8 LAS SUPERFICES COMO LUGARES GEOMÉTRICOS Como hemos dicho en la página del presente capítulo, los planos, la superficie esférica, los cilindros los conos pueden tratarse con relativa facilidad en el espacio tridimensional, definiéndolos como lugares geométricos. La Superficie esférica: Decimos que la superficie esférica es el conjunto de los puntos del espacio tridimensional que equidistan de un punto fijo llamado centro. Análogamente a lo que hicimos al tratar la circunferencia, dibujamos el lugar geométrico, por aplicación del teorema de Pitágoras para el espacio tridimensional, obtenemos la ecuación: r que corresponde al caso particular de una superficie esférica con centro en el origen del sistema de coordenadas radio r. Actividad: definida la superficie esférica como lugar geométrico, encontrar su ecuación en el caso de centro desplaado del origen de coordenadas.. (, ) P o o, 0
9 Superficies cilíndricas Son las generadas por una recta que se mueve manteniéndose paralela a una dirección dada pasa siempre por un punto de una curva plana. La recta móvil recibe el nombre de generatri la curva fija se denomina directri de la superficie cilíndrica. Para nuestro estudio particular consideraremos que la directri es una curva ubicada sobre una de los planos coordenados. Ejemplo: Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica cua directri es la parábola. ; 0 cua generatri tiene como vector director OP d (,,) P O P Supongamos que cuando la generatri pasa por P (,,) corta a la directri en P(,o); las ecuaciones de la recta son: Como Pestá sobre la parábola, resulta que sus coordenadas deben satisfacer la ecuación, es decir: ; 0
0 Despejando ; de las ecuaciones de la recta ( ) ( ) introduciendo los valores hallados en la primera de las ecuaciones de la parábola. ( ) ( ) 0 es la ecuación de la superficie buscada. Acabamos de ver como se determina la ecuación de una superficie cilíndrica conociendo las ecuaciones de su directri un vector director de su recta generatri. El problema inverso consiste en encontrar las ecuaciones de la directri un vector director de la recta generatri a partir de la ecuación de una superficie cilíndrica. Para ello seguimos el siguiente ejemplo: Demostrar que la ecuación corresponde a una superficie cilíndrica hallar las ecuaciones de su directri un vector director de su recta generatri. Las secciones de la superficie con k son las curvas de ecuaciones. k k k ; k, o bien ( k ) ( k) ; k Las ecuaciones precedentes son las epresiones analíticas de las circunferencias de radio igual a, cualquiera sea k, ubicadas sobre planos paralelos al plano. ecuaciones En particular para k0 obtenemos ; 0 la circunferencia de
En consecuencia, la superficie estudiada es un cilindro circular de directri ; 0 La recta que une el centro (-k,k,k) de cualquier circunferencia el centro (0,0,0) de la directri es paralela a la generatri; un vector director de esta recta es (-,,) entonces, estas son las componentes de un vector director de la generatri. ( ) P,, En el caso particular en que la generatri de un cilindro sea perpendicular al plano de la directri, diremos que se trata de un cilindro recto. Como veremos más adelante los cilindros rectos resultan de gran utilidad en el estudio de la forma de cualquier superficie cuádrica a que permiten interpretar la misma cuando se conoce su ecuación. Al igual de lo que sucede con los planos paralelos a un plano coordenado resulta sencillo admitir que la ecuación de una superficie cilíndrica recta, cua recta generatri es perpendicular al plano de su directri, carece de término en la variable que corresponde a la dirección de la generatri; es decir que, si la generatri es paralela al eje (para el caso de directri circular), el cilindro tiene analíticamente el aspecto k; k0; conk k 0 cons tan tes, no necesariamenteiguales Por ejemplo; la ecuación en E corresponde a un cilindro de directri elíptica generatri paralela al eje.
Además de los cilindros de directri oblicua se presentan los siguientes casos de cilindros rectos:: r r cilindrocircularrecto a b cilindroelípticorecto Nota: los cilindros de directri circular elíptica, tienen el mismo aspecto visual en raón de la perspectiva necesaria para representar en el plano figuras del espacio tridimensional.
p cilindro parabólicorecto a b cilindrohiperbólicorecto
Superficies cónicas: Se llama superficie cónica o simplemente cono a la generada por una recta (generatri) que se mueve pasando siempre por una curva plana fija llamada directri por un punto fijo que recibe el nombre de vértice, no contenido en el plano de la directri. El vértice divide al cono en dos partes que reciben el nombre de ramas, hojas o napas. eje α V Generatri Conocidas las ecuaciones de la curva directri las coordenadas del vértice puede obtenerse la ecuación de la superficie.
5 Ejemplo: Hallar la ecuación de la superficie cónica cua directri es la elipse: ; estando el vértice en el punto V(,,). Suponemos que la generatri que pasa por el punto P(,,) de la superficie corta a la directri en el punto P(,,) siendo las ecuacionnes de esta generatri: Como P está sobre la elipse directri, sus coordenadas satisfacen la ecuación de la misma, es decir:. ;. Podemos eliminar,, de la siguiente forma a) sustituimos en las ecuaciones de la generatri b) despejamos en función de e ) ( c) despejamos en función de, ) ( ) ( 9 d) reemplaando los valores obtenidos en 9 ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) 9 ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( )( ) ( ) [ ] 9 9
[ 8 9 (6 6)( ) ] [ 9 5 8 ( 6 8)( ) 9 8 9] 9 [ 6 7 6 8 ] [ 9 6 8 9 ] 9 9 5 8 6 8 5 9 0 6 9 8 96 0 7 07 0 que es la ecuación que buscamos. 9 6 5 8 8 8 5 5 8 7 8 5 8 Una ecuación representa una superficie cónica con vértice en el origen de coordenadas si es homogénea en las tres variables es de grado no menor que dos. Cuidado!!!: La ecuación 0 es homogénea en,,, pero no es la epresión analítica de una superficie cónica sino solo un punto: el origen de coordenadas. Para que sea una superficie cónica tiene que tener un término de diferente signo o bien dos variables multiplicadas en un término, cada una de ellas elevada a la primera potencia, como en el ejemplo que sigue:. Ejemplo: Identificar construir la superficie de ecuación 0 La ecuación se satisface para el origen 0 pero tiene un número infinito de soluciones asignando valores de diferente signo a las variables,. Para construir la superficie debemos obtener la directri: para, la directri es ;, que resulta ser una parábola en el plano. Actividad: Efectuar una representación gráfica de la superficie estudiada.
7 Superficies de revolución Se genera por una rotación de una curva plana alrededor de una recta fija contenida en el plano de la curva. La curva recibe el nombre de generatri la recta fija se denomina eje de revolución de la superficie. Una posición cualquiera de la generatri se llama sección meridiana cada circunferencia que contenga un punto cualquiera de la generatri se denomina paralelo de la superficie. La esfera, el cilindro circular recto el cono circular recto son ejemplos de superficies de revolución. También, bajo ciertas condiciones que veremos al realiar cada estudio, pueden ser superficies de revolución el elipsoide, el hiperboloide de una hoja, el hiperboloide de dos hojas el paraboloide elíptico A efectos de simplificar las ecuaciones consideraremos la generatri en uno de los planos coordenados el eje de revolución será uno de los ejes coordenados de ese plano. generatri P C P eje de revolución
8 Suponemos que la generatri ubicada sobre el plano tiene por ecuación f (, ) 0 ; 0 siendo el eje de revolución el eje. Sea P(,,) un punto de la superficie. El paralelo que pasa por P corta a la generatri en un punto P del plano su centro está sobre el eje. Por ser radios del mismo paralelo CP CP CP CP Resultando ± como P P están en el mismo plano El punto P está ubicado sobre la generatri por ello podemos escribir: f (, ) 0 ; 0 Eliminando entre las ecuaciones anteriores obtenemos f (, ± ) 0 que es la ecuación buscada de la superficie de revolución. Con igual raonamiento, si hacemos girar la curva generatri alrededor del eje, la superficie seráf ( ± ; ) 0
9 Ejemplo: Hallar la ecuación de la superficie generada por la rotación de la hipérbola ; 0 alrededor del eje Solución: De acuerdo a lo visto, sustituimos por ecuaciones, obteniéndose: ( ) ± en la primera de las que es la ecuación de la superficie buscada. Ejemplo : Demostrar que la ecuación 9 9 9 representa una superficie de revolución. Hallar su eje de revolución la ecuación de la generatri de uno de los planos coordenados que contenga al eje. Solución: Los planos k cortan la superficie en las circunferencias 9 9 9 k ; k cuos centros están sobre el eje. Por esta raón 9 9 9 representa analíticamente una superficie de revolución cuo eje de revolución es el eje. La traa en la superficie sobre el plano 0, o sea la generatri es la curva de ecuaciones: 9 9 ; 0 Actividad: Interpretar geométricamente este problema.
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