6. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS EN ESTA UNIDAD VAS A APRENDER ÁREAS POLÍGONOS RECTÁNGULO CUADRADO PARALELOGRAMO TRIÁNGULO TRAPECIO ROMBO POLÍGONO IRREGULAR FÓRMULA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CÍRCULO FÓRMULA FIGURAS IRREGULARES Colegio Vizcaya Áreas de figuras planas - 119
PARA EMPEZAR 1. Calcula el área y el perímetro de una habitación rectangular de dimensiones 7,4 m y 3,5 m.. Halla el área de una parcela triangular de 0 cm de base y 15 cm de altura. 3. Halla el perímetro y el área de un círculo de 0 cm de radio. 4. Las bases de un trapecio isósceles miden 73 cm y 8 cm. Calcula su área sabiendo que su altura mide 0 cm. 5. Halla el área de los siguientes polígonos: a) Un cuadrado de 48 cm de perímetro. b) Un rectángulo que tiene 100 cm de perímetro y 40 cm de base. c) Un triángulo cuya base mide 18 cm y su altura 10 dm. d) Un rombo cuyas diagonales miden 10 y 16 cm. Áreas de figuras planas - 10 Colegio Vizcaya
PARA APRENDER ÁREA DEL RECTÁNGULO Observa el largo y el alto del rectángulo. 3 cm A lo largo (base = b) tiene 4 cm. A lo alto (altura = h) tiene 3 cm. 1cm 4 cm En total, para cubrir todo el rectángulo hemos necesitado. * El área de un rectángulo se calcula multiplicando su base por su altura. A rectángulo = b h h b ÁREA DEL CUADRADO Un cuadrado es un caso particular de rectángulo en el que la base y la altura son iguales al lado (l). En total, para cubrir el cuadrado hemos necesitado 3 3 = 3 = 9 cm. 1cm * El área de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado su lado. A = l l=l cuadrado h b ÁREA DEL PARALELOGRAMO Tomamos un paralelogramo cualquiera y dibujamos su altura: Cortamos siguiendo la altura y así obtenemos dos piezas: El triángulo lo desplazamos a la derecha y lo unimos con la otra pieza: Obtenemos un rectángulo que tiene la misma base y altura que el paralelogramo del inicio. Entonces el paralelogramo y el rectángulo tienen la misma área porque se componen de las mismas piezas. * El área de un paralelogramo se calcula multiplicando su base por su altura. A paralelogramo = b h h b Colegio Vizcaya Áreas de figuras planas - 11
PARA PRACTICAR. Calcula el área de un rectángulo cuyos lados miden 1'5 y 13'5 cm. 3. Calcula el área de un cuadrado cuyo perímetro es igual al de un rectángulo de lados 5 y 3 cm. 4. Se quiere embaldosar un suelo de 1 m de largo y 8 de ancho con baldosas cuadradas de 0'5 m de lado. Calcula el área del suelo y de las baldosas, así como la cantidad de baldosas necesarias para embaldosar el suelo. 5. Un paralelogramo tiene 5 cm de altura y una base que mide cinco veces más que la altura. Calcula su área. 6. Calcula el área de un paralelogramo de 4 cm de perímetro y 1 cm de altura. PARA APRENDER ÁREA DEL TRIÁNGULO Tomamos un triángulo: Cogemos otro triángulo igual que el anterior y lo unimos haciendo coincidir dos lados iguales para obtener un paralelogramo. La base y la altura del paralelogramo son la base y la altura de cada triángulo. Además, el área de cada triángulo es la mitad de la del paralelogramo. * El área de un triángulo se calcula multiplicando su base por su altura y el resultado se divide entre. A = triángulo b h h * Si el triángulo es rectángulo, se toma como base uno de los catetos y como altura el otro. h b b Áreas de figuras planas - 1 Colegio Vizcaya
ÁREA DE UN TRAPECIO Como hemos hecho para calcular el área del triángulo, para calcular la del trapecio también vamos a tomar dos trapecios iguales y los vamos a unir por uno de los lados oblicuos: b B+b h h De esta forma se obtiene un paralelogramo de base (B+b) y de altura h. El área del paralelogramo será: B paralelogramo ( ) A = B+b h B+b Entonces la del trapecio que es la mitad de la del paralelogramo será: A = trapecio ( B+b) * El área de un trapecio se calcula multiplicando la suma de las dos bases por la altura y dividiendo el resultado entre. b A = trapecio ( B+b) h h B h ÁREA DEL ROMBO Observa el siguiente rombo: D d Tiene dos diagonales. A la diagonal menor la indicamos con la letra d. A la diagonal mayor la indicamos con la letra D. Si lo cortamos por la mitad, nos damos cuenta de que está compuesto por dos triángulos iguales: La base de uno de los triángulos es la diagonal menor (d) y la altura es la mitad de la diagonal mayor (D/) b h d (D/) A triángulo = = d D/ Como el rombo son dos triángulos: A = rombo d D * El área de un rombo se calcula multiplicando sus dos diagonales y dividiendo el resultado entre. A = rombo Dd D d Colegio Vizcaya Áreas de figuras planas - 13
PARA PRACTICAR 7. Calcula el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 13'5 y 1'3 cm. 8. Calcula el área de un triángulo equilátero cuyo perímetro es 15 cm. 9. Calcula el área de un rombo cuyas diagonales miden 5 y 16 cm. 10. Calcula el área de un trapecio de 7 cm de altura y cuyas bases miden 9 y 5 cm. 11. Calcula el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 1 y 15 cm y su lado oblicuo mide 5 cm. PARA APRENDER ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR Vamos a calcular el área del siguiente polígono regular: Si trazamos todos sus radios, vemos que el polígono queda dividido en 6 triángulos iguales: Si calculamos el área de uno de esos triángulos, bastará con multiplicar el resultado por el número de lados y así obtendremos el área del polígono. Tomemos uno de esos triángulos: La base del triángulo es el lado (l) del polígono. La altura del triángulo corresponde con el apotema (a) del polígono a a b h l a A triángulo = = l l Áreas de figuras planas - 14 Colegio Vizcaya
Ahora multiplicamos por el número de lados: l a A hexágono = 6 Como 6 l = perímetro: A = hexágono pa * El área de un polígono regular se calcula multiplicando su perímetro por su apotema y dividiendo el resultado entre. A = polígono regular pa l a ÁREA DE UNA FIGURA IRREGULAR Para calcular el área de una figura irregular, ésta se descompone en figuras más sencillas de las que sepamos calcular su área (triángulos, rectángulos, trapecios, ). Se calcula el área de cada una de esas figuras y luego se suman todas las cantidades. ÁREA DEL CÍRCULO * El área de un círculo se calcula elevando al cuadrado su radio y multiplicando por π. Acírculo = π r Recuerda: r Longitud de la circunferencia: L = d π = r π ÁREA DE UNA CORONA CIRCULAR Calcula el perímetro y el área de la siguiente corona circular. cm 5 cm Podrías dar una fórmula para el área de una corona circular? Colegio Vizcaya Áreas de figuras planas - 15
PARA PRACTICAR 1. En una mesa hexagonal se quieren sentar seis alumnos. Qué superficie le corresponde a cada uno si la mesa tiene 4'8 m de lado y su apotema es 4' m? 13. El edificio del Departamento de Defensa de Estados Unidos tiene forma de pentágono regular. Si los lados miden 10 m y su apotema mide 85 m, calcula los km que ocupa. 14. Calcula el área de las siguiente figura: 1 m 5 m m m 10 m 16 m 15. Calcula la superficie de una bandeja circular de 40 cm de diámetro. 16. Calcula el área de la siguiente figura: 40 m 100 m 17. Calcula el área de un jardín que tiene forma de corona circular de 16 y 1 cm. 18. En una plaza circular de 10 m de radio se quiere colocar en el centro una fuente de forma circular de 5 m de radio. Qué área tiene la plaza que rodea a la fuente? 19. Una plaza de toros tiene 50 m de radio y el pasillo de detrás de la barrera es de 3 m. Calcula el área del pasillo. Áreas de figuras planas - 16 Colegio Vizcaya
PARA ENTRENAR 0. Calcula el perímetro y el área de un triángulo equilátero de 4,5 cm de lado y,6 cm de altura. 1. Halla el área de un hexágono regular cuyo lado mide 6 cm y su apotema es de 40 mm.. Calcula el área de un trapecio cuyas bases miden 8 y 5 m y su altura es de 45 dm. Calcula el perímetro del trapecio anterior. 3. Cuánto medirá el área de cada uno de los cuatro triángulos iguales que se forman al dibujar las dos diagonales de un rombo, si éstas miden 9,4 cm y 6,6 cm? 4. Un rectángulo tiene 1 cm de área. a) Cuánto mide la altura de dicho rectángulo, si su base es de 17 cm? b) Calcula su perímetro. 5. El perímetro de un pentágono regular es de 45 cm, y su apotema de 64 mm. Cuál es su área? 6. Calcula el área de un círculo de 9 cm de diámetro y la longitud de su circunferencia correspondiente. 7. Calcula el área de un círculo sabiendo que su circunferencia mide 3,768 dm. 8. Averigua el perímetro y el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 58 y 48 mm, respectivamente y su lado oblicuo 1 3 cm. Colegio Vizcaya Áreas de figuras planas - 17
8m 4m 7 4 m 8m 7m 10 cm 9. Calcula la superficie de las siguientes figuras. a) b) c) d) i) j) k) l) 5m 3 5 m 6m 5 m 5m 4m e) f) g) h) 4m 1 m 3 5 m 8 7 dm 8 m 1 m 10 dm 6cm 9m 6 4 cm 4cm 4cm 7cm 3cm m) 8 m n) o) p) 8m 6m 8m 4 cm 9m 1 m 4m b=? A=50 cm 4m 1 m 5m 8m 1 m q) 5m r) d=4 m s) t) D=? 3m 15 m b=? a=? A=16 m A=1 cm u) B=1 cm v) x=? w) x) 10 m 5cm 10 m 6 9 m 10 m l=? l=9 m A=60 m A=165 5 m 6m 9 m 5m A=60 m Áreas de figuras planas - 18 Colegio Vizcaya
10 m 30. Calcula la superficie de un hexágono regular de 8 cm de lado. 31. Un jardín de forma rectangular de 48 m de largo por 36 m de ancho se ha sembrado de hierba, dejando un paseo alrededor de 3 m sin sembrar. Cuánto habrá costado la siembra si nos cobran a 15 el m? 3. Calcula el área de las siguientes figuras: 3 m 6 m 8 cm 6 cm 5 m 4 m 30 m 7 m 0 m 5 m 6 3 m 6 m cm 1 5 m 15 m 6m 3cm 5cm cm 6cm 33. El área de un triángulo es 18,86 cm. Si la altura mide 4,6 cm, cuánto mide la base? 34. El lado de un rectángulo es doble que el otro y su perímetro es de 1 cm. Averigua su área. 35. La base de un triángulo isósceles mide 3 cm y los otros lados 38 cm cada uno. Calcula su perímetro y su área. 36. Halla el perímetro y el área de: m 3m 5m Colegio Vizcaya Áreas de figuras planas - 19
37. Una piscina rectangular de 10 m de largo por 5 m de ancho está rodeada por un paseo de 40 cm. Cuánto mide el borde exterior del paseo? 0 4 m 0 4 m 38. Encuentra el área de las figuras coloreadas, sabiendo que el cuadrado es de cm de lado. 39. Halla el área de la figura coloreada: 3cm 5cm 4cm 40. Calcula el área de un triángulo cuya base mide 18 cm y su altura /3 de la base. 41. Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de cm de radio. Dibújalo y calcula el área del recinto comprendido entre ambas. 4. Para embaldosar un patio rectangular, se han necesitado 175 baldosas de 0 dm cada una. Cuántas baldosas cuadradas de 50 cm de lado necesitaremos para cubrir el patio, idéntico, de mis vecinos? Áreas de figuras planas - 130 Colegio Vizcaya
43. El área de un rombo es 4 cm. Si una de sus diagonales mide 8 cm, cuál será su perímetro? 44. Calcula el área de las figuras coloreadas: cm 3cm 1cm 0 cm 45. Koldo quiere poner baldosas en su habitación que mide 3 cm de ancho por 4 8 cm de largo. Las baldosas son cuadradas de 40 cm de lado. Calcula cuánto le costará si cada baldosa cuesta 4 y la mano de obra 11 el m. 46. Una fuente circular de 5 m de radio está rodeada de un paseo de 3 m de ancho. Cuántos metros necesita el jardinero para vallar el paseo? Cuánto cuesta embaldosar el paseo si sale a 5 el m? 47. Calcula el área del jardín interior del Pentágono (Washinton) suponiéndole 50 m de lado y 35 m de apotema. Colegio Vizcaya Áreas de figuras planas - 131
48. Calcula el área de la siguiente figura sabiendo que el cuadrado exterior tiene un lado de 7 cm. 49. Calcula el perímetro y el área del siguiente círculo: 10 cm 50. Calcula la longitud del contorno y el área de la parte coloreada: 8m 8m 51. En un parque circular de 10 m de radio se quiere colocar en el centro una fuente también circular de 5 m de radio. Qué superficie del parque rodea a la fuente? 5. Alrededor de un campo circular de 11 m de radio se construye un paseo de m de ancho. Cuál será el área del paseo? 53. Un agricultor tiene un campo cuadrado cuyo lado mide 30 m. Vende una franja de 1 m de ancho. Cuántos m le quedan para sus cultivos? Áreas de figuras planas - 13 Colegio Vizcaya
54. Halla el área de las siguientes figuras: 10 mm 3m 4m 4m 7m 6m 15 7 1 cm 3cm 4cm 8cm 5 5 cm 5m 4 33 m 5m 5m 6 dam 6 dam 6 dam 4 dam Colegio Vizcaya Áreas de figuras planas - 133
55. Calcula la altura de un triángulo cuya base es de 1 cm y su área de 30 cm. 56. Calcula el perímetro y el área de un trapecio de bases 4 y 1 cm, si su altura es de 0 85 m. 57. Cuál es la superficie de una corona circular cuyos radios son 40 y 18 cm? 58. Una vaca está atada a un árbol que se encuentra en un prado. Si la cuerda tiene 1 m de longitud, cuál es el área de prado que se halla al alcance del animal? 59. En un campo de fútbol el radio del círculo central mide 9,15 m. Calcula la longitud de la circunferencia central que hay que pintar. 60. Calcula el área y el perímetro de: 38 m 1 cm 30 m 4 m 10 4 cm 1 m 0 m 5 dam 49 dam 3 dm 15 dm 48 dm 6km Áreas de figuras planas - 134 Colegio Vizcaya
61. Calcula el área de los siguientes polígonos descomponiendo en suma de triángulos. Las cuadrículas son de 1 cm. 6. Un terreno tiene forma de rombo. Si las diagonales miden 180 m y 90 m, cuál debería ser el lado de un cuadrado de igual área? 90 m 180 m 63. Un terreno tenía forma cuadrangular. Posteriormente le añadieron dos parcelas que son triángulos rectángulos isósceles. Sabiendo que el área del cuadrado mide 1600 m, calcula cuánto costará vallar la nueva parcela, si el metro cuadrado de valla cuesta 36 0. 64. Se fabrica un espejo con forma de octógono regular como el de la figura. Calcula su área. 80 cm 96 6 cm 65. Se colocan 9 discos de 1 m de diámetro según el dibujo. Calcula el área de la región coloreada. 66. El perímetro del cuadrado interior es de 3 cm. Calcula el área y el perímetro del cuadrado exterior. Colegio Vizcaya Áreas de figuras planas - 135
67. Calcula el área de la figura: 5 m 1m m 1m 1m 1m 1m 1m 1m 1m 68. Los arcos de la figura siguiente pertenecen a circunferencias de 6 m de radio. Calcula su área. Áreas de figuras planas - 136 Colegio Vizcaya