LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAICES (LGR) DEFINICIÓN: El lugar geométrico de las raíces es la trayectoria formada por las raíces de una ecuación polinómica cuando un parámetro de ésta varía. En el caso de Sistemas de Control, la ecuación polinómica resultante es la ecuación característica, y el LGR es la trayectoria en el plano S (complejo) de las raíces de ésta ecuación cuando algún parámetro está cambiando: P( + G ( H ( + + Q( Podemos ver más claramente el parámetro variable de la siguiente forma: P( + ó + ; con como parámetro variable. Q( Ejemplo: Sea S G ( H ( + S +, esto implica que la ecuación característica será: s + ) Y el lugar geométrico es: Figura. LGR para G(H(/s+). Nota: la finalidad de ésta sección es poder hacer el bosquejo del LGR (gráfica) a mano, contrastarla con los resultados arrojados por Matlab, y crear subrutinas para su elaboración.
EL LGR SE DIVIDE EN:. RL: porción del LGR cuando es mayor o igual a cero (positiva ), [, ). CRL: porción del LGR cuando es menor que cero (negativa), (-infinito,), la letra C al principio de RL significa que el CRL es el complemento del RL. 3. CR: contorno de las raíces, esto implica que hay más de un parámetro variando en la ecuación polinómica. CONSTRUCCIÓN DEL LGR A MANO Construir el LGR implica elaborar una gráfica en el plano S en donde X es la parte real (σ) y en Y la parte imaginaria (jw) de las raíces encontradas cuando varía en la función de transferencia G(H(; en el caso de que sea igual a cero, lo que se tienen son los polos del sistema, esto se demostrará más adelante.. Encontrar G(H( Dado el sistema: Figura. Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado. Y( La función de transferencia en lazo cerrado es: M ( R( Y la ecuación característica es: + G ( H ( G( + G( H ( En el caso de que nos den una ecuación polinomica, lo que hay que hacer es agrupar todos los términos que tengan la variable, y luego dividir por todos los términos restantes para que la función quede expresada como la ecuación anterior, esto es: S + 3S + S + es la ecuación polinómica o ecuación característica. S + 3S + ( S + ) Agrupamos los términos de. ( S + ) + Dividiendo por los términos que no contienen a, que es la forma S + 3S que queríamos obtener.. Número de ramas del LGR Con base en G(S)H( (función de transferencia en lazo abierto) del ítem anterior, encontramos el número de polos (n) y sus valores y el número de ceros (m) y sus valores. nnúmero de polos que es igual al grado de la ecuación característica m número de ceros o grado de la ecuación del numerador.
( S + ) Ejm: del ejemplo anterior tenemos: + S + 3S n, y los polos son S y S-3. m, y el zero es en S-. NOTA: El número de ceros debe de ser igual al número de polos (teorema de ecuaciones racionale, por lo tanto sí solo hay un cero finito (que posee valor), implica que el otro cero está en infinito. De ésta manera tendríamos ceros en S- y en S. La nomenclatura en el LGR es una X para cada polo y un para cada cero finito. Teniendo lo anterior claro, se define el número de ramas como el número de polos del sistema, o sea, el grado de la ecuación característica. Las ramas son trayectorias que van desde -, pasan por y se van a. Ejm: G ( H ( y su LGR se muestra en la gráfica, pueden verse s + ) ramas, una verde y la otra azul, y como no hay ceros finitos, los ceros estarán en S + y en S -. Rama verde: va desde - pasa por el polo en S- y se va a S -. Rama azul: va desde - pasa por el polo en S y se va a S. 3. Asíntotas y su intersección Las asíntotas nos darán una idea de por donde se irán las ramas del LGR, de allí su importancia para elaborar un bosquejo a mano. Para RL: (i + ) i 8, para i,,,. n-m -. Para CRL: o sea, para el complemento del anterior. i i 8, para i,,,. n-m -. Intersección de las asíntotas: Polos _ finitos ceros _ finitos int, cuando se tienen pares complejos conjugados, la parte imaginaria se cancela, por lo tanto la ecuación anterior se puede reducir tomando solo las partes reales tanto de los polos como de los ceros. Ejm: de G ( H ( tenemos: n polos en S y S-, y dos ceros en el s + ) infinito, ya que no son finitos o no existen en la función de transferencia. n-m, i va hasta n-m -.
RL: (i + ) i 8 ( + ) 8, ( + ) 8 Las asíntotas están en 9 y 7 grados. CRL: i i 8 8, 8 Las asíntotas están en y 8 grados. Intersección Polos _ finitos ceros _ finitos ( ) () int int Θint -.5. De la gráfica, se puede ver que en S -.5, está la intersección de las asíntotas, para el RL los ángulos son 9 y 7 por lo tanto las ramas desde (polo en S) hasta, y (polo en S -) hasta -, se van por estas asíntotas respectivamente, mientras que para - hasta (polo en S-) y hasta (polo en S), las ramas vienen por todo el eje real siguiendo las asíntotas 8 y grados respectivamente. 4. Condición de Magnitud y Ángulo Con el fin de establecer sí un punto del plano S, pertenece al LGR lo que se hace es primero aplicar la condición de ángulo, luego de estar seguros de que sí pertenece se le aplica la condición de magnitud y se encuentra el valor de. Condición de Ángulo RL: ( ceros ( i + ) 8 para >. CRL: ( ceros polos ( i) 8 para <. Esto implica que sí el ángulo es un número entero par múltiplo de 8 pertenece al RL, pero si por el contrario es un múltiplo impar, pertenece al CRL. Ejm: Dado
Figura 3. Configuración de polos (x) y ceros () de G(H( Se quiere comprobar sí el punto S pertenece al LGR. RL: G ( ceros ( i + ) 8 para >. CRL: ( ( Z) ( P + P + P3 ) 8 ( ceros ( i) 8 ( ( Z) ( P + P + P3 ) para <. Condición de Magnitud Con ésta encuentro el valor de, y para hacerlo parto de la ecuación característica. + que es igual a:, igual a: Por lo tanto: n m ( polos ) ( ceros ) n m s s + + p z j k, donde el símbolo π representa una productoria, esto es el producto de las magnitudes de los vectores existentes entre el punto S (al que queremos calcularle el valor de, ya que pertenece al LGR) y los polos y ceros del sistema. En el caso de que sea > implica RL, en caso contrario CRL.
Continuando con el ejemplo, vemos que las magnitudes de los polos al punto S son: B, C y D, mientras que la magnitud del vector que va desde el cero hasta S es: A. n m ( polos ( ceros ) ) B C A D 5. LGR sobre el eje real Para observar la porción del eje real que pertenece al LGR lo que se debe realizar es aplicar la condición de ángulo de la siguiente forma: RL: sí el número total de polos + ceros es impar, ( ceros ( i + ) 8 CRL: sí el número total de polos + ceros es par, ( ceros ( i) 8 para <. Esto se logra ver más fácilmente en la gráfica: Figura 4. LGR sobre el eje real Tomamos un punto S sobre el eje real, lo movemos a lo largo de este y observamos con la condición de ángulo para cual de los dos RL o CRL cumple. Primer tramo (eje real positivo): a la derecha implica. # polos + # ceros, cero es par, por tanto implica CRL, esto lo podemos ver de la siguiente forma, cada polo y cero me forma un ángulo de cero grados con el punto S que esta a la derecha, excepto los polos complejos, que tendrían dos ángulos, pero por ser complejos conjugados sus ángulos serían de igual magnitud pero de sentido contrario, lo que implica que al sumarse se cancelan. ( H ( ceros ( + ) ( + teta teta + + ), múltiplo par de 8.
Segundo tramo (entre los polos complejos y el polo en S): a la derecha tenemos. # polos + # de ceros, implica RL. ( ceros polos ( + ) (8 + teta teta + + ) 8 que es múltiplo impar de 8. Tercer tramo (entre el tercer polo y los polos complejo: a la derecha tenemos. # polos + # de ceros3, implica RL. De esto se puede observar que los polos complejos no influyen sobre el LGR en el eje real. ( ceros polos ( + ) (8 teta + teta + + ) 8, múltiplo impar de 8. Cuarto tramo (entre el primer cero y el tercer polo): a la derecha tenemos. # polos + # de ceros4, implica CRL. ( ceros polos ( + ) (8 teta + teta + 8 + ) 36, que es múltiplo par de 8. Quinto tramo (entre el 4 polo y el cero): a la derecha tenemos. # polos + # de ceros5, implica RL. ( ceros polos (8 + ) (8 teta + teta + 8 + ) 8, que es múltiplo par de 8. Sexto tramo (entre el segundo cero y el cuarto polo): a la derecha tenemos. # polos + # de ceros6, implica CRL. ( ceros polos (8 + ) (8 teta + teta + 8 + 8) 36, que es múltiplo par de 8. Último tramo (a la izquierda del segundo cero): a la derecha tenemos. # polos + # de ceros7, implica RL. ( ceros polos (8 + 8) (8 teta + teta + 8 + 8) 8, que es múltiplo par de 8. 6. Ángulos de llegada y salida El ángulo de partida o llegada a los ceros o polos está determinado por la tangente del LGR en un punto muy cercano a los ceros o polos. Y se determina aplicando la condición de ángulo.
CONSTRUCCIÓN DEL LGR EN COMPUTADOR EN MATLAB Las instrucciones que me permiten realizarlo son rlocus, y rltool. Como utilizarlos: Definimos kg(s)s)/ Ejm: G ( H ( s + ) Num[] Den[ ] Y el LGR se obtiene con rlocus así: rlocunum,den) Para utilizar rltool necesito: Systf(num,den) Esto lo debo de hacer ya que rltool es un objeto, por eso primero debo de definir el sistema tal cual como esta G(H(. rltool(sy Me muestra el LGR y me da la opción de ver el valor de en cualesquier punto del LGR. Además me brinda la opción de generar el Bode, Nyquist, la respuesta en el tiempo para un escalón, o una rampa. Diseñando el algoritmo: El LGR es la trayectoria que forman las raíces de la ecuación característica cuando cambia un parámetro, por tanto. + lo puedo representar como: den ( +, y a partir de esta cambiar y encontrar las raíces. Sí G ( H (, entonces mi ecuación caracteristica es: s + s + s + ) Algoritmo: for k-5:.5:5 % creo un ciclo que va desde -5 hasta 5 en incrementos de.5. EC[ k]; % defino la ecuación caracteristica del sistema RArootEC); % obtengo las raices plot(real(ra),imag(ra), X ) % gráfico la parte real Vs parte imaginaria hold on % superpongo las gráficas end % culmina el ciclo