Inversión en Schwarz (1997) mediane LSM... 7 6..1 Implemenación del Algorimo: Resolución Backward... 7 6.. Implemenación del Algorimo: Resolución Forward... 75 6.3 Opción de Inversión Perpeua: Evaluación Analíica en Modelo de Brennan y Schwarz (1985) y algorimo LSM... 76 6.4 Opción de Inversión a Plazo Fijo: Evaluación Diferencias Finias Schwarz (1997) y algorimo LSM.... 80 6.4.1 Opción de Inversión Modelo 1 Facor: Schwarz (1997)... 80 6.4. Opción de Inversión Modelo Facores: Gibson y Schwarz (1990)... 83 6.4.3 Opción de Inversión Modelo 3 Facores: Schwarz (1997)... 90 VII VALORIZACIÓN DE LA MINA DE COBRE EN BRENNAN Y SCHWARTZ (1985) PARA UN MODELO MULTIFACTORIAL DE PRECIOS MEDIANTE EL ALGORITMO LSM.... 96 7.1 Mina de Brennan y Schwarz (1985) : Formulación Original... 97 7. Implemenación de la Mina de Brennan y Schwarz (1985) en Procesos Mulifacoriales de Precios mediane el algorimo LSM... 100 7..1 Dimensiones de Esado del Problema... 100 7.. Flujos de caja en ransiciones de esados... 105 7..3 Implemenación del Algorimo LSM: Resolución Backward... 106 7..4 Implemenación del Algorimo LSM: Resolución Forward... 111 7..5 Políica Ópima de Operación y Precios Críicos de Ejercicio... 11 7.3 Implemenación Mina de Brennan y Schwarz (1985) en el modelo mulifacorial de Corazar y Schwarz 003... 116 7.4 Resulados Implemenación Mina de Brennan y Schwarz (1985) en el modelo mulifacorial de Corazar y Schwarz 003... 11 7.4.1 Validación Implemenación de la Mina Brennan y Schwarz (1985) para el modelo de precios en Corazar y Schwarz (003)... 11 7.4. Evaluación Hisórica Mina de Brennan y Schwarz (1985) bajo el modelo de precios Corazar y Schwarz (003).... 14 7.4.3 Sensibilidad en Variables de Esado Mina de Brennan y Schwarz (1985) bajo el modelo de precios Corazar y Schwarz (003)... 18 7.4.4 Variación Valor Mina en función del nivel de Invenario Inicial... 130
7.4.5 Evolución Valores Esperados de la Mina de Brennan y Schwarz (1985) en el modelo mulifacorial de Corazar y Schwarz 003... 131 7.4.6 Políica Ópima de la Mina de Brennan y Schwarz (1985) en el modelo mulifacorial de Corazar y Schwarz (003)... 134 VIII CONCLUSIONES... 141 BIBLIOGRAFÍA... 143 A N E X O S... 150 ANEXO A : DINÁMICA AJUSTADA POR RIESGO Y PORTAFOLIO LIBRE DE RIESGO... 151 A.1 Porafolio Libre de Riesgo en Subyacenes Transables... 151 A. Porafolio Libre de Riesgo en Subyacenes No Transables: Precio de Mercado del Riesgo... 15 A.3 Ecuación Diferencial Parcial para el Equilibrio General de Acivos... 154 ANEXO B : DISTRIBUCIONES PARA PROCESOS DE PRECIOS DE COMMODITIES... 157 B.1 Solución General de la Ecuación Diferencial Esocásica Lineal a Coeficienes Consanes... 157 B. Cálculo de Momenos para Modelos de Precios de Commodiies... 157 B..1 Modelo de Brennan y Schwarz (1985)... 158 B.. Modelo 1 de Schwarz (1997)... 158 B..3 Modelo Gibson y Schwarz (1990)... 159 B..4 Modelo Corazar y Schwarz (003)... 161 B..5 Modelo 3 Schwarz (1997)... 163 ANEXO C : VALORIZACIÓN DE OPCIONES EUROPEAS SOBRE EL PRECIO SPOT DE COMMODITIES... 165 C.1 Resulado General... 165 C. Aplicación a Opciones sobre el spo de Commodiies... 166 ANEXO D : SIMULACIÓN DE MONTECARLO... 167 D.1 Aspecos Técnicos de la Simulación de Monecarlo... 168
ANEXO E: FUNCIONES BASES REGRESIONES... 169 E.1 Bases Polinomiales en la forma de Rodrigues... 169 E. Bases Polinomiales en forma Recursiva... 170 E.3 Gráficos formas Polinomiales... 171
INDICE DE TABLAS Pág. Tabla IV-1: Valor esperado del logarimo del precio spo en modelos de commodiies.... 39 Tabla IV-: Varianza del logarimo del precio spo en modelos de commodiies... 40 Tabla V-1: Parámeros uilizados en el análisis de bases en modelo de Brennan y Schwarz (1985).... 57 Tabla V-: Parámeros uilizados en el análisis de bases en modelo de Gibson y Schwarz (1990).... 59 Tabla V-3: Variables de esado uilizadas en el análisis de bases en modelo de Gibson y Schwarz (1990)... 60 Tabla V-4: Parámeros uilizados en el análisis de bases en modelo de Corazar y Schwarz (003).... 64 Tabla V-5: Variables de esado uilizadas en el análisis de bases en modelo de Corazar y Schwarz (003).... 65 Tabla VI-1: Comparación solución analíica de la opción de inversión en Schwarz (1997) y solución algorimo LSM en el modelo de precios de Brennan y Schwarz (1985), orden máximo 3 en función de regresión poencias conraos fuuros 30.000 simulaciones, 30 años plazo.... 79 Tabla VI-: Error cuadráico medio porcenual en solución opción de inversión Schwarz (1997) por medio del algorimo LSM en el modelo de precios de Brennan y Schwarz (1985) en función del número de simulaciones y orden máximo función de regresión poencias conraos fuuros. Evaluación obenida para 30 años plazo... 80 Tabla VI-3: Parámeros proceso de precio spo cobre modelo 1 Schwarz (1997) para implemenación opción inversión... 81 ix
Tabla VI-4: Evaluaciones opción de inversión Schwarz (1997) por medio del algorimo LSM en el modelo de precios de Brennan y Schwarz (1985) en función del número de simulaciones y orden máximo función de regresión poencias conraos fuuros. Evaluación obenida para 10 años de simulaciones, solución original Schwarz (1997) 1,3 US$... 83 Tabla VI-5: Comparación solución de la opción de inversión en Schwarz (1997) y solución según algorimo LSM para precio spo 0,5 US$/lb en el modelo de Gibson y Schwarz uilizando 10.000 simulaciones en función del reorno por conveniencia y orden máximo función de regresión poencias conraos fuuros... 88 Tabla VI-6: Comparación solución de la opción de inversión en Schwarz (1997) y solución según algorimo LSM para precio spo 0,5 US$/lb en el modelo de Gibson y Schwarz uilizando 0.000 simulaciones en función del reorno por conveniencia y orden máximo función de regresión poencias conraos fuuros... 88 Tabla VI-8: Parámeros modelo 3 Schwarz (1997) uilizados en la valorización de la opción de inversión.... 91 Tabla VI-9: Comparación solución de la opción de inversión en Schwarz (1997) y solución según algorimo LSM para precio spo 0,5 US$/lb y reorno por conveniencia 0,1 en el modelo 3 de Schwarz (1997) uilizando 10.000 simulaciones en función de la asa de inerés y orden máximo función de regresión poencias conraos fuuros... 9 Tabla VII-1: Parámeros operaivos y esrucura ribuaria de la mina del ejemplo propueso en Brennan y Schwarz (1985)... 116 Tabla VII-: Parámeros uilizados en la valorización de la mina de Brennan y Schwarz (1985) bajo el modelo de Corazar y Schwarz (003)... 117 Tabla VII-3: Parámeros écnicos algorimo LSM implemenación mina de Brennan y Schwarz (1985) en modelo de Corazar y Schwarz (003)... 10 x
Tabla VII-4: Parámeros y variables de esado para validación implemenación programa mina Brennan y Schwarz (1985) uilizando el proceso de precios Corazar y Schwarz (003)... 1 Tabla VII-5: Comparación solución mina Brennan Schwarz (1985) uilizando diferencias finias y evaluación con parámeros modificados Corazar y Schwarz (003) a ravés del algorimo LSM.... 13 Tabla VII-6: Variables de esado modelo de Corazar y Schwarz (003) para 14 de Enero de 1999... 16 Tabla B-1: Equivalencia de variables de esado enre el modelo Schwarz (1997) y modelo de Corazar y Schwarz (003)... 163 Tabla B-: Equivalencia de parámeros enre el modelo Schwarz (1997) y modelo de Corazar y Schwarz (003)... 164 Tabla E-1: Funciones base en fórmula de Rodrigues.... 169 Tabla E-: Funciones base en forma recursiva.... 170 xi
INDICE DE FIGURAS Pág. Figura 3-1: Definición del dominio de solución para una opción americana, en el esquema numérico de árbol binomial Cox e al. (1979)... Figura 3-: Definición del dominio de solución para una opción americana en diferencias finias propueso en Brennan y Schwarz (1977)... 4 Figura 3-3: Definición del dominio de solución para una opción americana, en el esquema numérico de Barraquand y Marineau (1995)... 7 Figura 3-4: Definición del dominio de solución para una opción americana, en el esquema numérico de Longsaff y Schwarz (001)... 9 Figura 4-1: Series de precios de conraos fuuros a un mes plazo y dos años plazo, para el periodo 1995-003... 3 Figura 4-: Ejemplos de esrucuras emporales de precios de conraos fuuros de cobre, creciene (conango), decreciene (normal backwardaion) y plana... 33 Figura 5-1: Crecimieno número de funciones de regresión en función del orden máximo de la base y las dimensiones subyacenes de la opción en propuesa original algorimo LSM.... 46 Figura 5-: Funciones de Coninuación en resolución opción americana sobre el precio spo 1 facor esocásico modelo Brennan y Schwarz (1985) mediane diferencias finias implícias. Plazo de la opción al vencimieno 1 año y precio de ejercicio 0,4 dólares. Parámeros proceso de precios r = %, δ = 1% y σ = 4%.... 50 Figura 5-3: Funciones de Coninuación mínimos cuadrados en resolución opción americana sobre el precio modelo Brennan y Schwarz (1985) mediane algorimo LSM. Precio de ejercicio 0,4 dólares. Parámeros proceso de precios r = %, δ = 1% y σ = 4%.... 51 xii
Figura 5-4: Esquema gráfico del procedimieno de ajuse funciones de coninuación en algorimo LSM a opciones europeas.... 54 Figura 5-5: Esquema cálculo ajuse función de ransición a opciones europeas.... 55 Figura 5-6: Comparación error de ajuse función de coninuación en modelo de 1 facor Brennan y Schwarz (1985) en función del orden máximo de la base para las funciones poencias ( Pn ( x ) ), Legendre ( Len ( x ) ), Laguerre ( Lan ( x ) ), Hermie ( Hn( x ) ), Chebyshev ( Cn ( x ) ) y conraos fuuros ( Fn ( x, ) ).... 58 Figura 5-7: Comparación error de ajuse función de coninuación en modelo de facores Gibson y Schwarz (1990) en función del orden máximo de la base para las funciones poencias, Legendre, Laguerre, Hermie, Chebyshev. El incluir producos cruzados se indica por la lera c... 61 Figura 5-8: Comparación error de ajuse función de coninuación en modelo de facores Gibson y Schwarz (1990) en función del orden máximo de la base para polinomios de Chebyshev con producos cruzados y poencias de conraos fuuros eóricos... 6 Figura 5-9: Comparación error de ajuse función de coninuación en modelo de facores Gibson y Schwarz (1990) en función del número de regresores presenes en la base para las funciones Chebyshev (con producos cruzados) y poencias de conraos fuuros... 63 Figura 5-10: Comparación error de ajuse función de coninuación en modelo de 3 facores Corazar y Schwarz (003) en función del orden máximo de la base para las funciones poencias, Legendre, Laguerre, Hermie, Chebyshev. El incluir producos cruzados se indica por la lera c... 67 Figura 5-11: Comparación error de ajuse función de coninuación en modelo de 3 facores Corazar y Schwarz (003) en función del orden máximo de la base para los polinomios de Chebyshev con producos cruzados y poencias de conraos fuuros evaluados en cada rayecoria.... 68 Figura 5-1: Comparación error de ajuse función de coninuación en modelo de 3 facores Corazar y Schwarz (003) en función del número de regresores xiii
presenes en la base para las funciones Chebyshev (con producos cruzados) y poencias de conraos fuuros... 68 Figura 6-1: Valor de la opción de inversión en Schwarz (1997) y valor presene sin opción de posergación, considerando un iempo de concesión infinio y el modelo del precio spo de Brennan y Schwarz (1985).... 77 Figura 6-: Comparación solución analíica de la opción de inversión en Schwarz (1997) y solución algorimo LSM en el modelo de precios de Brennan y Schwarz (1985), orden máximo 3 en función de regresión poencias conraos fuuros 30.000 simulaciones, 30 años plazo.... 78 Figura 6-3: Valor Opción de inversión algorimo LSM y valor presene neo sin opción de posergar inversión en el Modelo 1 de Schwarz (1997). Solución con un plazo de concesión de 10 años, 0.000 simulaciones y las res primeras poencias de conraos fuuros... 8 Figura 6-4: Valor Opción de inversión algorimo LSM y valor presene neo sin opción de posergar en el Modelo de Gibson y Schwarz (1990).... 84 Figura 6-5: Fronera críica Opción de inversión algorimo LSM Modelo de Gibson y Schwarz (1990)... 85 Figura 6-6: Curvas de nivel para δ consane en valor opción de inversión algorimo LSM y valor presene neo sin opción de posergación: Modelo de Gibson y Schwarz.... 86 Figura 6-7: Curvas de nivel para precio spo consane en valor opción de inversión algorimo LSM y valor presene neo sin opción de posergación: Modelo de Gibson y Schwarz... 87 Figura 6-8: Curvas de nivel para reorno por conveniencia y la asa de inerés consane en valor opción de inversión algorimo LSM y valor presene neo sin posergación: Modelo 3 Schwarz (1997).... 94 xiv
Figura 6-9: Curvas de nivel para precio spo y asa de inerés consane en valor opción de inversión algorimo LSM y valor presene neo sin posergación: Modelo 3 Schwarz (1997).... 95 Figura 7-: Posibles esados de reservas a ravés de las oporunidades de ejercicio para mina de Brennan y Schwarz (1985).... 10 Figura 7-3: Posibles esados operacionales a ravés de las oporunidades de ejercicio para mina de Brennan y Schwarz (1985).... 10 Figura 7-4: Trayecorias del proceso de precios mulifacorial a ravés de las oporunidades de ejercicio.... 103 Figura 7-6: Ilusración funciones del valor mina abiera o cerrada precios críicos de ejercicio mina de Brennan y Schwarz (1985)... 113 Figura 7-7: Evolución de variable de esado precio spo, en modelo de Corazar y Schwarz (003).... 118 Figura 7-8: Evolución de variable de esado, desviación de coro plazo (y) en modelo de Corazar y Schwarz (003)... 118 Figura 7-9: Evolución de variable de esado, reorno de largo plazo (v) en modelo de Corazar y Schwarz (003)... 119 Figura 7-10: Evolución hisórica mina de Brennan y Schwarz (1985) bajo el modelo de Corazar y Schwarz (003) considerando 30 años de operaciones y 10.000 simulaciones... 14 Figura 7-11: Evolución hisórica valor opción y precio spo en decimales de dólar mina de Brennan y Schwarz (1985) bajo el modelo de Corazar y Schwarz (003) considerando 30 años de operaciones y 10.000 simulaciones... 15 Figura 7-13: Evaluación mina y valor presene en proceso Corazar y Schwarz (003). Considerando υ = 0,1, y = 0,01... 18 xv
Figura 7-14: Evaluación mina y valor presene en proceso Corazar y Schwarz (003), con respeco a las al reorno de coro plazo υ. Considerando S = 0, 4, υ = 0,3.... 19 La úlima variable que queda por analizar es el reorno de largo plazo υ. En el siguiene gráfico es posible apreciar la variación del valor de la mina y el valor presene neo, con respeco al reorno de largo plazo. Se dejaron fijos los valores del precio spo ( S = 0,4 ) y la desviación de coro plazo ( y = 0,6 ):... 19 Figura 7-15: Evaluación mina y valor presene en proceso Corazar y Schwarz (003), con respeco a al reorno de largo plazo υ considerando S = 0, 4, y = 0,6.... 130 Figura 7-16: Valor Opción mina Brennan y Schawarz (1985) porcenual al valor sin opciones versus invenario inicial... 131 Figura 7-17: Evolución del valor esperado de una mina abiera, que cuena con 150 y 75 MM de oneladas de reservas, en las variables de esado son S = 0,9 US$/lb., y = 0, υ = 0... 13 Figura 7-18: Evolución del valor esperado de una mina abiera para un invenario de 150 MM de oneladas. Para precios spo de S = 0,5 y S = 0,9 US$/lb. Considerando υ = 0, y = 0.... 13 Figura 7-19: Evolución del valor esperado de una mina abiera para un invenario de 150 MM de oneladas. Reorno de largo plazo en los niveles deυ = 0,15 o υ = 0,5, considerando un precio spo S = 0,9 US$/lb., y = 0... 133 Figura 7-0: Evolución del valor esperado de una mina abiera para un invenario de 150 MM de oneladas. Desviaciones de coro plazo en los niveles de y = 0,5 o y = 0,5, considerando un precio spo S = 0,9 US$/lb., υ = 0... 133 Figura 7-1: Políica ópima problema original mina Brennan y Schwarz (1985), resuelo mediane diferencias finias.... 135 xvi
Figura 7-: Precios de abandono en función de la reservas para disinos valores de la desviación de coro plazo en los niveles de y = 0,15 y = 0,15, y = 0,5, considerando υ = 0.... 136 Figura 7-3: Precios de cierre en función de la reservas para disinos valores de la desviación de coro plazo en los niveles de y = 0,15 y = 0,15, y = 0,5, considerando υ = 0... 136 Figura 7-4: Precios de aperura en función de la reservas para disinos valores de la desviación de coro plazo en los niveles de y = 0,15 y = 0,15, y = 0,5, considerando υ = 0... 137 Figura 7-5: Precios de abandono en función de la reservas para disinos valores del reorno de largo plazo en los niveles de υ = 0,3, υ = 0, υ = 0,3. Considerando desviación de coro plazo y = 0.... 138 Figura 7-6: Precios de cierre en función de la reservas para disinos valores del reorno de largo plazo en los niveles deυ = 0,3, υ = 0, υ = 0,3, considerando desviación de coro plazo y = 0.... 138 Figura 7-7: Precios de aperura en función de la reservas para disinos valores del reorno de largo plazo en los niveles de υ = 0,3, υ = 0, υ = 0,3, considerando desviación de coro plazo y = 0.... 139 Figura E-1: Polinomios Hermie.... 171 Figura E-: Polinomios Chebyshev.... 17 xvii
RESUMEN En la presene esis se analiza la aplicación del algorimo LSM para la evaluación de opciones reales de ipo americano mulidimensionales, que surgen al considerar proyecos con opciones inerrelacionadas y modelos de precios con especificaciones mulifacoriales. Para validar las implemenaciones propuesas se esudia el comporamieno del algorimo en dos problemas con solución conocida. El primer problema abordado es el ajuse de las funciones de regresión del algorimo LSM a las expresiones analíicas de valorización de opciones europeas del precio spo de un commodiy. Uilizando la relación enre el valor esperado de coninuar y el valor analíico de una opción europea se logra medir el ajuse de disinas funciones de regresión en el algorimo LSM. La segunda validación para una implemenación general del algorimo LSM para opciones mulidimensionales se realiza comparando las soluciones de diferencias finias de la opción de inversión descria por Schwarz (1997) con las evaluaciones a ravés del algorimo LSM. En base a las dos validaciones presenadas se exiende el rabajo realizado por Grave (003) resolviendo la evaluación de la mina de cobre de Brennan y Schwarz (1985) en un modelo mulifacorial de precios. Esa evaluación incorpora las opciones de aperura, cierre y abandono de las operaciones. La implemenación es ilusrada uilizando el modelo de precios descrio en Corazar y Schwarz (003), que explica la dinámica del precio spo del cobre, mediane un proceso de res facores esocásicos. Ese problema no ha sido resuelo mediane algorimos radicionales para opciones americanas por su ala complejidad. Los resulados presenados en esa invesigación apoyan la uilización del algorimo LSM para la valorización y obención de la políica ópima de ejercicio de opciones complejas mulidimensionales de manera general y flexible. xviii
ABSTRACT In his hesis we sudy he general applicaion of he Leas Squares Monecarlo Mehod in Longsaff and Schwarz (001) for he evaluaion of american syle Real Opions in a muli-dimensional seing, ha are presen in proyecs wih ineracing opions and mulifacor sochasic price models. We presen wo validaion sudies of he behavior of he algorihm in problems wih known resuls. In firs place, we analize he valuaion of european opions wih analyical expressions esing he condiional expecaion funcion hrough he LSM algorihm. In he second sudy we compare he valuaion using LSM algorihm of he invesmen opion presened in Schwarz (1997) wih finie differences mehods. Given he resuls in he validaion sudies we show a general implemenaion of he LSM algorihm in he evaluaion of he cooper mine in Brennan and Schwarz (1985) under a mulifacor spo price cooper model. This mine includes he opions o open, close or abandon he operaions in any dae. The problem is illusraed using he hree facor model in Corazar and Schwarz (003) where we simulaneously obain he value and opimal operaion policy of he mine. Tradiional mehods of evaluaion i.e. finie differences are unlikely o resolve his kind of problems because of he fas grow in complexiy. The resuls presened in his hesis suppor he use of he LSM algorihm in Real Opions problems in mulifacor seing wih american syle exercise feaures, in a general and flexible way. xix
1 I INTRODUCCIÓN La ala volailidad presene en los mercados financieros y en especial en el de recursos naurales, ha forzado un enorme desarrollo de herramienas que la modelen. El coninuo flujo de información desde y hacia los mercados financieros, desaa perurbaciones incieras en los niveles y esrucuras de los precios de commodiies, monedas y bonos. El comporamieno aleaorio o esocásico de esas variables ha moivado fecundas áreas de invesigación a parir del rabajo fundacional de Black y Scholes (1973). En paricular, el esudio del comporamieno esocásico de precios de commodiies, como cobre y peróleo, iene una gran relevancia debido al impaco de esos precios en la economía mundial. La evidencia presenada en la lieraura muesra que las suposiciones iniciales del comporamieno de los precios de commodiies no son adecuadas. Por ejemplo, Tourinho (1979), Pindyck (1980), Brennan y Schwarz (1985) asumen que el precio spo del commodiy sigue un proceso browniano geomérico (un facor esocásico). Sin embargo, como indica Schwarz (1997), ese supueso no incorpora la reversión a la media de largo plazo que exhiben los precios de cieros commodiies. Lo anerior se debe a que al elevarse los precios de un commodiy -como el cobre- se generará una mayor ofera, al ingresar yacimienos con mayores cosos de producción. Juno al aumeno en la ofera se encuenra un efeco de susiución del commodiy, los que en conjuno generan una fuerza a la baja en los precios. Los efecos conrarios se generan al disminuir los niveles de precios. Como indican Gibson y Schwarz (1990) y Brennan (1991) al modelar los precios de commodiies a ravés de procesos con reversión mulifacoriales, se obienen valorizaciones más precisas de conraos fuuros y propiedades dinámicas que represenan de mejor forma sus volailidades. La evidencia del comporamieno mulifacorial de los precios del cobre esá indicada en Corazar y Schwarz (1994), que al realizar un esudio de componenes principales para el cobre, demuesran que la varianza de los precios es explicada por 3 facores esocásicos orogonales. Recienes invesigaciones en modelos mulifacoriales para el caso del peróleo como Corazar y Schwarz (003) y Corazar y Naranjo (003), enregan excelenes resulados de calibración en modelos de res y cuaro facores esocásicos respecivamene, logrando ajusar correcamene la esrucura emporal de precios de
conraos fuuros de peróleo y las volailidades hisóricas. Oros rabajos que modelan los precios de commodiies mediane procesos mulifacoriales son Sørensen (00) y Casassus y Collin-Dufresne (001). Los modelos esocásicos de precios ienen profundas implicancias para la valorización de acivos coningenes. La eoría de derivados esablece, de manera precisa, las herramienas de análisis necesarias para la evaluación de proyecos e insrumenos financieros que dependen de precios de commodiies y oras variables esocásicas. En un sobresaliene rabajo Brennan y Schwarz (1985) esablecen los fundamenos para la aplicación de la eoría de derivados a la evaluación de proyecos, más conocida como eoría de Opciones Reales. Las opciones reales reconocen la semejanza enre los flujos de caja de las opciones financieras y los proyecos de inversión con flexibilidades. El análisis de opciones reales esá esrechamene relacionado a los avances de la eoría de opciones. Sin embargo, los niveles de complejidad que pueden alcanzar los problemas de opciones reales son, en general, superiores a los de opciones financieras. Por ejemplo, una mina de cobre puede ser analizada como una secuencia de opciones sobre opciones u opciones compuesas, en donde exisen eapas de exploración de las reservas, eapas de inversión, exploación y abandono de las faenas como se expone en Corazar e al. (001). Un problema de opciones reales puede conener variadas fuenes de inceridumbre o variables esocásicas como cosos, precios y asas de inerés. Al mismo iempo, puede evaluarse en múliples dimensiones: niveles de invenario, fases de desarrollo y además, ener la flexibilidad de ejercer las opciones en cualquier insane del iempo, lo que implica, un derecho de ejercicio de las opciones de ipo americano. Los méodos de evaluación de opciones reales esán direcamene relacionados con los disponibles para opciones financieras. La evolución de los méodos de resolución pare con soluciones analíicas como aquellas propuesas en Black y Scholes (1973) y en Meron (1976). Los méodos de diferencias finias son inroducidos por Brennan y Schwarz (1977) para problemas de dimensión emporal y una dimensión espacial. Un enfoque simplificado para la evaluación de opciones fue desarrollado por Cox e al. (1979) a ravés de los árboles binomiales. A pesar de la capacidad de los méodos aneriores para valorizar acivos de ipo americano en una dimensión, la lieraura enfaiza en el explosivo aumeno de la complejidad de resolución al agregar dimensiones al problema, lo que se denomina maldición de la dimensionalidad. Una alernaiva poderosa para problemas
3 mulidimensionales, son los méodos de simulación de monecarlo inroducidos por Boyle (1977). Se ha esablecido que los problemas de opciones reales surgen de la necesidad de evaluar proyecos con flexibilidades someidos a inceridumbre, por ejemplo en los precios de commodiies o asas de inerés. Esas variables han sido correcamene modeladas a ravés de procesos mulifacoriales los que resringen la aplicación de los méodos radicionales de evaluación de opciones, como las diferencias finias, al crecer la complejidad de su implemenación. Por ejemplo, para evaluar la mina de cobre de Brennan y Schwarz (1985), considerando un modelo del precio spo del cobre con res facores esocásicos es necesario implemenar la solución de un sisema de dos ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden en cinco dimensiones, con condiciones de borde de ipo fronera libre 1. El problema anerior impone fueres limianes prácicas a una resolución radicional (diferencias finias o árboles binomiales) debido a la compleja implemenación y elevado esfuerzo compuacional, lo que ha moivado la búsqueda de algorimos alernaivos para enfrenar ese ipo de evaluaciones. La simulación de monecarlo para la resolución de opciones americanas en múliples dimensiones, se ha desarrollado con los rabajos de Barraquand y Marineau (1995), Raymar y Zwecher (1997) y Broadie y Glasserman (1997c). Esos han sido empleados en la evaluación de opciones reales en los rabajos de Acosa (1999), Osorio (1999), Corazar y Schwarz (1998), Casillo (1999) y Corazar (001), sin embargo, su implemenación presena desvenajas en la obención de cieros indicadores como la políica ópima de ejercicio y su iempo de ejecución puede ser exenso en algunos problemas de opciones reales. Un nuevo algorimo denominado Leas Squares Monecarlo (LSM) para la resolución de opciones americanas mulidimensionales, propueso en Longsaff y Schwarz (001), ha generado un elevado inerés en la lieraura. El algorimo uiliza la información 1 La condición de fronera libre surge de las caracerísicas de ejercicio americano de las opciones reales consideradas. Algunos arículos que analizan o implemenan el algorimo LSM son Moreno y Navas (003), Hsu y Schwarz (003), Senof (001), Clemen e al. (00) y Longsaff e al. (001)