58 Sociedad de Matemática de Chile La Distancia de un Punto a una Recta y de un Punto a un Plano, y un Teorema de Pitágoras en Tres Dimensiones Miguel Bustamantes 1 - Alejandro Necochea 2 El propósito de este artículo es mostrar una manera sencilla e intuitiva de probar la conocida fórmula con la cual se calcula la distancia desde un punto a una recta en el contexto de la geometría cartesiana bidimensional. Nuestra construcción se basa en consideraciones geométricas elementales, que como esperamos demostrar, surgen sin necesidad de recurrir a técnicas que están fuera del alcance de nuestros estudiantes de enseñanza media. (por ejemplo el cálculo vectorial, el cual puede usarse para obtener estos resultados). Tembién obtenemos como consecuencia una deducción de fórmula para calcular la distancia desde un punto a un plano, y a continuación un teorema de Pitágoras en el espacio cartesiano de tres dimensiones. El lector puede consultar las referencias [1], [2], donde estas ideas han sido sugeridas anteriormente. Otra demostración elemental de la fórmula para calcular la distancia desde un punto a una recta consiste en un tedioso conjunto de manipulaciones algebraicas donde el estudiante corre el serio peligro de cometer errores, cuya incidencia, como es bien sabido, aumenta al crecer el número de pasos en el argumento. El esquema al cual nos referimos es el siguiente: encuéntre la recta perpendicular a la recta dada que pasa por el punto dado. A continuación encuéntrese la intersección de ambas rectas resolviendo un sistema de dos ecuaciones. La distancia buscada será por consiguiente la medida del segmento en la perpendicular que une el punto dado con el punto de intersección. La ventaja de nuestro método consiste en que todo fluye de manera transparente a partir de un sencillo diagrama, desde el cual se razona comparando las áreas de un triángulo calculadas de dos maneras diferentes. La demostración de la versión tri-dimensional de la fórmula si bien menos simple que la fórmula para la recta también se basa en aprovechar la ventaja de comparar dos formulaciones diferentes de una misma cosa, que en este caso es el volumen de 1 Estudiante del Doctorado en Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile. 2 Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile
Revista del Profesor de Matemáticas, RPM No. 8 (1999) 59 un tetraedro. Nuestra primera tarea es probar que la distancia d entre un punto P de coordenadas (x 0, y 0 ) y una recta L de ecuación Ax + By + C = 0 está dada por la fórmula (1) d = Ax 0 + Bx 0 + C A2 + B 2. Supondremos que la recta no es ni vertical ni horizontal, pues en tal caso la distancia puede encontrarse fácilmente a lo largo del eje coordenado respectivo. Por lo tanto y sin pérdida de generalidad, supondremos que AB 0. A continuación, construiremos un triángulo rectángulo cuya base está en la recta, cuyo vértice opuesto es P y cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. Los vértices del triángulo tienen por lo tanto coordenadas (x 0, y 0 ), (x 0 h, y 0 ) y (x 0, y 0 k). Sea d la longitud de la altura del triángulo perpendicular a L. Se observa entonces que los lados del triángulo miden h, k y h 2 + k 2, respectivamente. Se tienen las relaciones A(x 0 h) + By 0 + C = 0 y Ax 0 + B(y 0 k) + C = 0, las cuales implican la igualdad Bk = Ah = Ax 0 + By 0 + C.
60 Sociedad de Matemática de Chile La determinación de d se hará calculando el área del triángulo de dos maneras diferentes. En efecto, si denotamos el área del triángulo por, por una parte se tiene que = 1 2 hk, y por otra = 1 2 d h 2 + k 2 (ver Figura 1) Comparando ambas expresiones para el área, obtenemos que d = hk h2 + k 2. Por lo tanto, puesto que k = A B h, d = A B h2 h 2 + A2 B 2 h2 que es la conclusión buscada. A B h2 = = h 2 B 2 (A2 + B 2 ) Ah A 2 + B = Ax 0 + By 0 + C, 2 A 2 + B 2 A continuación demostraremos que si Π es un plano en el espacio euclidiano tridimensional con ecuación cartesiana Ax + By + Cz + D = 0, y Q es un punto con coordenadas (x 0, y 0, z 0 ) no contenido en Π, entonces la distancia d desde Q hasta Π está dada por d = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2. El método de la demostración es similar al cálculo de la distancia desde un punto a una recta. Como antes, y sin perdida de generalidad, podemos suponer que el plano Π no es paralelo a ninguno de los tres planos coordenados, puesto que de serlo el cálculo de la distancia puede hacerse de manera trivial a los largo de un eje coordenado. Por lo tanto, podemos suponer que ABC 0. Sea E = Ax 0 + By 0 + Cx 0 + D, y supóngase que el plano intersecta a las rectas paralelas a los tres ejes coordenados que convergen en el punto Q en los puntos N, O y P, cuyas coordenadas son (x 0 h, y 0, z 0 ), (x 0, y 0 k, z 0 ) y (x 0, y 0, z 0 l), respectivamente. De la ecuación del plano se obtiene entonces que (2) h = E A, k = E B, l = E C. Se sabe por otra parte que el volumen V de un tetraedro con base de área
Revista del Profesor de Matemáticas, RPM No. 8 (1999) 61 y altura m es dado por V = 1 m. Luego, en la figura 2, el volumen del 3 tetraedro con vértice N, O, P, Q, considerando a la cara con lados de longitud f, h y l como base del tetraedro es dado por (3) V = 1 3 ( ) hl 2 k = l 6 hkl. Por otro lado, si es el área del triángulo NOP, tenemos (4) V = 1 d, 3 donde d, la distancia buscada, es la altura del tetraedro. Para calcular el área nótese que (base) (altura) = = 1 2 2 gu, donde u2 = t 2 + l 2 y t es la distancia medida desde el punto Q = (x 0, y 0, z 0 ) a la recta en el plano z = z 0 de ecuación Ax + By + Cz 0 + D = 0. Usando la fórmula para calcular la distancia desde un punto a una recta, e identificando Cz 0 +D con el coeficiente C en esa fórmula, se tiene que t = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 = E A2 + B 2.
62 Sociedad de Matemática de Chile Luego recordeando que l = E C, obtenemos que ( ) 1 u 2 = E 2 C + 1 = 2 A 2 + B 2 E 2 (A 2 + B 2 )C 2 (A2 + B 2 + C 2 ). Ahora, desde la figura 2 se tiene que que g 2 = h 2 + k 2. Luego, desde las ecuaciones (2) obtenemos qu g 2 = E 2 ( 1 A 2 + 1 B 2 ) = E2 A 2 B 2 (A2 + B 2 ). Reemplazando estos valores en la fórmula del área, nos queda = 1 2 gu = 1 2 E 2 A2 + B ABC 2 + C 2. Reemplazando en la ecuación (4) obtenemos que (5) V = d 6 E 2 A2 + B ABC 2 + C 2. Finalmente, desde la ecuación (3) tenemos que (6) V = 1 6 hkl = E 3 6 1 ABC. Comparando las dos últimas expresiones para el cálculo del volumen, se obtiene que d = E A2 + B 2 + C 2 = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2. que es la fórmula que deseabamos demostrar. Nuestro siguiente resultado no es más que un corolario de la demostración anterior.
Revista del Profesor de Matemáticas, RPM No. 8 (1999) 63 Teorema (El teorema de Pitágoras en dimensión 3). Sean 1, 2, 3 las áreas de las caras del tetraedro NOP Q que confluyen en el punto Q y sea el área de la cara NOP (ver figura 2)). Entonces 2 = 2 1 + 2 2 + 2 3. Demostración. De la ecuación (5) se tiene que y además se verifica que 2 = 1 4 B 4 (ABC) 2 (A2 + B 2 + C 2 ), 1 = 1 2 hl, 2 = 1 2 kl, y 3 = 1 2 hk. Por lo tanto procediendo directamente a partir de las ecuaciones (2), obtenemos 2 1 + 2 2 + 2 3 = 1 4 (h2 l 2 + k 2 l 2 + h 2 k 2 ) lo que completa la demostración. = 1 ( 1 4 E4 A 2 B + 1 2 B 2 C + 1 ) 2 A 2 C 2 = 1 4 E4 (A2 + B 2 + C 2 ) (ABC) 2 = 2,
64 Sociedad de Matemática de Chile Referencias [1] Necochea A., M. Taylor On the distance from a point to a line. Mathematics Teacher, vol. 35 no. 2, Feb. 1991. [2] Necochea A., M. Taylor, W. Watkins, On a three-dimensional Pythagorean theorem and the distance from a point to a plane. Texas Mathematics Teacher, vol XXVII, no 7, 1992.