INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA II SEMESTRE 2013 ESCUELA DE INGENIERIA EN ELECTRÓNICA CURSO: EL-5408 CONTROL AUTOMÁTICO MEDIO: Examen 3 PROF: ING. EDUARDO INTERIANO Nombre: Carné Ordinal Parte I preguntas (1 punto c/u) Escriba la respuesta en el espacio indicado o encierre en un círculo la respuesta correcta: 1) Cuáles son los límites teóricos para ubicar los polos y ceros de un compensador de adelanto en tiempo continuo? 2) Encierre en un círculo la letra correspondiente a los valores adecuados para los polos de lazo cerrado de un sistema en tiempo continuo; de tal forma, que éste tenga ante un escalón un sobreimpulso, 5% < M P < 10% y un tiempo de estabilización, 3s < t S2% < 4s. a) -1.15 1.75j b) -0.8 j c) -1.45 1.75 j d) -1.15 1.35j e) -1.15 j 3) Cuáles son los límites teóricos para ubicar los polos y ceros de un compensador de adelanto en tiempo discreto? 4) Para corregir el sistema G(s) se ha decidido aplicar un compensador de filtro de muesca. Dónde deben ubicarse los ceros del filtro de muesca? 20000 s 2s 100 s 20s 400 5) Para corregir un sistema de control con un compensador de adelanto en tiempo continuo se requieren 45 de adelanto de fase en el punto s 1,2 = -5 ± j3. Se ha decidido ubicar el cero del compensador arbitrariamente en s = real(s 1 ). Dónde se debe de ubicar el polo del compensador de adelanto? NOTA: No falta ninguna información en este problema. a) -4 b) -7 c) -8 d) -10 e) -11 Pág. 1
Nombre: Carné Ordinal Parte II problema (5 puntos): Haga un compensador de adelanto en tiempo discreto, que haga que la respuesta de lazo cerrado del sistema, cuya planta G(z) se muestra, tenga ante una entrada de prueba escalón a) Un sobreimpulso M P 10% b) Un tiempo de estabilización del 2% t S 11 s Para la ubicación de los polos de lazo cerrado use los puntos z 1,2 = 0.963 ± 0.03j 0.00016 z 3.555 z 0.2545 ; 0.1 z 0.9048 z 0.8187 z 1.105 Escriba su compensador de adelanto aquí: EIS/eis 2013 Pág. 2
Solución Parte I: 1) Los límites teóricos para ubicar los polos y ceros de un compensador de adelanto en tiempo continuo corresponden al eje real negativo. ]-, 0] 2) Traducimos las especificaciones del dominio del tiempo a parámetros de amortiguamoento relativo y frecuencia natural y comprobamos su cumplimiento. Al sobreimpulso, 5% < M P < 10% le corresponden los límites de amortiguamiento relativo 0.5913 < < 0.6901, o equivalentemente un ángulo medido con respecto al eje real negativo 46.36 < < 53.76 ; y al tiempo de estabilización del 2%, 3s < t S2% < 4s le corresponden los límites 1 < n < 1.33. Escogemos el punto d) ya que su parte real queda entre los límites para el tiempo de estabilización pedido. Adicionalmente, el ángulo del punto d) (49.57 ) se encuentra entre los límites para el amortiguamiento relativo solicitado. d) -1.15 1.35j 3) Los límites teóricos para ubicar los polos y ceros de un compensador de adelanto en tiempo discreto corresponden al segmento del eje real positivo definido por: [0, 1] 4) El filtro de muesca se utiliza para suprimir comportamientos con tendencias oscilatorias. Los ceros del compensador de filtro de muesca deben cancelar los polos dominantes poco amortiguados (subamortiguados) que producen una respuesta transitoria con mucho sobreimpulso. Por ello deben estar ubicados en las raíces de s 2s 100 ya que el amortiguamiento relativo para estos polos es de solamente 0.1, lo que produce un sobreimpulso 73%. ceros en s 1,2 = -1 9.95j 5) La geometría que se forma al ubicar el cero en el eje real en s = real(s 1 ) produce un ángulo para el polo 180 90 45 45. El valor del polo se calcula como siempre y resulta en la respuesta c) -8. tan 5 3 tan 45 8 s 1 Imag 45 φ p0 p 0 -Real 0 z 0 = real(s 1 ) Pág. 3
Solución Parte II: Note que no podemos usar cualquier método para calcular el compensador de adelanto ya que tenemos un polo de lazo abierto inestable, fuera del círculo unitario. Los polos y ceros del compensador deben ser ubicados sobre el eje real positivo de tal forma que se encuentren entre [0, 1], no se debe tratar de cancelar polos fuera del círculo unitario ni tampoco permitir resultados que ubiquen polos o ceros fuera del rango definido antes. Figura 1: Lugar de las raíces del sistema original, con indicación de las condiciones de diseño El primer objetivo del control es estabilizar el sistema inestable. En la figura 1 podemos observar el lugar de las raíces del sistema original; de dónde concluimos que el sistema es inestable de lazo cerrado para cualquier valor de ganancia positiva. Calculando el compensador de adelanto por el método de la bisectriz, método que no toma en cuenta el polo inestable en z = 1.105, éste produce un compensador de adelanto, que si bien ubica dos polos de lazo cerrado en z 1,2 = 0.963 ± 0.03j, deja un polo de lazo cerrado fuera del círculo unitario, resultando en un sistema inestable en lazo cerrado. Esto puede verse en la figura 2 que muestra el lugar de las raíces para el compensador calculado por el método de la bisectriz. Pág. 4
Lugar de las raíces utilizando el método de la bisectriz 0.8 9.42 0.6 0.4 Eje imaginario 0.2 0 0.3 0.2 0.1 0.5 0.4 0.7 0.6 0.8 0.9 0.9594 1.866 0.9441-0.2-0.4-0.6-0.8 9.42 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 Eje real Figura 2: Lugar de las raíces utilizando un compensador de adelanto K(z) calculado por el método de la bisectriz. En la figura 2 puede observarse que si bien cero, agregado por el compensador de adelanto calculado por el método de la bisectriz, atrae al polo inestable, no es suficiente para que, en lazo cerrado, éste se ubique dentro del círculo unitario; por lo que el sistema resultante es inestable en lazo cerrado. Utilizando el método de cancelación de polo, solamente podemos intentar cancelar los polos estables de lazo abierto. Si tratamos de cancelar el polo en z = 0.8187, el ángulo requerido para el polo, 346.45, no puede ser realizado con un compensador de adelanto de primer orden; y un compensador de segundo orden, para el ángulo mitad, 2 346.45, ubicaría el polo del compensador fuera del círculo unitario en z = 1.216; por lo tanto no sería realizable. Observando la figura 1, solo queda una opción para atraer el lugar de las raíces dentro del círculo unitario. Al cancelar el polo en z = 0.9048, habrá un rango de ganancias positivas para las cuales todos los polos de lazo cerrado se encontrarán dentro del círculo unitario. Calculamos entonces para los puntos z 1,2 = 0.963 ± 0.03j y obtenemos: 180 0.9048 180 178.02 1.98 tan 0.963 0.03 0.095 tan 1.98 Pág. 5
1 21.1 0.9048 0.095 0.00016 z 3.555 z 0.2545 z 0.9048 z 0.8187 z 1.105 0.9048 21.1 0.095 Lugar de las raíces al cancelar el polo en z = 0.9048 1 18.8 15.7 12.6 Eje imaginario 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2 28.3 31.4 31.4 28.3 25.1 22 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 9.42-0.4-0.6 25.1-0.8 22 9.42-1 18.8 15.7 12.6-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Eje real Figura 3: Lugar de las raíces para el sistema compensado con cancelación del polo en z = 0.9048. Puede observarse en la figura 3 que el lugar de las raíces se ha desplazado hacia la izquierda y que con el compensador calculado, todos los polos de lazo cerrado se encuentran dentro del círculo unitario, por lo tanto el sistema es estable en lazo cerrado. Además, los polos dominantes se encuentran ubicados en la posición deseada con lo que la respuesta temporal tendrá las características requeridas; por lo que podemos darnos por satisfechos con el diseño. EIS/eis 2013 Pág. 6