punes de. Cbñó MTRICES Y DETERMINNTES. CONTENIDOS: Definición y erminologí básic. Operciones con mrices: sum y produco. Produco de un mriz por un esclr. Mriz opues. Mriz invers. Epresión mricil de un sisem de ecuciones lineles. Deerminne de un mriz cudrd. Desrrollo por los elemenos de un líne. Cálculo de l mriz invers. Definición de mriz. Se llm mriz de orden mn sobre un cuerpo conmuivo R (números reles) un cudro dispueso en m fils y n columns. Esquemáicmene: m m n n mn los números reles que formn l mriz se les llm elemenos de l mriz El número de fils y columns recibe el nombre de dimensión de l mriz, y se design por mn. Dos mrices son igules cundo ienen l mism dimensión y los elemenos que ocupn el mismo lugr en mbs son igules. Tipos de mrices: Mriz nul es l que iene odos sus elemenos igules cero. Mriz fil es l que iene un sol fil. Mriz column es l que iene un sol column. Mriz opues de l mriz es l mriz l que. Mriz cudrd es l mriz que iene el mismo número de fils que de columns. Mriz digonl es l mriz cudrd cuyos érminos no siudos en l digonl principl son nulos. Mriz esclr es l mriz digonl que iene igules odos los elemenos de l digonl principl. Mriz unidd es l mriz digonl que iene odos los elemenos de l digonl principl igules. Mriz ringulr es l mriz cudrd que iene nulos odos los elemenos siudos por encim o por debjo de l digonl principl. Mriz rspues es l mriz que se obiene cmbindo fils por columns. Se represen por Mriz siméric es l mriz cudrd que iene igules sus elemenos conjugdos.si un mriz coincide con su rspues, se llm siméric Operciones con mrices. Sum de mrices. L sum o dición de dos mrices y del mismo orden mn es or mriz de orden mn, cuyos elemenos se obienen sumndo los elemenos de y que ocupn lugres homólogos. Propieddes de l sum de mrices: L sum de mrices es un ley de composición inern.
punes de. Cbñó, M mn : + C M mn Propiedd sociiv. +( +C) (+ )+C,,C M Eise el elemeno neuro. +O O+ Eise el elemeno simérico o mriz opues. +() O Propiedd conmuiv. + + L diferenci de ls mrices y se represen por, y se define sí: +() Produco de un mriz por un número. El produco de un mriz por un número rel k es or mriz de l mism dimensión que l que cd elemeno de se obiene muliplicdo k por cd elemeno de. mn Propieddes : k(+)k+k (k+h)k+h k[h()](kh) Produco de mrices. Dds dos mrices de dimensión mn y l mriz de dimensión np, se llm produco de por l mriz C de dimensión mp en donde el elemeno genérico es igul l sum de los producos siguienes: primer elemeno de l fil i de por el primero de l column j de, el segundo elemeno de l fil i de por el segundo de l column j de,el nésimo de l fil i de por el nésimo de l column j de. En generl no se verific l propiedd conmuiv. cij Ejemplos: Mriz invers Dos mrices de orden n son inverss si su produco es l mriz unidd de orden n. Un mriz cudrd que posee invers se dice que es inversible o regulr; en cso conrrio recibe el nombre de singulr. Dremos dos méodos pr clculr l mriz invers: plicndo l definición y resolviendo el sisem Por el méodo de deerminnes o djunos. Deerminnes Deerminne de segundo orden. El deerminne de un mriz cudrd de segundo orden es igul l produco de los elemenos de l digonl principl menos el produco de los elemenos de l digonl secundri. Deerminne de ercer orden. Es fácil recordr el deerminne de ercer orden medine l regl de Srrus: Los érminos con signo + esán formdos por los elemenos de l digonl principl y los de ls digonles prlels con su correspondiene vérice opueso. Los érminos con signo esán formdos por los elemenos de l digonl secundri y los de ls digonles prlels con su correspondiene vérice opueso
punes de. Cbñó Ejemplos: 9 Desrrollo de un deerminne por los elemenos de un líne Se llm djuno de un elemeno l deerminne que resul de eliminr l fil y l column l que perenece el elemeno. El djuno v precedido de un signo + o, según que l sum de los subíndices de l fil y l column se pr o impr El deerminne de un mriz cudrd es igul l sum de los elemenos de un fil o column muliplicdos por sus djunos correspondienes. El vlor del deerminne es independiene de l fil o column elegid pr su desrrollo. Cálculo de l mriz invers por deerminnes. Dd un mriz cudrd, se llm mriz djun de, y se represen por dj, l mriz que se obiene l susiuir cd elemeno por su djuno correspondiene. L condición necesri pr que un mriz eng invers es que su deerminne se disino de cero. L mriz invers de un mriz dd es igul l mriz djun de su rspues dividid por el deerminne de l mriz dd. dj El primer pso pr hllr l invers de un mriz es clculr su deerminne. Si es, se ermin el proceso. No iene invers. Ls mrices inverss se uilizn pr l resolución de sisems de ecuciones y de ecuciones mriciles. Sisem de ecuciones. Un sisem de ecuciones puede epresrse mricilmene de l form X siendo l mriz de los coeficienes, X l mriz column de ls incógnis y l mriz column de los érminos independienes. Si es un mriz inversible, en le ecución mricil se puede despejr X muliplicndo por l izquierd en mbos miembros por l mriz invers y se iene X Sisems de Crmer. Si el sisem iene igul número de ecuciones que de incógnis, l mriz de los coeficienes será cudrd y el sisem será compible deermindo cundo de. Se dice, en es cso, que es un sisem de Crmer. El vlor de cd incógni viene ddo por un frcción cuyo denomindor es el deerminne de los coeficienes y cuyo numerdor es el deerminne de l mriz que resul de susiuir en l mriz de los coeficienes l column de los coeficienes de l incógni por los érminos independienes. Ecuciones mriciles. Pueso que el produco de mrices no es conmuivo, l hor de muliplicr un mriz por or conviene si h de hcerse por l derech o por l izquierd. nes de empezr operr con ls mrices dds conviene despejr l mriz incógni. Ejemplos. Si ls mrices, y C son ls siguienes: C
punes de. Cbñó Epresr el vlor de l mriz X en ls siguienes ecuciones: ) X+I b) X+C c) X+C d) X+XC e) XXCC Ls soluciones de cd ejercicio son ls siguienes: ) X b) X c) X 9 9 d) X / e) X/ EJERCICIOS. Dds ls mrices clculr +; ; ; ; ;.. Clculr y, si es posible, siendo:. Clculr I, siendo y ls mrices del ejercicio.. Clculr los poencis nésim de ls siguienes mrices:. Hllr l mriz invers de y comprobr el resuldo muliplicándol por l mriz dd.. plicndo l definición de mriz invers, clculr l invers de l siguiene mriz digonl:. Clculr l mriz invers uilizndo el méodo del deerminne:
punes de. Cbñó 8. Dd l mriz: se pide: ) Clculr (I) (I) b) Obener l invers de 9. Clculr un mriz X que verifique l iguldd X con. Enconrr un mriz X l que X+C, siendo C. Enconrr un mriz X que verifique X siendo. Se l mriz hllr su invers y clculr. Siendo y ls mrices verigur si son ciers ls dos igulddes siguienes ( + + ) ) (. Resolver l ecución XI donde. Se l mriz Hllr un mriz l que +I. Hllr y n siendo. Clculr siendo
punes de. Cbñó 8. Hllr un de ls mrices X cudrds de orden y siméric les que X siendo 9. Clculr el vlor de siendo. Dd l mriz deerminr or mriz l que +.. Deerminr dos mrices X e Y les que siendo Es inversible l mriz X+Y?. Clculr un mriz C l que (XY)CI Y X Y X 8.. Resolver l ecución mricil X+C siendo C. Resolver l ecución XC, siendo C. Hllr l mriz X l que X+C, siendo C 9. Hllr k pr que l mriz no eng invers: k k k. Resolver l ecución +
punes de. Cbñó EJERCICIOS PROPUESTOS. º Se consider l mriz. Clculr ( ). Sol: º Dds ls mrices: C D Hllr: ) ; b) ; c).; d).; e) +; f) C.; g) C.; h) C.D; i) ; j) ; k) + ; l). Soluciones: / / 9/. 8 / / / / / / + 9 / / / / /. C. C. C.D 8 +. º Dds ls mrices y. Clcul +,,,,, Solución:
punes de. Cbñó 8 º Hll X donde:.. + : Sol º Clcul los siguienes deerminnes de orden : Sol: 9; ; º Hllr l solución de l ecución: c) 8 b) ) Sol: ) ; ; b) ; ; c) º Resolver ls ecuciones: ).X ; b) + X ; c).x ; d) X, siendo X b) ; / / / / X : ) Sol X ; d) X c)