EJERCICIOS PROPUESTOS

7 PROBLEMAS MÉTRICOS EJERCICIOS PROPUESTOS 7.1 La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 y centímetros, respectivamente. Halla las medidas de sus ángulos. cm B 4 cm Cp arc 4 0 Bp 90 0 60 7. C En un triángulo rectángulo, los catetos miden 6 y 8 centímetros. Calcula la medida de la altura sore la hipotenusa y la distancia desde su pie hasta los extremos. c 8 6 c 10 cm 8 6 10 h h 4,8 cm 8 cm 6 cm h 8 m 10 m 6,4 cm 6 n 10 n,6 cm m c n 7. Ana y Blanca se encuentran a amos lados de la orilla de un río en los puntos A y B. Qué anchura tiene el río? 100 d Bp 180 100 0 50 d 100 0 65,7 m se n 50 0 50 7.4 Resuelve estos triángulos. a) a 5 m, 0 m, Ap 90 ) a 6 cm, Bp 45, Cp 105 c) a 10 mm, c 7 mm, Bp 0 a) Triángulo rectángulo; c 5 0 5 c 15 m Bp arc 0 5 7 48 5 Cp 6 5 1 ) Ap 180 45 105 0 6 c 0 45 105 6 45 0 8,49 cm c 6 105 s 11,59 cm en 0 c) 10 7 10 7 cos 0 7,76 5,7 mm 10 7 5,7 7 5,7 cos Ap cos Ap 0,15 Ap = 108,5 Cp 180 0 108,5 41,65 18

7.5 Los razos de un compás miden 1 centímetros. Qué ángulo forman cuando se traza un arco de 7 centímetros de radio? 7 1 1 1 1 cos cos 0,8,9 7.6 Los lados de un paralelogramo forman un ángulo de 70. Sus medidas son 7 y 8 centímetros. a) Calcula la longitud de la diagonal menor. ) Halla el área del paralelogramo. 7 cm h d a) d 7 8 7 8 cos 70 74,694 d 8,64 cm ) 70 h h 6,578 cm 7 A 8 6,578 5,64 cm 8 cm 7.7 El lado de un octógono regular mide 1 metros. Calcula la longitud de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita. El radio de la circunferencia inscrita se corresponde con la apotema: r El radio de la circunferencia circunscrita se corresponde con el radio del octógono: R Ángulo central 60 8 45 180 45 15 67,5 1 R R 15,68 m r 45 6 7,5 15,68 6 09,86 r 14,49 m 7.8 Halla el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 10 centímetros de radio. Ángulo central 60 5 7 180 7 108 54 10 x x 11,76 cm 54 7 a 10 5,88 65,4 a 8,09 cm A 11,76 5 8,09 7,85 cm 7.9 Calcula el área lateral y el área total de estos cuerpos. a) ) c) d) 8 cm 8 dm cm m 70 4 m 4 m 6 dm a) a 1,5 6,75 a,6 cm A ase 6,6,4 cm ; A lateral 6 8 144 cm A total,4 144 190,8 cm ) h 1 h 1,7 m A triángulo 1,7 1,7 m A tetraedro 4 1,7 6,9 m 4 h c) Ap 90 70 0 h 4 70 10,99 m 0 70 0 A lateral 4 4 10,99 175,84 m A total 4 4 175,84 07,84 m d) A lateral 8 48 dm ; A semiesferas 4 6 dm A total 48 6 A total 84 dm 19

7.10 Halla el volumen de estos cuerpos. a) ) c) d) 5 m 16 cm 5 cm 60 10 cm 14 m 7 cm 6 cm 50 m 7 R a) R 5,95 cm a 5,95,5,15 a 4,81 cm 7 54 A ase 7 5 4,81 84,18 cm V 84,18 16 448,96 cm ) tg 60 5 r r,89 cm V r h 4 r, 89 5 4,89 94,4 cm c) tg 50 6 7,15 cm A ase 6 7,15 1,45 cm V 1,45 10 14,5 cm d) R 14 7 m r (14 5 ) m V R h r h 7 15 m 4,9 m 7.11 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Se quiere forrar una maceta con forma de tronco de cono. Si el diámetro de la ase mide 0 centímetros y la generatriz, que tiene la misma longitud, forma un ángulo de 60 con el suelo, qué cantidad de papel se necesita? x 10 cos 60 5 cm R 10 5 15 cm A lateral (15 10) 0 500 cm A ase 10 100 cm A maceta 500 + 100 = 600 cm 0 cm 10 cm 60 x 7.1 Qué volumen de tierra se necesita para llenar una maceta de interior que tiene la forma de un tronco de cono si los radios de las ases miden 10 y 0 centímetros, y la generatriz forma un ángulo de 60 con el suelo? h 0 10 00 h 17, cm V 10 17, 181,8 cm H 40 0 100 H 4,64 cm V 0 4,64 14 50,61 cm V tronco 14 50,61 181,8 1 689,78 cm ACTIVIDADES EJERCICIOS PARA ENTRENARSE Resolución de triángulos rectángulos 7.1 Calcula la medida de los lados y los ángulos que faltan en los siguientes triángulos rectángulos. C B a) ) A c) B C d) B A 1 cm 60 B 11 cm 11 cm 9 cm 0 cm 40 C A C 10 cm 140

c a) Cp 90 0 60 0 c 6 cm 60 6 cm 10,9 cm 1 1 ) Bp Cp 45 a 11 11 a 11 cm 15,56 cm c) Bp 90 40 50 40 9 c c 14 cm tg 50 10,7 cm 9 d) a 0 10 00 a 10 cm 17, cm Bp 1 0 Bp 0 ; Ap 60 0 7.14 Resuelve los triángulos saiendo que Cp es un ángulo recto. a) Ap 55, a 18 cm ) c 10 cm, 6 cm c) a 18 cm, 15 cm a) Bp 90 55 5 55 1 8 18 c 1,97 cm c 55 1,97 5 1,6 cm 6 ) a 10 6 64 a 8 cm Bp 0,6 Bp arc 0,6 6,87 1 0 Ap 90 6,87 5,1 15 c) c 18 15 549 c,4 cm Bp 0,64 Bp = arc 0,64 9,81, 4 Ap 90 9,81 50,19 7.15 Halla la longitud de la altura de un triángulo equilátero de 1 centímetros de lado. h 1 6 h 108 10,9 cm 7.16 El lado desigual de un triángulo isósceles mide 16 metros, y el ángulo desigual, 80. Cuál es la medida de la altura sore este lado? 8 8 tg 40 h tg 9,5 m h 40 7.17 Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sore la hipotenusa miden 6,4 y,6 centímetros. Halla la longitud de los lados. c 6,4,6 10 cm mide la hipotenusa. a m c a 6,4 10 64 a 8 cm n c,6 10 6 6 cm 7.18 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 0 centímetros, y la proyección de uno de los catetos sore ella, 4 centímetros. Resuelve el triángulo. c m n m 0 4 16 cm a m c a 16 0 0 a 17,89 cm n c 4 0 80 8,94 cm tg Ap 1 7, 89 Ap 6,45 Bp 90 6,45 6,55 8, 94 7.19 La diagonal mayor de un romo mide 8 centímetros y forma con cada lado contiguo un ángulo de 6. Cuánto mide el lado del romo? cos 6 4 c c 4 4,45 cm mide el lado. cos 6 141

7.0 Halla la medida de los ángulos de este trapecio rectángulo. B 9 cm C 7 cm Trazando la altura desde el vértice superior derecho se otiene un triángulo rectángulo. A 1 cm D 9 cm tg 7 66,80 β 7 cm 60 90 66,80 11,0 1 cm α cm Resolución de triángulos cualesquiera 7.1 Resuelve estos triángulos. 80 6 m a) ) 95 18 m 0 m 5 a) a 18 0 18 0 cos 95 786,75 a 8,05 m ) Bp 180 80 5 65 8, 05 18 Ap 18 95 6 c Ap 9,74 c 6 s en 80 10,0 m s en 95 se n Ap 8, 05 5 80 5 6 Bp 180 95 9,74 45,60 6 s en 65 9,48 m 5 65 5 7. Halla la medida de los ángulos y los lados desconocidos en cada caso. a) Ap 56, 14 cm, c 8 cm c) a 8 cm, 46 cm, c cm ) Bp 45, Cp 75, a 5 cm d) Ap 4, Cp 65, 14 cm a) a 8 14 8 14 cos 56 14,74 a 11,61 cm 11, 61 8 s en 56 se n Bp Bp 8 56 Bp 4,84 11,61 Cp 180 56 4,84 89,16 ) Cp 180 45 75 60 5 5 45 0,41 cm 60 45 60 c 5 0,41 5 0,41 cos 75 777,44 c 7,88 cm c) 8 46 46 cos Ap cos Ap 8 46 Ap 55,17 46 8 46 Bp 46 se n 55,17 Bp 8,54 Cp 180 55,17 8,54 41,9 5 5,17 se n Bp 8 d) Bp 180 4 65 7 a 14 a 14 4 9,80 cm 4 7 7 c 14 c 14 65 1,7 cm 65 7 7 14

7. Resuelve el triángulo. De qué tipo es? c 19 1 19 1 cos 50 1,46 c 14,58 cm 1 cm Es escaleno. 50 19 cm 7.4 7.5 Resuelve los siguientes triángulos. a) a cm, c cm, Cp 140 ) a 19 cm, 8 cm, Bp 6 a) 140 Ap se n 140 0,96 Ap 74,6. No es posile. Ap 8 ) 19 6 Ap 19 s en 6,1. No es posile. se n Ap 8 Halla la medida de la diagonal del paralelogramo. 5 45 18 cm La diagonal divide el paralelogramo en dos triángulos de los que se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. El tercer ángulo es Cp 180 5 95 60. 18 c Por el teorema del o: c 18 60 15,65 cm mide la diagonal. 95 60 95 7.6 Calcula la medida de las diagonales diujadas en el pentágono regular de la figura. 1 cm La suma de los ángulos interiores de un pentágono es 180 540. Cada uno de ellos mide: 540 5 108. En los triángulos de la izquierda o derecha que se otienen al trazar las diagonales se conocen dos de sus lados, 1 cm, y el ángulo comprendido entre ellos, 108. d 1 1 1 1 cos 108 199 d 14,11 cm Longitudes y áreas de figuras planas 7.7 Las proyecciones de los catetos sore la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 14,4 y 5,6 centímetros. Calcula el área del triángulo. Hipotenusa: c 14,4 5,6 40 cm Altura sore la hipotenusa: h m n 14,4 5,6 68,64 h 19, cm A 40 19, 84 cm 14

7.8 7.9 7.0 La diagonal de un rectángulo mide 8,84 decímetros y forma con la ase un ángulo de 41 4. Halla su perímetro y su área. 41 4,69 Si es la ase del rectángulo, y a, la altura: cos,69 8,84 cos,69 4 cm 8,84 a,69 a 8,84,69 16 cm 8,84 p 4 16 80 cm A 4 16 84 cm El lado de un octógono regular mide 0 centímetros. Calcula la medida de la apotema y el área del octógono. La apotema y un radio, junto con la mitad del lado del octógono, forman un triángulo rectángulo. Un ángulo es la mitad del ángulo central formado por dos radios consecutivos. Ángulo central 6 0 45 8 El ángulo opuesto a la mitad del lado del octógono mide,5. Si a es la apotema, tg,5 1 0 10 a 4,14 cm. a tg,5 A 8 0 4,14 191, cm Calcula la longitud de la circunferencia que se traza con un compás cuyos razos miden 7 centímetros y forman un ángulo de 70. Sea r el radio de la circunferencia: r 7 7 7 7 cos 70 64,48 r 8,0 cm l r 50,4 cm 7.1 Halla el área de este paralelogramo. 6 cm Altura h 9 cm 7 7 h 6 h 5,71 cm A 9 5,71 51,9 cm 7. Calcula el perímetro de este triángulo. 5 115 0 cm 0 c c 0 115 1,60 cm 5 115 5 Ap 180 5 115 0 A 0 1,60 0 1,6 cos 0 0,9 a 17,4 cm p 0 17,4 1,60 69,0 cm 144

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos 7. Calcula el área total y el volumen de estos cuerpos geométricos. a) ) 1 cm 9 cm 60 1 a) A B 9 81 cm ) El radio: r 6,9 cm A tg 60 B 6,9 150,80 cm 1 Altura: h 9 tg 60 15,59 cm La generatriz g 1,86 cm 60 A T 4 9 15,59 81 7,4 cm A T 150,80 6,9 1,86 75,99 cm V 81 15,59 16,79 cm V 1 150,8 1 60, cm 7.4 Calcula el volumen del cilindro. h 6,08 cos,47 cm Diámetro: d 6,08,47 14 r 7 cm,47 V 7 86,64 cm 6,08 cm 7.5 Halla el área total y el volumen del ortoedro.,96 Altura del ortoedro: h 18 tg 18,4 6 cm Lado de la ase: 18 tg,96 8 cm A T 18 8 18 6 6 8 600 cm V 18 8 6 864 cm 18,4 18 cm 7.6 CUESTIONES PARA ACLARARSE Si las proyecciones de los catetos sore la hipotenusa de un triángulo rectángulo tienen la misma medida, cómo es el triángulo? Cuánto miden sus ángulos agudos? Isósceles. Sus ángulos agudos miden 45. 7.7 Responde a las siguientes preguntas. a) Qué elementos de un triángulo rectángulo hay que conocer para resolverlo? ) Y de un triángulo cualquiera? 7.8 a) Dos: dos lados, o un ángulo agudo y un lado. ) Tres: los tres lados, o dos lados y un ángulo, o dos ángulos y un lado. Se pueden utilizar los teoremas del o y del coo para resolver un triángulo rectángulo? Razona tu respuesta. Es más rápido utilizar las razones trigonométricas, pero tamién se pueden utilizar esos teoremas. 145

7.9 7.40 7.41 Al unir los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadrado se otienen dos rectángulos, y al trazar una diagonal, dos triángulos. Cuál es la relación entre las áreas de los rectángulos y los triángulos otenidos? Son iguales. En los dos casos, el área es a. Al resolver un triángulo, los resultados son los siguientes: a 0 cm, 4 cm, c cm, Ap 58, Bp 5 y Cp 87. Es correcta la solución? No, porque al lado, que es el mayor, le dee corresponder el ángulo mayor, y no es así. De un triángulo se conocen los tres lados y un ángulo. Si se quiere calcular uno de los ángulos desconocidos, se puede utilizar el teorema del o? Y el del coo? En caso de poder utilizar los dos, cuál es el más conveniente? Se pueden usar los dos teoremas. Es más conveniente el del coo porque al ser un ángulo de entre 0 y 180, si resulta positivo, es del primer cuadrante, y si resulta negativo, es del segundo, de modo que solo hay un ángulo en cada uno de los casos. Si por el contrario se utiliza el teorema del o, solo se otiene un valor del o positivo que puede corresponder a un ángulo del primer cuadrante o del segundo y, por tanto, no queda totalmente determinado. 7.4 Se puede resolver un triángulo conociendo solo sus ángulos? Razona tu respuesta. 7.4 No, porque los triángulos semejantes tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales, y si no se conoce uno de los lados, es imposile determinar de cuál de todos los triángulos semejantes se trata. Explica si es posile resolver un triángulo rectángulo conociendo la altura sore la hipotenusa y la proyección de uno de los catetos sore la misma. Con esos datos se puede calcular la proyección del otro cateto sore la hipotenusa y esta, al sumar las dos proyecciones. Luego, se calculan los catetos con el teorema del cateto, y con los tres lados se pueden hallar los ángulos del triángulo. Por tanto, sí es posile resolverlo. 7.44 PROBLEMAS PARA APLICAR El radio de la Tierra mide, aproximadamente, 678 kilómetros. Desde un satélite se dirigen las visuales a dos puntos como muestra el diujo. A qué distancia del centro se encuentra el satélite? Y de los puntos determinados por las visuales? Se forma un triángulo isósceles, de modo que la medida del lado desigual es el diámetro de la Tierra: La distancia a la Tierra es la altura de ese triángulo. h 6 78 40 69,11 km del centro tg 9 678 d 40 711,07 km de los puntos determinados por las visuales s en 9 146

7.45 Juan ha decidido donar sus mueles. Como tiene una mesa muy grande y vive en un cuarto piso, antes de trasladarla quiere comproar si la puede ajar en el ascensor una vez quitadas las patas. 7.46 Tendrá que utilizar las escaleras o podrá ajar la mesa en el ascensor? Las medidas de la mesa son: a 144, cos,69 10 cm un lado. 144,,69 80 cm el otro lado. Se puede ajar en el ascensor. Se invierten 6 segundos en la oservación de un avión que sorevuela un punto de la Tierra. En ese intervalo de tiempo, el avión ha camiado ligeramente de posición. 7.47 Si el avión se oserva perpendicularmente a una altura de 150 metros y lleva una velocidad de 600 kilómetros por hora, qué ángulo diferencia las dos visuales del oservador? La distancia entre las dos posiciones del avión es: s 600 km/h 6 seg 60 0 000 m/seg 6 seg 1000 m. 600 1 El ángulo que diferencia las visuales es : tg,79. 1 50 Cuando se hace una fotografía con una cámara compacta se produce lo que se denomina paralaje: la imagen que captura el visor no coincide con la del ojetivo porque no están situados a la misma distancia. Calcula el ángulo a que mide la paralaje. 17,5 a 0,00875 a 0 4,84 000 147

7.48 Una alda se va a sujetar con unas piezas que tienen forma de triángulo rectángulo para colocar un ojeto pesado. Al situarlas en la pared se oserva que ha haido un error y que las piezas no tienen ningún ángulo recto. Si el lado de centímetros es el que sujetará la alda, qué dimensiones tendrá el triángulo que hay que cortar para que se otenga el ángulo recto necesario? Hay que cortar 8,08 del ángulo Cp. 18 Ap s en6 Ap 45,9 se n Ap 6 18 Cp 180 6 45,9 98,08 B El triángulo que se recorta es: A 18 cm 45,9 8,08 C Ap 180 8,08 45,9 16 c 18 c,1 cm 8,08 16 4 5,9 15,98 cm 7.49 Para conocer la distancia entre varios puntos se realiza una triangulación, esto es, se unen los puntos de modo que formen triángulos no solapados. Calcula las distancias que faltan en el diujo. 148 6 10 Bp 10 85 Bp 0,5 se n 85 s en Bp 6 Dp 180 85 0,5 64,47 6 AB AB 6 64,47 1,67 m se n 85 64,47 85 Cp 180 49 6 68 6 BC BC 6 6 6,79 m se n 68 6 68 6 DC DC 6 49 19,1 m se n 68 49 68

REFUERZO Resolución de triángulos 7.50 Calcula las medidas de los ángulos y de los lados desconocidos de estos triángulos. a) ) c) d) 16 cm 64 cm 8 cm 5 49 cm 4 18 cm 4 cm a) tg Bp 6 4 Bp 5,56 49 Ap 90 5,56 7,44 c 49 64 80,60 cm ) cos Ap 1 6 Ap 65,09 8 Bp 180 90 65,09 4,91 a 8 16 4,46 cm 18 c) c 4, cm co s 4 Bp 180 90 4 48 4, 4 16,0 cm 4 d) c 0,05 cm 5 Bp 180 90 5 7 a 0,05 4 18,08 cm 7.51 Resuelve estos triángulos. a) ) c) 19 dm 100 5 dm 15 dm 85 0 0 dm 45 1 dm a) a 19 5 19 5 cos 100 1150,97 a,9 dm 19,9 Bp 19 100 Bp,47 se n Bp se n 100,9 Cp 180 100,47 46,5 ) Cp 180 85 45 50 15 15 85 19,51 dm 50 85 50 15 a a 15 45 a 1,85 dm 50 45 50 0 1 c) Bp 0 0 Bp 56,44 se n Bp 0 1 Cp 180 0 56,44 9,56 1 c c 1 9,56 c,95 dm 0 9,56 0 149

Longitudes y áreas de figuras planas 7.5 Calcula el perímetro y el área de estas figuras. a) ) 19 cm 5,84 1 cm 0 6 a) 19 tg 5,84 6 cm ) Lado del romo: l,18 cm 15 Diagonal mayor: D 6,9 cm D 44,78 cm tg 15 p 6 19 90 cm p 4,18 9,7 cm A 6 19 494 cm A D d 44,78 1 68,68 cm 7.5 Halla el área y el perímetro de un triángulo rectángulo saiendo que la hipotenusa mide 0 centímetros, y la proyección de uno de los catetos sore ella, 9,6 centímetros. El cateto cuya proyección es 9,6, : 9,6 0 1,86 cm La proyección del otro cateto sore la hipotenusa, m: m 0 9,6 10,4 cm El cateto, c: c 10,4 0 c 14,4 cm p 14,4 1,86 0 48,8 cm A 1,86 14,4 99,9 cm Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos 7.54 La generatriz de un cono mide 10 decímetros y el ángulo que forma esta con la altura del cono es de 6. Calcula el área total y el volumen del cono. El radio, r 10 6 5,88 dm Altura, h 10 cos 6 8,09 dm A L 5,88 10 184,6 dm A T 5,88 184,6 9,19 dm V 5,88 8,09 9,76 dm 7.55 Calcula el volumen del prisma. 1 67,8 = 1 cm c 1 cos 67,8 = 5 cm V 1 5 4 70 cm 4 cm 67,8 1 cm 7.56, dm 150 Resuelve este triángulo. 5,1 AMPLIACIÓN Si H es el punto de corte de la altura con la hipotenusa, HB, tg 5,1 44,44 dm., a CB 55,55 dm cos 5, 1 Ap 90 6,87 5,1 c 41,66 5 55,5 69,44 dm Bp 90 5,1 6,87, 41,66 dm 5, 1

7.57 Halla la medida de los lados de este trapecio isósceles. 16,87 1,81 cm Ap Bp 16,87 8,66 Ap Bp Cp Dp 60. Como Ap Bp y Dp Cp, entonces Dp Cp 60 16,87 5,1 En el triángulo ABC, Cp 5,1 8,66 14,47 y Ap 180 16,87 14,47 8,66 1,81 AB Por el teorema del o, AB 1,8 1 14,47 AB 4 cm 16,87 14,47 16,87 1,81 BC BC 1,8 1 8,66 BC 10 cm AD 16,87 8,66 16,87 En el triángulo ACD, Ap 180 5,1 8,66 88,1 1, 81 DC Por el teorema del o, DC 1,8 1 88,1 DC 16 cm 5, 1 88,1 5, 7.58 Calcula el área y el volumen de estos cuerpos geométricos. a) ) 0,78 dm 70 5,6 1,64 m a) El lado del cuo forma con la diagonal de la ase un ángulo de 90. Por tanto, la diagonal del cuo es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forman las dos diagonales y el lado. Si l es la medida del lado, l 0,78 5,6 1 dm. V 1 178 dm ) Los lados desconocidos del triángulo son los radios de la esfera, R. Por el teorema del coo, 1,64 R R R R cos 70 159,77 R 0,68R R 11,04 R 11 m A 4 11 150,5 m V 4 11 5575,8 m 7.59 Unos módulos para guardar ropa deajo de la cama tienen la ase con forma de sector circular. La amplitud de la misma es de 80 y su radio mide 60 centímetros. Si la altura de los módulos es de 0 centímetros, qué capacidad tienen? Si la ase fuera un círculo completo, la figura sería un cilindro, de modo que es una parte de él. A sector 6 0 80 51 cm 60 V 51 0 50 40 cm 151

PARA INTERPRETAR Y RESOLVER 7.60 Característica de Euler Para cada una de las siguientes figuras calcula el número E C V A, siendo C el número de caras, V el número de vértices y A el número de aristas. Qué propiedad oservas? 1: E C V A 6 9 0 1 : E C V A 5 6 9 : E C V A 4 8 1 0 4: E C V A 6 8 1 5: E C V A 5 10 15 0 4 6: E C V A 7 10 15 Las figuras con un agujero tienen E 0; las que carecen de agujero tienen E =. 5 6 7.61 Conservar el frío Una empresa está diseñando un tipo de conducto formado por un prisma hexagonal recuierto por un envoltorio de forma cilíndrica de material aislante capaz de conservar el frío. r El resultado es un prisma metálico, de ase un hexágono regular, inscrito en un cilindro de material aislante. La empresa cuenta con 10 metros cuadrados de plancha metálica para faricar una cierta longitud del prisma que forma el conducto. a) Halla la relación entre las áreas laterales del prisma y del cilindro. Depende de la altura? ) Calcula la superficie de material aislante que deerá adquirir la empresa para recurir la pieza metálica construida. a) El lado de la ase del prisma mide r. Para una longitud h del conducto: Área lateral del prisma hexagonal: A L1 6 r h Área lateral del cilindro: A L r h Relación entre las áreas laterales: A L 1 6 r A h r h, que no depende de h. 10 ) S 10,47 m S de material aislante. L 15

AUTOEVALUACIÓN 7.A1 Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sore la hipotenusa miden 5 y 8 centímetros. a) Calcula la altura sore la hipotenusa. ) Resuelve el triángulo. a) h 5 8 40 h 6, cm a 5 8 1 cm 5 1 65 8,06 cm c 8 1 104 c 10,0 cm ) Bp 8,06 0,6 Bp arc 0,6 8, 1 Cp 90 8, 51,68 7.A Calcula la medida de los lados y de los ángulos desconocidos. a) ) 18 cm 19 cm 5 a) Bp 55 5 1 8 18 a 1,8 cm a 5 tg 5 1 8 18 5,71 cm tg 5 65 a ) Bp 5 65 a 19 65 17, cm 1 9 cos 65 19 cos 65 8,0 cm 1 9 7.A Resuelve los siguientes triángulos. a) ) 4 0 m 85 1 m 16 m 0 a) Ap 180 0 4 116 16 16 0 14,1 m 4 0 4 16 a a 16 116 a 5,7 m 4 116 4 ) a 1 0 1 0 cos 85 50,16 a,41 m 0, 41 Bp 0 85 Bp 6,76 se n Bp s en 85, 41 Cp 180 85 6,76,4 15

7.A4 En un rectángulo se han unido los vértices de la ase con el punto medio del lado opuesto formando tres triángulos. 5,1 Calcula el perímetro y el área del rectángulo y del triángulo somreado. 6 cm El lado contiguo a 5,1 es la mitad de la ase del rectángulo, cm. La altura: a tg 5,1 4 cm. p rectángulo 6 4 0 cm A rectángulo 6 4 4 cm A triángulo 4 1 cm 7.A5 Halla la medida de los lados desconocidos de este trapecio rectángulo. 5 1 cm 15 cm h 5 tg 5, cm En el triángulo de la derecha, el ángulo inferior izquierdo es: Ap 90 5 65. 15 1 Por el teorema del o, Bp 46,47 65 se n Bp Cp 180 65 46,47 68,5 15 c c 15,4 cm 65 6 8,5 7.A6 La generatriz de un cono mide 6 centímetros y forma un ángulo de 67,8 con el radio de la ase. Halla el área total y el volumen del cono. El radio, r 6 cos 67,8 10 cm Altura, h 6 67,8 4 cm A L 10 6 816,81 cm A T 10 816,81 110,97 cm V 10 4 51 cm 154

MURAL DE MATEMÁTICAS MATETIEMPOS La parcela de mi auelo Mi padre ha heredado una parcela triangular de 400 metros cuadrados. Uno de sus lados está limitado por la casa de un vecino y los otros dos forman con ella ángulos de 55 y 90 de amplitud, respectivamente. Cuáles son las dimensiones de la parcela? El terreno forma un triángulo rectángulo. Si llamo a uno de los catetos y h al otro me queda el siguiente sistema: h a h 400 tg 55 h h 8 00 0 tg 55 8 00 800,67 m 800 tg 55 560,17 h,8 m tg 55 55 a,67,8 41,6 m 155