-PA-0 FACTORIZACION V0 Página de 9 NOCION: FACTORIZACIÓN Factorizar un número consiste en epresarlo como producto de dos de sus divisores. Ejemplo: Factoriza 0 en dos de sus divisores :, es decir 0 = Y en álgebra, qué será factorizar una epresión algebraica? Cuando realizamos las multiplicaciones: i) ( + ) = 6 + ii) ( + 7)( + ) = + + entonces vemos que las epresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las epresiones a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación. La factorización es de etrema importancia en la Matemática, así es que debes tratar de entender lo más que puedas sobre lo que vamos a trabajar. Eisten varios casos de factorización:. FACTOR COMUN MONOMIO : Factor común monomio: es el factor que está presente en cada término del polinomio: Utilizando la propiedad distributiva, como puede observar a continuación, transforma productos en sumas y restas, como: o Vamos a hacer la operación al revés. Transformar sumas o diferencias en productos. NO CUALQUIER SUMA O CUALQUIER DIFERENCIA SE PUEDE TRANSFORMAR EN PRODUCTO! Observa las siguientes epresiones y completa la tabla: Número de términos Eiste algo en común en cada epresión? Una epresión algebraica se puede factorizar empleando la técnica del factor común, si todos los términos que la conforman poseen una parte común, ya sea numérica o literal. Ejemplo N : Cuál es el factor común monomio en + 8y - z? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6 + 6 y - 6 z = 6( + y - z) Ejemplo N : Cuál es el factor común monomio en: a - ab - 0ac?
El factor común entre los coeficientes es y entre los factores literales es a, por lo tanto a - ab - 0ac = a a - a b - a c = a(a - b - c) Ejemplo N : Cuál es el factor común en 6 y - 0y + y? El factor común es 6y porque 6 y - 0y + y = 6y( - y + y) Realiza los siguientes ejercicios: EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios:. 6 - =. - 8y =. a - ab =. 0 - =. m n + 7mn = 6. m -0 am = 7. 8a - 6a = 8. a + b + c = 9. b -b = 0. a b - b =. a - b + =. ab + 6ac - 9ad =. 0 - y + z =. 6-0 + =. 0 y - y + y = 6. m n + m n - 6m n = 7. + 6 + 8 - = 8. 0p q + p q - 8p q - 6p q = 9. m n p + m n p - m 6 n p + m n p = 0. 8 y y 9. a b a b a b a b 8 6. 8 6 a b ab a b a b EJEMPLO N. Factoriza ( a + b ) + y( a + b ) = Eiste un factor común que es (a + b) = (a + b ) + y( a + b ) = = (a + b )( + y ) EJEMPLO N. Factoriza a(m - n) - b (m - n ) = = a(m - n) - b (m - n ) = (m - n )( a - b ) EJERCICIOS.. a( + ) + b ( + ) =. m(a + b ) + p ( a + b ) =. ( p + q ) + y ( p + q ) = 6. ( a + ) - b (a + ) = 7. ( - ) + c( - ) = 8. a( + ) - ( + ) = 9. ( + y )(n + ) - (n + ) = 0. (a + )(a - ) - ( a - ) =. (a( a + b ) - b ( a + b ) =. ( + )( - r ) - ( - )( - r ) =. FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO. Se trata de etraer un doble factor común. EJEMPLO N.
Factoriza ap + bp + aq + bq Se etrae factor común p de los dos primeros términos y q de los dos últimos p(a + b) + q( a + b ) Se saca factor común polinomio ( a + b ) ( p + q ). a + ab + a + b =. ab + a + b + 6 =. ab - a - b + 0 = 6. ab + a - b - = 7. am - bm + an - bn = 8. - 9a - + a = 9. - b + y - by = 0. 6ab + a - b - 0 =. a - b + b - 6a =. a + a + a + =. ac - a - bc + b + c - c =. 6ac - ad - 9bc + 6bd + c - 0cd =. a - ay - b + by - c + cy = 6. am - 8bp - bm + ap = 7. 8 - - y + y + z - 0z = 8. 0 z y yz 7z 9. 8 6 am am bm bn. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA + b + c El trinomio de la forma + b + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso: EJEMPLO N. Descomponer + 6 + Hallar dos factores que den el primer término Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea 6 ó - - pero la suma debe ser +6 luego serán ( + )( + ) EJEMPLO Nº : Factorizar + y - y º Hallar dos factores del primer término, o sea : º Hallar los divisores de y, estos pueden ser: 6y -y ó -6y y ó y -y ó -y y ó y -y ó -y y pero la suma debe ser +, luego servirán 6y y -y, es decir + y - y = ( + 6y )( - y )
Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios : 0. + + =. a + 7a + 0 =. b + 8b + =. - - =. r - r + 7 =. s - s + = 6. h - 7h + 0 = 7. y - y - = 8. + y + y = 9. m + 9m + 8 = 60. + + = 6. - + =. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA AX + BX + C EJEMPLO Factoriza - + º El primer término se descompone en dos factores º Se buscan los divisores del tercer término ó - - º Parcialmente la factorización sería ( + )( + ) pero no sirve pues da : + 7 + se reemplaza por ( - )( - ) y en este caso nos da : - + 6. + + = 6. a + 0ab + 7b = 6. + 7 + = 6. h + h + = 66. + 7b + b = 67. 7 - + = 68. c + cd + d = 69. + - = 70. 6 + 7 - = 7. 6a + ab - b = 7. m - 7m - 0 = 7. 8 - + = 7. + y - y = 7. 7p + p - = 76. 6a - a - = 77. - 7y + y = 78. a - a + = 6. FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS: EJEMPLO: Factorizar 9-6y = Para el primer término 9 se factoriza en Y el segundo término - 6y se factoriza en +y -y Luego la factorización de 9-6y = ( + y )( - y )
79. 9a - b = 80. 6-00 = 8. - = 8. 9p - 0q = 8. 6m n - = 8. 9-6t = 8. 69m - 96 n = 86. - k = 87. 9 9 a b 88. 9 y 6 6 89. - = 90. - 80f = 9. 8y - 8 = 9. - 7y = 9. m n - 0mn = 9. a - 6 a = 7. FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Ejemplo: Factorizar 9-0 + = Halla la raiz principal del primer término 9 : Halla la raiz principal del tercer término con el signo del segundo término - - luego la factorización de 9-0 + = ( - )( - ) = ( - ) 9. b - b + 6 = 96. + 70y + 9y = 97. m - m + = 98. + 0 + = 99. 6m - 0mn + n = 00. 9 - + = 0. 6-8y + 9y = 0. a + a + = 0. + 6ª + 9a = 0. m - 70 mn + 9n = 0. a c + 0acd + d = 06. 89a + 68abc + b c = 07. 6 6 y 8-8 y z 7 + z = EJERCICIOS DIVERSOS: 08. ab + a b - 6ab = 09. y - y + 0 y - y = 0. b - b - 8 =. a + 6a + 8 =. a + ab =. b - ab + - a =. 6 - a - 9b + 6ab =. a + ay + + y = 6. 8-8 = 7. - y + 9y = 8. - y = 9. + + - y = 0. (a + b ) - ( c + d) =. a + ab + 6b =. 6m - mn + n =. 6 - y 6 = 8. FACTORIZACIÓN PARA LOS FUTUROS MATEMÁTICOS.
. DIFERENCIA DE CUBOS: a b = (a b)(a + ab + b ) Ejemplo: 8 = ( )( + + ). SUMA DE CUBOS: a + b = (a + b)(a ab + b ) Ejemplo: 7a + = (a + )(9a a + ). 6 = 6. 8a b + 7 = 7. 7m + 6n 6 = 8. 6 y 6 = 8 9. = 0. = 8 7 6 9. UNA APLICACIÓN DE LA FACTORIZACIÓN: SIMPLIFICACIONES DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. Simplificación de monomios: 8a b ab ab Simplificación de polinomios: Ejemplo 7 0 Ejemplo 6 8 no te olvides : PRIMERO FACTORIZAR... LUEGO SIMPLIFICAR. EJERCICIOS DE SIMPLIFICACIÓN :
... 7. 7 a b 60a b c a a 0 a 6 6 8 7 6 60 a a a 0 6 a 6.. 6. 6 a 6 y y y y y 9 y y 7 0 9 0 PERO SIGO SIENDO EL REEEYY...DE LA MATEMÁTICA Y DEL CARRETE 0. ECUACIONES CON DENOMINADORES ALGEBRAICOS 9 EJEMPLO : 6 se factoriza el º denominador 9 ( ) / (-) (-)-(+9) = (-) 6 - - - 9 = - 6 = EJERCICIOS. 7 8. 9. 0. 8. 6
. 8. 8 6 7 9 6 0.. 7 6 6. 7. 6 6 8 7 8. 0 9. 7 9 7 6 a b 0. b a 7a b b c c a. 0 a b 6c a b c. bc ac ab a b. b a. a b b a a b 6b a b a b b. a a b a. PROBLEMAS CON ENUNCIADO. 6. De qué número hay que restar para obtener la seta parte de ese número? 7. De un estanque lleno de parafina se consumió una cantidad equivalente a los 8 7 de su capacidad. Reponiendo 8 litros, la parafina sólo llega a las partes. Cuál es su capacidad? 8. Un depósito de agua puede llenarse por una llave en horas y por otra en 6 horas. En cuánto tiempo se llenará el depósito abriendo las dos llaves a la vez? 9. La suma de dos números es 00. Dividiendo el primero por 6 y el segundo por 0, la diferencia de los cocientes es 6. cuáles son los números? 60. Hallar tres números enteros consecutivos tales que la suma de los del menor con los 6 del mayor eceda en al número del medio.
6. Dividir 60 en dos partes de modo que el doble de la mayor dividido por el triple de la menor da como cociente y 0 de resto. 6. Jorge tiene de lo que tiene Alicia, y Mónica tiene de lo que tiene Jorge. Si juntos tienen $.800. Cuánto tiene cada uno? 6. Marcela tiene 8 años más que Karla. Hace 8 años, la edad de Marcela equivalía a los de la edad de Karla. Hallar las edades actuales.