INTRODUCCIÓN DEL TEMA 4 PRODUCTO ESCALAR Una de las herramientas imprescindibles a la hora de trabajar con gráficos 3D es el uso de ángulos. Estos se usan en diferentes aspectos tales como: Construcciones de objetos que incluyen ángulos (polígonos regulares, pirámides, prismas u otros objetos más complejos) Prismas y pirámides con un número diferente de lados. Se necesitan ángulos para calcular las bases Giros para animar objetos Una flor sencilla con 7 pétalos. Se usan ángulos para calcular los pétalos Un quiosco con planta de 9 lados. Se necesitan ángulos tanto para calcular las bases de los postes como para el tejado La noria incluye ángulos en su construcción. Para moverla, tendríamos que saber girarla alrededor de su eje Una bandera que podría interesar girar alrededor de su mástil
Cálculo del ángulo entre dos vectores para calcular correctamente la iluminación de una cara de un objeto. Giros para hacer un movimiento en primera persona dentro de un mundo virtual Mover la cámara para mirar más hacia la izquierda o derecha o arriba o abajo requiere el uso de ángulos par indicar en qué dirección miramos CONSTRUCIONES: ÁNGULOS Y LONGITUDES Vamos a centrarnos en un problema sencillo. Queremos construir una flor de 12 pétalos. Para ello, empezamos por construir el tallo dando tres puntos y uniéndolos mediante líneas. Ponemos el primer punto del tallo en el origen, con lo que tenemos T1= (0,0,0). Ponemos el segundo sobre él a altura 4 y obtenemos un segundo punto del tallo T2 = (0,0,4). Para dar más realismo, queremos que el tallo esté algo torcido y ponemos el tercer punto a altura 2 sobre T3 y un poco a la derecha y adelante, obteniendo T3 = (1,1,6).
El tallo se vería así: Ahora viene el problema de construir los pétalos. Vamos a empezar por hacer un pétalo en el origen (ya sabemos cómo moverlo después). Hacemos un pétalo sencillo de largo 3, ancho 1 y altura.5 a base de construir los siguientes puntos P1 = O P2 = O + 3*ejex P3 = O + 2*ejex +.5*ejey P4 = O + 2*ejex.5*ejey P5 = O + 2*ejex +.5*ejez como se ve en el siguiente dibujo
y rellenar la figura como vimos en el Tema 2 Queremos repetir ese proceso, pero con dos condiciones: que queden perpendiculares al tallo de la flor. que tengamos 12 pétalos en vez de uno. El primer paso para resolver este problema es saber construir una base que sustituya la canónica, de forma que el último eje quede en la dirección del tallo y los otros dos sean perpendiculares al mismo. Además, para evitar deformaciones, nos interesa que esos vectores tengan la misma longitud que los de la base canónica. Es decir, es un problema de construir lo que llamaremos una base ortonormal. sea, Para ello partimos de una base dada por el vector que nos da el último segmento del tallo, o w = T3 T2 = (1,1,6) (0,0,4) = (1,1,2) lo completamos a una base añadiendo, por ejemplo, (1,0,0) y (0,1,0) Por supuesto, esta base no nos sirve porque los vectores no son perpendiculares entre sí ni tienen longitud 1.
En este tema veremos técnicas para conseguir enderezar esta base (el método de Gram Schmidt) y conseguir que tenga la longitud adecuada Aplicándolos obtendremos otra base: Poniéndolos en T3 (al final del tallo) tendremos: Basta repetir ahora la construcción del pétalo pero poniéndolo en T3 y construyendo respecto a u, v, w en vez de la base canónica para obtener un primer pétalo
Para construir el segundo pétalo, giramos el pétalo anterior pero, como siempre, es más simple girar la base usada para construir el pétalo y después repetir la construcción. Respecto a como girar la base, el vector w (el que indica la dirección del tallo) no lo queremos girar. Lo que vamos a hacer es girar u y v el ángulo adecuado. Como un círculo tiene 360º y queremos poner 12 pétalos, lo giraremos 360º/12. Para esto no necesitamos usar Álgebra sino Trigonometría para obtener que los nuevos vectores son: u' = cos(360º/12)*u + sen(360º/12)*v v' = sen(360º/12)*u + cos(360º/12)*v usando estos vectores, tendremos un segundo pétalo: Repitiendo el proceso 12 veces obtenemos Quitando los vectores y ajustando un poco el tamaño, obtenemos la flor
Ésta es una situación bastante corriente dentro de gráficos. Antes de poder aplicar cualquier técnica básica (en este caso el uso de las funciones coseno y seno) es necesario saber construir bases de forma que los vectores sean perpendiculares entre sí y de longitud 1 (bases ortonormales). La idea básica es construir una base sin preocuparnos de ángulos ni longitudes y, posteriormente, enderezar los vectores y controlar su longitud. El mismo tipo de idea se usa a la hora de construir los movimientos del plano y del espacio: hay una forma canónica de construirlos cuando el movimiento es respecto a los ejes (pensemos en el giro alrededor del eje Z, la proyección sobre el plano XY, etc.) y, caso de no ser así, un paso previo es construir una base adecuada que debe de ser ortonormal. ILUMINACIÓN DE OBJETOS Un segundo ejemplo interesante es la iluminación de un objeto. En términos generales, los objetos 3D que vemos en los juegos o películas suelen estar construidos a base de polígonos que se corresponden, en la mayoría de los casos, con triángulos. Saber ilumina (o sombrear, o aplicar texturas, etc) es lo mismo que saber hacerlo sobre cada triángulo (o polígono). Vamos a centrarnos, por simplicidad, en el problema de la iluminación. Una observación clara es que la iluminación de cada triángulo debe de depender de su orientación respecto a la fuente de iluminación (y, en modelos más complicados, de la distancia a la misma). Pensemos en que la fuente de iluminación es el sol, un triángulo que mira hacia el sol debe estar totalmente iluminada, mientras que la uno que mira en dirección contraria debe estar en sombra. Un triángulo orientado hacia la fuente de luz se ve totalmente iluminado Visto por detrás, el mismo triángulo se ve con una iluminación diferente La clave está en saber calcular el ángulo formado entre el triángulo y la fuente de luz,
concretamente, entre la perpendicular al triángulo y el vector que une la fuente de luz con el centro del triángulo: cuánto más próximo esté este ángulo a 0º, más directa será la luz que reciba. Pero, cómo calculamos esto? La respuesta está en saber calcular un vector perpendicular a un triángulo y, después, saber calcular el ángulo entre dos vectores. Una vez más nos encontramos con la necesidad de saber calcular perpendiculares y trabajar con ángulos. La herramienta claves es el producto escalar. MÍNIMOS CUADRADOS Y, para qué sirven estas técnicas en espacios distintos de R 3? Un ejemplo típico del uso del concepto de ángulos y distancias es la resolución de sistemas de ecuaciones que sean incompatibles. En principio, puede parecer absurdo intentar resolver un sistema incompatible dado que, por definición, éste es precisamente un sistema que no se puede resolver. Sin embargo, en la realidad puede pasar que un sistema sí tenga solución pero, por problemas de exactitud en las medidas o por errores de redondeo a la hora de representar los valores en el ordenador, nos encontremos con que el sistema (que sabemos que sí tiene solución) se nos presenta como incompatible. Veamos un ejemplo sencillo: Queremos hacer la cabeza de un dibujo que representa un jugador. Para ello cogemos una persona, le ponemos sensores y tomamos mediadas para que se parezca a la forma de su cabeza. Sabemos que su forma es esencialmente un elipsoide y tomamos sus medidas de forma que sus ejes correspondan a los ejes canónicos
Elipsoide con sus ejes Sabemos que la ecuación de este tipo de elipsoide es ax 2 + by 2 + cz 2 = 1 por lo que, para saber de qué elipsoide se trata, basta con saber cuánto valen a, b y c. Decidimos tomar cuatro medidas de la cabeza y obtenemos los puntos: (3.001,.505,.001) (.001,1.495,1) (.901,.001,3.009) (2.001,.490,2.236) Estos puntos deberían de cumplir la ecuación del elipsoide, por lo que tendríamos: esto nos da 4 ecuaciones para obtener a, b y c. a*3.001 2 +b*1.01 2 +c*.001 2 =1 a*(.001) 2 +b*2.989 2 +c*1 2 =1 a*.901 2 +b*.01 2,c*3.009 2 =1 a*2.001 2 +b*1.01 2 +c*2.236 2 =1 Al intentar resolver el sistema con un ordenador, nos encontramos con que no tiene solución. Esto puede deberse a varios motivos (o a todos ellos a la vez): La cabeza no es realmente un elipsoide. Los ejes no estarán totalmente alineados con la base canónica (la persona elegida como modelo puede haber ladeado ligeramente la cabeza). Los datos no son exactos porque el sistema para leer la posición de los sensores no es totalmente preciso. El ordenador puede haber cometido pequeños errores de redondeo a la hora de resolver el sistema. De todas formas, nosotros no queremos una solución perfecta, sólo queremos un elipsoide que se parezca lo más posible a las medidas obtenidas. Para eso, necesitamos tener una medida razonable de hasta qué punto se parecen dos elipsoides. Si un elipsoide viene dado por unos valores (a 1,b 1,c 1 ) y otro por (a 2,b 2,c 2 ), el parecido entre los elipsoides vendrá dado por el parecido entre (a 1,b 1,c 1 ) y (a 2,b 2,c 2 ). Es decir, el parecido entre objetos viene dado por el parecido entre vectores. Dicho parecido puede medirse por la
diferencia de longitud entre ellos y por el ángulo que forman. El método que veremos (resolución por mínimos cuadrados) lo que hace es calcular la solución que se parece más a la que debería de existir. Dicha técnica se basa en ser capaces de proyectar el vector de coeficientes sobre un subespacio, es decir, longitudes y ángulos de nuevo. En nuestro caso la solución es a = c = 0.1 b = 0.2 En el siguiente dibujo vemos el elipsoide y los puntos. Si bien no pasa exactamente por ellos, realmente se ajusta muy bien a las medidas tomadas: A primera vista parece que el elipsoide pasa por los puntos Si nos fijamos en el segundo de los puntos de la parte derecha veremos que está un poco dentro del elipsoide El punto más cercano está dentro del elipsoide A pesar de ello, cuando vemos el elipsoide, se parece mucho a la forma que queríamos obtener con los puntos tomados
Esta técnica permite encontrar buenas soluciones aproximadas de problemas que no podíamos resolver directamente. Observemos que en nuestro ejemplo había tres parámetros a determinar (los valores de a, b y c) pero podría ser que hubiera más. Pensemos en un elipsoide que no esté en la dirección de las ejes ni centrado en el origen, cuya ecuación es: ax 2 + by 2 + cz 2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + kz = 1 Encontrar el elipsoide es encontrar los valores de a, b, c, d, e, f, g, k. Ser capaces de comparar dos elipsoides es lo mismo que comparar dos vectores de la forma (a,b,c,d,e,f,g,h,k) con 9 componentes. Para hacer esto, necesitamos poder calcular longitudes y ángulos para vectores de 9 componentes. En general, ser capaces de resolver sistemas de forma aproximada mediante mínimos cuadrados requiere ser capaces de trabajar con longitudes y vectores en un número cualquiera de dimensiones (la dimensión dependerá del número de incógnitas que tenga el sistema a resolver). Es decir, las técnicas geométricas que se desarrollan en R 3 pueden resultar muy útiles en otros espacios del tipo R n (con n>3) aún cuando no tengamos una referencia intuitiva claro de lo que significan ángulos o longitudes en ellos. Como hemos visto en nuestro ejemplo, esto es cierto incluso en espacios más abstractos (los elipsoides de un cierto tipo) siempre que sepamos trasladar el problema al correspondiente R n.