MATEMÁTICAS I º Bachillerato Capítulo 7: Límites y continuidad file:///c:/users/cuenta~/appdata/local/temp/b006%0limitesycontinuida D%0Adela.
00 Índice. CONCEPTO DE LÍMITE.. DEFINICIÓN.. LÍMITES LATERALES.. TIPOS DE LÍMITES.4. ASÍNTOTAS. CÁLCULO DE LÍMITES.. OPERACIONES CON Y 0.. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES.. PROCESO DE CÁLCULO DE LÍMITES.4. INDETERMINACIONES. CONTINUIDAD DE FUNCIONES.. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS.. TIPOS DE DISCONTINUIDAD Resumen El concepto de ite es necesario para comprender todo el Análisis. En él se van a basar los conceptos que vamos a estudiar a continuación como continuidad y derivada de una función o como el concepto de integral. Nos ayudará a mejorar el estudio de la gráfica de una función determinando sus asíntotas y sus ramas infinitas. Ya sabes que la recta real puede ampliarse añadiendo el y el +. Estudiaremos el comportamiento de las funciones cuando tiende a + y cuando tiende a, es decir, cuando la variable independiente toma valores muy grandes, o muy pequeños (muy grandes en valor absoluto), y estudiaremos aquellos casos en los que la variable dependiente tiende a infinito. Con el concepto de infinito debemos tener cuidado pues propiedades que siempre se verificaban, ahora dejarán de cumplirse. Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
0. CONCEPTO DE LÍMITE Qué es un ite? Límite: lo podemos definir como aquel lugar al que, si no llegamos, seremos capaces de acercarnos todo lo que queramos. En sentido matemático, el ite de una función en un punto, tiene sentido de lugar hacia el que se dirige el valor de la función f() cuando la variable independiente () se aproima a un valor determinado. Si tomamos la función del gráfico adjunto, cuando () se aproima al valor 4, el valor de la función (f()) se aproima al valor. Además, en este caso, no solo podremos acercarnos todo cuanto queramos, sino que llegamos a ese valor, puesto que el valor de la función para = 4 es f() =. Ampliando la gráfica de la función, en el entorno del punto (4, ), hemos dibujado los valores de f() en el entorno de = 4 y, como primera observación, vemos que nos podemos acercar al valor de = 4 desde valores mayores a 4 (rojo) o menores a él (verde). En el primer caso diremos que nos aproimamos al valor de = 4 por la derecha y, en el segundo caso, por la izquierda. En ambos casos, podemos ver que el valor de f() se aproima a, tanto como queramos, por la derecha desde valores menores a (rojo), pero también lo podremos hacer, desde la izquierda, desde valores mayores a (verde). Por lo tanto, podemos intuir que, el ite de la función f() es, cuando el valor de la variable independiente se acerca a 4 y se epresa de la siguiente forma: Actividades resueltas Estima el valor de ) ( f ( ) 4 Damos valores a la variable para valores próimos al punto =. 5 05 04 0 0 0 00 000 f() 6 5 4 05 66 09 0804 040 00400 0004000 5 7 9 95 97 98 99 999 9999 f() 0 75 0 0 6 0 8095 0 8809 0 904 0 960 0 99600 0 9996000 Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
0 Observa cómo, al aproimarnos los valores de la variable a, siendo mayor que :, 5,, los valores de la función se aproiman a : 6, 5,,4, 05, 040, 00400, 0004000 siendo siempre mayores que, mientras que al aproimarnos a, siendo menores que :, 5, 99, 999, 9999 los valores de la función también se aproiman a, tanto como queramos, siendo ahora menores que :, 0,, 0 6,, 0 99600, 0 9996000. Pretendemos escribir con rigor matemático la idea de aproimarse y estar cerca, tanto como queramos... Definición Se define, matemáticamente, el ite de una función, según la epresión: Dada una función f(): X, X un intervalo de, y un punto = a, se dice que el ite de f(), cuando se aproima a a es L, y se epresa: Cuando: f ( ) L a Para todo > 0, eiste un > 0 tal que, siempre que 0 < a <, X, se cumple f() L<. Del gráfico anterior, se desprende que, cualquier punto que pertenezca al intervalo (a, a + ), salvo quizás el propio punto a (por ese motivo aparece en la definición es signo <, 0 < a, para eliminar del entorno al punto a), su imagen siempre estará contenida en el intervalo (L, L + ). Y como lo podemos hacer para cualquier, entonces, podremos afirmar que L es el ite de f(), cuando se aproima a a. Actividades resueltas Utiliza la definición de ite para comprobar que ( ) 4 La definición dice: para todo, por lo que elegimos un cualquiera, e imponemos: f() L< ( ) 4 < 4 = ( )( +) < < <. Basta tomar 0 < < para que se verifique si 0 < < entonces ( ) 4 <. Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
0 Actividades propuestas. Utiliza la definición de ite para probar que. Propiedades Si eiste f (), es único. a Si hubiera dos ites distintos bastaría tomar como un tercio de la distancia entre ambos ites para llegar a contradicción. Como vimos antes, podemos acercarnos a a por la derecha o por la izquierda y, de ahí, obtenemos los ites laterales... Límites laterales Límite lateral por la derecha El ite lateral, por la derecha de un punto, de la función f(), se epresa como: f ( ) L a y se define como el valor de f() cuando tiende a a, siempre que se cumpla la condición > a. Es decir, para todo > 0, eiste un > 0 tal que, siempre que 0 < a <, X, se cumple f() L <. Límite lateral por la izquierda. El ite lateral, por la izquierda de un punto, de la función f(), se epresa como: f ( ) L a y se define como el valor de f() cuando tiende a a, siempre que se cumpla la condición < a. Es decir, para todo > 0, eiste un > 0 tal que, siempre que 0 < a <, X, se cumple f() L <. Actividades resueltas Estima el valor del ite a la derecha y el valor del ite a la izquierda de = en la función: f ( ) si si Damos valores a la variable para valores próimos al punto =. Para estimar el ite a la derecha nos aproimamos a, tanto como queramos, con valores mayores que, utilizando la rama de la función definida para valores mayores que, es decir: : 5 05 04 0 0 0 00 000 f() 4 5 5 09 06 0 00 000 Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
04 Observa cómo al aproimarnos a, siendo mayor que :, 5,, 00, 000, los valores de la función se aproiman a, el valor del ite lateral por la derecha: 4, 5,, 00, 000. Para estimar el ite a la izquierda nos aproimamos a, tanto como queramos, con valores menores que, utilizando la rama de la función definida para valores menores que, es decir: : 0 0 5 0 7 0 9 0 95 0 97 0 98 0 99 0 999 0 9999 f() 0 0 5 0 4 0 79 0 85775 0 967 0 949 0 97099 0 99700 0 9997000 Observa cómo al aproimarnos a, siendo menor que : 0, 0 5,, 0 999, 0 9999, los valores de la función se aproiman a, el valor del ite lateral por la izquierda: 0, 0 5,, 0 99700, 0 9997000. En este caso ambos ites laterales coinciden. Observa la gráfica de la función: Eistencia de Límite Para que una función f() tenga ite en un punto = a, es necesario y suficiente que eistan los ites laterales y coincidan, es decir: Dada una función f() y un punto = a, se dice que el ite de f(), cuando se aproima a a es L si se verifica que: ) Eisten f () y f () a a ) Son iguales: f () a Entonces decimos que: f ( ) L. a f () a = f () a f ( ) L. a Actividades propuestas. Calcula los ites laterales y determina si eiste el ite en las funciones siguientes definidas a trozos, en los puntos en los que se unen dos ramas: a) b) c) si f ( ) si si f ( ) 5 5 si 7 si f ( ) 4 si Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
05 Límites infinitos La definición es la misma que en el caso finito, sustituyendo el entorno del punto = a por un entorno del infinito. Dada una función f(): X, X = [a, +), se dice que el ite de f(), cuando tiende a + es L, y se epresa: f ( ) L, cuando para todo > 0, eiste un k > 0 tal que, siempre que > k, X, se cumple f() L <.. De forma análoga podemos definir cuando el punto se aproima a. Caso general: f ( ) L > 0, k > 0 tal que, si > k, X, se cumple f() L <. En ocasiones, para un determinado valor de la variable independiente, = a, el valor de la función crece tanto como se quiera en valor absoluto: f () k > 0, > 0 tal que, siempre que 0 < a <, X, se cumple f()> k. a Observa que no nos estamos fijando en el signo de infinito. Dada una función f(): X, X un intervalo de, y un punto = a, se dice que el ite de f(), cuando se aproima a +, y se epresa: f () a Cuando para todo k > 0, eiste un > 0 tal que, siempre que 0 < a <, X, se cumple f() > k. De forma análoga podemos definir cuando la función tiende a. Y también cuando el punto se aproima a + y la función tiende a +, cuando a Actividades resueltas Observa la gráfica de la función y estima el valor del ite a la derecha de = 0 y el ite cuando tiende a +. El ite a la derecha de = 0 es +, f ( ), y el ite 0 cuando tiende a + observamos que es 0, que f ( ) 0 Los tipos de ites que nos podremos encontrar dependerán de los valores que tomen, tanto la variable independiente (), como la función. Así, tendremos: Actividades propuestas. Escribe la definición de f (). 4. Utiliza la definición de ite infinito para probar que 0. 5. Utiliza la definición de ite infinito para probar que 0 Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
06.. Tipos de ites Los tipos de ites que nos podremos encontrar dependerán de los valores que tomen, tanto la variable independiente (), como la función. Así, tendremos: Finito - Valor del Límite Infinito Finito - Valor al que tiende la variable independiente Infinito Haciendo las combinaciones de ambos elementos, tendremos cuatro posibilidades: VALOR DEL LÍMITE Actividades resueltas FINITO INFINITO Veamos algunos ejemplos de tipos de ites. Límite finito en punto finito VALOR VARIABLE INDEPENDIENTE FINITO INFINITO f ( ) L f ( ) L a f () a En este caso el valor del ite es finito cuando la variable independiente tiende a un valor finito. En la función: f ( ) cuando el ite de la función es : Límite finito en punto infinito En la función anterior, f ( ) cuando, el ite es 0: 0 Limite infinito en punto finito En la misma función de la gráfica, f () f ( ), cuando 0, el ite tomará el valor : 0 Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
07 Límite infinito en punto infinito. En el caso de valor de ite infinito cuando la variable independiente tiende a infinito, deberemos tomar otra función cualquiera que sea siempre creciente a partir de un valor. Sea la función, f ( ). El ite de la función, cuando tiende a, toma el valor : Actividades propuestas. 6. Clasifica los siguientes ites en finitos o infinitos, y calcúlalos: a) b) c) d) 7. Calcula los siguientes ites, indicando el signo: a) b) c) d) e) 8. Calcula los siguientes ites, indicando el signo: a) b) c) d) 5 5 5 5 Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
08.4. Asíntotas Las asíntotas de una función (caso de eistir) son rectas del plano a las que la función se aproima tanto como queramos. Puesto que, las asíntotas, son rectas del plano, podrán ser horizontales, verticales y oblicuas. Asíntotas horizontales Para que, una recta horizontal, sea asíntota de una función se debe cumplir la siguiente condición: f ( ) K o f ( ) K Entonces decimos que y = K es una asíntota horizontal de y = f(). Asíntotas verticales Para que, una recta vertical, pueda ser asíntota de una función, se debe cumplir: f () a o f () a Entonces decimos que = a es una asíntota de y = f(). La recta = a es vertical. Las posibles asíntotas verticales de una función, estarán en los puntos de la función que no pertenezcan a su dominio y se debe cumplir que el ite de la función, cuando el valor de tiende a ese punto, se hace muy grande en valor absoluto, es decir, tome el valor Asíntotas oblicuas Para que una recta oblicua (y = m + n) pueda ser asíntota de una función, deben eistir, y ser finitos, los ites siguientes: Ramas parabólicas f ( ) m y n ( f ( ) m) Pero en muchas ocasiones no hay ni asíntotas horizontales ni asíntotas oblicuas. Ya conoces bien, por ejemplos, la parábola y =, que cuando tiende a +, o a la función crece sin aproimarse a ninguna recta. Por simplificación, se dice en todos estos casos que hay una rama parabólica.. Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
09 Actividades resueltas La función: f ( ) tiene una asíntota horizontal, y = 0 y una asíntota vertical = 0. Ya lo hemos visto en actividades anteriores. ( 4) ( ) Determina la asíntota oblicua, si eiste, de la función: f ( ). ( ) f ( ) ( 4) ( ) Calculamos el ite m Por tanto eiste una asíntota oblicua de ( ) pendiente m =. Calculamos la ordenada en el origen con el ite: ( 4) ( ) ( 4) ( ) ( ) n ( f ( ) m) ( ) ( ) ( 4 ) ( ( ) ) Por tanto la recta y = + es una asíntota oblicua de la función. La funciones: f ( ), f ( ) ( ), f ( ), f ( ), tienen ramas parabólicas en su comportamiento en el infinito. Observa que y, luego f ( ) tiene una rama parabólica. 4 4 ( ) y ( ), luego f ( ) ( ) tiene una rama parabólica. 4 y 4, luego 4 f ( ) tiene una rama parabólica. 4 y 4, luego 4 f ( ) tiene una rama parabólica. ( 4) Asíntotas de la función: f ( ). ( ) ( 4) La función f ( ) tiene una asíntota vertical en =, pues para = la función no está ( ) definida, no pertenece a su dominio de definición, y el ite a la derecha y la izquierda, tiende a infinito. Al analizar el comportamiento de la función cuando la variable independiente tiende a infinito, tanto a +, como a, la función se acerca a, tiene una asíntota horizontal, y = 0. Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
0 Actividades propuestas 9. Determina las asíntotas verticales de las funciones siguientes: ( 4) ( ) a) f ( ) ( ) ( ) b) c) f ( ) f ( ) ( 4) ( ) ( ) ( 4) ( ) ( 4) ( 4) f ( ) d) ( ) ( ) ( 5) ( ) 0. Determina la asíntota horizontal de cada una de las funciones siguientes: ( 4) ( ) ( 4) a) f ( ) b) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( 4) f ( ) d) ( ) ( 4) f ( ) ( 4) ( ) ( ) ( 5) ( ). Determina la asíntota oblicua, si eiste, de cada una de las funciones siguientes: a) ( 4) ( ) f ( ) b) ( ) f ( ) ( 4) ( ) ( ) c) 4 f ( ) d) ( ) f ( ) ( 4) ( ). Analiza el comportamiento en el infinito de cada una de las funciones siguientes: a) f ( ) ( 4) b) f ( ) c) f ( ) 4 d) ( ) f ( ) 5 4 Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
. CÁLCULO DE LÍMITES Habrás observamos que calcular ites utilizando la definición puede ser muy complicado. Por eso nos interesa obtener propiedades y encontrar procedimientos que nos permitan calcularlos con mayor soltura... Propiedades de los ites Para estudiar las operaciones con los ites vamos a suponer que f y g son dos funciones definidas sobre un mismo intervalo X y con valores en. Cuando indicamos f ( ) L pueden ser a y L tanto números reales como. Respecto de la suma de funciones: El ite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los ites de las funciones (siempre que la operación entre los ites esté definida y dichos ites eistan), y se epresa así: a ( f ( ) g ( )) f ( ) g ( ) a Análogo es para la resta de funciones. Respecto del producto de funciones: El ite del producto de dos funciones, es igual al producto de los ites de las funciones (siempre que dichos ites eistan y la operación entre los ites esté definida), y se epresa así: a a ( f ( ) g ( )) f ( ) g ( ) a a Un caso particular se presenta cuando una de las funciones es una constante, en ese caso, la epresión queda: a ( K f ( )) K f ( ) a Respecto del cociente de funciones: El ite del cociente de dos funciones, es igual al cociente de los ites de las funciones, siempre que los ites eistan, la operación entre los ites esté definida y que g ( ) M 0, y se epresa así: Respecto de la potencia de funciones: a a f ( ) f ( ) a ( ) si g ( ) M 0 a g ( ) g ( ) a a El ite de una potencia de funciones, es igual, en general, a la potencia de los ites de las funciones, y se epresa así: ( f ( ) a g( ) ) f ( ) a g( ) Analizaremos casos particulares en el cálculo de ites, como cuando el ite de la base sea, y el eponente tienda a infinito. Un caso particular se presenta cuando una de las funciones es constante, en ese caso, la epresión es: a Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
a K ( f ( ) ) ( f ( )) a K Respecto de la composición de funciones: El ite de la composición de funciones, es igual a la composición de los ites de las funciones, siempre que g sea continua en f(), y se epresa así: ( g ( f ( ))) g ( f ( )) a si g es continua en f(). a.. Operaciones con y 0 Para poder calcular ites, debemos conocer previamente ciertas operaciones con y 0, y ciertas propiedades que tienen los ites respecto de algunas operaciones matemáticas como son la sumaresta, multiplicación división, potencias, composición, etc. Si sumamos, restamos, multiplicamos dos números reales, no tenemos ningún problema para saber el resultado, pero y si es el? Observa la tabla siguiente y comprueba que en ocasiones sí sabemos el resultado, pero en otras, decimos indeterminado pues no lo sabemos de forma inmediata, debemos trabajar más para saberlo. SUMA PRODUCTO COCIENTE 0 K = K = 0 K + = = K 0 = Indeterminado 0 = Indeterminado 0 0 Indeterminado 0 K 0 K 0 0 Indeterminado POTENCIAS K 0 = 0 K 0 si K 0 si K 0 0 0 = Indeterminado 0 = 0 = 0 si 0 K K 0 = Indeterminado si K = Indeterminado Nota: Indeterminado no significa que no pueda eistir el ite, sino que será necesario realizar algunas operaciones previas para poder determinar si eiste, y su valor. Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
.. Proceso de cálculo de ites El proceso de cálculo de un ite consiste en sustituir la variable por el valor al que tiende y operar, obteniendo el resultado del ite que podrá ser un valor finito, infinito o indeterminado. Actividades resueltas Calcula los ites siguientes: Así, por ejemplo, podemos calcular los siguientes ites simplemente sustituyendo: 4 5 (4) 5(4) 60 (4) 7 (7) 7 El ite de 0 pues según vimos en las operaciones con, al dividir un número por algo que tendía a se obtenía 0. Como infinito no es un número real, cuando el ite tiende a infinito, decimos que no eiste. Los ites laterales de una función sólo eisten cuando el valor hacia el que tiende la variable independiente sea siempre un valor finito, ya que si fuera +, no pueden eistir valores a la derecha y si fuera no pueden eistir valores a la izquierda. Por lo tanto, los ites laterales se podrán calcular cuando el valor de la variable independiente sea finito. Para calcular los ites laterales procederemos a realizar un cambio de variable, de tal modo que, siempre nos movamos en valores al lado que queramos calcular. Así, si queremos estar a la derecha del valor al que tiende la variable independiente, le sumaremos siempre una cantidad que cada vez es más pequeña (que tiende a cero), con lo que nos aproimaremos al valor deseado. Por ejemplo, supongamos que la variable 4, el cambio que deberemos hacer será = 4 + h, con h > 0, tomando valores que tienden a cero. Si, por el contrario, quisiéramos aproimarnos a 4 desde la izquierda, lo que deberemos hacer será restarle esa misma cantidad, cada vez más pequeña, con lo que nos aseguramos que tendemos al valor de cuatro desde valores inferiores a él. Esto anterior, lo podemos epresar: a = a h, con h 0. derecha izquierda Actividades resueltas Sea la función f() = + 5 y deseamos calcular los ites laterales cuando 4. Calculamos el ite por la derecha, haciendo el cambio de variable = 4 + h, con h 0 4 5 (4 h) (h h h0 h0 ) 0 0 5(4 h) ((68h h h0 7 ) (05h) ) Calculamos el ite por la derecha, haciendo el cambio de variable = 4 h, con h 0 Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
4 4 5 (4 h) (h h h0 h0 ) 0 0 5(4 h) ((68h h h0 Como ambos ites eisten y son iguales, podemos decir que 4 5 ) (05h) ).4. Indeterminaciones Como hemos visto en el apartado anterior, en algunas operaciones con y 0, no podíamos llegar a determinar el valor, puesto que resultaba una indeterminación. Eisten algunos tipos de indeterminaciones que son resolubles haciendo operaciones y/o simplificaciones previas que estudiamos a continuación. Analizaremos como resolver cada caso de indeterminación. Indeterminación Este tipo de indeterminaciones se pueden resolver haciendo operaciones con ambas funciones, ya que suelen ser del tipo f() g(). Actividades resueltas Indeterminado 4 0 0 Pero si hacemos operaciones y las sumamos previamente: ( ) 4 4 4 Calculamos el ite de la función, y nos resulta 4 4 4 4 pues el denominador tiende a 0. cos 0 4 tg( ) Indeterminado sen Comotg( ), operando tendremos cos tg( ) cos cos sen( ) cos( ) sen cos 0 0 0 Indeterminado Hemos pasado de una INDETERMINACION del tipo, a otra del tipo 0 0 que todavía no sabemos resolver. Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
5 Actividades propuestas. Calcula el ite: 9 4. Calcula el ite: 5. Calcula el ite: 4 6. Calcula el ite: 4 Indeterminación 0 Normalmente suelen darse en productos de funciones f() g(), donde f() = 0 y g() = Suelen resolverse operando y simplificando. Actividades resueltas ( 69) 0 Indeterminado Si calculamos las raíces del polinomio + 6 + 9, obtenemos que = es una raíz doble, por lo que los factores del polinomio son ( + ) y sustituyéndolo en la ecuación nos queda ( ) ( 6 9) ( ) Calculamos, ahora, el ite de la función simplificada, y obtenemos: ( 69) ( ) ( ) 0 El ite siguiente también es indeterminado (es decir, todavía no lo hemos determinado). ( ) Indeterminado Si calculamos las raíces del polinomio, obtenemos que son = y =, por lo que los factores del polinomio son: = ( + )( ) y, sustituyéndolo en el ite, nos queda: ( ) ( ) ( ) ( ) Calculamos, ahora, el ite de la función simplificada, y obtenemos: ( ) Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
6 Actividades propuestas 56 7. Calcula el ite: 9 4 8. Calcula el ite: Indeterminación 0/0 Este tipo de indeterminaciones se producen porque eisten algunos factores en el numerador y denominador que lo hacen cero y que será conveniente eliminar por algún método matemático. Para ello, debemos factorizar polinomios, multiplicar y dividir por el conjugado o cualquier otro procedimiento que nos permita eliminar la indeterminación. Actividades resueltas Si retomamos el segundo ejemplo de las indeterminaciones, donde operando habíamos llegado a una indeterminación de este tipo, que resolveremos a continuación. tg( ) cos cos sen( ) cos( ) sen cos 0 0 0 Indeterminado Si multiplicamos, numerador y denominador, por el conjugado del numerador ( + sen()), obtenemos cos tg( ) cos cos ( ) sen sen cos cos sen ( sen) ( sen) ( sen ) cos ( ) cos ( ) sen sen cos 0 0 0 sen Si sustituimos valores en el siguiente ite, también es indeterminado, por lo que calculamos los factores de los polinomios del numerador y denominador, y simplificando lo posible, obtenemos:: ( ) ( ) ( ) ( ) Si sustituimos valores en el siguiente ite, también es indeterminado. Uno de los sumandos es una raíz, por lo que para quitar la indeterminación vamos a probar multiplicando por el conjugado: 4 5 5 4 ( ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( ) ( 5 ) ( ) ( 5 ) ( 5 ) ) ( ) ( 5 ) ( 5 ) 4 4 Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
7 Actividades propuestas 6 9. Calcula el ite: 9 0. Calcula el ite:. Calcula el ite: 0. Calcula el ite: Indeterminación / Aunque pueden presentarse muchos casos, el más frecuente es el de cocientes de polinomios cuando la variable independiente tiende a. Así tendremos que P ( ) Q ( ) P( ) Luego es una indeterminación del tipo /. Q ( ) Para resolver este tipo de indeterminaciones, es necesario comparar el grado del polinomio del numerador con el grado del polinomio del denominador, pudiéndose presentar los siguientes casos: Si grado(p()) > grado (Q()) entonces Si grado(p()) = grado (Q()) entonces P( ) Q( ) P( ) K Q( ) P( ) Si grado(p()) < grado (Q()) entonces 0 Q( ) Para resolver este tipo de ites observamos que cuando la variable se hace muy grande el ite vendrá dado por los términos de mayor grado. Nos quedamos con ellos, y simplificamos. Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
8 Actividades resueltas grado(p()) = grado (Q()): 8 4 8 5 Observa lo que ocurre si damos valores: 8 8 0 00 000 0 00 000 f() 7 77 8 0559 8 0095599 0 7 904 7,9756 7 99756 Se aproima, a 8 tanto a la derecha como a la izquierda. grado(p()) > grado (Q()): grado(p()) < grado (Q()): 7 0. 4 4 4 En el caso de ites infinitos de cociente de polinomios podemos simplificar los cálculos pues hemos visto que: an b Actividades propuestas m n m... a... b 0 0 an b m n m an bm 0. Escribe, sin hacer cálculos, el valor de los ites siguientes: si si si n m n m n m a) 5 5 b) 5 5 5 c) 5 7 5 d) 4 5 4. Calcula los ites siguientes: a) b) c) d) Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
9 5. Calcula los ites siguientes: a) b) sen 4 4 c) 5 7 5 00 d) e e) ln( ) 0 Indeterminación Para poder resolver este tipo de indeterminaciones, es necesario conocer el número e, que se define n como: e ' 788 n n f ( ) Si f ( ) entonces e ' 788 f ( ) Las soluciones de este tipo de indeterminaciones pasan, irremediablemente, por llegar a una epresión del tipo de la definición del número e. Observamos que es el ite de una potencia en la que la base tiende a, y el eponente tiende a infinito. Así, cuando al calcular un ite estemos en esa situación decimos que es un ite tipo e. Veamos algunos ejemplos. Actividad resuelta En el ite siguiente La base tiende a, y el eponente a luego es un ite tipo e. Para resolverlo, primero completamos el primer de la definición, y luego el segundo: Luego hacemos el eponente igual al denominador para lo que multiplicamos y dividimos el eponente por el denominador del sumando de la base. Así, tendremos Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7: 0 El ite de la base es e y el ite del nuevo eponente en este caso es, por lo que: e e Este tipo de indeterminaciones, también se pueden resolver mediante la epresión: Actividad resuelta No es un ite tipo e. Calculamos los ites de la base: ) ( Como es menor que, al multiplicarlo por sí mismo infinitas veces, el ite es 0. 0 Indeterminación, 0 0, 0. Este tipo de indeterminaciones eponenciales se resuelven mediante la aplicación de logaritmos neperianos (ln). Suponemos que el ite de estas indeterminaciones es L g a e f ) ( ) ( Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad, tendremos
ln a g( ) L f ( ) ln( e ) Y por propiedades de los ites y de los logaritmos se tiene: Por tanto: a g ( ) L lnf ( ) g( ) (ln( f ( )) ln( e ) L ln( e) L a a L g( ) L g ( ) (ln( f ( )) y f ( ) e a a a Actividades propuestas 6. Determina los ites siguientes: a) b) c) 5 d) 5 5 5 7. Determina los ites siguientes (observa que no son tipo e): a) 5 5 b) 4 5 c) d) 5 5 5 Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
. CONTINUIDAD DE FUNCIONES Intuitivamente, podemos decir que una función es continua en un punto si somos capaces de pintarla, en ese punto, sin levantar el lápiz del papel, o si somos capaces de recorrerla con el dedo sin encontrarnos ningún obstáculo (saltos, indefiniciones, etc.). Pero la continuidad de una función se puede estudiar en un punto, en un intervalo o en todo su dominio de forma más precisa... Continuidad de una función en un punto En lenguaje matemático, la anterior definición simple, se complica un poco y lo epresamos así: Dada una función f(): X, X un intervalo de, y un punto = a X, se dice que la función f() es continua en el punto = a, si: Para cualquier > 0, eiste un > 0 tal que siempre que a <, X se cumple quef() f(a) <. Esto lo podemos epresar diciendo que, si nos acercamos al punto a, entonces las imágenes de la función se aproimarán a la imagen de a. Si esto no ocurre, entonces, la función no será continua en = a y diremos que la función tiene una discontinuidad en = a. Observa que si comparas la definición de continuidad con la de ite, ahora el punto a debe pertenecer al intervalo X, mientras que en la de ite podía no ocurrir. Esta relación puede epresarse de la siguiente forma: Una función f() es continua en el punto = a sí, y solo sí, se cumplen estas tres condiciones: Que para el punto = a eista f(a). Que eista y sea finito el ite de la función para = a, lo que implica que eistan los ites laterales y coincidan. Que los dos valores anteriores coincidan: a f ( ) f ( a ) Bajo estas tres condiciones, la función f() es continua en el punto = a. Continuidad de una función en un intervalo abierto Para que una función sea continua en un intervalo abierto, la función debe ser continua en todos los puntos del intervalo. Si lo fuera en todo el dominio, decimos que la función es continua. Actividad resuelta si Estudia la continuidad de la función f ( ) si Las funciones polinómicas son continuas en toda la recta real. El único punto dudoso es =. Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
Estudio de la continuidad de la función en el punto = : Comprobemos, como primera medida, que la función está definida en =. Para =, tenemos que determinar f() = + = 6 + = 8, luego eiste. Calculamos, entonces los ites laterales de la función para =. Limite por la izquierda: 8 Limite por la derecha: 6 8 Los ites laterales, eisten, son finitos y coinciden. Veamos si coincide, el ite de la función con el valor de la función en =. f() = 8 = f ( ) Luego, como se cumplen las tres condiciones, la función es continua en =... Propiedades de las funciones continuas Las funciones polinómicas, racionales, con radicales, eponenciales, logarítmicas y trigonométricas serán siempre continuas en su dominio. Por lo tanto, presentarán discontinuidades en aquellos puntos en los que no esté definida y, por lo tanto, no pertenezcan a su dominio. Operaciones de funciones continuas Sean las funciones f() y g() continuas en el punto = a, entonces podemos afirmar que: f() + g() es continua en = a. f ( ) g ( ) f() g() es continua en = a. f(g()) es continua en = a, si f es continua en g(a). Actividades resueltas es continua en = a, si g(a) 0. Las funciones polinómicas son funciones continuas en todo. Basta comprobar que la función f() =, la función f() = a son funciones continuas para comprobar que cualquier función polinómica es suma y producto de estas funciones. Las funciones racionales son continuas en todo salvo para los valores que anulan al denominador. Estudia la continuidad de f ( ). 4 En efecto, las funciones racionales son cociente de funciones polinómicas, que son continuas en toda la recta real. La función f ( ) es continua en {, }, pues el denominador se anula en 4 dichos valores. Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
4.. Tipos de discontinuidad Eisten varios tipos de discontinuidades de las funciones, que se epresan en el cuadro siguiente: EVITABLES (Eisten los ites laterales y son finitos e iguales) INEVITABLES Los ites laterales no eisten, bien porque alguno es infinito o porque son distintos, o alguno de los ites laterales no eiste. No eiste imagen f(a) en el punto La imagen f(a) eiste pero no coincide con los ites laterales De primera especie De segunda especie De salto finito (Límites laterales finitos pero distintos) De salto infinito (Alguno (o los dos) ites laterales son infinitos) No eiste alguno de los ites laterales. Las discontinuidades evitables, se llaman así porque se pueden solventar mediante la redefinición de la función en el punto, bien porque no estuviera definida, bien porque no coincidiera la imagen con los ites laterales, que eisten, coinciden y son finitos. Las discontinuidades inevitables vienen dadas porque: los ites laterales eisten, son finitos y no coinciden (de primera especie de salto finito). Salto es igual a f ( ) f ( ) a a eisten pero alguno es infinito (de primera especie de salto infinito). Salto infinito. o no eiste alguno de los ites laterales o los dos (de segunda especie). Discontinuidad evitable Discontinuidad de primera especie salto finito f ( ) si si Discontinuidad de primera especie salto infinito f ( ) si si Discontinuidad de segunda especie 0 f ( ) sen si 0 si 0 f ( ) si 0 si 0 Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
5 Actividad resuelta Estudia la continuidad de los ejemplos anteriores. Observa que la función ( ) si si ( ) si si f no está definida en =. Bastaría definir f para que la función fuese continua. Por tanto es una discontinuidad evitable en = siendo la función continua en {}. La función ( ) si si f tiene ambos ites laterales en = y son finitos, pero distintos, por lo que tiene una discontinuidad de primera especie en = de salto finito, con salto. Es una función continua en {}. La función f ( ) si 0 si 0 tiene el ite a la derecha de 0, infinito, por lo que tiene en = 0 una discontinuidad de primera especie de salto infinito. La función es continua en {0}. La función 0 ( ) sen si 0 si 0 f no tiene ite a la derecha de 0. La función seno tiene fluctuaciones cada vez más juntas por lo que dicho ite no eiste. Es una discontinuidad de segunda especie. La función es continua en {0}. Actividades propuestas 8. Estudia la continuidad de las funciones siguientes: a) f ( ) b) f ( ) 5 c) f ( ) log ( ) d) si 0 f ( ) e si 0 9. Determina el valor de k para que la función 0. Estudia la continuidad de las funciones siguientes: ( ) k si si f sea continua en toda la recta real. a) f ( ) si si si b) f ( ) c) f ( ) Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
6 CURIOSIDADES. REVISTA Refleiones sobre el infinito El infinito, como ningún otro problema, siempre ha conmovido profundamente el alma de los seres humanos. El infinito como ninguna otra idea, ha tenido una influencia estimulante y fértil en la mente. Pero el infinito necesita, más que ningún otro concepto, clarificarse David Hilbert El hotel infinito Para el dueño de un hotel es un disgusto tener que decir a un cliente que no le quedan habitaciones. Pero, qué ocurriría si el hotel tuviera infinitas habitaciones numeradas,,, 4,? Imagina que el hotel está completo y llega un nuevo cliente, cómo lo alojarías? Y si llegaran 00 clientes más? Y si mil? Y si llegaran tantos como hay? Un juego Davis Hilbert Un poco aburridos dos amigos, Daniel y Jorge, deciden jugar a un juego que consiste en que Daniel escriba números y Jorge los borre. El procedimiento propuesto por Daniel es: A las cinco menos un minuto yo escribo los números y, y tú borras el. A las cinco menos medio minuto yo escribo y 4, y tú borras el. La tabla de Caratheodory Tenemos la siguiente tabla infinita: 0 / /4 /8 /6 / 0 / /4 /8 /4 / 0 / /4 /8 /4 / 0 / /6 /8 /4 / 0. La suma / +/4 + /8 + /6 + = Suma la tabla primero por filas. Ahora suma la tabla por columnas Por último suma por diagonales. Te sorprende elresultado? A las cinco menos un tercio de de minuto yo escribo 5 y 6 y tú borras el Y así sucesivamente. Juegan con la imaginación. Daniel pregunta a Jorge: A las cinco menos una centésima de minuto, cuántos números te quedarán por borrar? Y a las cinco menos una millonésima de minuto? Hay algún número que no puedas borrar antes de las cinco? Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
7 Breve historia del concepto de ite de una función El concepto de ite es clave para dar rigor al Análisis Matemático. No sólo lo necesitamos para conocer el comportamiento de las funciones en el infinito, asíntotas y ramas asintóticas, y estudiar su continuidad, sino que es fundamental para el estudio del cálculo infinitesimal, de las derivadas y las integrales. D Alembert (767) estudia a Newton y en la Enciclopedia en el artículo sobre Límite escribe: Una cantidad es el ite de una segunda cantidad variable si la segunda puede aproimarse a la primera hasta diferir de ella en menos que cualquier cantidad dada. Jean le Rond D'Alembert Cauchy (89) en su Curso de Análisis, formula: Cuando los sucesivos valores que toma una variable se aproiman indefinidamente a un valor fijo, de manera que terminan por diferir de él en tan poco como queramos, este último valor se llama el ite de todos los demás. Augustin Louis Cauchy Heine (87), en sus Elementos, siguiendo las lecciones de Weierstrass, escribe: Si, dado cualquier, eiste un > 0, la diferencia f( 0 ) L es menor en valor absoluto que, entonces se dice que L es el ite de f() para = 0. Heinrich Heine Observa cómo se fue perfilando la definición y surgió el y el para formalizar las ideas de aproimarse hasta diferir menos que, aproimarse tanto como se quiera, diferir tan poco como queramos Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
8 El número e y el problema de Bernoulli El número irracional e aparece con John Napier (Neper) que introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático (64). Es la base de los logaritmos neperianos. La primera aproimación al valor de este número se atribuye a Jacob Bernoulli (654 705) asociado al siguiente problema de interés compuesto: Si se invierte un capital C con un interés del 00 % anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtiene un capital C. Si los intereses se pagan semestralmente, el capital se transforma en: C =,5 C. Si los intereses se pagan trimestralmente, se obtiene 4 4 C =,44 C. En caso de pagos mensuales, el capital que se obtiene es C y si los pagos son diarios se consigue: 65 65 C =,7 C. C =,6 Al aumentar la cantidad de períodos de pago el factor que multiplica al capital C se aproima al número e =,788884 e lim n Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
9 RESUMEN Ejemplos Definición de ite f ( ) L Para todo > 0, eiste un > 0 tal que, a siempre que a <, se cumple f() L <. Límite lateral a la derecha Límite lateral a la izquierda f ( ) L el valor de f() cuando tiende a a, a siempre que se cumpla la condición > a f ( ) L el valor de f() cuando tiende a a, a siempre que se cumpla la condición < a La función si f ( ) si tiene de ite lateral a la izquierda 8, y de ite lateral a la derecha también 8, pues 8 6 8 Eistencia de ite a f ( ) a f () a f ( ) L La función tiene ite en = f ( ) si si Asíntotas Si f ( ) K hay una asíntota horizontal y = K. Si a f ( ) hay una asíntota vertical = a. f ( ) asíntota horizontal, y = 0 y asíntota vertical = 0 Propiedades de los ites Continuidad de una función en un punto ( f ( ) g ( )) f ( ) g ( ) a a a ( f ( ) g ( )) f ( ) g ( ) a a ( K f ( )) K f ( ) a a a f ( ) f ( ) a ( ) si g(a) 0. a g ( ) g ( ) a Una función f() es continua en el punto = a, si para cualquier > 0, eiste un > 0 tal que siempre que a <, se cumple quef() f(a) <. La función continua en = f ( ) si si es Propiedades de las funciones continuas Tipos de discontinuidad La suma y el producto de funciones continuas es una función continua. El cociente de funciones continuas es una función continua si no se anual el denominador. Evitable. De primera especie de salto finito. De primera especie de salto infinito. De segunda especie Los polinomios son funciones continuas en f ( ) es continua en {0} f ( ) si evitable en = si f ( ) de primera especie con salto infinito en = 0 Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
0 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Límites. Calcula los ites siguientes: a) b) c) d) e) f) g) 9 9 7 8 4 8 4. Calcula los ites siguientes: a) b) c) 8 8 5 8 d) 4 e) 4 f) g) h) Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
. Determina las asíntotas de las funciones siguientes: a) f ( ) b) 5 f ( ) 4 c) 56 f ( ) 4 d) 5 f ( ) e) 5 f ( ) ( ) f) 5 5 f ( ) ( ) g) 5 f ( ) ln ( ) h) f ( ) 5 ( ) Continuidad 4. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. a) f ( ) 4 log 0 b) g ( ) 0 c) h( ) 5 5. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. a) ( ) f 5 b) g( ) c) h ( ) 6. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. 5 7 54 a) f ( ) b) g( ) 4 c) h ( ) 7. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. a) f ( ) 6 b) g ( ) c) 4 h( ) Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
8. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. 4 a) ( ) ln 5 f b) ( ) ln g c) h ( ) 9 ln 9. Estudia la continuidad de las funciones siguientes, indicando en cada caso el tipo de discontinuidad. 9 7 a) f ( ) e 5 b) g ( ) e c) h ( ) 0. Dada la función f ( ) e a) Estudia su continuidad b) Representa su gráfica 0 0. Dada la función f ( ) k a) Determina el valor de k para que la función sea continua en toda la recta real b) Representa su gráfica. Dada la función f ( ) 5 a) Estudia su continuidad b) Representa su gráfica 4. Dada la función f ( ) 4 a) Estudia su continuidad b) Representa su gráfica 4. Esboza la gráfica de la función discontinuidad. 5. Esboza la gráfica de la función discontinuidad. f ( ) indicando sus asíntotas y sus puntos de 5 f ( ) indicando sus asíntotas y sus puntos de 5 Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7:
AUTOEVALUACIÓN. El ite vale: a) b) 0 c) d) /. El ite ( ) vale: a) b) 0 c) d) 4. El ite vale: a) b) 0 c) / d) 4. El ite vale: a) / b) 0 c) d) 5. El ite 5 7 4 vale: a) b) 0 c) 5 d) 6. El ite 5 7 4 vale: a) b) 0 c) 5 d) 7. El ite vale: a) b) 0 c) d) 8. Estudia la continuidad de f ( ) si 0 en = 0. si 0 a) Es continua b) Tiene una discontinuidad evitable c) Un salto finito d) Un salto infinito 9. Estudia la continuidad de si f ( ) en =. si a) Es continua b) Tiene una discontinuidad evitable c) Un salto finito d) Un salto infinito 0. Estudia la continuidad de si f ( ) en =. si a) Es continua b) Tiene una discontinuidad evitable c) Un salto finito d) Un salto infinito Bachillerato. Matemáticas I. Capítulo 7: