ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. En primer curso hemos estudiado los cuerpos: Q R C. Los números reales los construíamos, entre otras razones, para asegurar la existencia de raíces cuadradas de los números positivos. La ecuación x 2 + 1 = 0 no tiene solución en el cuerpo de los números reales, ya que para todo x R se tiene que x 2 0. El cuerpo de los números complejos se construye para que la ecuación anterior tenga solución. En general para poder definir la raíz cuadrada de cualquier número. Definición 1. Se llama conjunto de los números complejos C al conjunto dotado de dos operaciones, una C = R 2 = {(a, b) : a, b R }; suma: para todo z 1 = (a, b), z 2 = (c, d) C z 1 + z 2 = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) C; y un producto: para todo (a, b), (c, d) C (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) C. Los números complejos forman un cuerpo. Lo que quiere decir que podemos operar con ellos como lo hacemos con los números racionales o reales. Aunque tienen propiedades adicionales, por ejemplo todo complejo admiten raíces de cualquier orden. Teorema 1. C con su suma y su producto es un cuerpo de modo que N Q R C. También perdemos algo. 1
2 C. RUIZ Observación 1. En C no tenemos un orden (total) como en los números reales R. Claro, si lo hubiese, para todo z C, se tendría que z 2 0. Sin embargo tenemos que i 2 = 1 < 0 Definición 2. Dado un número complejo z = a + bi C, se llama parte real de z a Rez = a; se llama parte imaginaria de z a Imz = b; se llama conjugado de z al número complejo z = a bi. De las propiedades de la conjugación tenemos el siguiente resultado. Proposición 1. Sea a n z n +...+a 1 z +a 0 = 0 una ecuación polinómica de grado n, con coeficientes a 0, a 1,..., a n R. Si z C es una solución de la ecuación, entonces su conjugado z también lo es. Demostración: Por ser z una raíz del polinomio, se tiene que 0 = a 0 + a 1 z +... + a n z n Tomando conjugados y aplicando las propiedades de la conjugación, 0 = a 0 + a 1 z +... + a n z n = a 0 + a 1 z +... + a n z n = a 0 + a 1 z +... + a n z n = a 0 + a 1 z +... + a n z n. Lo que prueba que z es una raíz del polinomio Definición 3. Dado z = a + bi C, se llama módulo de z al escalar z = zz = a 2 + b 2. Observación 2. El módulo z de un complejo z es igual al módulo (o norma) de un vector z en R 2 ( z, la distancia de z al origen) y por tanto tiene las mismas propiedades: z 0; si z = 0, entonces z = 0. zw = z w para todo z, w C. z + w z + w para todo z, w C. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA. Como con las funciones reales, se pueden definir funciones complejas de variable compleja. Definición 4. Una aplicación f de C en C f : C C z f(z) se le llama función de variable compleja.
APUNTES E.D.O. 3 Ejemplo 1. Ejemplos de funciones de variable compleja son funciones polinómicas: f(z) = α n z n + α n 1 z n 1 +... + α 1 z + α 0 donde α 0, α 1,..., α n C ( en particular pueden ser todos o algunos reales). funciones racionales: f(z) = α nz n + α n 1 z n 1 +... + α 1 z + α 0 β m z m +... + β 1 z + β 0 donde α 0, α 1,..., α n, β 0,..., β m C ( en particular pueden ser todos o algunos reales). Otro ejemplo importante de función de variable compleja es la exponencial compleja. Definición 5. Para todo número complejo z C se define la función exponencial compleja por e z z n = n! n=0 Tomando módulos z en la serie y aplicando el criterio del cociente, vemos que la serie que define a la exponencial compleja converge absolutamente para todo z y por tanto es convergente. También se puede ver que la convergencia es uniforme en todo conjunto acotado de C. La convergencia ( o Topología ) en C es la misma que la que tenemos en el plano R 2 y viene dada por el módulo, la herramienta que nos permite medir distancias. El módulo nos permite dar la noción de límite y también de derivada. Definición 6. Dada una función f de variable compleja y un punto z 0 Domf de su dominio, se dice que b es el límite de la función en el punto z 0, (escribimos lím z z0 f(z) = b ) si y solo si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 de modo que si 0 < z z 0 < δ, entonces f es derivable f(z) b < ɛ. en el punto z 0 si existe el límite f(z) f(z 0 ) lím ; z z 0 z z 0 si existe este límite lo denotamos por f (z 0 ).
4 C. RUIZ Todo lo anterior es análogo a lo visto para funciones reales y se puede probar que las fórmulas de derivación son las mismas. Ejemplos 1. Sean f y g funciones de variable compleja derivables, entonces: (f + g) (z) = f (z) + g (z) (fg) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z) Si P (z) = α n z n + α n 1 z n 1 +... + α 1 z + α 0, entonces P (z) = nα n z n 1 + (n 1)α n 1 z n 2 +... + α 1. Si f(z) = e z, entonces f (z) = e z. Claro, como la serie de potencias, que define e z, converge uniformemente, se puede derivar término a término y lo que queda es la misma serie....etc. Las funciones de variable compleja derivables (también se llaman Holomorfas ) tienen buenas propiedades. Por ejemplo, si una función f es derivable en un disco de centro z 0 C y radio r > 0, entonces D(z 0, r) = { z C : z z 0 < r }, f(z) = f k) (z 0 ) (z z 0 ) k para todo z D(z 0, r). k! Es decir, si f es derivable, se puede probar que f tiene derivadas de todos los ordenes y además que coincide con su serie de Taylor (esto se estudiará en los cursos de Variable Compleja). También se verá que la exponencial compleja tiene las propiedades de la exponencial real: e z+w = e z e w para todo z, w C. Ahora dado z = a + bi C, por al propiedad anterior, se tiene que e z = e a+bi = e a e ib = e a (cos b + i sen b). La última igualdad se debe a la Fórmula de Euler que probamos a continuación. Proposición 2. (Fórmula de Euler ) Si t R entonces e it = cos t + i sen t
Demostración: e it (it) n = = n! n=0 ( 1) k t 2k = + i (2k)! APUNTES E.D.O. 5 i 2k t 2k (2k)! + ii 2k t 2k+1 (2k + 1)! ( 1) k t 2k+1 (2k + 1)! = cos t + i sen t donde hemos usado que i 2 = 1 y las expresiones en serie de Taylor de las funciones coseno y seno De aquí, se deduce la siguiente curiosidad ( curiosidad o la perfección del universo?). Observación 3. e iπ + 1 = 0. Departamento de Análisis Matemático y Matemática Aplicada, Facultad de Matemáticas, Universidad Complutense, 28040 Madrid, Spain E-mail address: Cesar Ruiz@mat.ucm.es