UNIDAD 5.- MATRICES A 1

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1 UNIDD 5.- MTRICES. MTRICES Un mri es un ordención recngulr de números. Los números (o símbolos que los represenn) se llmn elemenos de l mri. Se suele escribir el conjuno de números enre prénesis o corchees. Un ejemplo de mri seri 5 Se puede enender como un bl de números ordendos en fils columns. Noción:. Se uilin lers músculs pr simbolir mrices, ls lers minúsculs correspondienes pr designr sus elemenos.. Un elemeno generl de un mri puede ser escrio ij, eso design l elemeno que se i,,,..., m encuenr en l inersección de l i-ésim fil de l j-ésim column. Es decir, ( ij ), j,,,..., n... n... n donde m es el número de fils nel número de columns. ( ij )... n m m m... mn. Se dice que un mri es de orden m nsi iene m fils n columns. m n se le llm dimensi on de l mri Si m n se dice que l mri es cudrd. Un mri cudrd nn suele decirse que es de orden n. Si m n, l mri se dirá recngulr. Ls mrices n se llmn mri-fil. Ls mrices m se llmn mri-column. Definición: Se llm digonl principl de un mri los elemenos ii Ejemplo: En mño mor los elemenos de l digonl principl de l mri Definición: Se llm digonl secundri de un mri los elemenos ij que verificn i j n Ejemplo: En mño mor los elemenos de l digonl secundri de l mri UNIDD 5.- Mrices

2 . TIPOS DE MTRICES Mri fil: Es quell mri que iene un sol fil, es decir, es de dimensión n 9 π es un mri fil de dimensión 4 ( ) Mri column: Es quell mri que iene un sol column, es decir, es de dimensión m B es un mri column de dimensión 7 Mri nul: Es quell mri con odos sus elemenos nulos. Se deno por θ m n, o bien, sólo por θ si se sobreeniende su dimensión θ es l mri nul de dimensión Mri cudrd: Como sbemos es quell mri que iene igul nº de fils que de columns, en ells no se hbl de dimensión sino de orden 6 5 es un mri cudrd de orden 9 Mri ringulr superior: Es quell que iene odos los elemenos siudos por debjo de l digonl principl nulos C es un mri ringulr superior Mri ringulr inferior: Es quell que iene odos los elemenos siudos por encim de l digonl principl nulos 6 C es un mri ringulr inferior Mri digonl: Es quell mri en l que odos los elemenos no siudos en l digonl principl son ceros o nulos. Normlmene se plic mrices cudrds. 4 5 es un mri digonl 8 Mri esclr: Es od mri digonl cudrd en l que los elemenos de l digonl principl son igules. UNIDD 5.- Mrices

3 7 E es un mri esclr 7 Mri unidd o idenidd: Es l mri esclr cuos elemenos de l digonl principl vlen. Se represen por n Ι Ι o sólo por Ι. OPERCIONES CON MTRICES es l mri idenidd de orden Definición: Dos mrices son igules si ienen l mism dimensión si los elemenos que ocupn el mismo lugr en mbs son igules Sum de mrices: Pr sumr dos mrices ( ) B ( ) que sen de l mism dimensión ij b ij, primero hemos de cerciorrnos de m n l mri sum B es un mri de l mism dimensión cuos elemenos se obienen sumndo los elemenos que ocupn el mismo lugr, es decir, B ( ) Se define l diferenci B ( B), siendo ( B ) (mri opues de B) l mri que se obiene cmbindo de signo los elemenos de l mri B Ejemplo:- Dds ls mrices l mri B, clculr: ) B 4 7 b) B Produco por un nº rel: Ddo un nº rel k un mri ( ) mri de dimensión m n ij, se define l ij b ij k como l mri de dimensión m n cuos elemenos son los de muliplicdos por k, es decir, k ( k ) ij Ejemplo: Dds ls mrices l mri B, ) Clculr B b) Hllr un mri X, que cumpl X B. Opermos igul que si fuer un ecución, pero en ese cso es un ecución mricil: X B X ( B) X X X UNIDD 5.- Mrices

4 4. PRODUCTO DE MTRICES NOT MUY IMPORTNTE: Pr poder muliplicr dos mrices, el número de columns de l primer h de ser igul l número de fils de l segund. Produco de un mri fil por un mri column: El nº de columns de l mri fil iene que ser igul F... l mri column es l nº de fils de l mri column. sí si l mri fil es ( ) b b C, enonces F C es un mri de dimensión (o se, un número rel) que se obiene de l... b n siguiene form: F C ( b b... b n n ) 5 6 Ejemplo: Dds F ( ), C D ( 4 ) enemos que: 7 ) F C ( 5 ( ) 6 7 ( ) ) ( ) b) D F no se puede clculr pues el nº de columns de l primer (4) no coincide con el nº de fils de l segund () c) D C ( ) (5) Produco de dos mrices: Dd un mri ( ) dimensión P B es un mri de dimensión m p de dimensión n ij n B de b ij m un mri ( ) n p (vemos que el nº de columns de es igul l nº de fils de B, n), l mri produco ( ) p ij cuos elemenos p ij se obienen muliplicndo l fil i de l mri por l column j de l mri B, como hemos eplicdo en el puno nerior 5 8 Ejemplo: Clculr Como vemos l primer mri iene dimensión l segund mri 9 iene de dimensión, por no se puede muliplicr el resuldo es un mri de dimensión - l fil de l ª mri por l column de l ª mri d el elemeno p del produco - l fil de l ª mri por l column de l ª mri d el elemeno p del produco ( ) ( ) 5 Ejemplo: Dds l mri B Clculr: 5 ) B Se puede relir pues es de dimensión 4 B es de dimensión 4. El resuldo será de dimensión 4 UNIDD 5.- Mrices

5 8 B 7 5 que os dejo vosoros su relición delld 5 7 b) B No se puede hcer, el nº de columns de B es no coincide con el nº de fils de que es c) mpoco se puede hcer por ls misms rones que en b). Sólo se podrá hcer en mrices cudrds ls poencis Ejemplo: ( ) Propieddes del produco con mrices cudrds: ) El produco de mrices cudrds es sociivo: ( B C) ( B) C b) Ls mrices cudrds de orden n ienen elemeno neuro pr el produco, que es l mri unidd o idenidd de orden n: Ι Ι (recordemos que l mri unidd er un mri digonl esclr con odos los elemenos de l digonl principl vliendo ) c) El produco de mrices es disribuivo respeco de l sum de mrices: ( B C) B C d) El produco de mrices cudrds, en generl, no es conmuivo: B B normlmene 5. MTRIZ TRSPUEST. MTRIZ SIMÉTRIC Y NTISIMÉTRIC Definición: Se llm mri rspues de un mri de dimensión m n l mri que se obiene l cmbir en ls fils por columns (ó ls columns por fils). Se represen por ó rsp() su dimensión es n m Si un mri es cudrd, su rspues iene el mismo orden 5 Ejemplo: Dd 5 Propieddes de l rsposición: - ( ) B B - ( ) k k - ( ) B B - ( ) Definición: Se llm mri siméric od quell mri cudrd que coincide con su rspues, Es decir, los elemenos siméricos respeco de l digonl principl son igules, ij ji 5 UNIDD 5.- Mrices

6 UNIDD 5.- Mrices 6 Son de l form, en el cso de ls cudrds de orden, c b Definición: Se llm mri nisiméric od quell mri cudrd que coincide con l opues de su rspues, Es decir, los elemenos siméricos respeco de l digonl principl son opuesos, ji ij Los elemenos de l digonl principl hn de ser nulos. Son de l form, en el cso de ls cudrds de orden, 6. MTRIZ INVERS Definición: Dd un mri cudrd de orden n, se llm mri invers de se no por, l mri cudrd de orden n que verific: I NOT: Nosoros nos vmos limir clculr mrices inverss de mrices cudrds de orden Propiedd: Un mri cudrd de orden, b c d, iene invers si sólo si d b c Por no, no ods ls mrices cudrds ienen invers. Si queremos clculr l invers endremos dos opciones: ) plicr l definición de es plner el sisem de ecuciones correspondiene. Ejemplo: Clculr l mri invers de Consideremos (como vemos slen 4 ecuciones) b) plicr ls siguienes fórmuls Dd l mri b c d, l mri invers si eise es: d b d b c d b c c d b c d b c

7 Ejemplo: Clculr l mri invers de Ejemplo: (Selecividd ) Sen ls mrices ) Clcule b) Resuelv l ecución mricil X I 5B B ) Clculmos ls poencis de I 4 4 I Vemos que pr ls poencis pres el resuldo es I (l mri idenidd) pr ls pres es Por no: b) Despejmos X de mner nálog como se oper con un ecución: X I 5B 5 X B I X 5B I Como sbemos que ( ) por el prdo ) que I, enemos que: ( ) X ( 5B I ) I X 5B I I I Tenemos que B Clculmos, lgo que sbímos por el prdo ), nos podímos hber horrdo odo ese cálculo Y solo qued susiuir operr: X ( 5B I ) 5 X 5 X 5 X UNIDD 5.- Mrices

8 7. MTRICES COMO EXPRESIÓN DE TBLS veces en l vid rel se nos presenn grn cnidd de dos pr cunificr clrificr n informción resul mu propido el uso de mrices sus operciones. Vemos medine ejemplos prácicos su uso Ejemplo: En un Insiuo rurl, esán mriculdos lumnos de res pueblos diferenes. En primer curso h lumnos del pueblo, 8 del B del C. En segundo curso h 65 del, 5 del B del C. En ercer curso h 5 del, 5 del B del C. En º Bchillero h 4 del, 5 del B 8 del C. Disponer esos dos en un mri. Podemos epresr el enuncido como un bl donde ls fils serán los niveles educivos ls columns los pueblos Pueblo Pueblo B Pueblo C Primer curso 8 Segundo curso 65 5 Tercer curso 5 5 º Bchillero Podemos represenr dich informción medine un mri Ejemplo: Un proveedor que suminisr meri prim fábrics, F, G H, rnspor un pre de sus envíos cd fábric por crreer l or pre por ren, según se indic en l mri T, cuos elemenos son ls onelds de meri prim que recibe cd fábric por cd ví de rnspore. Los precios del rnspore de cd oneld de meri prim son euros por crreer 8 euros por ren, como indic l mri C (, 8). Eplique qué operción debe efecurse con ess mrices pr deerminr un nuev mri cuos elemenos sen los coses de llevr ese meril l fábric. Debe efecurse C T (El produco T C no podrí relirse) obenemos el cose de llevr el meril cd fábric Ejemplo: Un person iene que comprr kg de mnns, kg de ciruels.5 kg de plános or necesi.5 kg de mnns,.5 de ciruels de plános. En l fruerí, los precios de ls mnns son.8 euros/kg, los de ls ciruels. los de los plános.9 en l fruerí B son.7,..75 respecivmene. Deerminr en qué fruerí le conviene cd person comprr. Consideremos ls mrices: 8 UNIDD 5.- Mrices

9 5 M 5 5 Cd fil indic l person l column l cnidd de fru que quiere comprr. 8 7 N Cd fil indic el ipo de fru ls columns ls fruerís, B B 5 Person Hciendo el produco M N 5 5 person L person debe comprr en l fruerí B l person le d igul un que or. 8. MTRICES COMO EXPRESIÓN DE GRFOS Definición: Un grfo es un conjuno, no vcío, de objeos llmdos vérices (o nodos) un líne de unión enre pres de vérices, llmds riss. Típicmene, un grfo se represen medine un serie de punos (los vérices) conecdos por línes (ls riss). Ese es un grfo cuos vérices son V {, b, c, d, e, f } cuo conjuno de riss son { b, c, f, bc, cd, de, ef }. Los grfos precen con grn frecuenci como respues problems de l vid coidin. lgunos ejemplos podrín ser los siguienes: un red de crreers, l red de enlces ferrovirios o éreos o l red elécric de un ciudd. En cd cso, es conveniene represenr gráficmene el problem dibujndo un grfo como un conjuno de punos (vérices) con línes conecándolos (rcos). Los grfos se dividen en dos grndes bloques: - Grfos Dirigidos: Ls riss ienen senido de recorrido - Grfos no Dirigidos: No h un senido en l ris Un ejemplo de grfo dirigido lo consiue l red de gus de un ciudd que cd uberí sólo dmie que el gu l recorr en un único senido. Por el conrrio, l red de crreers de un pís represen en generl un grfo no dirigido, pueso que un mism crreer puede ser recorrid en mbos senidos. 9 UNIDD 5.- Mrices

10 En un grfo podemos enconrrnos los (riss cuos eremos coinciden: vv), riss múliples (más de un ris conecndo los mismos vérices: vv6 ) vérices isldos (no esán conecdos ningún oro vérice: v7), como vemos en el grfo siguiene Definición: Se llm mri de dcenci de un grfo un mri cudrd que se uili pr represenr un grfo, de form que sus fils columns represenn ordendmene los vérices del grfo, cd elemeno ij indic el nº de riss enre el vérice i el vérice j. NOT: En los grfos no dirigidos l mri de dcenci es siméric Ejemplo: Consideremos l siguiene red de VE Como vemos es un grfo no dirigido, se puede vijr en los dos senidos. Su mri de dcenci serí l Brc. Md. Sev. Vl. Brc. Md. siguiene. Sev. Vl. Ejemplo: Consideremos el siguiene grfo de vuelos de un compñí ére: En ese cso se r de un grfo dirigido con riss múliples su mri de dcenci es como sigue: Brc. Md. Sev. Vl. Brc. Md. Sev. Vl. UNIDD 5.- Mrices

11 Observciones: ) Obvimene, l mri de dcenci de un grfo no dirigido siempre es siméric. ) lgunos uores sólo considern mrices de dcenci binris, es decir, compuess de, por lo que sus elemenos sólo indicn si h relción () o no () enre vérices. ) L digonl no siempre v esr compues por : Puede hber bucles! En los grfos ineres recorrer ls riss pr llegr de un vérice oro. Se llm cmino enre dos vérices b, od sucesión de riss que conecn con b, siendo l longiud del cmino el número de riss que lo componen. Ls poencis de l mri de dcenci de un grfo permien conocer el número de cminos eisenes enre culquier pr de vérices de un deermind longiud. L mri de dcenci M de un grfo indic si eise o no un ris enre cd pr de vérices. L mri M indic el número de cminos de longiud enre dos vérices culesquier. De l mism form, l mri M indic el número de cminos de longiud sí sucesivmene. Definición: Un grfo es coneo si cd pr de vérices esá conecdo por un cmino; es decir, si pr culquier pr de vérices (v, v), eise l menos un cmino posible desde v v. Un grfo es no coneo, si h un pr de vérices sin conecr. Ejemplo: Hllr cuános cminos de longiud conecn cd pr de vérices del grfo siguiene: Solución: UNIDD 5.- Mrices