Polígonos regulares 1 POLIGONOS REGULARES DEFINICION: Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y sus ángulos congruentes. DEFINICION: Un polígono esta inscrito en una circunferencia si sus vértices pertenecen a la circunferencia y sus lados son cuerdas de la circunferencia. DEFINICION: Un polígono es circunscrito a una circunferencia si tiene sus lados tangentes a la circunferencia. Todo polígono regular puede inscribirse en una circunferencia ANGULO CENTRAL DE UN POLIGONO INSCRITO: Es el ángulo formado cuando se une el centro del polígono con dos vértices consecutivos En un polígono regular de n lados el ángulo central mide 360º/n La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180º(n-) 180º ( n ) Un ángulo interior de un polígono regular mide donde n es el numero de lados. n APOTEMA: Es la altura de un triangulo formado por el centro del polígono regular y dos vértices consecutivos. ABCDEF es un hexágono regular inscrito en la circunferencia de centro O. 360º AOB es un ángulo central m( AOB) 60º 6 180º 6 70º Suma de los ángulos interiores: Medida de un ángulo interior: 70º 10º 6 En el hexágono se cumple que el radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado del hexágono: R AB OH a es la apotema. TEOREMA El valor del lado de un triangulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio R es igual a R 3 HIPOTESIS: ABC es equilátero O es el centro de la circunferencia AB BC CA l TESIS: l R 3
Polígonos regulares 1. El circuncentro es el punto donde se cortan las mediatrices. CD es mediatriz y también es diámetro 1. Definición de circuncentro. CD es bisectriz de ACB. En un triangulo equilátero la mediatriz es también bisectriz 3. m ( ACD) = 30º 3. De. Los ángulos de un triangulo equilátero miden 60º 4. CAD es recto 4. Esta inscrito en una CD 5. AD R 6. AC CD AD l R R 3R l R 3 semicircunferencia 5. De 4 y 3. Teorema 30 60 90 6. Teorema de Pitágoras NOTA: Si unimos los puntos medios de cada arco determinado por un triangulo equilátero inscrito en una circunferencia, obtenemos un hexágono regular inscrito y como AD = R, el lado de un hexágono regular es igual al radio de la circunferencia circunscrita. Las uniones deben hacerse con los vértices del triangulo. TEOREMA El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia es igual a R 1. AB BC CD DA 1. De hipótesis. Definición de cuadrado. m (arco AB) = m (arco BC) = m (arco CD). De 1. Por tener cuerdas congruentes = m (arco DA) 3. m (arco AB) = 90º 3. De. Una circunferencia tiene 360º 4. m ( AOB) = 90º 4. De 3. Por ser un ángulo central 5. AOB es rectángulo 5. De 4. Definición de triangulo rectángulo 6. l R R l R 6. De 5. Teorema de Pitágoras
Polígonos regulares 3 EJERCICIOS 1. Calcular la altura de un triangulo equilátero en función del radio de la circunferencia circunscrita al triangulo.. Calcular la apotema del triangulo equilátero inscrito en función del radio 3. El lado de un triangulo equilátero inscrito mide 4 centímetros. Calcular a) La apotema. b) el radio de la circunferencia c) la altura del triangulo. 4. Calcular la apotema del cuadrado inscrito, en función del radio de la circunferencia circunscrita 5. La apotema de un cuadrado inscrito, en función del radio de la circunferencia circunscrita 6. Sea l el lado de un octágono regular inscrito en una circunferencia de radio R, demostrar que el lado es igual a R 7. Calcular en función del radio la apotema de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio R. 8. La apotema de un hexágono regular inscrito mide 0 centímetros. Calcular el radio y el lado del hexágono 9. Calcular la apotema de un octágono regular de lado l inscrito en una circunferencia de radio R, en función de R. 10. La apotema de un octágono regular inscrito mide 0.5 metros. Calcular el radio y el lado del octágono 11. El lado de un cuadrado circunscrito a una circunferencia mide 1 centímetros. Calcular el lado y la altura del triangulo equilátero inscrito en la misma circunferencia 1. Calcular el lado de un triangulo equilátero en función del radio r de la circunferencia inscrita en el triangulo.
Polígonos regulares 4 13. Las diagonales AD y BE de un pentágono regular ABCDE, inscrito en una circunferencia de centro O, se cortan en P. Demostrar que: a) ABDE es un trapecio isósceles. b) BCDP es un rombo c) BP BE PE 14. CDEF es un hexágono regular inscrito y L, M, N, P, Q y R son los puntos medios de los lados, respectivamente. Demostrar que LMNPQR es un hexágono regular. 15. ABC y DEF son triángulos equiláteros inscritos en una circunferencia de radio R. Los lados de los triángulos se cortan para formar un hexágono regular, hallar el lado de este hexágono en función de R. 16. Calcular el lado de un triangulo equilátero circunscrito a una circunferencia de radio 15 cm. 17. En una circunferencia de centro O, se inscribe un pentágono regular ABCDE, se trazan las diagonales AC y BD que se cortan en M. Demostrar que: AM MC AC (AYUDA: Demostrar primero que ABC BMC y luego que el triangulo MAB es isósceles.) 18. El hexágono regular ABCDEF esta inscrito en una circunferencia de centro O. P es el punto medio de EF y M es el punto medio de AB, demostrar que EB es un diámetro y que PM es paralelo a EB. Si el radio de la circunferencia es 8 cm., hallar PM. 19. ABCDEF es un hexágono regular, P es el punto medio de EF y M es el punto medio de AB, si PM 9 encontrar la medida del lado del hexágono. 0. Un hexágono regular esta inscrito en una circunferencia de radio R. Se unen los puntos medios de los lados consecutivos. Demostrar que se forma un hexágono regular y calcular el lado de este hexágono en función de R.
Polígonos regulares 5 1. El lado del pentágono regular mide 10 cm. Las diagonales AC y BD se cortan en P. Calcular DP y PB. (AYUDA: Demostrar primero que el triangulo PDC es isósceles y luego establecer una proporción con los triángulos semejantes DCB y BPC). Calcular el lado de un octágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio vale. RTA: 3. Sabiendo que el lado del cuadrado inscrito en una circunferencia de 7 cm. de radio vale 7, hallar el lado del cuadrado circunscrito a la misma circunferencia. Rta: 14 cm. 4. El perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia es 0 cm. Hallar el diámetro de dicha circunferencia. 5. Se da un hexágono regular ABCDEF, inscrito en una circunferencia de radio 0 centímetros. Se trazan las diagonales AE y FB que se cortan en K. Hallar KF, KB, KE, KA. Respuesta: KF = 10, KE =.16, KA = 10, KB =.16 6. El lado del hexágono regular ABCDEF mide 8 cm., las diagonales AD y BF se cortan en G. 1) Hallar las medidas de los ángulos ADC, AFG, AGF. ) Encontrar la medida de GH, que es la distancia de G a la diagonal AC. 7. Interiormente en un pentágono regular ABCDE, se construye un triángulo equilátero APB, calcular m( APE )
Polígonos regulares 6 8. La apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 5 cm., hallar la medida de la apotema de un triángulo equilátero que se inscribe en la misma circunferencia. 9. El cuadrado ABCD y el triángulo equilátero AEF están inscritos en una misma circunferencia. Calcular la medida de los arcos DF, BE, CE, FC, ABE 30. El radio de la circunferencia inscrita en un triángulo equilátero mide 5 3, hallar el lado del triángulo. 31. La apotema de un hexágono regular mide 3 3, encontrar la medida del lado del hexágono 3. ABCDEF es un hexágono regular. Demostrar que el triángulo ACE es equilátero. Si el lado del hexágono mide 4 cm., calcular la medida del lado y de la apotema del triángulo.