Matemáticas para Químicos

UNIVERSIDAD DE SEVILLA Mtemátics pr Químicos José Antonio Prdo Bsss José Antonio Prdo Tendero Jun Antonio River Boz. Dpto. Análisis Mtemático Universidd de Sevill P.P.R. 22 de Septiembre de 2008.

Edición: P.P.R. Año: 2006 I.S.B.N. 84-690-1271-1 U.R.L. http://signtur.us.es/mtiqui/php/ctivos/pdf/mtiqui.pdf

Índice 1. Números reles y complejos 5 1.1. Introducción.................................... 5 1.2. El Número Rel.................................. 6 1.3. Consecuencis de los xioms.......................... 8 1.4. Conjuntos inductivos. Los conjuntos N, Z y Q................ 9 1.5. Consecuencis del xiom de supremo..................... 10 1.6. Intervlos. Topologí de l rect rel...................... 11 1.7. Vlor bsoluto. Propieddes........................... 12 1.8. Introducción de los números complejos..................... 13 1.9. C cuerpo no ordendo.............................. 13 1.10. Expresión binómic de un número complejo. Operciones. Complejo conjugdo........................................ 15 1.11. Módulo y rgumento. Form trigonométric de un número complejo.... 15 1.12. Exponencil y logritmo de un número complejo............... 17 Ejercicios y Problems................................. 18 2. Funciones reles. Límites y continuidd 21 2.1. Definiciones.................................... 21 2.2. Funciones elementles.............................. 23 2.2.1. Funciones polinómics.......................... 24 2.2.2. Funciones rcionles........................... 24 2.2.3. Funciones rdicles............................ 24 2.2.4. Función exponencil y función logrítmic............... 25 2.2.5. Funciones circulres o trigonométrics................. 25 2.2.6. Funciones circulres inverss...................... 25 2.2.7. Otrs funciones.............................. 26 2.2.8. Funciones trsldds.......................... 26 1

2 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 2.3. Límite de un función. Propieddes....................... 27 2.3.1. Límites en x =............................. 27 2.3.2. Límites en el infinito........................... 27 2.3.3. Límites infinitos en el infinito...................... 28 2.3.4. Límites lterles............................. 28 2.4. Continuidd. Discontinuiddes......................... 28 2.4.1. Continuidd................................ 28 2.4.2. Discontinuiddes............................. 29 2.5. Propieddes de ls funciones continus..................... 30 Ejercicios y Problems................................. 31 3. Derivds. Polinomio de Tylor 35 3.1. Derivd de un función............................. 35 3.2. Álgebr de derivds............................... 36 3.3. Derivd de l función compuest y de l función invers.......... 36 3.4. Funciones con derivd no nul......................... 37 3.5. Teorems de Rolle y del vlor medio...................... 37 3.6. Regl de L Hôpitl................................ 38 3.7. Polinomios de Tylor............................... 39 3.8. Expresiones del término complementrio.................... 39 3.9. Aplicción l estudio de extremos reltivos................... 40 3.10. Desrrollo de funciones elementles....................... 41 Ejercicios y Problems................................. 42 4. Funciones de vris vribles reles 47 4.1. El espcio euclídeo R n.............................. 47 4.2. Funciones de vris vribles.......................... 50 4.3. Límite de un función.............................. 51 4.4. Funciones continus............................... 53 4.5. Diferencibilidd................................. 54 4.5.1. Derivds prciles............................ 54 4.5.2. Derivds direccionles......................... 55 4.5.3. Diferencibilidd............................. 56 4.5.4. Regl de l cden............................ 57 4.6. Derivds prciles de orden superior...................... 57 4.7. Extremos..................................... 58

ÍNDICE 3 Ejercicios y Problems................................. 61 5. Series numérics y series de potencis 65 5.1. Sucesiones numérics............................... 65 5.2. Series: Definiciones y propieddes........................ 66 5.3. Series de términos positivos. Criterios de convergenci............ 67 5.4. Series lternds. Teorem de Leibnitz..................... 69 5.5. Serie de potencis. Rdio de convergenci................... 70 5.5.1. Definiciones................................ 70 5.5.2. Continuidd y derivbilidd....................... 71 5.5.3. Desrrollos en serie. Funciones nlítics................ 71 Ejercicios y Problems................................. 73 6. Cálculo de primitivs 75 6.1. Definición y propieddes............................. 75 6.2. Métodos generles de integrción........................ 76 6.3. Integrción de funciones rcionles....................... 76 6.4. Integrles reducibles rcionles........................ 77 Ejercicios y Problems................................. 79 7. L integrl definid 81 7.1. Integrl de Riemnn de un función...................... 81 7.2. Funciones integrbles............................... 83 7.3. Propieddes de ls funciones integrbles.................... 84 7.4. Teorem fundmentl del Cálculo Integrl................... 85 7.5. Integrción por sustitución y por prtes.................... 86 7.6. Integrles impropis............................... 87 7.6.1. Integrción en intervlos no compctos................. 87 7.6.2. Criterios de convergenci........................ 89 7.6.3. Convergenci bsolut.......................... 90 7.6.4. Ls funciones Gmm y Bet...................... 91 7.7. Aplicciones de l integrl............................ 93 7.7.1. Áre de figurs plns.......................... 93 7.7.2. Longitud de rcos de curv........................ 94 7.7.3. Volúmenes................................ 95 7.7.4. Áre de superficies de revolución.................... 96

4 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 7.7.5. Aplicciones físics............................ 96 Ejercicios y Problems................................. 98 8. Mtrices, determinntes y sistems de ecuciones lineles 105 8.1. Mtrices...................................... 105 8.2. Mtrices cudrds................................ 107 8.2.1. Propieddes del producto de mtrices cudrds........... 108 8.2.2. Determinntes, menores complementrios y djuntos......... 108 8.2.3. Invers de un mtriz.......................... 110 8.3. Sistems de ecuciones lineles......................... 111 8.4. Regl de Crmer y Teorem de Rouché-Fröbenius............... 112 Ejercicios y Problems................................. 116 9. Espcios Vectoriles 119 9.1. Espcios Numéricos............................... 119 9.2. Subespcios vectoriles.............................. 122 9.3. Dependenci linel................................ 123 9.4. Bses y dimensión................................ 125 Ejercicios y Problems................................. 129 10.Aplicciones lineles 131 10.1. Definiciones y propieddes............................ 131 10.2. Representción mtricil de un plicción linel............... 134 10.3. El problem de l clsificción linel. Autovectores y utovlores...... 135 10.4. Endomorfismos digonlizbles......................... 137 Ejercicios y Problems................................. 139

Cpítulo 1 Números reles y complejos 1.1. Introducción El Cálculo está bsdo en el sistem de los números reles y sus propieddes. Los números ms sencillos de todos son los nturles, N = {1, 2, 3, } surgen con l necesidd de contr. Si le ñdimos sus negtivos y el 0 obtenemos los enteros Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, }, pero cundo medimos cierts mgnitudes, los enteros son indecudos, están muy seprdos unos de otros. Esto nos llev considerr cocientes de enteros. Los números que se pueden escribir de l form m/n, m, n Z, n 0, son llmdos números rcionles que los representremos por Q. Pero los números rcionles no sirven pr medir tods ls longitudes. Alrededor del siglo V.C., los griegos demostrron que unque l hipotenus de un triángulo rectángulo de ctetos de longitud 1 mide 2, este número no puede ser representdo como cociente de dos nturles, luego no es rcionl. A estos números se les llmó irrcionles y junto con los rcionles constituyen el conjunto de los números reles R. Como hemos podido comprobr, se verific: N Z Q R. El sistem de números reles pued mplirse ún más los números complejos. Estos son números de l form + bi donde y b son reles e i = 1. Los números reles pueden entenderse como etiquets pr puntos lo lrgo de un rect. Miden l distnci un punto previmente fijdo O, llmdo origen y que se etiquet con el número 0. Cd punto de l rect tiene un único número rel que lo etiquet, ese número lo llmremos coordend del punto, y l rect coordend resultnte, rect rel. 5

6 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) El concepto de número rel fue el último, de los que se estudin en un curso de nálisis diferencil e integrl, en fundmentrse rigurosmente. Probblemente este hecho es debido que el concepto de número rel es el que tiene un significción geométric más clr como punto de un rect o como longitud de un segmento. Con l definición riguros de los conceptos de límite y de función continu, unido l hecho del descubrimiento de ls geometrís no euclídes, se hizo evidente l necesidd de encontrr un fundmentción ritmétic de los números reles que sustituyer l ide geométric que hst bien entrdo el siglo XIX se tení de éstos. El primer pso fue l fundmentción de los conceptos de número entero y número rcionl tomndo los nturles como punto de prtid (Weierstrss en torno 1860) que es en resumids cuent l que todví usmos. Precí lógico pues, definir los reles prtir de los rcionles, lo que se relizó ví sucesiones (Cntor) o cortdurs (Dedekind). Así, sobre 1890 y se tení un fundmentción riguros de los números reles bsd en l ritmétic. Pero fltbn los cimientos del entrmdo, los números nturles. Fue Peno en 1889 quien logró dr un sustento lógico los números nturles (que está en vigor en l ctulidd) y que er el eslbón que fltb pr culminr en complejo edificio de los números reles. Posteriormente lgunos utores creyeron conveniente dotr l conjunto de los números reles de su propio sistem de xioms. En los últimos ños del siglo XIX, Hilbert tení preprdo el sistem de xioms pr los números reles que, en esenci, es el que presentmos en l presente obr. 1.2. El Número Rel Definición 1.2.1. Llmremos números reles los elementos de un conjunto R, dotdo de dos operciones interns (+, ) y un relción de orden estricto (<) que verificn los siguientes xioms: Axioms de cuerpo. 1. Conmuttividd : x, y R, x + y = y + x, x, y R, x y = y x. 2. Asocitividd : x, y, z R, (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R, (x y) z = x (y z).

NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 7 3. Distributividd : x, y, z R, x y + x z = x (y + z). 4. Elementos neutros : 0 R : x R se tiene que x + 0 = x, 1 R, 1 0 : x R se tiene 1 x = x. 5. Elementos simétricos : x R, ( x) R : x + ( x) = 0 x R, x 0 x 1 R : x x 1 = 1. Notción: Escribiremos x y por x + ( y) y tmbién x y por x y 1. Axioms de orden. 6. Tricotomí : x, y R, x < y ó y < x ó y = x. 7. Si x < y y z R, entonces x + z < y + z. 8. Si x > 0 e y > 0, entonces x y > 0. 9. Si x < y e y < z entonces x < z. Pr poder expresr el décimo xiom, definiremos previmente los conceptos de cot superior, supremo y máximo. Análogmente se definen los conceptos de cot inferior, ínfimo y mínimo, dejándose como ejercicio l lumno. Definición 1.2.2. Se A R. Si existe x R tl que x, A, decimos que A está cotdo superiormente y que x es un cot superior de A. El supremo de A se define como l menor de ls cots superiores, es decir, si es cot superior de A entonces sup A. Si sup A A, decimos que es máximo, representándolo como máx A. Axiom de completitud. 10. Todo subconjunto no vcío de R, cotdo superiormente, tiene supremo.

8 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 1.3. Consecuencis de los xioms De los xioms de cuerpo. Tods ests consecuencis se demuestrn prtir de los cinco primeros xioms, siendo un ejercicio muy útil pr el lumno su prueb pr fmilirizrse con el lenguje mtemático. 1. Unicidd del 0 y 1. 2. Si x + y = x + z, entonces y = z. 3. Unicidd de los elementos simétricos. 4. 0 x = x 0 = 0. 5. ( x) = x. 6. ( 1) x = x. 7. x ( y) = ( x) y = (x y). 8. x (y z) = x y x z. 9. Si x 0 y x y = x z, entonces y = z. 10. Si x y = 0, entonces x = 0 ó y = 0. De los xioms de orden. 1. x < 0 x > 0. 2. Si x > y y z > 0, entonces x z > y z, si x > y y z < 0, entonces x z < y z. 3. Si x > y > 0 y z > w > 0, entonces x z > y w. 4. Si x y > 0 entonces x > 0 e y > 0, o bien x < 0 e y < 0. 5. x 0, x R es x 2 = x x > 0. En prticulr 1 > 0.

NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 9 1.4. Conjuntos inductivos. Los conjuntos N, Z y Q Aunque es hbitul definir los conjuntos Z y Q prtir de N y éste medinte los xioms de Peno, vmos ver quí un sencill form de conseguir dichos conjuntos trvés del conjunto de xioms de los números reles como subconjuntos especiles de R. Definición 1.4.1. Se S R. Se dice que S es un conjunto inductivo de R si se verific ) 1 S. b) Si x S x + 1 S. Definición 1.4.2. Un número n R se dice que es nturl si pertenece todos los conjuntos inductivos de R. Llmremos N l conjunto de los números nturles. Teorem 1.4.3. N es un conjunto inductivo de R. Teorem 1.4.4 (Principio de inducción). R, entonces S = N. Se S N. Si S es un conjunto inductivo de Teorem 1.4.5 (Principio de buen ordención). primer elemento, es decir, A : n A n. Si A N es no vcío, entonces tiene Definición 1.4.6. Se definen: Z = N {0} { n : n N}. Sus elementos se llmn números enteros. Q = {p q 1 : p, q Z, q 0}. Sus elementos se llmn números rcionles. Proposición 1.4.7. R \ Q. Definición 1.4.8. Llmmos números irrcionles los elementos de R \ Q.

10 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 1.5. Consecuencis del xiom de supremo Teorem 1.5.1 (Propiedd fundmentl del supremo). Se A R, con A, y se α R cot superior de A. Son equivlentes: 1) α = sup A. 2) h > 0, A tl que α h < < α. Análogmente podrímos enuncir l propiedd fundmentl del ínfimo. Teorem 1.5.2 (Propiedd fundmentl del ínfimo). Se A R, con A, y se β R cot inferior de A. Son equivlentes: 1) β = ínf A. 2) h > 0, b A tl que β < b < β + h. Proposición 1.5.3. N no está cotdo superiormente. Proposición 1.5.4. x R, existe un único n Z tl que n x < n + 1. A este número n se le llm prte enter de x y se denot por [x]. Teorem 1.5.5 (Propiedd rquimedin de R). x, y R, x > 0, existe un n N tl que y < nx. Corolrio 1.5.6. x > 0, existe n N con 1 n < x. Teorem 1.5.7. x, y R, x < y, existe q Q con x < q < y. x, y R, x < y, existe r R \ Q con x < r < y. Por verificrse ese Teorem se dice que Q y R \ Q son densos en R.

NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 11 1.6. Intervlos. Topologí de l rect rel Definición 1.6.1. Sen, b R, b. Llmremos intervlos cotdos los siguientes conjuntos de números reles: 1. Intervlo cerrdo: [, b] = {x R : x b}. 2. Intervlo bierto-cerrdo: (, b] = {x R : < x b}. 3. Intervlo cerrdo-bierto: [, b) = {x R : x < b}. 4. Intervlo bierto: (, b) = {x R : < x < b}. Los intervlos no cotdos se definen de l siguiente form: 1. Intervlo cerrdo no cotdo superiormente: [, + ) = {x R : x }. 2. Intervlo bierto no cotdo superiormente: (, + ) = {x R : x > }. 3. Intervlo cerrdo no cotdo inferiormente: (, b] = {x R : x b}. 4. Intervlo bierto no cotdo inferiormente: (, b) = {x R : x < b}. Definición 1.6.2. Se A R. A es un punto interior de A si r > 0 : ( r, + r) A. El conjunto de todos los puntos interiores de A se llm interior de A y se denot por A. R es un punto dherente de A si r > 0, ( r, + r) A. El conjunto de todos los puntos dherentes de A se llm clusur de A y se denot por A. R es un punto de cumulción de A si r > 0, (( r, + r) \ {}) A. El conjunto de todos los puntos de cumulción de A se denot por A.

12 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) A es un punto isldo de A si A \ A. R es un punto fronter de A si es un punto dherente de A y de R \ A. Se dice que A es un entorno de si A. A se dice bierto si A = A. A es cerrdo si R \ A es bierto. 1.7. Vlor bsoluto. Propieddes Definición 1.7.1. Pr cd número rel x, se define el vlor bsoluto de x como x = sup{x, x} = x, si x 0 x, si x < 0. Propieddes del vlor bsoluto. 1. x R, x 0. 2. x = 0 x = 0. 3. x R, x x x. 4. x, y R, x y = x y. 5. Se R, > 0. Entonces x si y sólo si x. 6. Se R, > 0. Entonces x si y sólo si x ó x. 7. x, y R, x + y x + y (Desiguldd tringulr). 8. x, y R, x y x y.

NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 13 1.8. Introducción de los números complejos Como sbemos que l ecución x 2 2 = 0, no tiene soluciones rcionles por ello fue necesrio introducir los números reles. Por tnto l siguiente pregunt es, si x 2 + 1 = 0, no tiene soluciones reles ( por qué?), entonces dich ecución es irresoluble? Crdno en 1545 se plnteó el siguiente problem: ddo un segmento de longitud 10 uniddes, dividirlo en dos prtes de form que el rectángulo que se form teng un áre de 40 uniddes cudrds. Pr resolverlo, Crdno operó formlmente: Se x l longitud de un división y 10 x el de l otr. Entonces, (10 x)x = 40 = x 2 10x + 40 = 0 = x 1 = 5 + 15, x 2 = 5 15 Además, formlmente verificó l solución: A = (5 + 15)(5 15) = 5 2 ( 15) 2 = 25 ( 15) = 40.!!!! Es decir que l solución vení dd por un ríz de un número negtivo. Tles soluciones se ls denominron imposibles o imginris. Fue Euler el primero en introducir l notción 1 = i. 1.9. C cuerpo no ordendo Definición 1.9.1. Un número complejo z es un pr ordendo de números reles x, y, es decir, z = (x, y), donde x se denomin prte rel de z e y se denomin prte imginri y se denotn por x = Re(z), y = Im(z). El conjunto de todos los números complejos lo denotremos por C. Pr dos números complejos culesquier z 1 = (x 1, y 1 ) y z 2 = (x 2, y 2 ), se define l operción sum + y producto de l siguiente form: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + y 1 x 2 ) Así (C, +, ) cumple efectivmente ls propieddes de cuerpo conmuttivo: 1. Conmuttiv : z 1, z 2 C, z 1 + z 2 = z 2 + z 1 z 1, z 2 C, z 1 z 2 = z 2 z 1,

14 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 2. Asocitiv : z 1, z 2, z 3 C, (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ), z 1, z 2 C, (z 1 z 2 ) z 3 = z 1 (z 2 z 3 ), 3. Distributiv : z 1, z 2 C, z 1 z 2 + z 1 z 3 = z 1 (z 2 + z 3 ), 4. Existenci de elementos neutros : 0 = (0, 0) C z C se tiene z + 0 = z, 1 = (1, 0) C, z C se tiene z 1 = z, 5. Existenci de elementos simétricos : z = (x, y) C, z = ( x, y) C z + ( z) = 0 z = (x, y) C, z 0 z 1 = ( x x 2 + y 2, ) y x 2 + y 2 C z z 1 = 1. L prueb de ests propieddes se dejn propuests l lumno. Es fácil comprobr que si z 1 y z 2 son números tles que Im(z 1 ) = Im(z 2 ) = 0, ls operciones nteriores coinciden con ls de los números reles, de form que los números reles son un subconjunto de los complejos, concretmente son los números complejos de l form x (x, 0). Los números complejos de l form Re(z) = 0 se denominn imginrios puros. Utilizndo el conjunto de los números complejos C descubrimos que es posible resolver ecuciones lgebrics que no ern resolubles pr los reles, por ejemplo x 2 + 1 = 0, x 2 = 1 x = i = (0, 1). Ls propieddes de un cuerpo ordendo están expuests en l definición 1.2. en los xioms de R. Destcr que C es un cuerpo no ordendo y que, por ejemplo, i no cumple el xiom de tricotomí. Es clro que i 0. Supongmos que i > 0, entonces por el xiom 7. i i > 0, luego 1 > 0, o equivlentemente, 0 > 1, (lo cul pudier ser cierto en C pues no hemos decidido todví que criterio vmos utilizr pr ordenrlos). Ahor bien, si 1 > 0, entonces ( 1) ( 1) > 0, de donde 1 > 0, lo cul es imposible por el xiom 5.. Un rzonmiento nálogo demuestr que i no puede ser menor que cero (se propone como ejercicio). Por tnto C es un cuerpo no ordendo.

NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 15 1.10. Expresión binómic de un número complejo. Operciones. Complejo conjugdo L expresión más común pr representr un número complejo es l form binómic: z = (x, y) = x(1, 0) + (0, 1)y x + iy donde x = Re(z), y = Im(z). Operciones elementles en form binómic. Sen z 1 = x 1 + iy 1 y z 2 = x 2 + iy 2 dos números complejos culesquier, entonces z 1 ± z 2 = (x 1 ± x 2 ) + (y 1 ± y 2 )i z 1 z 2 = (x 1 +iy 1 ) (x 2 +iy 2 ) = x 1 x 2 +x 1 y 2 i+y 1 x 2 i+y 1 y 2 i 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 )+(x 1 y 2 +y 1 x 2 )i teniendo en cuent que i 2 = 1 y grupndo prtes reles e imginris z 1 z 2 = x 1 + iy 1 x 2 + iy 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 iy 2 ) (x 2 + iy 2 )(x 2 iy 2 ) = x 1x 2 + y 1 y 2 x 2 2 + y2 2 + i y 1x 2 x 1 y 2 x 2 2 + y2 2 Definición 1.10.1. Ddo un número complejo z = x + iy se llm complejo conjugdo de z y se denot por z, l complejo z = x iy. Pr z se cumplen ls siguientes propieddes: z, z 1, z 2 C 1. z = z 2. z 1 + z 2 = z 1 + z 2 3. z 1 z 2 = z 1 z 2 4. ( z1 z 2 ) = z 1 z 2 (z 2 0) 5. Re(z) = z + z 2 6. Im(z) = z z 2i 7. z R z = z 1.11. Módulo y rgumento. Form trigonométric de un número complejo Definición 1.11.1. Se z = x + iy. Se llm módulo de z l número rel positivo ρ = z = + ( y x 2 + y 2 y se llm rgumento de z l ángulo θ = rctg tl que x) x = ρ cos(θ) y = ρsen(θ)

16 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Por tnto z = x + iy = ρ(cos(θ) + isen(θ)) = ρ θ en lo que se denomin form trigonométric de z. Pr el módulo y el rgumento de z se cumplen ls siguientes propieddes: z, z 1, z 2 C 1. z 0 2. z = 0 z = 0 3. z 2 = z z 4. z 1 + z 2 z 1 + z 2 5. z 1 z 2 = z 1 z 2 Operciones elementles en form trigonométric. Observremos que lguns de ls operciones fcilitn mucho su cálculo. El producto, cociente, potenci enter y ríz enter quedn de l siguiente form: Sen z 1 = ρ 1 (cos(θ 1 ) + isen(θ 1 )) y z 2 = ρ 2 (cos(θ 2 ) + isen(θ 2 )) dos números complejos culesquier en form trigonométric, entonces el producto el cociente z 1 z 2 = (ρ 1 ρ 2 )(cos(θ 1 + θ 2 ) + isen(θ 1 + θ 2 )) z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 (cos(θ 1 θ 2 ) + isen(θ 1 θ 2 )) y l potenci y ríz, se z = ρ(cos(θ) + isen(θ)) y n N z n = z z z z }{{} nveces en lo que se conoce como l fórmul de Moivre. = ρ n (cos(nθ) + isen(nθ)) n z = n ρ ( cos ( θ + 2πk n ) + isen ( θ + 2πk n )), k = 0, 1,, n 1. Not: Se dejn como ejercicio ls deducciones de ests igulddes.

NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 17 1.12. Exponencil y logritmo de un número complejo Definición 1.12.1. Se t R se define e it = cos t + isent, que se denomin fórmul de Euler. Si z C \ {0}, ρ su módulo y θ culquier rgumento de z se define l exponencil complej de z como e z = e Re(z) (cos(im(z)) + isen(im(z)) Not: Si z es rel, es decir, Im(z) = 0 l fórmul qued como l que conocímos en R. Pr l exponencil complej se cumplen ls siguientes propieddes: z, z 1, z 2 C 1. e 0 = 1 2. e z 0 3. e z1+z2 = e z1 e z2 4. e z = e Re(z) 5. e z = 1 z = 2πki k Z 6. e z 1 = e z 2 z 1 z 2 = 2πki k Z Definición 1.12.2. Se z C, ρ su módulo y θ culquier rgumento de z el logritmo de z es log(z) = log(ρ) + iθ + 2πki k Z Definición 1.12.3. Se Si z C \ {0} y w C, entonces z w = e wlogz Definición 1.12.4. Se z C, Se definen ls funciones seno y coseno como: sen(z) = eiz e iz, cos(z) = eiz + e iz. 2i 2

18 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Ejercicios y Problems 1.- ) Demostrr el siguiente enuncido: Si n es un número nturl tl que n 2 es pr, entonces n es pr. b) Demostrr que 2 no es un número rcionl. 2.- Demostrr por inducción ls fórmuls: ) n i = i=1 n(n + 1) 2 b) n i 2 = i=1 n(n + 1)(2n + 1) 6 c) n ( n(n + 1) i 3 = 2 i=1 ) 2 d) n! 2 n 1 e) n i=1 i = n+1 1, ( 1) f) 5 23n 2 + 3 3n 1 = 19 3.- Probr que si l propiedd 2 + 2 2 + 2 3 + + 2 n = 2 n+1 se verific per un cierto vlor n, entonces se verific pr n + 1, pero como se puede comprobr, l propiedd es fls. Contrdice este hecho el principio de inducción? 4.- Decir, rzonndo l respuest, si puede ser rcionl: ) L sum de un rcionl y un irrcionl. b) El opuesto, o el inverso, de un irrcionl. c) L sum, o el producto, de dos irrcionles. d) El producto de un rcionl y un irrcionl. e) x + b cx + d con, b, c, d enteros, c 0, y x un irrcionl. 5.- ) El número + b 2 + b < b. 2 se llm medi ritmétic de y b. Demostrr: < b = < b) El número b se llm medi geométric de los dos números positivos y b. Demostrr que < b = < b < b. c) Pr dos números positivos, probr que b + b 2.

NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 19 6.- Describir, en cd cso, el conjunto de números reles x que verificn l condición: ) 2x + 3 < 2 b) 6x + 2 > 5 c) x 2 + x 3 = 2 d) 2x 1 x + 2 e) 5 1 x 4x + 3 + 2x 4 = x 2 2x 1 g) x = x 5 h) x 2 2 x 3 = 0 i) x 2 7x + 12 > x 2 7x + 12 j) 5x + 1 1 k) x = x + 5 7.- De los siguientes subconjuntos de R, decir cuáles están cotdos superiormente e inferiormente y clculr sus supremos e ínfimos, si éstos existen: A = {x R : 0 < x < 1}, B = {x Q : 0 < x < 1}, C = {x R : x 2 > 4}, D = {x R : 3x 2 10x + 3 < 0}, E = {x R : (x 1)(x 2)(x 3) < 0}, { } 2n 1 F = : n N, G = {x R : x 2 5x+5 < 1}, H = {x R : x 2 x > 0}. n 8.- Clculr: ) 1 i 5 + 3i, b) (4 + 3i)2, c) ( 2 + 2i) 3 d) 1 i 2 ( 2 i), e) 4 15 k= 3 i k 9.- Clculr ( 4 4 ) 2 y 4 4 2. Coinciden? 10.- Clculr: ) 3 2 + 2i b) 6 64 c) 3 ( i d) e (2+ π 3 i) e) log e 2 2 + ie ) 2 2. 11.- Se z C l ríz curt de 1 cuyo fijo está en el segundo cudrnte. Hllr: ) El vlor de z. b) e z. c) cos z. d) log z. 12.- Hllr dos números complejos conjugdos tles que su diferenci se 6i y su cociente se imginrio puro. 13.- Hll los 4 números complejos z que verificn z = 3 + 4i + 3 4i 14.- Hllr los números complejos z C tles que z 5 = z. 15.- Hllr el lugr geométrico de los fijos de los complejos z tles que z + 5 z 3

20 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 16.- Resolver ls ecuciones: ) cos z = 2 b) sen z = i 17.- Describir geométricmente todos los números complejos que verifiquen: ) z + z = 1, z z = i, Re(z) = Im(z). b) z = 1, z + i 3, 1 z 1 2. c) z > z + 1, z + z = z 2, z( z + 2) = 3. ( ) d) z + 2i + z 2i = 6, z 2 z 2 z + 2 = 1, rg = π z + 2 4. 18.- Construir un hexágono regulr centrdo en el origen tl que uno de sus vértices se el punto A(1, 3). 19.- Construir un cudrdo centrdo en el origen uno de cuyos vértices se: ) El punto ( 3/2, 1/2). b) El punto B(4, 3). 20.- ) Ddos los complejos z = 2+i y z 1 = 3 i, encontrr otros tres números complejos z 2, z 3 y z 4 tles que los fijos de z 1, z 2, z 3, z 4 formen un cudrdo de centro el fijo de z. b) Clculr el áre de dicho cudrdo 21.- Ddos los complejos z = 1+i y z 1 = 2+3i, encontrr otros dos números complejos z 2 y z 3 tles que los fijos de z 1, z 2, z 3 formen un triángulo equilátero de centro el fijo de z.

Cpítulo 2 Funciones reles. Límites y continuidd 2.1. Definiciones Definición 2.1.1. Un función rel de vrible rel es un plicción que cd punto x de un conjunto S R le hce corresponder un único elemento de R. Hbitulmente l denotmos por f : S R R. El myor conjunto D R tl que f esté definid se le llm dominio de f. A cd x del dominio le corresponde un vlor f(x) R l que llmremos imgen de x según f. Al conjunto de tods ls imágenes f(x) con x D, se le llm conjunto imgen y se escribe f(d). Dds ls funciones f : D f R, g : D g R, definimos ls operciones sum, producto y cociente del siguiente modo: Definición 2.1.2. f + g : D f D g R, (f + g)(x) = f(x) + g(x). f g : D f D g R, (f g)(x) = f(x) g(x). f/g : D f D g \ {x D g : g(x) = 0} R, (f/g)(x) = f(x)/g(x). 21

22 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Definición 2.1.3. Se dice que un función f es monóton creciente en un subconjunto A de su dominio si x 1, x 2 A : x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). Se dice que un función f es monóton decreciente en un subconjunto A de su dominio si x 1, x 2 A : x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). El crecimiento (decrecimiento) se dice que es estricto si se verific que x 1, x 2 A con x 1 < x 2, f(x 1 ) < f(x 2 ) (f(x 1 ) > f(x 2 ) resp.). Definición 2.1.4. Se dice que un función f está cotd superiormente si existe un M R tl que x D, f(x) M. Se dice que un función f está cotd inferiormente si existe un m R tl que x D, f(x) m. Se dice que un función f está cotd si lo está superior e inferiormente, es decir, existe un K > 0 tl que x D, f(x) K. Definición 2.1.5. Decimos que un función f : D R present un máximo reltivo en D si existe un entorno E() de tl que f(x) f(), x E(). Decimos que un función f : D R present un mínimo reltivo en D si existe un entorno E() de tl que f(x) f(), x E(). Decimos que M f(d) es el máximo (bsoluto) de f : D R, si M = máx f(d). Decimos que m f(d) es el mínimo (bsoluto) de f : D R, si m = mín f(d). Definición 2.1.6. Un función f : D R es pr si x D, x D, y f(x) = f( x).

FUNCIONES REALES. LÍMITES Y CONTINUIDAD 23 Un función f : D R es impr si x D, x D, y f(x) = f( x). Un función f : D R es periódic si existe un h > 0 tl que x D, x + h D, y f(x) = f(x + h). Al menor número h que verific es condición se le denomin periodo de f. Definición 2.1.7 (Composición de funciones). Sen f : D f R, g : D g R con f(d f ) D g. Definimos su composición como l función g f : D f R dd por (g f)(x) = g (f(x)). Not 2.1.8. En generl, l composición de funciones no es conmuttiv, es más, el hecho de que exist (g f)(x) no implic que exist (f g)(x). Definición 2.1.9. Un función f : D R es inyectiv si se verific: f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2, x 1, x 2 D. Un función f : D R es sobreyectiv si f(d) = R. Un función f : D R es biyectiv si es inyectiv y sobreyectiv. Definición 2.1.10. Se f : D R un función inyectiv. Llmmos función invers de f y l denotmos por f 1 l función f 1 : f(d) R tl que x f(d), f ( f 1 (x) ) = x. 2.2. Funciones elementles Exponemos en est sección ls principles funciones que el lumno conoce de su etp eductiv nterior, expresndo en clse su gráfic y sus propieddes más interesntes.

24 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 2.2.1. Funciones polinómics Son ls funciones que se pueden expresr de l form f : R R : f(x) = 0 + 1 x + 2 x 2 + + n x n, i R, n N. Si n = 0 tenemos l función constnte y =, cuy gráfic es un rect prlel l eje de bsciss. Si n = 1 tenemos l función fín, y = mx + n cuy gráfic es un rect. A m se le llm pendiente de l rect y n es l ordend en el origen. Si m es positivo l rect es creciente y si es negtivo es decreciente. Además m = tn α, siendo α el ángulo inclinción de l rect con el eje de bsciss. Si n=0 l función recibe el nombre de linel y ps por el origen de coordends. Si n = 2 tenemos l función cudrátic y = x 2 + bx + c su representción ( ( )) gráfic b b es un prábol de eje verticl, cuyo vértice está en el punto V 2, f y es 2 simétric respecto l rect x = b 2. Pr n 2 se obtienen curvs que se estudirán en el tem de representción gráfic de funciones. 2.2.2. Funciones rcionles Son ls funciones dds por f : D R R : f(x) = 0 + 1 x + 2 x 2 + + n x n b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + + b m x m, i, b j R, m, n N. El dominio D está compuesto por todos los números reles excepción de los que nuln el denomindor. L función rcionl más conocid es l de proporcionlidd invers y =, cuy gráfic x es un hipérbol de síntots los ejes coordendos. 2.2.3. Funciones rdicles Son ls funciones que se pueden expresr como f : D R R : f(x) = n x, n N D = R si n 2 El dominio D depende del índice de l ríz, D = [0, + ) si n = 2

FUNCIONES REALES. LÍMITES Y CONTINUIDAD 25 L función rdicl más conocid es y = + x, que junto con su simétric y = x, trzn un gráfic que es un prábol de eje horizontl. 2.2.4. Función exponencil y función logrítmic L función exponencil de bse ( > 0) es l función f : R R definid por f(x) = x. Si 0 < < 1, l función es estrictmente decreciente. Si = 1, l función es constnte. Si > 1 l función es estrictmente creciente. En culquier cso, l función exponencil es siempre positiv, x > 0, x R. Pr > 0, 1, l función invers de l función exponencil existe y se llm función logrítmic de bse y se escribe: g : (0, + ) R : g(x) = log x. Como en el cso de l función exponencil, si > 1, l función es creciente, y si 0 < < 1, l función es decreciente. 2.2.5. Funciones circulres o trigonométrics Son ls funciones sen x, cos x y tn x. Ls dos primers son periódics de periodo 2π, su dominio es R y su imgen el intervlo [ 1, 1]. L función tngente tn x = sen x es periódic de periodo π y su dominio, l ser cos x cociente de dos funciones, son todos los números reles excepto los vlores que nuln l denomindor, es decir, D = R \ { π 2 + kπ, k Z}. 2.2.6. Funciones circulres inverss Ests funciones solo tienen sentido si se considern ls funciones trigonométrics en intervlos donde sen monótons. Así, l función invers de sen x es l función f : [ 1, 1] [ π 2, π ] : f(x) = rc sen x. 2

26 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) L función invers de cos x es l función f : [ 1, 1] [0, π] : f(x) = rc cos x. Por último, l función invers de l tngente es: f : R ( π 2, π ) : f(x) = rctn x. 2 2.2.7. Otrs funciones L función vlor bsoluto, está definid por f : R R : f(x) = x Son interesntes ls composiciones de funciones de l form y = f(x), su gráfic se obtiene de l gráfic de y = f(x) sin más que trsldr, simétricmente, los puntos de ordend negtiv los correspondientes de ordend positiv. L función prte enter, f(x) = E(x), sign cd número rel x el myor número entero que es myor o igul que x. Así, E(3,5) = 3, E(1) = 1, E( 4,6) = 5, E(π) = 3. Se define l prte deciml de x como D(x) = x E(x). Es un función periódic de periodo 1. 2.2.8. Funciones trsldds Son quélls que se pueden dibujr prtir de lgun función elementl conocid. Trslción horizontl: y = f(x) y = f(x ± k). L función se trsldrá l izquierd o l derech k uniddes. Trslción verticl: y = f(x) y = f(x) ± k. Subiremos o bjremos l función k uniddes. Trslción oblicu: y = f(x) y = f(x ± k) ± k. L función se trsldrá l izquierd o l derech k uniddes y rrib o bjo k uniddes. Diltción verticl: y = f(x) y = kf(x). Se produce un cmbio de escl en el eje de ordends.

FUNCIONES REALES. LÍMITES Y CONTINUIDAD 27 2.3. Límite de un función. Propieddes Se f : S R R y S. Definimos: 2.3.1. Límites en x = Definición 2.3.1. Se dice que l es el límite de f(x) cundo x tiende y se escribe lím x f(x) = l si ε > 0, δ > 0 : x ( δ, + δ) S \ {}, f(x) l < ε. Est definición tiene sentido unque f no esté definid en. Definición 2.3.2. Se dice que f(x) tiende + cundo x tiende y se escribe lím f(x) = + si x Análogmente, M > 0, δ > 0 : x ( δ, + δ) S \ {}, f(x) > M. lím f(x) = si M > 0, δ > 0 : x ( δ, + δ) S \ {}, f(x) < M. x Cundo no se especifique el signo, lím f(x) = si M > 0, δ > 0 : x ( δ, + δ) S \ {}, f(x) > M. x 2.3.2. Límites en el infinito Definición 2.3.3. Si S no está cotdo superiormente, se dice que f(x) converge l cundo x tiende + ( lím f(x) = l) si: x + ε > 0, N > 0 : x (N, + ) S, f(x) l < ε. Análogmente, si S no está cotdo inferiormente, lím f(x) = l si ε > 0, N > 0 : x (, N) S, f(x) l < ε. x Si S no está cotdo, lím f(x) = l si ε > 0, N > 0 : si x > N y x S, f(x) l < ε. x

28 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 2.3.3. Límites infinitos en el infinito Definición 2.3.4. Decimos que: lím f(x) = + si M > 0, N > 0 : x (N, + ) S, f(x) > M, x + lím f(x) = si M > 0, N > 0 : x (N, + ) S, f(x) < M, x + lím f(x) = + si M > 0, N > 0 : x (, N) S, f(x) > M, x lím f(x) = si M > 0, N > 0 : x (, N) S, f(x) < M. x Análogmente se definen los límites lím f(x) (con vlores +,, ), lím x (con vlor ), f(x) (con vlor ). lím x 2.3.4. Límites lterles f(x) x + Sen f : S R R y R un punto tles que ε > 0, (, + δ) S (primer cso de l siguiente definición) y ( δ, ) S (segundo cso). Definición 2.3.5. Se dice que l es el límite de f(x) en por l derech si: lím f(x) = l, si ε > 0, δ > 0 : x (, + δ) S, f(x) l < ε. x + Análogmente, por l izquierd: lím f(x) = l, si ε > 0, δ > 0 : x ( δ, ) S, f(x) l < ε. x Proposición 2.3.6. Siempre que los siguientes límites tengn sentido, se tiene: lím f(x) = l lím x x x f(x) = lím f(x) = l. + 2.4. Continuidd. Discontinuiddes 2.4.1. Continuidd Definición 2.4.1. Se f : S R R. Se dice que f es continu en S, si pr todo ε > 0, existe δ > 0 tl que si x ( δ, + δ) S, entonces f(x) f() < ε.

FUNCIONES REALES. LÍMITES Y CONTINUIDAD 29 Podemos observr que si S, l condición nterior es equivlente lím f(x) = f(). x Por otro ldo, si es un punto isldo de S, f será continu en, pues por ser punto isldo, podemos encontrr un δ > 0 tl que ( δ, + δ) S = {}, por lo que f(x) f() = 0 < ε, x ( δ, + δ) S. En lo sucesivo considerremos que no es un punto isldo de S. Definición 2.4.2. Se f : S R R y B S. Se dice que f es continu en B, si lo es en cd punto de B. Teorem 2.4.3. Sen f : S 1 R R, g : S 2 R R y S = S 1 S 2. Si f y g son continus en S, tmbién lo son f + g y f g. Teorem 2.4.4. Se g : S R R, S. Si g() 0 y g es continu en, entonces 1/g es continu en. Corolrio 2.4.5. Sen ls funciones f : S 1 R R, g : S 2 R R y S = S 1 S 2,. Si f y g son continus en x = S, y g() 0, entonces f/g es continu en. Teorem 2.4.6. Sen ls funciones f : S 1 R R, g : S 2 R R con f(s 1 ) S 2, y se S 1. Si f es continu en y g lo es en f(), entonces g f es continu en. 2.4.2. Discontinuiddes Sen f : S R R y S. Definición 2.4.7. Se dice que f tiene un discontinuidd en si f no es continu en. Clsificmos ls discontinuiddes del siguiente modo: 1.- Discontinuidd evitble, si existe lím f(x) y es finito, pero lím f(x) f(), o x x bien, existe lím f(x) y es finito, pero / S. x

30 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 2.- Discontinuidd de slto infinito, si lím x f(x) = +. 3.- Discontinuidd de slto, si existen lím f(x) y lím f(x), pero no coinciden. x x + Si lím f(x) = f() se dice que f es continu por l izquierd de. x Si lím f(x) = f(), que f es continu por l derech de. x + 4.- Discontinuidd esencil si no existe lguno de los límites lterles. 2.5. Propieddes de ls funciones continus Definición 2.5.1. Se f : S R R, y se S. Se llm supremo de f (sup f), l supremo de f(s), si existe. S Se llm ínfimo de f (ínf f), l ínfimo de f(s), si existe. S Se dice que f() es el máximo (resp. mínimo) bsoluto de f en S si f(x) f() (resp. f(x) f()) pr todo x S. Teorem 2.5.2 (de Bolzno). Se f : [, b] R un función continu en [, b] con f() f(b) < 0. Entonces existe un c (, b) tl que f(c) = 0. Corolrio 2.5.3 (Propiedd de Drboux). Se f : [, b] R continu en [, b]. Pr todo número α con ínf f α sup f, existe un c [, b] tl que f(c) = α. [,b] [,b] Teorem 2.5.4 (de Acotción). Si f : [, b] R es un función continu en [, b], entonces f está cotd en [, b]. Teorem 2.5.5 (de Weierstrss). Si f : [, b] R es un función continu en [, b], entonces l función lcnz su máximo y su mínimo.

FUNCIONES REALES. LÍMITES Y CONTINUIDAD 31 Ejercicios y Problems 1.- Encontrr el dominio de ls funciones: ) f(x) = 1 + x2 1 x 2, b) f(x) = 1 x, c) f(x) = log ( x 2 4 ), d) f(x) = 4 e) f(x) = sen ( 2x 1 ) f) f(x) = sen(2x 1), g) f(x) = log ( ) x 1 x + 1 9 x 2 x + 2 2.- Sen, b, x > 0, 1, b 1 e y R, demostrr: ) log b x = (log b )(log x) b) log b (x y ) = y log b x. 3.- Sen, b, x > 0, 1 y b 1, demostrr: ) log b = 1 log b b) 1 + log b = log x, si b 1, x 1. log b x 4.- Demostrr: ) sen(π/4) = cos(π/4) = 2/2 b) sen(π/3) = 3/2; cos(π/3) = 1/2. 5.- ) Demostrr que sen(x + π) = sen x, cos(x + π) = cos x, x R. 1 cos x 1 + cos x b) Demostrr que sen(x/2) =, cos(x/2) = 2 2 ( ) ( ) x + y x y c) Demostrr que sen x + sen y = 2 sen cos, ( ) ( 2 ) 2 x + y x y cos x cos y = 2 sen sen 2 2 x R 6.- Bsándose en ls gráfics de ls funciones trigonométrics elementles, construir l gráfic de ls siguientes funciones en el intervlo [ 2π, 2π]: y = sen(x/2), y = 2 cos(3x), y = 1 + tn(π + x), y = 2 3 sen(1 + 2x) 7.- Sen f, g : R R ls funciones f(x) = 1 x 1 + x ; g(x) = x2 + 5x. Definir f g y g f, y encontrr f 1 (x), g 1 (x) donde existn.

32 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 8.- Dds ls funciones: f(x) = 2x 2 1 2x si x < 1 x, g(x) = x 2 + 1 + log(1 x) si x < 0 x si 1 x 1, h(x) = 2x x si x 0 1 si x > 1 ) Obtener el dominio de cd un de ells. b) Clculr g(x) + h(x) y f(x) g(x). 9.- Clculr los siguientes límites: ) lím x + x 2 10x + x, b) lím x x 2 x 2 4 x 3 3x + 2 x 2, c) lím 3x + 2 x 1 x 4 4x + 3, 1 1 x 2 1 + x 1 d) lím x 0 x 2, e) lím, f) lím ( (x + )(x + b) x), x 0 1 x 1 x + g) lím x ( ) 3x 2 ( ) 2 2x + 1 x + 1 x, h) lím, i) lím 2x 3 x 0 3x + 1 x ( x 2 ) x 2 ( ) x 2 + 1 x + 1 x 2, j) lím. 3 x 2x + 1 10.- Hllr ls constntes y b pr que se cumpl: ( x 2 ) + 1 ) lím x + x + 1 x b = 0, b) lím ( x 2 x + 1 x b) = 0. x + 11.- Estudir l continuidd de ls siguientes funciones: x + 1, si x 1, 1 ) f(x) = ; b) f(x) = 3 x 2, si x > 1 x 1 ; c) f(x) = x2 4 x 2 ; 0, si x 0; x, si 0 < x < 1; sen x d) f(x) = ; i) f(x) = x 2 + 4x 2, si 1 x < 3; x 3 2x 2, f(0) = 0; + x 4 x, si x 3.

FUNCIONES REALES. LÍMITES Y CONTINUIDAD 33 12.- Sen f, g : R R; definir f g y g f, y estudir l continuidd de f, g, f g, g f en los csos: ) f(x) = 1 x, g(x) = x 2 + 5x 1, si x Q; b) f(x) = x, g(x) = 1, si x R \ Q 1, si x > 0; c) f(x) = 0, si x 0 x 1 2, si 0 x 1; g(x) = 3, en otro cso rc tg 1 x + α si x < 0 13.- Dd l función f(x) = x 1 x + 1 si 0 x 1 log ( 1 + cos 2 (βx) ) si x > 1 ) Hllr α y β pr que l función f se continu x R b) Encontrr un intervlo [, b] en el que se pued plicr el teorem de Bolzno f(x). 14.- Probr que ls siguientes ecuciones tienen, l menos, un ríz rel: ) x2 x = 1, b) x = sen x + 1, c) e x = 2 + x, d) 2 x = x.

34 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08)

Cpítulo 3 Derivds. Polinomio de Tylor 3.1. Derivd de un función Definición 3.1.1. Se f : S R R, S S. Se dice que f es derivble en x = f(x) f() si existe y es finito el límite lím. Al vlor de este límite se le llm derivd x x de f en x = y se denot por f (). Es decir, f f(x) f() f( + h) f() () = lím = lím. x x h 0 h Se S 1 = {x S : f es derivble en x}. Se llm función derivd o derivd primer de f, denotd por f l función f : S 1 R que sign cd x S 1 l derivd de f en x. Análogmente, si S 2 = {x S 1 : f es derivble en x}, entonces l función dd por f : S 2 R : x f (x) con f (x) = (f ) (x) se le llm derivd segund de f. Así sucesivmente, si f (n) (x) es l derivd de orden n de f en un punto x, entonces f (n+1) (x) = ( f (n)) (x). Si existe f (n) (x) en un punto x, diremos que f es n veces derivble en x. Por coherenci de notción, denotremos f (0) = f. Definición 3.1.2. Se l función f : S R R, y S tl que (, +δ) S, δ > 0. Se llm derivd por l derech de l límite: f +() f(x) f() f( + h) f() = lím = lím. x + x h 0 + h 35

36 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) como: Análogmente si (, + δ) S, δ > 0, se define l derivd por l izquierd de f () f(x) f() = lím = lím x x h 0 + f( + h) f(). h Si existe f (), entonces existen f () y f +() y se verific f () = f () = f +(). Teorem 3.1.3. Si f : S R R es derivble en S S, entonces f es continu en tl punto. El recíproco no es cierto. 3.2. Álgebr de derivds Teorem 3.2.1. Sen f, g : S R R, S S y f, g derivbles en. Entonces: ) f + g es derivble en y (f + g) () = f () + g (). b) f g es derivble en y (f g) () = f ()g() + f()g (). c) Si g() 0, f/g es derivble en y (f/g) () = f ()g() f()g () (g()) 2. 3.3. Derivd de l función compuest y de l función invers Teorem 3.3.1 (Regl de l cden). Sen f : S 1 R R y g : S 2 R R, con f(s 1 ) S 2 y se S 1 S 1, de modo que f es derivble en y g es derivble en f(). Entonces g f es derivble en y se verific (g f) () = g (f())f ().

DERIVADAS. POLINOMIO DE TAYLOR 37 Teorem 3.3.2. Se f : [, b] R estrictmente monóton, continu en [, b] y derivble en c (, b), con f (c) 0. Entonces f 1 es derivble en f(c) y es (f 1 ) (f(c)) = 1 f (c). Apoyándonos en el álgebr de derivds y en estos dos últimos teorems, podemos obtener l derivd de tods ls funciones elementles. 3.4. Funciones con derivd no nul Teorem 3.4.1. Sen f : S R R, S S, y f derivble en. ) Si f () > 0, δ > 0 : x ( δ, ) es f(x) < f() y x (, + δ) es f(x) > f(). b) Si f () < 0, δ > 0 : x ( δ, ) es f(x) > f() y x (, + δ) es f(x) < f(). Nots 3.4.2. f(x) f() 1.- El resultdo es válido tmbién si lím = + (resp. ). x x 2.- El teorem no implic que f se monóton en un entorno de, como lo prueb l x 2 sen(1/x) + x/2 x 0 función f(x) = 0 x = 0. Corolrio 3.4.3 (Teorem de Fermt). Se f : S R R y S con f derivble en x =. Entonces, si f tiene un extremo reltivo en x = debe ser f () = 0. Como consecuenci se tiene que los posibles extremos reltivos de f : S R R están en S \ S, en {x S : f no es derivble en x} o en {x S : f (x) = 0}. 3.5. Teorems de Rolle y del vlor medio Teorem 3.5.1 (de Rolle). Si f : [, b] R es continu en [, b], derivble en (, b) y f() = f(b), entonces existe un c (, b) tl que f (c) = 0.

38 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Teorem 3.5.2 (del vlor medio generlizdo de Cuchy). Sen f, g : [, b] R continus en [, b] y derivbles en (, b). Entonces existe un c (, b) tl que f (c)(g(b) g()) = g (c)(f(b) f()). Teorem 3.5.3 (del vlor medio de Lgrnge). Si f : [, b] R es continu en [, b], y derivble en (, b), entonces existe un c (, b) tl que f(b) f() b = f (c). Corolrio 3.5.4. Se f : [, b] R es continu en [, b] y derivble en (, b). 1.- Si f (x) = 0 pr todo x (, b), entonces f es constnte. 2.- Si f (x) > 0 pr todo x (, b), entonces f es estrictmente creciente en [, b]. 3.- Si f (x) < 0 pr todo x (, b), entonces f es estrictmente decreciente en [, b]. 4.- Si f (x) M pr todo x (, b), entonces f(b) f() M(b ). 3.6. Regl de L Hôpitl Teorem 3.6.1 (Primer regl de L Hôpitl). Sen f, g : (, b) R derivbles tles que lím f(x) = x + f (x) lím x + g = l, entonces, (x) lím lím g(x) = 0 y g(x) 0, x (, + δ) pr lgún δ > 0. Si existe x + f(x) x + g(x) = l. Nots 3.6.2. f (x) 1.- El teorem tmbién es válido cundo lím x + g (x) se obtienen pr x b = (± ). Resultdos nálogos 2.- Si el límite se tomse en un punto c (, b), relizrímos el mismo proceso, primero en (, c) y luego en (c, b).

DERIVADAS. POLINOMIO DE TAYLOR 39 Teorem 3.6.3 (Segund regl de L Hôpitl). Sen f, g : (m, + ) R funciones derivbles tles que lím f(x) = x + f (x) existe lím x + g = l, entonces, (x) lím lím g(x) = 0 y g(x) 0 x > K pr lgún K m. Si x + x + f(x) g(x) = l. Not 3.6.4. El teorem tmbién es válido si se tomn límites cundo x tiende o si el límite es igul, + ó. L regl de L Hôpitl es muy útil pr el cálculo de límites. No obstnte en clse se drán decudos ejemplos pr verificr que, unque f y g sen derivbles, l existenci f(x) f (x) de lím no implic l existenci de lím x g(x) x g (x). 3.7. Polinomios de Tylor Definición 3.7.1. Se f : S R R n veces derivble en S. Se llm polinomio de Tylor de orden n socido f en l polinomio: n f (i) () P n (x) = (x ) i. i! i=0 Teorem 3.7.2. En ls condiciones y notciones de l definición nterior, tenemos: 1) Ls derivds de orden k (0 k n) de P n en coinciden con ls de f, y demás, P n es el único polinomio de grdo menor o igul que n que lo cumple. 2) Si f es un polinomio de grdo n, entonces P n = f pr todo R. Teorem 3.7.3 (de Tylor). Se f : S R R, S, y se f n veces derivble en. Se P n el polinomio de Tylor de orden n socido f en, y se R n = f P n. Entonces lím x R n (x) (x ) n = 0. 3.8. Expresiones del término complementrio Teorem 3.8.1. Se f : (b, c) R, n + 1 veces derivble en (b, c) y se (b, c). Ddo x (b, c), existen x 1, x 2 entre y x tles que:

40 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 1) R n (x) = f (n+1) (x 1 ) (n + 1)! 2) R n (x) = f (n+1) (x 2 ) n! (x ) n+1 (expresión de Lgrnge). (x x 2 ) n (x ) (expresión de Cuchy). 3.9. Aplicción l estudio de extremos reltivos Advertimos que hy libros que invierten los conceptos ddos continución de concvidd y convexidd. Definición 3.9.1. Se f : [b, c] R derivble en (b, c) y (b, c). Consideremos l función g(x) = f() + f ()(x ), es decir, l rect tngente f en. Se dice que f es convex en si existe δ > 0 tl que x ( δ, + δ) (b, c), f(x) g(x). ( ) Se dice que f es cóncv en si existe δ > 0 tl que x ( δ, + δ) (b, c), f(x) g(x). ( ) Se dice que f tiene un punto de inflexión en si existe δ > 0 tl que f(x) g(x) si x está en ( δ, ) (b, c) o bien en (, + δ) (b, c), y f(x) g(x) si x está en el otro. Es decir, si f ps de cóncv convex o vicevers. Teorem 3.9.2. Si f : [b, c] R es un función n veces derivble en (b, c) tl que f () = = f (n 1) () = 0, f (n) () 0 con n 2. Entonces: 1) Si n es pr, f es convex en si f (n) () > 0, y f es cóncv en si f (n) () < 0. 2) Si n es impr, f tiene un punto de inflexión en. Análogmente obtenemos un criterio pr máximos y mínimos reltivos. Corolrio 3.9.3. Se f : [b, c] R n veces derivble en (b, c) tl que f () = f () = = f (n 1) () = 0, f (n) () 0 con n 2. Entonces:

DERIVADAS. POLINOMIO DE TAYLOR 41 1) Si n es pr, f tiene un mínimo reltivo en si f (n) () > 0, y f tiene un máximo reltivo en si f (n) () < 0. 2) Si n es impr, f tiene un punto de inflexión con tngenci horizontl en. Los polinomios de Tylor tmbién tienen un elevd plicción en el cálculo de límites, lo que se llevrá en l práctic l clse con profusión de ejemplos. 3.10. Desrrollo de funciones elementles En est sección nos limitmos obtener el desrrollo de Tylor de ls funciones elementles en el origen. Propondremos l lumno, entre otros, l verificción de los siguientes desrrollos: log(1 + x) = x x2 2 + x3 xn + ( 1)(n+1) 3 n + R n(x), x ( 1, 1]. e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + + xn n! + R n(x), x R. sen x = x x3 3! + x5 x2n+1 + ( 1)n 5! (2n + 1)! + R n(x), x R. cos x = 1 x2 2! + x4 x2n + ( 1)n 4! (2n)! + R n(x), x R. rctn x = x x3 3 + x5 x2n+1 + ( 1)n 5 2n + 1 + R n(x), x ( 1, 1].

42 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Ejercicios y Problems 1.- Estudi l continuidd y derivbilidd de ls funciones: ) f(x) = x, f(0) = 0; b) f(x) = x ; c) f(x) = x x ; 1 + e 1 x x 2, si x 1; x, si x < 0; d) f(x) = 2x, si 1 < x < 3; e) f(x) = log(1 + x), si x 0. x 2 + 3, si x 3. 2.- Clculr y b pr que bx x 1 f(x) = e x < 1 se continu y derivble en R 3.- Probr que ls siguientes ecuciones tienen, l menos, un ríz rel, Es únic?: ) x2 x = 1, b) x = sen x + 1, c) e x = 2 + x, d) 2 x = x. 4.- Estudi si se plic el teorem de Rolle ls funciones: ) f(x) = x sen x en [ π 2, π 2 ] b) f(x) = 4x2 + 4 x + 1 en [0, 1] c) f(x) = 3 x 2 en [ 1, 1]. x + bx + 1 x < 1 5.- Hll, b, c R pr que l función: f(x) = c hipótesis del x x 1 verifique ls Teorem de Rolle en el intervlo [0, 2] y obtener el vlor intermedio correspondiente. x 3 + 2x + 2 si x < 0 6.- Se f : R R l función: f(x) = x 2 3x + 2 si x 0 ) Estudir si se puede plicr el Teorem de Rolle l función f(x) nterior en un intervlo [, b] que conteng 0. Aplíquese en cso firmtivo. b) Demostrr que f(x) = 0 tiene exctmente dos ríces en [ 1, 1]

DERIVADAS. POLINOMIO DE TAYLOR 43 7.- Se l función f(x) = x3 + bx 2 + 5 x 2. Hllr, b, c R. sbiendo que ls rects + c x = 2, y = 3x + 2 son síntots de l curv y = f(x). Clculr ls restntes síntots, si ls hubiese. 8.- Estudir el crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de ls funciones: ) f(x) = x 6 x 4, b) f(x) = xe x, c) f(x) = x log x, d) f(x) = 2 + 3 x 2, e) f(x) = log(1 + x 3 ), f) f(x) = x 2 1. 9.- Hll pr que l función f(x) = x 2 + teng un mínimo reltivo en x = 2, y x demuestr que no puede tener un máximo reltivo pr ningún vlor de. 10.- Se f(x) = log x = c. x x 2, (c > 0). Hllr c pr que f teng un máximo reltivo en + c 11.- Clcul los siguientes límites, estudindo previmente si se puede plicr l regl de L Hôpitl: x + sen x lím x + x + cos x lím x π 2 e tn x 1 e tn x + 1 log(1 + x) lím x 0 x lím x 0 x 2 sen 1 x log(1 + x) lím ( 1 cot x) x 0 x sen 1 x lím x 0 + log x lím x 0 1 (rctn x) log x 1 + sen x e x lím x 0 sen 2 (πx) lím x + 1 cos x lím x 0 x 3 e sen x 1 lím x 0 x 1 ( (log x) 1 log x lím x π sen 2 x ) tn 2 x 2 lím x 1 lím x 0 3 x 1 4 x 1 ( ) 1 rctn x x 2. x 12.- Se f : R R l función f(x) = e 1 x 2, x 0, f(0) = 0 ) Estudir l continuidd y derivbilidd. b) Determinr los intervlos de crecimiento y decrecimiento. 13.- L gráfic de l función f(x) = x 3 +x 2 +bx+c tiene en (1, 1) un punto de tngente horizontl que no es extremo reltivo, hllr, b y c.

44 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 14.- Dividir un segmento de 60 cm. de longitud en dos prtes tles que l sum de ls áres de los triángulos equiláteros construidos sobre ells, se mínim. 15.- De todos los rectángulos de 12 cm. de perímetro, clcul ls dimensiones de quel que l girr lrededor de uno de sus ldos, engendre un cilindro de áre máxim. 16.- En l pred tringulr (isósceles) del ático de un chlet, se quiere construir un estnterí rectngulr, poyd en el suelo y cuys esquins superiores lcncen ls predes inclinds. Qué dimensiones tendrá l estnterí, si se quiere que teng un superficie mááxim?. Ls dimensiones de l pred del ático son 6m. de bse y 4m. de ltur. 17.- Un ventn está formd por un rectángulo cuyo ldo superior se h sustituido por un triángulo isósceles cuy ltur mide los 3/8 de l bse. Sbiendo que el perímero de l ventn es de 90 dm, determinr ls dimensiones de l ventn pr que l cntidd de luz que pued trvesrl se máxim 18.- Ls cinco crs de un estnque que tiene form de un prism recto de bse cudrd totlizn 192 m 2 de áre. Clculr sus dimensiones sbiendo que su cpcidd es máxim. 19.- Dentro de un esfer mciz de 80 cm. de diámetro, existe un oquedd que tiene form de cono equilátero inscrito en dich esfer. Trzr un plno perpendiculr l eje del cono de tl mner que l coron circulr que dicho plno determin l cortr l esfer y l cono, teng áre máxim. 20.- A qué ltur sobre el centro de un mes redond de rdio se debe colocr un bombill eléctric pr que l iluminción del borde se máxim? sen α INDICACIÓN: L iluminción en un punto P se expres por l fórmul I = K r 2, donde α es el ángulo de inclinción de los ryos respecto de l superficie ilumind, r es l distnci desde el foco luminoso hst P y l constnte K es l intensidd del foco luminoso. 21.- ) Desrrollo de Tylor de orden 3 de e x sen x en x 0 = 0

DERIVADAS. POLINOMIO DE TAYLOR 45 b) Usndo el prtdo nterior, clculr: lím x 0 e x sen x x(x + 1) x 3 22.- ) Desrrollo de Tylor de orden 2 en el origen de f(x) = e x sen x b) Deducir e x sen x x < 1 + x + 2x 2, si x (0, 1) 23.- Se f : (0, ) R definid por f(x) = x e e x ) Determinr los máximos y mínimos reltivos y bsolutos de f. b) Qué es myor e π o π e? 24.- Representr ls siguientes funciones: ) y = x 1 + x 2 ; b) y = xe 1 x 3 x ; c) y = x 2 1 ; d) y = 2 log x ; e) y = 1 + e 2x x ; f) y = 2x + 3x 2 (x 2 5) e x ( x 2 ) 1 3 ; g) y = ; h) y = log ; i) y = 3 (x 1)(x 2) 1 x x 2. x 2 + 1 si x 0 x 1 25.- Se l función f : R R : f(x) = x + b (x + 1) 2 si x > 0 ) Hllr y b sbiendo que f(x) es continu y que tiene un extremo reltivo en x = 2. b) Estudir l derivbilidd de f(x). c) Hllr los restntes extremos reltivos. Tiene extremos bsolutos? log(1 + x 2 ) 1 si x 0 26.- Se l función f(x) = x 2 + b si x < 0. Se pide: ) Hllr y b pr que f se continu y derivble x R. b) Estudir el crecimiento y decrecimiento, extremos reltivos y bsolutos y puntos de inflexión de f.

46 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08)

Cpítulo 4 Funciones de vris vribles reles 4.1. El espcio euclídeo R n Se trt de dr un resumen cerc de R n, de su estructur de espcio vectoril euclídeo, con el producto esclr usul, destcndo de entre ello, lo reltivo l distnci que se obtiene del referido producto esclr. Definición 4.1.1. Designmos por R n el conjunto R n = {x = (x 1, x 2,..., x n ), x i R i = 1, 2,..., n}. A sus elementos los llmremos puntos o vectores de R n. Dos vectores x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) R n son igules si y sólo si x i = y i, i = 1,..., n. Si x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, l número x i se le llm coordend i-ésim de x. Asimismo, l plicción p i : R n R : x p i (x) = x i se le llm proyección i-ésim. 47

48 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Definición 4.1.2. En R n definimos ls operciones: Sum: (x 1, x 2,..., x n ) + (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ). Producto por un esclr: Si α R, α(x 1, x 2,..., x n ) = (αx 1, αx 2,..., αx n ). Definición 4.1.3. Se define el producto esclr entre vectores de R n como l plicción: ( ) : R n R n R : x y = (x 1, x 2,..., x n ) (y 1, y 2,..., y n ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n. Propieddes 4.1.4. x, y, z R n y α R se verific: ) (x + y) z = x z + y z. x (y + z) = x y + x z. x (αy) = (αx) y = α(x y). b) (x y) = (y x). c) (x x) 0 (x x) = 0 x = 0. d) (Desiguldd de Cuchy-Schwrz) (x y) 2 (x x) (y y). Definición 4.1.5. Llmmos espcio euclídeo R n l espcio vectoril (R n, +, R) dotdo del producto esclr ( ). Definición 4.1.6. Definimos l norm euclíde en R n como l plicción : R n R, x = x x = x 2 1 + x2 2 + + x2 n. Propieddes 4.1.7. x, y, R n y α R se tiene: ) x 0. b) x = 0 x = 0.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES 49 c) αx = α x. d) x + y x + y. A prtir de est norm podemos definir l distnci euclíde. Definición 4.1.8. Se llm distnci euclíde l plicción: d : R n R n [0, + ), d(x, y) = y x = (y 1 x 1 ) 2 + + (y n x n ) 2. Propieddes 4.1.9. x, y, z R se verific: ) d(x, y) = 0 si y sólo si x = y. b) d(x, y) = d(y, x). c) Propiedd tringulr: d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Definición 4.1.10. Se llm bol biert (o simplemente bol) de centro R n y rdio r > 0, l conjunto B(, r) = {x R n : d(, x) < r}. Se llm bol cerrd de centro R n y rdio r > 0, l conjunto B(, r) = {x R n : d(, x) r}. Se llm bol reducid de centro R n y rdio r > 0, l conjunto B (, r) = B(, r) \ {}. Se llm entorno de un punto R n todo conjunto que conteng lgun bol biert de centro.

50 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 4.2. Funciones de vris vribles Ls funciones que vn ser objeto de estudio son ls de l fmili F(D, R m ) con D R n, es decir ls plicciones x R n f(x) R m. Como x = (x 1, x 2,..., x n ), se dice que f(x) es un función de n vribles. Ahor nos fijremos en l función rel de dos vribles, es decir, el cso m = 1, n = 2. A este tipo de funciones ls llmremos funciones reles de dos vribles. El conjunto D es el dominio de l función. Si éste no se especific, considerremos D como el dominio nturl, es decir, como el conjunto de todos los puntos (x, y) del plno pr los que l regl de l función tiene sentido y proporcion un vlor numérico rel. El rngo de un función es su conjunto de vlores. Si z = f(x, y), decimos que x e y son ls vribles independientes, mientrs que z es l vrible dependiente. Todo lo dicho se extiende normlmente funciones reles de tres o más vribles. Ls usremos veces, sobre todo ls de tres vribles. Por l gráfic de un función f de dos vribles entenderemos l gráfic de l ecución z = f(x, y). Est gráfic será por lo generl un superficie y, como cd punto (x, y) le corresponde únicmente un vlor z, cd rect perpendiculr l plno XY cort l superficie lo más,en un punto. Bosquejr l superficie correspondiente un función z = f(x, y) es con frecuenci un tre difícil. Un procedimiento que puede servir de yud es el utilizdo por los fbricntes de mps, el mp de contornos. Cd plno horizontl z = c cort l superficie en un curv. L proyección de est curv sobre el plno XY es un curv de nivel, y un colección de tles curvs es un gráfic de contorno o mp de contorno. Ls curvs de contorno se utilizn en meteorologí, si pensmos que T (x, y) represent l tempertur en un punto (x, y), ls curvs de nivel de l función son ls curvs que unen los puntos de igul tempertur, y reciben el nombre de curvs isoterms.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES 51 4.3. Límite de un función Recordemos previmente l definición de límite de un función rel de vrible rel, y ponemos de mnifiesto que formlmente son igules, de hecho, intuitivmente se trt de ver que los vlores de l función están cerc de l cundo x está próximo. En lo sucesivo, por x notremos el punto (x, y) y por, el punto (, b). Definición 4.3.1. Se f F(D, R) un función definid en D R 2, y se R 2 un punto de D. Se dice que l R es el límite de f en el punto si se verific: ε > 0, δ > 0 tl que: (x D \ {}, x < δ) = f(x) l < ε. L condición nterior se puede expresr, recurriendo ls bols de R 2 y R, diciendo: ε > 0, δ > 0 tl que: si x B (, δ) D f(x) B(l, ε). Vemos hor l definición de límite infinito Definición 4.3.2. Se f F(D, R) un función definid en D R 2, y se R 2 un punto de D. Se dice que f tiene límite infinito en, si pr cd K > 0 existe un δ > 0 tl que, pr todo x B (, δ) D, se verific f(x) > K. Cundo sí ocurre, se escribe: lím f(x) =. x Definición 4.3.3 (Límites direccionles). Se f : D R un función definid en D R 2, y se R 2 un punto de D. Si r es un rect de R 2 que ps por el punto, consideremos l restricción de f r, es decir, l función f r : D r R definid por f r (x) = f(x) pr todo x D r, y supongmos que es un punto de C r. Se dice que f tiene límite l en según l dirección r, si f r tiene límite l en. Not 4.3.4. Es evidente que si f tiene límite l en, entonces f tiene límite l en según tod rect r que pse por, sin embrgo, no es suficiente que f teng límite l en en tods direcciones pr poder grntizr que f teng límite l en ; lo que sólo se

52 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) puede segurr, con crácter generl, es que si f tuvier límite en, dicho límite serí l. Señlemos tmbién que si no existier el límite de f en según un ciert rect r, entonces f no tendrí límite en ; est mism conclusión llegrímos en el cso de que f tuvier en límites direccionles distintos según dos rects diferentes. Esto puede extenderse otros tipos de conjuntos r, no necesrimente rects. Definición 4.3.5 (Límites reiterdos). Se f : D R un función definid en D R 2, y se (, b) R 2 un punto de D. Ls expresiones ( ) ( ) l 1 = lím lím f(x, y), l 2 = lím lím f(x, y) y b x x y b significn: ) Pr cd vlor y de un cierto entorno reducido de b, se consider l función x f(x, y). b) Se supone que est función tiene límite cundo x, l que llmremos (por depender de y), ϕ(y) = lím x f(x, y). c) L función y ϕ(y) tiene límite l 1 cundo y b. En tl cso, l 1 se le llm límite reiterdo de f cundo x tiende primero e y tiende, después, l punto b. Análogmente con l 2. Teorem 4.3.6. Se f : D R un función definid en C R 2, y se (, b) R 2 un punto de D. Si existe y vle l el límite de f en (, b), y si, pr cd y de un entorno reducido de b, existe el límite de l función x f(x, y), cundo x, entonces existe y vle l el límite reiterdo ( ) lím lím f(x, y). y b x Pr el otro límite reiterdo se verific un teorem nálogo. Nots 4.3.7. Puede ocurrir: 1) L función tiene límite en un punto, pero no existe, en dicho punto, ninguno de los límites reiterdos (o uno de ellos).

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES 53 2) L función tiene en un punto sus dos límites reiterdos y son igules, pero no existe su límite en el punto. 3) L función tiene, en un punto, sus dos límites reiterdos y son distintos. En ocsiones, el nterior teorem permitirá segurr que un función no tiene límite en un punto. 4.4. Funciones continus Definición 4.4.1. Se f : D R un función definid en un conjunto D R 2, y se D. Se dice que f es continu en si se verific : ε > 0, existe un δ > 0 tl que: [x D, x < δ] f(x) f() < ε. Nots 4.4.2. Si es un punto no isldo de D, l función es continu en, si y sólo si f tiene límite en y dicho limite es f(). Si es un punto isldo de D, l condición de continuidd se cumple trivilmente, por lo que tod función es continu en los puntos isldos de su dominio. Definición 4.4.3. Se dice que f es continu en un conjunto C D, si es continu en todo punto de C. Definición 4.4.4. Si l función f no es continu en un punto de D, se dice que f es discontinu en. En tl cso l discontinuidd será evitble o esencil según exist o no el límite de f en. Estudimos continución el álgebr de funciones continus, propieddes que son consecuenci de ls propieddes nálogs de los límites, y l continuidd de l función compuest de dos funciones continus.

54 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Proposición 4.4.5. Si f, g son dos funciones reles definids en un mismo conjunto D R 2, que son continus en un punto D, entonces tmbién son continus en su sum f + g, su producto f g y su cociente f/g (siempre que g() 0). 4.5. Diferencibilidd Cundo se estudin ls derivds de un función x ϕ(x) de un sol vrible rel, se ve que l derivd ϕ () es el límite, si existe y es finito: ϕ ϕ(x) ϕ() ϕ( + h) ϕ() () = lím = lím. (1) x x h 0 h Pero nosotros, hor, vmos considerr un función de vris vribles x f(x), donde x = (x, y) es un vector de R 2 (ls vribles son x, y), y un punto R 2. En este cso, no podemos proceder como ntes por motivos evidentes (tendrímos que dividir por un vector). No obstnte, podemos limitr l vrición de x un rect que pse por, lo que conduce ls llmds derivds prciles que dependen de l dirección con que nos cerquemos l punto. Si x se cerc siguiendo l dirección de un vector u 0, u = 1, esto es, si se tom x = + λu, con λ R, y se hce que λ 0, l definición (1) nos conduce de modo nturl l siguiente definición de derivd direccionl (de f en ) respecto del vector u: D u f() = f u() f( + λu) f() = lím. (2) λ 0 λ De hí que se den ls siguientes definiciones de derivds prciles de un función de vris vribles. 4.5.1. Derivds prciles Definición 4.5.1. Se f : S R 2 R y = (, b) S. Se llm derivd prcil primer de f respecto de l vrible x en el punto = (, b) y se denot por f x(), f() [D 1 f] (), l límite (si existe y es finito) x f f( + h, b) f(, b) (, b) = lím x h 0 h Se llm derivd prcil primer de f respecto de l vrible y en el punto = (, b)

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES 55 y se denot por f y(), [D 2 f] (), f() y l límite (si existe y es finito) f f(, b + h) f(, b) (, b) = lím y h 0 h Definición 4.5.2. Si l función f : S R 2 R tiene derivds prciles en todos los puntos del bierto S, se llm función derivd (prcil) de f respecto de x (respecto de y) l plicción f x, f D 1 [f], x, de S en R, (f y, f D 2 [f],, de S en R) definid y por: f x : (x, y) f x f(x, y) (x, y) =. x ( f y ) f f(x, y) : (x, y) (x, y) = y y En l práctic, pr clculr l derivd prcil respecto de x de un función f(x, y), considerremos que l vrible y es constnte y se procede como en el cso de un vrible. Pr derivr prcilmente respecto de y, se procede de igul form considerndo constnte l vrible x. Definición 4.5.3. Se l función f : S R 2 R. Si existen ls derivds prciles de f en un punto (, b) S, se llm vector grdiente de f en (, b) l vector: ( ) f f f(, b) = (, b), (, b). x y L existenci de derivds prciles en un punto, no grntiz l continuidd de l función en dicho punto, como se puede comprobr con l función: f(x, y) = xy x 2, (x, y) (0, 0), f(0, 0) = 0, + y2 que no es continu en el origen y sin embrgo, f(0, 0) = (0, 0). 4.5.2. Derivds direccionles Definición 4.5.4. Se f : S R 2 R un función definid en un bierto S R 2. Consideremos un punto (, b) S y un vector unitrio u = (cos α, sen α). Se llm derivd direccionl de f en el punto (, b) y en l dirección del vector u y se denot por f u(, f(, b) b), [D u f] (, b), l límite (si existe y es finito) u f f( + h cos α, b + h sen α) f(, b) (, b) = lím u h 0 h

56 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Es clro que f x y que f y f (, b) = (, b), con u = (1, 0) u f (, b) = (, b), con v = (0, 1). v L existenci de tods ls derivds direccionles de un función en un punto tmpoco grntiz l continuidd de l función en dicho punto, com se puede comprobr con: f(x, y) = 4.5.3. Diferencibilidd xy2 x 2, (x, y) (0, 0), f(0, 0) = 0. + y4 Definición 4.5.5. Se f : S R 2 R y (, b) S. Se dice que f es diferencible en (, b) cundo existen y son finits ls derivds prciles de f en (, b) y se verific: f[(, b) + (x, y)] f(, b) f(, b) (x, y) lím = 0. (x,y) (0,0) (x, y) Si l función f : S R es diferencible en todos los puntos de S, se dice entonces que f es diferencible en S y l plicción df definid (en S) medinte se le llm diferencil de l función f. df : (x, y) df(x, y) = f f dx + x y dy Vemos, continución uns propieddes de ls funciones diferencibles Proposición 4.5.6. 1. Si f es diferencible en (, b), entonces f es continu en (, b). El recíproco, en generl, no es cierto. 2. Si f es diferencible en (, b) y u es un vector unitrio de R 2, entonces existe l derivd direccionl f (, b) y se verific: u f (, b) = f(, b) u. u 3 Si existen y son continus ls derivds prciles f x, f en (, b), entonces f es y diferencible en (, b). El recíproco, generlmente, es flso, como lo prueb l función: f(x, y) = x 2 sen 1 x + y2 sen 1, (x 0, y 0), f(x, 0) = f(0, y) = 0. y

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES 57 Si f es diferencible en (, b) y f(, b) = c, el plno de ecución: z c = f f (, b)(x ) + (, b)(y b) x y Se llm plno tngente l superficie z = f(x, y) en el punto (, b, c). 4.5.4. Regl de l cden ) Un vrible independiente. Se z = f(x, y) un función diferencible y supongmos que x, y son funciones diferencibles de un únic vrible t. En este cso, existe l diferencil y viene dd dz dt por: dz dt = z x dx dt + z y dy dt. b) Dos vribles independientes Se z = f(x, y) un función diferencible y supongmos que x, y son funciones diferencibles de u y v, es decir, x = x(u, v), y = y(u, v). Entonces, z es función de u y v, z = f(x(u, v), y(u, v)) y existen ls derivds prciles f u y f que vienen dds por: v f u = f x x u + f y y u, f v = f x x v + f y y v. 4.6. Derivds prciles de orden superior Al igul que sucede con ls funciones de un vrible, es posible hllr derivds prciles de un función de vris vribles y de órdenes superiores uno. En concreto, pr un función f(x, y) hy cutro posibiliddes de obtener l derivd prcil segund: ) Dos veces respecto de x: b) Dos veces respecto de y: x y ( ) f = 2 f x x 2 = f xx = D 11 f. ( ) f = 2 f y y 2 = f yy = D 22 f.

58 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) c) Respecto de x y respecto de y: d) Respecto de y y respecto de x: y x ( ) f x ( ) f y = 2 f y x = f xy = D 12 f. = 2 f x y = f yx = D 21 f. 4.7. Extremos Definición 4.7.1. Se f : S R 2 R y (, b) S. Si f(, b) f(x, y), (x, y) S, entonces f(, b) es el mínimo bsoluto de l función f en S. Si f(c, d) f(x, y), (x, y) S, entonces f(c, d) es el máximo bsoluto de l función f en S. Proposición 4.7.2. Si f(x, y) es continu en un región cerrd y cotd D R 2, entonces existen (, b), (c, d) D tles que f(, b) es el mínimo bsoluto de f en D, y f(c, d) es el máximo bsoluto de f en D. Definición 4.7.3. Se f : D R 2 R, (, b) D y C (,b) un disco bierto que contiene (, b). f(, b) es un mínimo reltivo de f si f(, b) f(x, y), (x, y) C (,b). f(, b) es un máximo reltivo de f si f(, b) f(x, y), (x, y) C (,b). Definición 4.7.4. Se f : D R 2 R y (, b) D Se dice que (, b) es un punto crítico de f si se verific que f(, b) = (0, 0) o bien que no existn lgun de ls derivds prciles f x (, b), f (, b). y Definición 4.7.5. Se f : D R 2 R un función dos veces derivble. Se define el Hessino de f en un punto (x, y) como el determinnte: 2 f 2 f x 2 x y ( H(x, y) = = 2 f 2 f 2 f x 2 2 f 2 ) 2 y 2 f x y x y y 2

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES 59 Teorem 4.7.6 (Condición suficiente de extremo). Se f : D R 2 R un función dos veces derivble en el punto crítico (, b) D con derivds de segundo orden continus en un región biert S tl que (, b) S Se verific: Si H(, b) > 0 y Si H(, b) > 0 y 2 f (, b) > 0, entonces f(, b) es un mínimo reltivo. x2 2 f (, b) < 0, entonces f(, b) es un máximo reltivo. x2 Si H(, b) < 0, f(, b) es un punto de sill. Not 4.7.7 (Multiplicdores de Lgrnge). Pr hllr los máximos y mínimos de un función z = f(x, y, ) de m + n vribles ligds por ls n ecuciones F 1 (x, y, ), F 2 (x, y, ),, F n (x, y, ), buscmos el máximo y el mínimo de l función w(x, y, ) = f(x, y, ) λ 1 F 1 (x, y, ) λ 2 F 2 (x, y, ) λ n F n (x, y, ) considerndo tods ls vribles independientes y ls λ i constntes. Ejemplo 4.7.8. L función T (x, y, z) represent l tempertur en cd punto de l esfer x 2 +y 2 +z 2 = 11. Si T (x, y, z) = 20+2x+2y+z 2, hllr ls temperturs extrems sobre l curv intersección de l esfer con el plno x + y + z = 3 SOLUCIÓN Ligdur1 : x 2 + y 2 + z 2 11 = 0 Función: T (x, y, z) = 20 + 2x + 2y + z 2. Ligdur2 : x + y + z 3 = 0 f(x, y, z) = 20 + 2x + 2y + z 2 λ(x 2 + y 2 + z 2 11) µ(x + y + z 3)

60 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) f = 2 2λx µ = 0 ; µ = 2 2λx [1] x f y = 2 2λy µ = 0 ; µ = 2 2λy [2] f = 2z 2λz µ = 0 ; µ = 2z 2λz [3] z de [1] y [2] se obtiene: 2 2λx = 2 2λy; λx = λy; λ = 0, ó x = y ) λ = 0 Si λ = 0; µ = 2; 2 = 2z; z = 1. Yendo ls ligdurs con z = 1: x 2 + y 2 + 1 = 11; x 2 + y 2 = 10, ; x 2 + (2 x) 2 = 10; x 2x 3 = 0, x = 3, x = 1 x + y + 1 = 3; x + y = 2; y = 2 x Si x = 3, entonces y = 2 3 = 1, luego un punto crítico es P 1 (3, 1, 1) Si x = 1, entonces y = 2 + 1 = 3, luego tmbién es punto crítico P 2 ( 1, 3, 1) b) x = y Si x = y; 2x 2 + z 2 = 11; 2x 2 + (3 2x) 2 = 11; 3x 2 6x 1 = 0; x = y = 1 ± 2 3 3. 2x + z = 3; z = 3 2x z = 3 2 4 3 = 1 4 3, 3 ( luego P 3 1 + 2 3 3, 1 + 2 3 3, 1 4 ) ( 3 ; P 4 1 2 3 3 3, 1 2 3 3, 1 + 4 ) 3. 3 En estos cálculos hemos utilizdo l condición [1]=[2]. Si utilizásemos ls condiciones [2]=[3], ó [1]=[3], obtendrímos los mismos resultdos nteriores, por lo que P 1, P 2, P 3, y P 4 son los únicos puntos críticos. Como T (P 1 ) = T (P 2 ) = 25 y T (P 3 ) = T (P 4 ) = 91 3 grdos y l mínim es 25 grdos., l tempertur máxim es de 91 3

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES 61 Ejercicios y Problems 1.- Clcul ls derivds prciles de ls funciones: ) f(x, y) = x 2 +y 2 cos(xy) b) f(x, y) = x c) f(x, y) = log x + y x2 + y 2 x y d) f(x, y) = rctn x + y x y e) f(x, y) = cos(3x) sen(3y) f) f(x, y) = cos(x 2 +y 2 ). 2.- Comprobr que cd un de ls funciones siguientes verific l ecución indicd: f(x, y) = e xy + sen (x + y) xd 1 f(x, y) yd 2 f(x, y) = (x y) cos(x + y) ( ) x + y g(x, y, z) = cos 2z xd 1 g(x, y, z) + yd 2 g(x, y, z) + zd 3 g(x, y, z) = 0. 3.- Hllr l derivd de l función f(x, y) = x 2 y 2 en el punto (1, 1) según l dirección que form un ángulo de 60 con el semieje OX positivo. 4.- Hllr l derivd de l función f(x, y) = x 2 xy + y 2 en el punto (1, 1) según l dirección que form un ángulo α con el semieje OX positivo. En qué dirección es máxim?. Y mínim?. Y nul? 5.- Hllr el grdiente de l función f(x, y, z) = x 3 y 3 3xy(x y) + e z en el punto (0, 0, 0). 6.- L tempertur en cd punto (x, y) de un plc circulr delgd de rdio 10 centímetros viene dd por T (x, y) = 100 (x 2 + y 2 ). Se sbe que en el punto (4,3) l tempertur es de 75 o. ) Encontrr un vlor proximdo de l tempertur en el punto (4 01, 2 98). b) Encontrr l dirección en l que l velocidd de vrición de l tempertur en el punto (4,3) se lo más grnde posible. c) Cuánto vle dich velocidd? 7.- L cntidd de clor Q desprendid cundo x moléculs de SO 4 H 2 se mezcln con y moléculs de H 2 O es Q = y (, b constntes positivs). Hllr el incremento de bx + y clor por molécul de gu ñdid si l cntidd de ácido es constnte. b) Idem por molécul de ácido ñdid si l cntidd de gu es constnte. c) Si en un momento

62 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) ddo el número de moléculs de ácido es diez veces myor que el de gu, hllr l vrición de clor si x ument en un 5 por 100, e y ument en un 10 por 100. 8.- Demostrr que un función de l form f(x, t) = f 1 (x + t) + f 2 (x t), donde f 1 y f 2 son derivbles dos veces y es un constnte, es solución de l ecución unidimensionl de onds, D 22 f(x, t) = 2 D 11 f(x, t). 9.- Demostrr que l función f(x, y) = log(x 2 + y 2 ) + b cumple l ecución de Lplce, es decir, f = D 11 f(x, y) + D 22 f(x, y) = 0. 10.- Dd l función f(x, y) = cos(xy), hllr df cundo se reliz el cmbio de vribles dt x = e 2t, y = e 3t. Comprobrlo hllndo l expresión de f en términos de t. 11.- Idem si f(x, y) = e x2 +y 2 y el cmbio es x = sen t, y = cos t. 12.- Idem si es f(x, y, z) = x 2 + xyz, y el cmbio x = 2 cos t, y = 2sen t, y z = t 2. 13.- Idem si es f(x, y) = log x + x 2 rc cos y, y el cmbio x = e t, y = cos t. 14.- Dd l función f(x, y) = e (x2 +y 2 )/x, hllr ls derivds prciles respecto de r y t cundo hcemos el cmbio de vribles coordends polres, es decir, x = r cos t, y = r sen t. 15.- Dd l función f(x, y) = y 2 x 2, hllr ls derivds prciles respecto de u y v l hcer el cmbio de vribles x = v cos u, y = v. 16.- Dd l función f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, hllr ls derivds prciles respecto de ls vribles r, s y t l hcer el cmbio coordends esférics, x = r cos s cos t, y = rsen s cos t y z = rsen t. 17.- Trnsformr l ecución D 1 f(x, y) = D 2 f(x, y) cundo se reliz el cmbio de vribles ddo por: x = (u + v)/2, y = (u v)/2.

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES REALES 63 18.- Repetir el problem nterior si hor l ecución es xd 2 f(x, y) = yd 1 f(x, y) y hcemos el cmbio coordends polres. 19.- Clcul los extremos reltivos de ls funciones: ) f(x, y) = x 4 +x 2 y+y 2, b) f(x, y) = x 4 +y 4 4 2 xy+8 4 c) f(x, y) = xye x+2y 20.- Clcul los extremos de f(x, y) = e x + e y sujetos x + y = 2. 21.- Hll los extremos de f(x, y) = 6 4x 3y sobre l circunferenci unidd. 22.- Hll ls distncis máxim y mínim del origen l elipse 5x 2 + 6xy + 5y 2 = 8. 23.- Hll los extremos de l función f(x, y, z) = x + y + z sobre el elipsoide de ecución x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 1. 24.- Consideremos l función f(x, y, z) = x 2 + y 2 + bxy + z, donde y b son prámetros reles. Hll l relción entre ls constntes y b pr que el punto (1, 1, 1) se extremo de f sobre l esfer de centro el origen y rdio 3. 25.- Se l función f : D R 2 R dd por f(x, y) = 1 x 2 y 2, se pide: ) Dominio de l función. b) Clculr f ( 1 2, 1 ). 2 c) Derivd direccionl en el punto de π rd. con el semieje OX positivo. 4 ( 1 2, 1 ) 2 según l dirección que form un ángulo

64 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08)

Cpítulo 5 Series numérics y series de potencis 5.1. Sucesiones numérics Definición 5.1.1. Un sucesión de números reles es un plicción ϕ : N R : n ϕ(n) = n. Hbitulmente se llm sucesión l imgen de l plicción y l representremos por { n } n N. Se { n } un sucesión, y l R. Definición 5.1.2. Se dice que { n } converge l, y se denot por lím n = l, si pr todo ε > 0, existe un n 0 N tl que n n 0, n l < ε. Se dice que { n } diverge + (resp. ), lo que se denot por lím n = + (resp. lím n = ), si pr todo M > 0, existe un n 0 N tl que n n 0, n > M (resp. n < M). Se dice que { n } diverge (lím n = ) si pr cd M > 0 existe un n 0 N tl que n n 0, n > M. 65

66 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Se dice que { n } es oscilnte si no es convergente ni divergente. 5.2. Series: Definiciones y propieddes Definición 5.2.1. Se { n } un sucesión de números reles. Llmmos sucesión de sums prciles de { n } l sucesión {S n } definid por n S n = k. El pr ({ n }, {S n }) se llm serie socid { n } y se denot por k=1 + n=1 n. Definición 5.2.2. L serie + n=1 n se dice que es convergente (resp. divergente, oscilnte) si lo es l sucesión {S n }. Si fuese convergente, llmmos sum de l serie l límite de {S n } y escribimos + n=1 n = lím S n. Proposición 5.2.3. Sen + n y + n=1 n=1 b n dos series convergentes y λ R. Se verific: 1. 2. + ( n + b n ) es convergente y + ( n + b n ) = + n + + n=1 n=1 n=1 n=1 + (λ n ) es convergente y + (λ n ) = λ + n=1 n=1 n=1 n. b n. Proposición 5.2.4. En tod serie convergente o divergente, se pueden sustituir vrios términos por su sum efectud, sin que vríe el crácter ni l sum de l serie. L propiedd socitiv no es válid pr sucesiones oscilntes y l disocitiv no es válid en generl. Los siguientes resultdos son válidos pr todo tipo de series:

SERIES NUMÉRICAS Y SERIES DE POTENCIAS 67 Teorem 5.2.5 (Condición necesri de convergenci). Si lím n = 0. + n=1 n es convergente, entonces El recíproco no es cierto. Bst considerr n = 1/n (n N). 5.3. Series de términos positivos. Criterios de convergenci Definición 5.3.1. Un serie + n=1 n se dice que es de términos positivos si n > 0 n N. Not 5.3.2. Un serie de términos positivos nunc puede ser oscilnte, y que su sucesión de sums prciles {s n } es monóton creciente. Por tnto, un tl serie converge si y sólo si {s n } está cotd. Teorem 5.3.3 (Criterio de comprción direct). Si ) Si + n y + n=1 n=1 + b n son series de términos positivos, entonces: n converge y b n n prtir de un cierto n 0, entonces n=1 n=1 + b n converge. b) Si + n diverge y b n n prtir de un cierto n 0, entonces + n=1 n=1 b n diverge. Teorem 5.3.4 (Criterio de comprción por pso l límite). Sen ) Si b) Si + n=1 + n=1 + n=1 n y + n=1 b n dos series de términos positivos. Se verific: n converge y lím b + n = l 0, entonces b n converge. n n=1 n diverge y lím b + n = l > 0 ó +, entonces b n diverge. n n=1

68 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Estos criterios necesitn del conocimiento del crácter de lguns series que sirvn + 1 de test. Utilizremos hbitulmente l serie rmónic generlizd (α > 0) que nα converge si α > 1 y diverge si 0 < α 1, o l serie geométric converge si 0 < r < 1 y diverge si r 1. Teorem 5.3.5 (Criterio de condensción de Cuchy). Si + n=1 positivos y l sucesión { n } es decreciente, entonces ls series el mismo crácter. n=1 + n=1 r n (r > 0), que n es un serie de términos + n=1 n y + n=1 2 n 2 n tienen Teorem 5.3.6 (Criterio de Prigsheim). Se ) Si α > 1 : lím n α n 0, entonces + n=1 + n=1 b) Si α 1 : lím n α n > 0 (ó + ), entonces n un serie de términos positivos: n converge. + n=1 n diverge. Teorem 5.3.7 (Criterio del Cociente o de D Almbert). Se positivos y α = lím n n 1 : ) Si α < 1, entonces b) Si α > 1, entonces + n=1 + n=1 n converge. n diverge. + n=1 n un serie de términos Teorem 5.3.8 (Criterio de l ríz o de Cuchy). Se positivos y α = lím n n : ) Si α < 1, entonces + n=1 n converge. + n n=1 un serie de términos

SERIES NUMÉRICAS Y SERIES DE POTENCIAS 69 b) Si α > 1, entonces + n=1 n diverge. Teorem 5.3.9 (Criterio de Rbe). Se ( lím n 1 ) n : n 1 + n=1 n un serie de términos positivos y α = ) Si α > 1, entonces b) Si α < 1, entonces + n=1 + n=1 n converge. n diverge. Teorem 5.3.10 (Criterio logrítmico). Se α = lím log(1/ n) log n : + n n=1 un serie de términos positivos y ) Si α > 1, entonces b) Si α < 1, entonces + n=1 + n=1 n converge. n diverge. 5.4. Series lternds. Teorem de Leibnitz Definición 5.4.1. Un serie b n b n+1 < 0. + n=1 b n se dice que es lternd si se verific que n N En lo que sigue, sin pérdid de generlidd, se considerrá que b 1 > 0, por lo que podremos escribir ls series lternds como + b n = + n=1 n=1 ( 1) n+1 n, con n > 0 n N.

70 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Teorem 5.4.2 (Teorem de Leibnitz). Se decreciente. Entonces + n=1 + n=1 ( 1) n+1 n un serie lternd con { n } ( 1) n+1 n converge si y sólo si lím n = 0. En ese cso, si {S n } es l sucesión de sums prciles y S es l sum de l serie, se verific: n N, 0 < ( 1) n (S S n ) < n+1. Es decir, el error de proximción es menor que el primer término desprecido. 5.5. Serie de potencis. Rdio de convergenci 5.5.1. Definiciones Definición 5.5.1. Se { n } n 0 un sucesión de números reles y R. Se llm serie de potencis centrd en l serie n (x ) n. n=0 Se llm rdio de convergenci de l serie l número rel r = 1/λ siendo λ = lím n n = lím n n 1. Teorem 5.5.2. Se Se verific: n (x ) n un serie de potencis de rdio de convergenci r. n=0 1) L serie converge bsolutmente en ( r, + r). 2) L serie no converge en R \ [ r, + r]. Los ejemplos x n, x n /n, x n /n 2 nos muestrn que en los puntos extremos n=1 n=1 n=1 del intervlo de convergenci ( r, + r) todos los csos de convergenci/divergenci son posibles.

SERIES NUMÉRICAS Y SERIES DE POTENCIAS 71 5.5.2. Continuidd y derivbilidd Definición 5.5.3. Se n (x ) n un serie de potencis de rdio de convergenci r. n=0 L función f : ( r, + r) R dd por f(x) = n (x ) n n=0 se dice que está definid por l serie de potencis. Teorem 5.5.4. L función f : ( r, + r) R nterior, es continu en ( r, + r). Teorem 5.5.5. Si f(x) es l función definid por l serie de potencis n (x ) n de rdio de convergenci r, entonces l serie de potencis n=0 n n (x ) n 1 tiene rdio de convergenci r, y si g(x) es l función definid por dich serie de potencis, entonces f (x) = g(x), x ( r, + r). n=0 Corolrio 5.5.6. Un función definid por un serie de potencis dmite derivds de todos los órdenes en su dominio de definición. Además, si f(x) = n (x ) n, entonces n = f (n) (). n! n=0 5.5.3. Desrrollos en serie. Funciones nlítics Definición 5.5.7. Un función f se dice que es de clse infinit en S R, y se escribe f C (S), cundo es indefinidmente derivble en S. Definición 5.5.8. Se dice que un función f : S R es nlític en un punto S (f C ω ()), cundo f puede expresrse en un entorno de como un serie de potencis centrd en, es decir: f C ω () n R, n 0 y E() S : x E() f(x) = n (x ) n. n=0

72 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Se dice que f es nlític en un bierto S R (f C ω (S)), cundo f C ω (), S. Definición 5.5.9. Se f C (). Se llm serie de Tylor socid f en l serie f (n) () de potencis (x ) n. n! n=0 Por tnto, un función f de C () es nlític cundo su serie de Tylor converge f en un entorno de. El siguiente teorem nos proporcion un criterio pr l nliticidd de un función f. Teorem 5.5.10. Sen f : S R, S y f C (S). Un condición necesri y suficiente pr que f se nlític en es que lím n T n(x) = 0, donde T n (x) es el término complementrio del desrrollo de Tylor de f.

SERIES NUMÉRICAS Y SERIES DE POTENCIAS 73 Ejercicios y Problems 1.- Estudir el crácter de ls series cuyos términos generles son: ) n n 2 + 1, b) n 2 n + 1, d) (2n) 1, e) n 3 n! f) ( ) n n + 1, g) 2n 1 1 n2 n, h) ( ) 2n 1 n, i) 3n 1 n! n n, j) 3n 1 2 n k) (n!) 2 (2n)!, l) (n!) 2 (2n)! 5n. 2.- Estudir l convergenci y l convergenci bsolut de ls series cuyos términos generles son: ( 1) n+1 n ), b) ( 1) n n n + 1, c) ( 1) n ( ) n 2n + 100 n, d) ( 1) n. 3n + 1 3.- Se consider l serie n=1 n+1 n 2 + n ) Estudir el crácter según los vlores de > 0. b) Probr que si = 1, l serie es convergente. c) Obtener l sum pr = 1. 4.- ) Estudir l convergenci de l serie n=0 b) Si pr x = 4 es convergente, entonces súmese. n + 1 3 n x 3 n según los vlores de x R. 5.- ) Estudir l convergenci de l serie n=2 (n 2 1)p n, según los vlores de p > 0. (n + p)2n+p b) Sumrl, si se puede, pr p = 1. c) Es convergente pr p = 1? 6.- Hllr el rdio de convergenci de ls series de potencis: (n + 1)(x 1) n ) (n + 2)(n + 3) ; b) (x + 2) n log n ; c) n + 1 e) n=1 ( 1) n n n x n ; f) n=1 n=1 n=1 n! n n xn ; g) n=1 n=1 ( n + 1 ) n 2 x n ; h) n x n 1 + n, > 1; d) n=1 x n n n ; (x ) n b n, b > 0. n=1

74 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08)

Cpítulo 6 Cálculo de primitivs 6.1. Definición y propieddes Definición 6.1.1. Se f : S R R, con S bierto. Un primitiv de f es un función F : S R R tl que F (x) = f(x), x S. Proposición 6.1.2. Si F es un primitiv de f, entonces tods ls primitivs de f son de l form F (x) + C (C R) Definición 6.1.3. Se llm integrl indefinid de f l conjunto de tods sus primitivs, y se denot por f(x)dx = F (x) + C. Propieddes 6.1.4. 1.- αf(x)dx = α f(x)dx, 2.- (f(x) + g(x)) dx = α R constnte. f(x)dx + g(x)dx. Ests propieddes junto con l tbl de integrles inmedits, nos permiten relizr vridos ejercicios como inicio en el cálculo de primitivs. 75

76 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 6.2. Métodos generles de integrción Método de descomposición. Se bs en l propiedd 6.1.4 nterior. n Si f(x) se puede escribir como un combinción linel de funciones, f(x) = α i f i (x), entonces [ n ] n f(x)dx = α i f i (x) dx = α i f i (x) dx. i=1 i=1 Método de sustitución. Se bs en l regl de l cden. Si F (x) = f(x) dx, entonces F (x) = f(x), y (F ϕ) (t) = f (ϕ(t)) ϕ (t). Por tnto f (ϕ(t)) ϕ (t)dt = (F ϕ)(t). i=1 Método por prtes. Se bs en l regl de l derivción del producto. Si F (x) = f(x), G (x) = g(x), entonces (F G) (x) = F (x)g(x) + f(x)g(x). Luego (F G)(x) = F (x)g(x) dx + f(x)g(x) dx, por lo que F (x)g(x) dx = F (x)g(x) f(x)g(x) dx. 6.3. Integrción de funciones rcionles Se bs en el método de integrción por descomposición. Se p(x) q(x) un función rcionl tl que el grdo del polinomio p(x) es menor que el grdo de q(x). Si fuese gr(p) gr(q), dividiendo obtendrímos: p(x) q(x) grdo del resto es menor que el del divisor. = c(x) + r(x) q(x) y el Descomponiendo q(x) en fctores, puede ocurrir:

CÁLCULO DE PRIMITIVAS 77 ) q(x) sólo tiene ríces reles simples α 1, α 2,..., α n ; entonces existen A 1, A 2,... A N R tles que p(x) q(x) = A 1 + A 2 + + A n, luego x α 1 x α 2 x α n que son integrles inmedits. p(x) q(x) dx = n i=1 A i x α i dx, b) q(x) tiene ríces reles múltiples, por ejemplo, ríz β con multiplicidd i N. En este cso se procede l descomposición de p(x) en frcciones simples en l mism form q(x) que en el cso ), pero con l prticulridd que l fctor (x β) i le corresponderín los sumndos L únic novedd en l integrl tmbién. B 1 x β + B 2 (x β) 2 + + B i (x β) i. p(x) dx serí q(x) B i dx, que es inmedit (x β) i c) q(x) tiene ríces complejs simples. Supongmos que q(x) tiene l ríz complej z 1 = α + βi, por consiguiente, tendrí tmbién l ríz conjugd z 2 = α βi. Como [x (α + βi)][x (α βi)] = (x α) 2 + β 2 = x 2 + bx + c, en l descomposición en frcciones l pr de ríces complejs le corresponderá l frcción Mx + N (x α) 2 + β 2, cuy integrl se reduce dos inmedits con el cmbio de vrible x α = βt. 6.4. Integrles reducibles rcionles Se R un función rcionl en sus rgumentos. ) R(sen x, cos x)dx. Si R es impr en seno, hcemos el cmbio cos x = t.

78 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Si R es impr en coseno, hcemos el cmbio sen x = t. Si R es pr en seno y coseno, hcemos el cmbio tn x = t. b) Si no se d ninguno de los csos nteriores, hcemos el cmbio tn(x/2) = t. [ ( ) m/n ( ) p/q ( ) ] r/s x + b x + b x + b R x,,,..., dx, cx + d cx + d cx + d con m, p,..., r, Z, n, q,..., s Z \ {0}. Efectumos el cmbio: c) d) x + b cx + d = tα, con α = m.c.m. (n, q,..., s). R (x, ) 2 b 2 x 2 dx. Hcemos el cmbio bx = sen t o bien bx = cos t. R (x, ) 2 + b 2 x 2 dx. Hcemos el cmbio bx = tn t. R (x, ) b 2 x 2 2 dx. Hcemos el cmbio bx = sec t. ( R x, ) x 2 + bx + c dx. Escribiendo x 2 +bx+c = (x+α) 2 ±β 2 se reduce l cso c), pero tmbién podemos proceder sí: Si > 0, hcemos el cmbio x 2 + bx + c = x + t. Si c > 0, hcemos el cmbio x 2 + bx + c = tx + c. e) Si < 0, c < 0 hcemos el cmbio x 2 + bx + c = t(x α), con α ríz de x 2 + bx + c. x p ( + bx q ) r dx,, b R, p, q, r Q, Si r es entero, hcemos el cmbio x q = t. Si p + 1 es entero, hcemos el cmbio + bx q = t α, donde α es el denomindor q de r. Si p + 1 + r es entero, hcemos el cmbio + bxq q x q = t α, donde α es el denomindor de r.

CÁLCULO DE PRIMITIVAS 79 Ejercicios y Problems 1.- Resolver ls siguientes integrles: ( x ) (x 2 1) 2 dx, b) (x 2 1) 2 2 xdx, c) x + 1 ) x 3 3 3x x dx, d) + 2dx, e) (6x 2 7) 2 5 xdx, f) cos(6x 7)dx, g) x x 2 + 4dx, h) x 2 (x 3 2) 12 7 dx, i) m) x sen(3x 2 5)dx, j) x 6 (7x 7 +π) 8 sen(7x 7 +π) 9 dx, k) x x sen dx, n) x2 + 4 sen 2x dx, o) 1 + x 2 x2 + 4 cos 2 dx, p) x cos xe 2 sen x dx, l) x 1 x 4 dx, ( x + 4) 2 dx, x e) 1 9x 2 + 4 dx. 2.- Resolver ls siguientes integrles de funciones rcionles: ) e) 1 x 2 dx, b) 4 x 3 x 2 dx, f) + 2x + 4 x 3 x 3 + x 2 6x dx, c) 1 x 3 dx, g) + x 3x + 5 x 3 x 2 x + 1 x 4 2x 3 + 3x 2 x + 3 x 3 2x 2 + 3x x 4 x 3 x 1 dx, d) x 3 x 2 dx, x 3 + x 2 + x + 2 dx, h) (x 2 + 1)(x 2 + 2) dx. 3.- Integrr por prtes: ) f) x sen x dx, b) x 2 sen x dx, g) xe x dx, c) x 3 e 2x dx, h) x 2 log x dx, d) x rctn x dx, i) x 1 + x dx, e) rctn x dx, sen x sen(3x) dx, j) e x sen x dx. 4.- Obtener ls primitivs de ls siguientes funciones irrcionles: ) e) 4 x 1 + dx, b) x x 3 dx, f) x 1 1 (1 + x) 1 dx, c) x (4 9x) dx dx, d) x (1 + x)(1 + 3x) x 3 3 (x + 2)2 x 2 dx, g) x (1 + dx, h) x) 2 1 x 4 + x 2 dx.

80 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 5.- Hllr ls siguientes primitivs de funciones trscendentes: e x 3e 2x tn 3 x + tn x ) 1 + e x dx, b) dx, c) 1 2 tn x log(2x) dx, d) x log(4x) sen x 1 + 4 cos 2 x dx, e) cos x sen 2 x cos 2 dx, f) x dx sen x tn x, g) dx sen x sen 2x, h) sen xdx cos x 1 + cos x. 6.- Hllr ls siguientes primitivs, efectundo el cmbio de vrible que proced: ) dx 4 x x 9 4x, b) 2 4 + 9x 2 dx, c) dx d) 2 2x x dx x 9 4x 2, 4 x 2 e) x 2 dx, f) x 2 x2 4 dx, g) 16dx x 2 x 2 + 4, h) x 2 2x x 2 dx. 7.- Hllr ls siguientes primitivs: ) x 9 + x 2 dx, b) x 2 x 2 dx, c) 4x + 2 e 2x e x dx, d) 2 dx 8 + 2x x 2, log x e) dx, f) x e x/3 sen(3x) dx, g) x 3 e 2x dx, h) sen 3 x dx, i) sen 4 x dx, j) sen x sen x sen x + cos x sen x cos x dx, k) dx, l) dx, m) 1 + cos x x tn x 9 + cos 4 x dx.

Cpítulo 7 L integrl definid 7.1. Integrl de Riemnn de un función En un principio (Euler, c. 1750), el cálculo integrl se definí como l operción invers l diferencición, sin embrgo, en l primer mitd del siglo XIX se empezó ver l necesidd de definir l integrl de un función directmente, retomndo l viej ide del áre. Los primeros trbjos en este sentido son debidos Cuchy. L ide er utilizr el concepto de límite pr definir l integrl como el límite de un sum de rectángulos y después probr l relción con l derivd, es decir, el teorem fundmentl de cálculo. Cuchy desrrolló ests ides sólo pr funciones continus. Puesto que no tods ls funciones ibn ser integrbles, prej l necesidd de extender l integrl, surge l necesidd de estblecer criterios pr sber que funciones son susceptibles de dmitir un integrl extendiendo l definición de Cuchy. Un pso decisivo en este cmino lo dio Riemnn, que mplió l definición de integrl pr funciones no necesrimente continus, estbleciendo un criterio de integrbilidd. Es lo que hoy conocemos como l integrl de Riemnn, que exponemos continución. Definición 7.1.1. Se [, b] R. Un prtición P del intervlo [, b] es un conjunto { = x 0, x 1,..., x n = b} [, b] tl que = x 0 < x 1 < < x n = b. Se llm diámetro de l prtición máx{x i x i 1 ; i = 1,..., n}. 81

82 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Dds dos prticiones P 1, P 2 de un mismo intervlo, se dice que P 1 es más fin que P 2 si P 2 P 1. Not 7.1.2. Llmremos P[, b] l conjunto de ls prticiones de [, b]. Si P, Q P[, b] l prtición R = P Q P[, b] es más fin que P y que Q. Definición 7.1.3. Se f : [, b] R cotd y P = {x 0, x 1,..., x n } P[, b], y sen m i = ínf{f(x), x [x i 1, x i ]}, M i = sup{f(x), x [x i 1, x i ]}. Se llm sum inferior de Riemnn de f respecto de P n L(f, P ) = m i (x i x i 1 ). Se llm sum superior de Riemnn de f respecto de P n U(f, P ) = M i (x i x i 1 ). i=1 i=1 Exponemos hor uns propieddes de ls sums superior e inferior que nos permitirán definir l integrl superior e inferior de Riemnn, y por consiguiente, l integrl. Proposición 7.1.4. Se f : [, b] R cotd y P, Q P[, b], se verific: 1. L(f, P ) U(f, P ). 2. Si Q es más fin que P entonces, L(f, P ) L(f, Q) y U(f, P ) U(f, Q). 3. L(f, P ) U(f, Q). Not 7.1.5. El conjunto de ls sums inferiores de Riemnn {L(f, P ) : P P[, b]} está cotdo superiormente, siendo un cot superior culquier U(f, P ). Análogmente, el conjunto de ls sums superiores de Riemnn {U(f, P ) : P P[, b]} está cotdo inferiormente, siendo un cot inferior culquier L(f, P ).

LA INTEGRAL DEFINIDA 83 Definición 7.1.6. Llmmos integrl inferior de f en [, b] b f(x) dx = sup{l(f, P ) : P P[, b]}. Llmmos integrl superior de f en [, b] b f(x) dx = ínf{u(f, P ) : P P[, b]}. Es clro que b f(x) dx b f(x) dx. Definición 7.1.7. Se dice que f es integrble Riemnn en [, b] (lo que se denot por f R[, b]), si b f(x) dx = b f(x) dx. Al vlor común se le llm integrl de Riemnn de f en [, b], y se escribe b f(x) dx = b f(x) dx = b f(x) dx. 7.2. Funciones integrbles Comenzmos l sección con lgún ejemplo de funciones que sen integrbles y que no lo sen, como los siguientes: Ejemplos 7.2.1. Se f un función constnte, f(x) = k, x [, b]. Entonces f R[, b] y demás, b k dx = k(b ). 1 si x Q Se f : [0, 1] R dd por f(x) = 0 si x / Q. En este cso, f no es integrble Riemnn en [0, 1].

84 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) El siguiente resultdo es un importnte crcterizción de l integrbilidd Riemnn y tiene l ventj de que en su enuncido no se necesit el vlor de l integrl. Teorem 7.2.2. Se f : [, b] R cotd, entonces, f R[, b] si y sólo si pr todo ε > 0, existe un prtición P P[, b] tl que U(f, P ) L(f, P ) < ε. Teorem 7.2.3. Si f : [, b] R es monóton, entonces, f R[, b]. Teorem 7.2.4. Si f : [, b] R es continu, entonces, f R[, b]. Además, si P n es l prtición de [, b] resultnte de dividir el intervlo [, b] en n intervlos igules de mplitud b, se verific n b y si z i [x i 1, x i ] se verific f(x) dx = lím n U(f, P n) = lím n L(f, P n) 1 b b 1 f(x) dx = lím n n n f(z i ). i=1 Teorem 7.2.5. Si f : [, b] R está cotd y es continu slvo en un número finito de puntos, entonces, f R[, b]. 7.3. Propieddes de ls funciones integrbles Proposición 7.3.1. Sen f, g : [, b] R con f, g R[, b] y sen α R, c (, b). Se verific 1) f + g R[, b] y 2) αf R[, b] y b b (f(x) + g(x)) dx = (αf(x)) dx = α 3) R[, b] = R[, c] R[c, b], y f R[, b], b f(x) dx = b f(x) dx + b b c f(x) dx. f(x) dx + b c f(x) dx. g(x) dx.

LA INTEGRAL DEFINIDA 85 4) f g R[, b]. 5) f R[, b]. Pr que formlmente sen válids ests propieddes en los csos extremos, definimos: f(x) dx = 0. Si b >, f(x) dx = b b f(x) dx. Proposición 7.3.2. 1) Si f 0 en [, b], entonces 2) Si f g en [, b], entonces 3) b f(x) dx b b f(x) dx 0. f(x) dx b b f(x) dx. g(x) dx. Teorem 7.3.3 (del vlor medio integrl). Se f : [, b] R cotd y f R[, b]. Si m = ínf f y M = sup f, entonces [,b] [,b] Además, si f es continu en [, b], m 1 b b f(x) dx M. c [, b] tl que f(c) = 1 b b f(x) dx. Teorem 7.3.4. Se f R[, b] y g : f ([, b]) R continu. Entonces g f R[, b]. 7.4. Teorem fundmentl del Cálculo Integrl En est sección bordmos este importnte teorem y su corolrio más conocido, l regl de Brrow, que nos permitirá evlur l integrl de un función cundo se conozc un de sus primitivs.

86 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Teorem 7.4.1. Se f R[, b]. L función F : [, b] R definid como F (x) = x f(t) dt (x [, b]) es continu en [, b]. Teorem 7.4.2 (Teorem fundmentl del Cálculo integrl). Se f R[, b]. Si f es continu en c [, b], entonces F (x) = F (c) = f(c). x f(t) dt, (x [, b]) es derivble en c y demás, Corolrio 7.4.3. En ls condiciones del teorem nterior, si f es continu en [, b], entonces F (x) es derivble en (, b), con F (x) = f(x), x (, b), por lo que F (x) es un primitiv de f(x). Corolrio 7.4.4 (Regl de Brrow). Si f : [, b] R es continu en [, b] y G(x) es un primitiv de f(x) en [, b], entonces b f(x) dx = G(b) G(). 7.5. Integrción por sustitución y por prtes Teorem 7.5.1 (Integrción por prtes). Sen f, g : [, b] R derivbles tles que f, g R[, b]. Entonces, b f(x)g (x) dx = f(b)g(b) f()g() b f (x)g(x) dx. Teorem 7.5.2 (Integrción por sustitución). Se g : [, b] R derivble con g R[, b], y se f continu en g ([, b]). Entonces, b f(x)g (x) dx = g(b) g() f(t)dt.

LA INTEGRAL DEFINIDA 87 7.6. Integrles impropis Se debe Cuchy l primer extensión de l integrl pr funciones definids en un intervlo no cotdo y pr funciones no cotds en los extremos del intervlo, es lo que conocemos en l ctulidd como vlor principl de Cuchy. L definición de integrl impropi se debe Riemnn. 7.6.1. Integrción en intervlos no compctos Definición 7.6.1. Se f : [, + ) R con f R[, b] pr todo b >. Se llm integrl impropi de primer especie de f en [, + ) l límite b lím b + f(x) dx. Si existe el límite y es finito, se dice que l integrl impropi es convergente; en cso contrrio se dice que l integrl impropi diverge. Si es convergente se escribe: + f(x) dx = b lím b + f(x)dx. Nots 7.6.2. 1) Si f tiene primitiv F en [, + ), entonces + f(x) dx = lím [F (b) F ()] = b + [ ] lím F (b) b + F (). 2) Si f : (, b] R con f R[, b] pr todo < b, se define nálogmente: b f(x) dx = b lím f(x)dx. Definición 7.6.3. Se f : [, b) R con f R[, c] pr todo c (, b). Se llm integrl impropi de segund especie de f en [, b) l límite lím c b c f(x) dx. Si existe el límite y es finito, se dice que l integrl impropi es convergente, y su vlor se denot por b f(x) dx. En cso contrrio se dice que l integrl impropi diverge. Análogmente se procede si f está definid en (, b]. No se exige en est definición que f se cotd. De ser sí, signándole f un vlor en b, comprobrímos que es integrble en [, b], que existe l integrl impropi y que tienen el mismo vlor.

88 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Teorem 7.6.4. Se I lgún intervlo de l form [, + ), (, b], [, b), (, b]. Y sen f, g : I R tles que f(x) dx, g(x) dx convergen, entonces tmbién convergen (f(x) + g(x)) dx y αg(x) dx, α R y se I I verific: I I (f(x) + g(x)) dx = I I f(x) dx + g(x) dx, I I αg(x) dx = α g(x) dx. I Definición 7.6.5. Se f : R R con f R[, b],, b R, ( < b). Decimos que + en ese cso, f(x) dx converge si existe un R tl que + f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx e + f(x) dx. + f(x) dx convergen; Puede probrse que en l definición nterior el vlor de es irrelevnte. Definición 7.6.6. Se f : R R con f R[, ], R. Se llm vlor principl de Cuchy de + f(x) dx l límite lím + f(x) dx. Not 7.6.7. Evidentemente no coinciden en generl el vlor principl de Cuchy con l integrl impropi en todo R (tomr por ejemplo f(x) = x), pero si entonces existe el vlor principl de Cuchy y mbos coinciden. + f(x) dx converge, Definición 7.6.8. Se f : (, + ) R con (, + ). Se dice que + c + f(x) dx convergen, en cuyo cso, + lím f(x) = y x + f(x) dx es convergente si existe un c > tl que f(x) dx = c f(x) dx + + c f(x) dx f R[b, c] [b, c] c f(x) dx e A ests integrles se les llm integrles mixts de primer y de segund especie. Es clro que pueden drse definiciones nálogs pr otros tipos de intervlos.

LA INTEGRAL DEFINIDA 89 7.6.2. Criterios de convergenci Los resultdos que vmos exponer son válidos tnto pr integrles impropis de primer especie como de segund especie, por lo que los enunciremos sólo pr ls de primer especie. Teorem 7.6.9. Se l función f : [, + ) R con f(x) 0, x [, + ) y f R[, b], b R, (b > ). Entonces que b f(x)dx M, b. + f(x) dx converge si y sólo si existe M > 0 tl Teorem 7.6.10 (Criterio de comprción). Sen ls funciones f, g : [, + ) R, tles que 0 f(x) g(x) x [, + ) con f, g R[, b], b >. Se verific: Si Si + g(x) dx converge, entonces + + f(x) dx diverge, entonces + f(x) dx + f(x) dx converge y es + g(x) dx. g(x) dx diverge. Teorem 7.6.11 (Criterio de comprción por pso l límite). Sen ls funciones f, g : [, + ) R, tles que f(x) 0, g(x) > 0 x [, + ) con f, g R[, b], b > y f(x) = λ. Se verific: g(x) lím x + Si 0 < λ < +, ls integrles crácter. Si λ = 0, l convergenci Si λ = +, l convergenci + + + f(x) dx e + g(x) dx implic l convergenci de f(x) dx implic l convergenci de g(x) dx tienen el mismo + + f(x) dx. g(x) dx. Estos criterios de comprción necesitn del conocimiento del crácter de lgun integrl impropi que sirv de test. Hbitulmente utilizremos ls integrles: + 1 dx ( > 0) que converge si α > 1. xα

90 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 0 1 dx ( > 0) que converge si α < 1. xα Teorem 7.6.12. 1) Se f : [, + ) R integrble Riemnn en [, b], b. Se verific: Si existe p > 1 tl que converge. Si existe p 1 tl que diverge. lím x + xp f(x) = λ con 0 λ < +, entonces lím x + xp f(x) = λ con 0 < λ +, entonces 2) Se f : (0, b] R integrble Riemnn en [, b], (0, b). Se verific: Si existe p < 1 tl que converge. Si existe p 1 tl que diverge. lím x 0 xp f(x) = λ con 0 λ < +, entonces + lím x p f(x) = λ con 0 < λ +, entonces x 0 + + + b 0 b 0 f(x) dx f(x) dx f(x) dx f(x) dx Teorem 7.6.13 (Criterio integrl pr series). Se f : [1, + ) R un función decreciente con f(x) > 0, y { n } un sucesión de términos positivos tl que n = f(n), n N. Bjo ests condiciones, l serie crácter. + n=1 n y l integrl impropi + 1 f(x) dx tienen el mismo 7.6.3. Convergenci bsolut Cundo el signo del integrndo no es constnte, es más complicdo estudir l convergenci de l integrl impropi. Por nlogí con series numérics, estudimos l convergenci bsolut y condicionl de ests integrles. Definición 7.6.14. Se f : [, + ) R. Se dice que l integrl f(x)dx es bsolutmente convergente si + f(x) dx es convergente. +

LA INTEGRAL DEFINIDA 91 Definición 7.6.15. Si + f(x)dx es convergente pero + dice que l integrl impropi es condicionlmente convergente. f(x) dx es divergente, se Análogmente se definen los conceptos nteriores pr ls integrles impropis de segund especie. f(x)dx es con- Teorem 7.6.16. Si vergente. + f(x)dx converge bsolutmente, entonces + Not 7.6.17. El recíproco del teorem nterior no es cierto, pues se puede probr que + 1 x p sen x dx converge si p > 0. Pero es bsolutmente convergente si p > 1 y l convergenci es condicionl pr 0 < p 1, y que en este cso, l integrl diverge. + 1 x p sen x dx 7.6.4. Ls funciones Gmm y Bet Definición 7.6.18. Se llm función gmm de Euler l función Γ : (0, + ) R dd por Γ(x) = + 0 e t t x 1 dt. Not 7.6.19. Est definición tiene sentido, pues si considermos l integrl impropi + e x x p 1 dx = 1 e x x p 1 dx + 0 0 1 + tenemos que, plicndo los criterios de convergenci nteriores, e x x p 1 dx y Por tnto, + 1 1 0 + 0 e x x p 1 dx converge p R e x x p 1 dt converge p > 0. e x x p 1 dx converge p > 0.

92 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Proposición 7.6.20. 1) Γ(1) = 1. 2) x > 0, Γ(x + 1) = xγ(x). 3) n N, Γ(n) = (n 1)!. Definición 7.6.21. Se llm función bet de Euler l plicción B : (0, + ) (0, + ) R dd por B(x, y) = 1 0 t x 1 (1 t) y 1 dt. Vemos que est definición tiene sentido probndo el siguiente: Teorem 7.6.22. Si x, y > 0, l integrl impropi 1 0 t x 1 (1 t) y 1 dt es convergente. Proposición 7.6.23. Se verific: B(x, y) = B(y, x). B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y). + Como plicción direct de est últim iguldd, y teniendo presente que e x2 dx = ( ) 0 1 1 + 2 Γ, podemos deducir el vlor de l integrl de Guss e x2 dx = π, tn importnte, entre otrs coss, pr el Cálculo de 2 Probbiliddes.

LA INTEGRAL DEFINIDA 93 7.7. Aplicciones de l integrl 7.7.1. Áre de figurs plns ) Coordends crtesins Definición 7.7.1. Se f : [, b] R continu y f(x) 0 x [, b]. El áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} viene dd por l integrl: A = b f(x) dx. Est definición se puede extender otros recintos plnos. Definición 7.7.2. Si l función fuese negtiv, el áre del recinto {(x, y) R 2 : x b, f(x) y 0} serí: A = b f(x)dx Si l función no tiene signo constnte, el áre serí l sum de ls áres prciles de los recintos donde se conserv el signo. Si se trt del áre del recinto delimitdo por dos curvs {(x, y) R 2 : x b, f(x) y g(x)}, el áre será: A = b [g(x) f(x)] dx. b) Coordends polres Se puede describir un curv en l form ρ = ρ(ω) siendo ρ l distnci de un punto de l curv l origen y 0 ω < 2π el ángulo que form el rdio vector con l prte positiv

94 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) del eje de bsciss. En este cso, el áre del recinto comprendido entre l curv y los rdios vectores ρ = α y ρ = β, viene dd por l integrl A = 1 2 β α ρ 2 (ω) dω. c) Coordends prmétrics Si l curv viene dd por sus ecuciones prmétrics x = x(t), y = y(t), un sencillo cálculo sobre l fórmul de l definición 4.1.1 muestr que el áre del recinto ddo en dich definición es: A = donde t 1 = x 1 (), y t 2 = x 1 (b). t2 t 1 y(t)x (t) dt. 7.7.2. Longitud de rcos de curv. ) Coordends crtesins Se define l longitud del rco de curv y = f(x) entre los puntos A(, f()) y B(b, f(b)) como l = Coordends polres b 1 + (f (x)) 2 dx. Si l curv viene dd en coordends polres ρ = ρ(ω), l longitud del rco comprendido entre A(α, ρ(α)) y B(β, ρ(β)) es l = β α (ρ(ω))2 + (ρ (ω)) 2 dω. Coordends prmétrics Si l curv viene dd en coordends prmétrics x = x(t), y = y(t), l longitud del rco de curv comprendido entre A(x(), y()) y B(x(b), y(b)) viene dd por l = b (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt.

LA INTEGRAL DEFINIDA 95 7.7.3. Volúmenes Definición 7.7.3. Se un conjunto C R 3 con C [, b] R 2. Asimismo, se A(x) el áre de l región pln {(y, z) R 2 : (x, y, z) C}. Si A(x) R[, b], entonces el volumen del sólido C es: V = b A(x) dx. El ppel que jueg en l definición el eje OX puede desempeñrlo otro eje culquier, considerndo entonces secciones del sólido perpendiculres dicho eje. L definición nterior expres el principio de Cvlieri de cálculo de volúmenes. Como plicción de est fórmul, clculmos los volúmenes de cuerpos de revolución. Definición 7.7.4. Se f : [, b] R cotd. Consideremos el conjunto de R 3 ddo por C = {(x, y, z) R 3 : x [, b], y 2 + z 2 (f(x)) 2 }. Si (f(x)) 2 R[, b], el volumen de C es: V = π b (f(x)) 2 dx. Not 7.7.5. Análogmente, si f(x) dmite invers en [, b] y es c = f 1 (), y d = f 1 (b), el volumen del cuerpo generdo l girr l región {(x, y) R 2 : c y d, 0 x f 1 (y)} lrededor del eje de ordends es: V = π d c (f 1 (y)) 2 dy. R 2 Nos proponemos hor definir el volumen del sólido generdo l girr el recinto {(x, y) : x b, 0 y f(x)} lrededor del eje de ordends. Aproximndo dicho volumen por cilindros concéntricos, llegmos l siguiente definición: Definición 7.7.6. En ls condiciones de l nterior definición, el volumen del cuerpo generdo l girr l región {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)}

96 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) lrededor del eje de ordends es: V = 2π b x f(x) dx. 7.7.4. Áre de superficies de revolución Se trt, en est seción, de encontrr l superficie lterl del sólido C = {(x, y, z) R 3 : x [, b], y 2 +z 2 (f(x)) 2 }, generdo l girr lrededor del eje de bsciss l región {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)}. El rzonmiento que nos llev definir el áre será l proximción por superficies de troncos de cono. Definición 7.7.7. Si f : [, b] R es continu y derivble, y f (x) integrble en [, b], el áre lterl del sólido C = {(x, y, z) R 3 : x [, b], y 2 + z 2 (f(x)) 2 } viene dd por l integrl S = 2π b f(x) 1 + (f (x)) 2 dx. 7.7.5. Aplicciones físics Son muchs ls plicciones de l integrl l cmpo físico, de entre ells destcmos ls siguientes: Momentos estático El momento estático respecto de los ejes de bsciss y de ordends de un curv x = x(s), y = y(s) donde el prámetro s es l longitud del rco es: M x = L y(s) ds, M y = L 0 0 x(s) ds,

LA INTEGRAL DEFINIDA 97 con L l longitud totl del rco. Los respectivos momentos estáticos de un figur pln (x, y) R 2 b, 0 y f(x), son: M x = 1 2 b f(x) f(x) dx, M y = b x f(x) dx. con x Momentos de inerci El momento de inerci respecto un eje l de un sistem de n puntos mteriles de n mss m 1, m 2,..., m n es I l = m i d 2 i. Cundo l distribución de l ms se continu, i=1 I l = b h 2 (x)m (x) dx donde m(x) es l ms y h(x) l distnci l eje OX, con y b los puntos extremos del cuerpo en cuestión. Centro de grvedd Ls coordends (x, y) del centro de grvedd de un rco de curv pln y = f(x) ( x b) son: x = 1 L b x 1 + (f (x)) 2 dx, donde L es l longitud del rco de curv. y = 1 L b f(x) 1 + (f (x)) 2 dx, Ls coordends (x, y) del centro de grvedd de un región pln {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} son: x = 1 S b donde S es el áre de l figur. xf(x) dx, y = 1 2S b (f(x)) 2 dx, Trbjo Si un fuerz vrible F = F (x) ctú en l dirección del eje de bsciss, el trbjo efectudo por l mism desde x 1 hst x 2 viene ddo por W = x2 x 1 F (x) dx.

98 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Ejercicios y Problems 1.- Se f(x) = 0 si x / Q, f(x) = x si x Q. Demostrr que f no es integrble Riemnn en el intervlo [0, 1]. Clculr ls integrles superior e inferior. 2.- Se f(x) = 3x 2, g(x) = x 2. Usndo l condición necesri y suficiente de integrbilidd Riemnn, probr f, g R([0, 1]) clculndo el vlor de cd integrl. 3.- Clculr ls siguientes integrles: ) d) π 2 0 π 4 0 (sen x + x(x 2)) dx b) tg 2 x dx e) 1 0 π 3 π 6 (1 + x tg x) dx c) 1 dx f) sen x cos x π 2 0 2 0 sen x 1 1 + cos x dx x 2 4 x 2 dx 4.- Dr l derivd de f en los siguientes csos: ) f(x) = c) f(x) = e) f(x) = rctn x 1 x 2 x x 2 0 cos tdt b) f(x) = x+1 R x log t dt x > 0. d) f(x) = t x sen(log t)dt. f) f(x) = x 0 x 3 x 2 0 tdt t sen tdt. t 2 dt. x 2 e t 2 dt. g) f(x) = x 3 2 ( y 8 ) 1/(1 + t 2 + sen 2 t) dt dy [ x ( y ) ] h) f(x) = sen sen e t2 dt dy 0 1 5.- Se f : R R un función continu tl que f(2). x 2 (1+x) 0 f(t)dt = x x R. Hllr 6.- Hllr el áre de ls siguientes figurs: ) y = x, y = x + sen 2 x en [0, π]. b) y 2 9x, x 2 + y 2 36. c) x 2 + y 2 9, (x 3) 2 + y 2 9.

LA INTEGRAL DEFINIDA 99 d) y = 2 x y = 2 (2x ) ( > 0) 7.- Hll > 0 tl que l curv y = cos x, x [0, π ] quede dividid en dos prtes con 2 igul áre por l curv y = sen x. 8.- Hllr ls longitudes de los rcos de curv: ) y = e x en [0, ]. b) y = log(cos x), 0 x < π 2. 9.- Hllr el volumen del cuerpo engendrdo l girr lrededor del eje OX ls curvs siguientes, entre los límites que se indicn: ) y2 b 2 x2 = 1, x =, x = (, b > 0). 2 b) x 2 + (y 2R) 2 = R 2, R x R (R > 0). 10.- Hllr el volumen del cuerpo engendrdo l girr lrededor del eje OY ls curvs siguientes, entre los límites que se indicn: ) y = 1 x 2, 0 < y < 1. b) y = R x, 0 < y < R (R > 0). 11.- Hllr el áre de ls superficies engendrds l girr ls curvs siguientes lrededor del eje OX, entre los límites que se indicn: ) y 2 = 2px, 0 < x < 1 (p > 0). b) x 2 + (y 2R) 2 = R 2, R x R (R > 0). 12.- ) Hll el áre de l región del plno limitd por l curv y = tn x, el eje de ordends y l rect y = 1. b) Hllr el volumen del sólido engendrdo l girr l región nterior lrededor del eje de bsciss.

100 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 13.- Se l figur limitd por l curv y = e x2, el eje de bsciss y ls rects x = 0, x = 1. Hllr el volumen del cuerpo engendrdo por dich figur l girr lrededor del EJE DE ORDENADAS. 14.- Clculr el áre de l región del plno limitd por ls curvs: y = x 2 e x, y = x 2 1 x y l rect x = 1. 15.- Dd l prábol y 2 = 4x, se pide: ) Hll m pr que el áre de l figur limitd por l prábol y l rect y = mx, se 1 3. b) Hll l longitud del rco de prábol delimitdo por los puntos A(1, 2) B(4, 4). 16.- ) Clculr log 2 0 ex 1dx. b) Se f : R R derivble tl que Hllr f(x) sbiendo que f(1) = 2 f(x) sen xdx = f(x) cos x + 3x 2 cos xdx. c) Clculr el áre del sector circulr determindo por l circunferenci x 2 +y 2 = 25 y los rdios trzdos desde los puntos A(3, 4), B(4, 3) l origen. 17.- ) Hllr el áre de l región de plno limitd por l curvs y = e x, y = e x, y l verticl x = 1. b) Clculr el volumen del cuerpo de revolución engendrdo por l rotción de l región nterior lrededor del eje de ordends. c) Resolver l integrl dx x 2 4 + x 2. 18.- Dd l función y = log x se pide: ) Áre del recinto limitdo por l curv, el eje de bsciss y ls verticles x = e 1, x = e.

LA INTEGRAL DEFINIDA 101 b) Volumen del cuerpo de revolución engendrdo l girr l región nterior lrededor del eje de bsciss. c) Longitud del rco de curv comprendido entre los puntos A(1, 0) y B(2, log 2). 19.- ) Si f : R R es continu y verific x 0 e b) Clculr sen(log x) dx 1 f(t)dt = f(x) + cos x, clcul f(0) y f (0) c) Dd l curv de ecución y 2 = x 2 x 4, se pide: c1) Hllr el áre que determin. c2) Hllr el volumen del cuerpo que se gener l girr lrededor del eje de bsciss. c3) Idem. lrededor del eje de ordends. 20.- Se l región del plno limitd por l curv y = 3 + sen x y ls rects y = 3, x = π 2. Hllr el volumen del cuerpo que se gener l girr dich región lrededor del eje de bsciss. Idem lrededor del eje de ordends. 21.- Se consider l circunferenci x 2 + y 2 = 16. Se pide: ) Áre de l región dd por x2 + y 2 16, y 2. b) Longitud del rco de circunferenci comprendido entre los puntos A( 2 3, 2) y B(2 2, 2). 22.- Dd l curv de ecución y = log ( 1 x 2), se pide: ) Áre de l región de plno comprendid entre l curv, el eje de bsciss y l rect x = 1 2. b) Longitud del rco de curv comprendido entre los puntos (0, 0) y ( 1 2, log ) 3 4. 23.- Volumen del cuerpo de revolución engendrdo l girr l circunferenci x 2 + y 2 = 4 lrededor de l rect y = 3. 24.- Se consider l porción de círculo de centro (0, 1) y rdio 1 que está fuer del círculo de centro (0, 0) y rdio 2. Se pide:

102 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) ) Áre de dich región del plno. b) Volumen del cuerpo de revolución que se engendr l girr l región nterior lrededor del eje OX. c) Idem lrededor del eje OY. 25.- Clculr el áre de l región de plno dd por x 2 + y 2 4, y 2 3x. Clculr el volumen del cuerpo engendrdo l girr dich región lrededor del eje ) de bsciss, b) de ordends. 26.- Clculr el áre de l región del plno limitd por l curv f(x) = log x x rects y = 0, x = 1, x = b (b > 1). y ls 27.- Clculr el áre encerrd por ls curvs de ecución en polres: (r > 0) ) ρ = r(1 + cos ω) b) ρ = r c) ρ = r cos(2ω). 28.- Clculr el áre encerrd por ls curvs de ecuciones en prmétrics: (r > 0) ) x = r cos t, y = r sen t b) x = r(t sen t), y = r(1 cos t). 29.- Hllr l longitud de ls curvs de ecuciones en polres: (r > 0) ) ρ = r(1 + cos ω) b) ρ = rω. 30.- Hllr l longitud de ls curvs de ecuciones en prmétrics: (r > 0) ) x = r(t sen t), y = r(1 cos t) b) x = rcos 3 t, y = r sen 3 t. 31.- Estudir l convergenci de ls siguientes integrles impropis, y clculr el vlor de ls convergentes:

LA INTEGRAL DEFINIDA 103 ) + 0 e x dx, b) + 1 1 dx, c) xα 1 0 1 dx, d) xα 1 0 x 2 log xdx, e) 1 0 dx x 1 x 2, f) + 0 e x sen xdx, g) + 1 dx x dx, h) + dx e x + e x. i) 2 2 dx 6, j) 4 x 2 dx dx, k) (4 x) 2 1 0 log xdx, l) + xe x2 dx m) 1 0 x log xdx, n) + dx 1 + 4x 2, o) 0 xe x dx, p) + 0 x 3 e x dx. 32.- Hllr el áre entre l curv y 2 = x2 1 x 2 y sus síntots. 33.- ) Hllr el áres de l región de plno limitd por l curv yx = 1, y ls rects x = 1 e y = 0 b) Clculr el volumen engendrdo por l región nterior l girr lrededor del eje de bsciss.

104 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08)

Cpítulo 8 Mtrices, determinntes y sistems de ecuciones lineles 8.1. Mtrices Definición 8.1.1. Se llm mtriz un conjunto ordendo de números perteneciente un cuerpo K (que hbitulmente será el cuerpo de los reles R o de los complejos C), dispuestos en fils y columns de form rectngulr. Se represent por 11 12 1n 21 22 2n A =... m1 m2 mn De form brevid tmbién se suele representr por A = ( ij ), 1 i m, 1 j n, y se dice que es un mtriz de dimensiones m n. El conjunto de ls mtrices m n cuyos elementos pertenecen un conjunto numérico K se design por M m n (K). En el cso prticulr en que m = n diremos que l mtriz A = ( ij ) es cudrd de orden n, y l conjunto de tods ells lo representremos por M n (K). A continución vmos recordr lguns definiciones básics cerc de ls mtrices, ls operciones entre ells y lguns propieddes elementles. 105

106 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Definición 8.1.2. Dos mtrices son igules si tienen ls misms dimensiones y coinciden elemento elemento. Es decir, si ( ij ), (b ij ) M m n (K), ( ij ) = (b ij ) ij = b ij i = 1,..., m, j = 1,..., n Definición 8.1.3. En el conjunto M m n (K) se define l sum de mtrices de l siguiente mner: ( ij ) + (b ij ) = ( ij + b ij ) Propieddes 8.1.4. Sen A, B, C M m n (K). Conmuttiv: A + B = B + A Asocitiv: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: es l mtriz 0, de dimensión m n, formd tod ell por ceros. Elemento opuesto de un mtriz A = ( ij ): es l mtriz ( ij ). Definición 8.1.5. Si A = ( ij ) M m n (K) y α K, se define el producto por un esclr como sigue: α A = (α ij ). Propieddes 8.1.6. Sen A, B M m n (K) y α, β K. α (A + B) = α A + α B (α + β) A = α A + β A α (β A) = (α β) A 1 A = A Hst hor hemos recorddo operciones de sum de mtrices y producto por un esclr. Pero pr poder multiplicr dos mtrices entre sí, l definición debe hcerse con cuiddo, pues hn de cumplir un condición de comptibilidd: el número de columns de l primer h de coincidir con el número de fils de l segund.

MATRICES, DETERMINANTES Y S.E.L. 107 Definición 8.1.7. Sen A = ( ij ) M m n (K) y B = (b jk ) M n p (K). Se llm mtriz producto A B otr mtriz C = (c ik ) M m p (K), definid como sigue: n c ik = ij b jk i = 1,..., m, k = 1,..., p. j=1 Es decir, el elemento (i, k) de l mtriz producto es el resultdo de multiplicr esclrmente el vector formdo por l fil i-ésim de l primer mtriz, por el vector formdo por l column k-ésim de l segund mtriz. El cso en que el producto de dos mtrices dquiere más interés es cundo mbs mtrices son cudrds del mismo orden, pues entonces l mtriz resultnte es del mismo orden que ls multiplicds. Además, es posible intercmbir el orden en el que se multiplicn ls mtrices y l operción sigue teniendo sentido, unque en generl, el resultdo no se el mismo. En generl, pr mtrices culesquier, l no poder intercmbir el orden de multiplicción (no se cumple, en generl, ls condicione de comptibilidd), ni siquier tiene sentido plnterse l conmuttividd del producto de mtrices. Definición 8.1.8. Se A M m n (K). Se denomin mtriz trspuest de A l mtriz A t M n m (K) que result de intercmbir fils por columns en A. 1 3 9 1 2 1 1 Ejemplo 8.1.9. A = 3 1 0 4 = 2 1 4 At =. 9 4 1 3 1 0 1 1 4 3 Propieddes 8.1.10. Sen A, B M m n (K). (A + B) t = A t + B t (AB) t = B t A t 8.2. Mtrices cudrds En est sección vmos centrrnos en el concepto de mtriz cudrd definido nteriormente. L importnci de este conjunto de mtrices rdic en que sobre ells se pueden definir nuevos conceptos como los de determinnte o mtriz invers que dquirirá relevnci en más delnte.

108 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 8.2.1. Propieddes del producto de mtrices cudrds Como y hemos comentdo en l sección nterior, el producto de mtrices es especilmente interesnte dentro del conjunto de mtrices cudrds, pues podemos intercmbir el orden de multiplicción y se siguen verificndo ls condiciones de comptibilidd. Vemos continución lguns propieddes de ests mtrices. Propieddes 8.2.1. Ls siguientes propieddes se cumplen pr mtrices cudrds de orden n, unque lgun de ells tmbién son válids siempre que se posible efectur los productos indicdos. Asocitiv: (A B) C = A (B C). El elemento neutro es l siguiente mtriz de orden n: 1 0... 0 0 1... 0 I n =.......... 0 0... 1 Es decir, pr culquier mtriz cudrd A de orden n, se verific que AI n = I n A = A. El producto de mtrices no es conmuttivo: 0 1 1 0 1 1 2 1 = 2 1 1 1 1 1 1 2 = 1 1 2 1 0 1 1 0 8.2.2. Determinntes, menores complementrios y djuntos Definición 8.2.2. Se A un mtriz cudrd de orden n: 11 12 1n 21 22 2n A =......... n1 n2 nn Se llm determinnte de A, y se represent por det(a) o por A, l número rel o complejo (según se l mtriz rel o complej) definido por l siguiente expresión:. det(a) = ( 1) σ 1i1 2i2 3i3... nin

MATRICES, DETERMINANTES Y S.E.L. 109 donde i 1 i 2 i 3...i n represent un permutción culquier de los números 1, 2, 3,..., n y σ es el número de sus inversiones, extendiéndose el sumtorio ls n! permutciones de 1, 2, 3..., n. Propieddes 8.2.3. A continución enumerremos ls propieddes más importntes de los determinntes. 1. Si l mtriz B es l trspuest de A, entonces det(b) = det(a). 2. Si todos los elementos de un fil (o column) de A son nulos, entonces det(a) = 0. 3. Si intercmbimos entre sí dos fils (columns) de A, el determinnte de l mtriz B obtenid es el opuesto del determinnte de A, es decir, det(b) = det(a). 4. El determinnte de un mtriz A con dos fils (columns) igules es nulo. 5. Si se multiplic un fil (column) culquier de l mtriz A por un número λ, el determinnte de l mtriz B obtenid es igul l producto de λ por el determinnte de A, esto es, det(b) = λdet(a). 6. Si dos fils (columns) de un mtriz son proporcionles, su determinnte es nulo. 7. Si cd elemento de un fil (column), por ejemplo l fil p, de l mtriz A es de l form pj = pj + pj, entonces el determinnte de A es igul l sum de los determinntes de dos mtrices B y C, tles que l fil p de B está formd por los elementos pj y l fil p de C está formd por los elementos pj. Ls restntes fils de mbs mtrices son respectivmente igules ls de A. 8. Si l fil (column) p de A se le sum otr fil (column) q multiplicd por un número λ, el determinnte de l mtriz obtenid es igul l determinnte de A. 9. Si un fil (column) de A es combinción linel de otrs fils (columns), entonces det(a) = 0. Es evidente que l definición de determinnte es poco práctic l hor de efectur cálculos efectivos. Es por ello que vmos introducir continución el concepto de menor complementrio, el cul proporcionrá un form efectiv de clculr determinntes.

110 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Definición 8.2.4. Si en un mtriz A de orden n se suprime un fil p y un column q, result un mtriz cudrd de orden n 1, cuyo determinnte se llm menor complementrio del elemento pq que figur en l fil y en l column suprimids; lo representremos por M pq. Se llm djunto del elemento pq, y lo representmos por A pq, l número A pq = ( 1) p+q M pq. Teorem 8.2.5. Se A = ( ij ) un mtriz cudrd de orden n. 1. El determinnte de un mtriz es igul l sum de los productos de los elementos de un fil (resp. column) culquier por sus djuntos respectivos. Es decir, supuest l fil p, el determinnte de l mtriz A es: n det(a) = p1 A p1 + p2 A p2 +... + pn A pn = pj A pj. 2. L sum de los productos de los elementos de un fil (resp. column) por los djuntos de los elementos respectivos de otr es igul cero, es decir: p1 A q1 + p2 A q2 +... + pn A qn = 0 pr p q. j=1 Teorem 8.2.6. Sen A y B mtrices cudrds de orden n. Se verific: det(ab) = det(a)det(b) 8.2.3. Invers de un mtriz Definición 8.2.7. Se A un mtriz cudrd de orden n. Se dice que l mtriz A 1, cudrd de orden n, es l mtriz invers de A si se verific que A A 1 = A 1 A = I N, donde I es l mtriz unidd de orden n. En l definición nterior, se hbl de l mtriz invers, sugiriéndose sí l unicidd de ést. En efecto, l proposición siguiente confirm est sugerenci. Proposición 8.2.8. L invers de un mtriz, si existe, es únic.

MATRICES, DETERMINANTES Y S.E.L. 111 Not 8.2.9. Si un mtriz A es invertible, entonces su invers A 1 tmbién es invertible y demás (A 1 ) 1 = A. Teorem 8.2.10. L condición necesri y suficiente pr que un mtriz cudrd A teng invers es que su determinnte se distinto de cero. En tl cso, se verific que: A 1 = 1 det(a) Adj(A)t donde Adj(A) es l mtriz formd por los djuntos de los elementos de l mtriz A. 8.3. Sistems de ecuciones lineles Definición 8.3.1. Un ecución linel sobre K en n vribles x 1,..., x n es un expresión de l form: 1 x 1 + + n x n = b, donde i, b K, 1 i n. Si b = 0, diremos demás que l ecución es homogéne. Definición 8.3.2. Un solución de un ecución linel sobre K 1 x 1 + + n x n = b es culquier elemento (α 1,..., α n ) K n tl que: 1 α 1 + + n α n = b. Est últim expresión tmbién se suele notr como n i α i = b. i=1 Definición 8.3.3. Un sistem de ecuciones lineles sobre K en n vribles x 1,..., x n es un colección finit de ecuciones lineles en ls vribles x 1,..., x n ; esto es, 11 x 1 +... + 1n x n = b 1...... m1 x 1 +... + mn x n = b m

112 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Este sistem tmbién se notrá mtricilmente como: 11... 1n x 1...... = b 1.. m1 mn x n b n Si se tiene que b i = 0 (1 i n), diremos que el sistem es homogéneo. Definición 8.3.4. Un solución de un sistem de ecuciones lineles sobre K 11 x 1 +... + 1n x n = b 1. m1 x 1 +... + mn x n = b m es culquier elemento (α 1,..., α n ) K n tl que: 11 α 1 +... + 1n α n = b 1... m1 α 1 +... + mn α n = b m Est expresión tmbién se suele notr por: n ij α j = b i, 1 i m. j=1 8.4. Regl de Crmer y Teorem de Rouché-Fröbenius En est últim sección estudiremos cuándo es posible encontrr un solución de un sistem de ecuciones lineles, cuándo est solución es únic y qué form tiene dich solución. Nots 8.4.1. A prtir de hor utilizremos l siguiente notción: 1. Si A M n (K), representremos por A l determinnte de A. 2. Consideremos el sistem de ecuciones lineles: 11 x 1 +... + 1n x n = b 1... (S)... m1 x 1 +... + mn x n = b m..

MATRICES, DETERMINANTES Y S.E.L. 113 L mtriz 11 1n A =.. m1 mn se denominrá mtriz de coeficientes del sistem S. Definición 8.4.2. Un sistem (S) de n ecuciones con n incógnits, diremos que es de un sistem de Crmer si A = 0. Teorem 8.4.3. Se (S) un sistem de Crmer. Se verific: 1. (S) tiene solución únic. 2. L únic solución (α 1,..., α n ) de S viene dd por: b 1 12 1n α 1 = 1 b 2 22 2n A...,, α... n = 1 A b n n2 nn 11 12 b 1 12 22 b 2...... 1n n2 b n. Demostrción. Destcmos est demostrción por ser constructiv. El sistem (S) se puede escribir, usndo l notción mtricil como 11 1n x 1... = m1 mn x n b 1. b n. Pero como A = 0, existe l mtriz invers A 1, luego tenemos 1 x 1 11... 1n b 1. =... x n m1... mn b n lo que prueb que (S) tiene solución únic. Desrrollndo est expresión se tiene que A 11 A 21... A n1 b 1 x 1. = 1 A 12 A 22... A n2 b 2 A...,..... x n A 1n A 2n... A nn b n

114 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) o lo que es lo mismo, x 1 = b 1A 11 + b 2 A 21 + + b n A n1 A = b 1 12 1n b 2 22 2n... b n n2 nn A, x 2 = b 1A 12 + b 2 A 22 + + b n A n2 A = 11 b 1 1n 21 b 2 2n... n1 b n nn A,.. x n = b 1A 1n + b 2 A 2n + + b n A nn A = 11 12... b 1 12 22... b 2... 1n n2... b n A, con lo que el teorem qued probdo. Definición 8.4.4. Se A M n m (K). 1. Un menor de A es el determinnte de culquier submtriz cudrd de A. Un menor de orden r es el determinnte que result de suprimir en A n r fils y m r columns. 2. El rngo de A, rng(a), es el máximo de los órdenes de los menores no nulos de A. Nots 8.4.5. Se A M m n (K). 1. El número máximo de fils de A linelmente independientes es igul l rng(a). 2. rng(a) = m tods ls fils de A son linelmente independientes.

MATRICES, DETERMINANTES Y S.E.L. 115 3. Supongmos que n = m. ) A = 0 tods ls fils de A son linelmente independientes. b) A = 0 ls fils de A formn un bse de K n. 4. Se B l submtriz de A formd por ls r primers fils de A. Entonces, rng(a) = rng(b) ls fils r+1,..., m dependen linelmente de ls r primers. 5. Se B l submtriz de A formd por ls r primers fils. Si rng(b) = r y el rngo de ls m r mtrices que se obtienen de B ñdiéndole cd un de ls restntes m r fils de A es r, entonces rng(a) = r. En l práctic clculremos el rngo de un mtriz utilizndo el método del Orldo, que se bs en ls propieddes 4 y 5 de l not nterior. Teorem 8.4.6 (Rouché-Fröbenius). Consideremos el sistem: 11 x 1 +... + 1n x n = b 1 (S)... m1 x 1 +... + mn x n = b m que escribiremos mtricilmente como A X = B, con l notción y conocid. Representremos por (A B) l mtriz obtenid de A ñdiéndole B como últim column. En ests condiciones: A X = B tiene solución rng(a) = rng(a B).

116 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Ejercicios y Problems 1 2 5 1 1.- Hllr un mtriz A tl que 0 3 A = 3 0 1 1 6 1 2.- ) Demostrr que el conjunto de mtrices de l form M(x) = ( R + ) formn un grupo pr el producto. 1 0 x b) Idem. M(x) = 0 1 0. 0 0 1 x 0 0 0 1 x, 0 0 1 0 cos α sen α 1 2 i 0 3.- Clculr A 3 y B 3, siendo: A = cos α 0 1, B = 0 1 + i 1. sen α 1 0 0 i 0 1 0 1 1 1 4.- Clculr A n en los csos: A = 0 1, A = 1 1 1. 0 0 1 1 1 5.- Hllr ls mtrices que conmutn con A en los csos: A = 2 3 0 0 0, A = 1 0 0 1 1. 0 1 0 6.- ) Hllr ls mtrices A, cudrds de orden 2, tles que A 2 = Θ. b) Idem A 2 = A. (A dichs mtrices se les llm idempotentes). si i = j 7.- Se A l mtriz cudrd de orden n definid por: ij = b si i j. Hllr y b pr que se verifique que A 2 = I.

MATRICES, DETERMINANTES Y S.E.L. 117 8.- Sin desrrollr, demostrr ) 1 b + c 1 b c + = 0, b) 1 c + b x + y y + z z + x x y z p + q q + r r + p = 2 p q r. + b b + c c + 0 b c 9.- Resolver ls ecuciones: ) x 3 3x 2 3x 1 x 2 x 2 + 2x 2x + 1 1 = 0, b) x 2x + 1 x + 2 1 1 3 3 1 x b c x c b = 0. b c x c b x 10.- Clculr 1 1 1... 1 1 x 1... 1 1 1 x... 1,.......... 1 1 1... x x... x... x...,............. x 1 2 3... n 1 0 3... n 1 2 0... n........... 1 2 3... 0 11.- Hllr ls mtrices inverss, si existen, de: 0 2 1 0 1 1 1 1 + i i 0 A = 1 0 1, B = 0 1 2 i, C = 1 3 2 4 3 1 0 0 0 1 i 2 4 1 1 1 5 2 3 12.- Hllr el rngo de ls mtrices según los vlores del prámetro (si lo hy): 1 1 1 0 1 2 3 α 1 1 1 A = 1 0 1 1, B = 2 4 6 8, C = 1 α β 3 1 0 1 3 0 9 0 3 3 α 13.- Poner un ejemplo, en cd cso, de un sistem de tres ecuciones lineles con dos incógnits que se: ) Incomptible. b) Comptible indetermindo. c) Comptible determindo. 14.- Escribir los siguientes sistems en form mtricil, estudir si tienen solución, y resolverlos, en su cso, por l regl de Crmer y el método de tringulción de

118 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Guss: x + y + z = 3 x + 2y + 3z = 2 x + 4y + 9z = 2 2x + 3y z = 4 x 2y + z = 0 3x + y = 4 x y + z t = 0 x + 2y + z 2t = 1 2x z = 1 15.- Estudir los siguientes sistems, según los vlores de los prámetros, y resolverlos en cso de comptibilidd: ( + 1)x + y + z = + 1 x + ( + 1)y + z = + 3 x + y + ( + 1)z = 2 4 x + y + z = 3 2x y + 3z = 4 3x 3y + 4z = 7 5x ( + 1)y + 7z = 8 + x + y + z = b 2 x + y + z = b x + y + 2z = 2

Cpítulo 9 Espcios Vectoriles 9.1. Espcios Numéricos Nots 9.1.1. (1) En lo que sigue, K = Q, R, C, donde Q es el conjunto de los números rcionles, R es el conjunto de los números reles y C es el conjunto de los números complejos, y estudidos nteriormente. (2) Recordemos que un conjunto K y dos operciones interns: + y (sum y producto), verificndo: (2.1) (K, +) es un grupo belino. (2.2) (K {0}, ) es un grupo belino. (2.3) Propiedd distributiv:, b, c K (b + c) = b + c. Definición 9.1.2. L estructur definid por (K, +, ), verificndo ls nteriores propieddes, se denomin CUERPO. Definición 9.1.3. Se K un cuerpo. Un espcio vectoril sobre K const de un conjunto no vcío V, un ley de composición intern sobre V, +, y un plicción de K por V en V,, (ley extern), verificndo ls siguientes propieddes: (1) (V, +) es un grupo belino, esto es, pr todo u, v, w V, 119

120 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) (1.1) u + v = v + u. (Conmuttiv). (1.2) u + (v + w) = (u + v) + w. (Asocitiv). (1.3) Existe 0 V tl que pr todo u V, 0 + u = u. (Elemento neutro). (1.4) Pr todo u V, existe u V tl que u + u = 0 (opuesto de u). (2) Pr todo u, v V y pr todo α, β K, (2.1) α (u + v) = α u + α v. (2.2) (α + β) u = α u + β u. (2.3) α (β u) = (α β) u. (2.4) 1 u = u. Nots 9.1.4. (1) Los elementos de V se denominrán vectores y los de K esclres. (2) El elemento u cuy existenci segur (1.4) es único y se notrá por u. Ejemplos 9.1.5. Se K un cuerpo. Son espcios vectoriles sobre K: M(n m, K). (Conjunto de ls mtrices con coeficientes en K con n fils y m columns). Un conjunto con un único elemento {0} es un espcio vectoril que llmremos espcio vectoril trivil. El conjunto K[X] de los polinomios en X, de grdo menor o igul que n, con coeficientes en K es un espcio vectoril sobre K. Proposición 9.1.6. Se V un espcio vectoril sobre K. Pr todo u, v V y todo α, β K se verific que: (1) α 0 = 0. (2) 0 u = 0. (3) α (u v) = α u α v. (4) (α β) u = α u β u. (5) ( α) u = α u.

ESPACIOS VECTORIALES 121 Demostrción (1) Se u V, se verific α u = α (u + 0) = α u + α 0, luego α 0 = 0. (2) Se α K, α u = (α + 0) u = α u + 0 u 0 u = 0. (3) α (u v)+α v = α ((u v)+v) = α (u+0) = α u α (u v) = α u α v. (4) (α β) u + β u = (α β + β) u = α u (α β) u = α u β u. (5) ( α) u + α u = ( α + α) u = 0 u = 0. Veremos más delnte otros ejemplos importntes de espcios vectoriles: Definición 9.1.7. Llmremos espcio numérico sobre K, de dimensión n, l conjunto: K n = {( 1,..., n ) i K, i = 1,..., n} En K n definimos ls siguientes operciones: (1) ( 1,..., n ) + (b 1,..., b n ) = ( 1 + b 1,..., n + b n ). (2) ( 1,..., n ) = ( 1,..., n ). Not 9.1.8. Los elementos de K n se denominn vectores y los notremos por u, v,.... Proposición 9.1.9. K n es un espcio vectoril sobre K. Demostrción: Se verificn clrmente ls propieddes de espcio vectoril. Nos limitmos enumerrls: (1) u + v = v + u. (2) u + 0 = u, donde 0 = (0,..., 0). (3) u K n v K n u + v = 0. Si u = (x 1,..., x n ), entonces v = ( x 1,..., x n ). (4) u + (v + w) = (u + v) + w. (5) (u + v) = u + v. (6) ( + b) u = u + b u. (7) (b u) = ( b) u. (8) 1 u = u.

122 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 9.2. Subespcios vectoriles Definición 9.2.1. Se V un espcio vectoril sobre K. Diremos que L V (L ) es un subespcio vectoril (o un vriedd linel) de V sobre K si L, con ls leyes de composición intern y extern de V, es un espcio vectoril. Proposición 9.2.2. Se L V. Ls siguientes condiciones son equivlentes: (1) L es un subespcio vectoril de V. (2) () u, v L u + v L. (b) u L, α K α u L. (3) α, β K, u, v L, es α u + β v L. Proposición 9.2.3. Consideremos el sistem de ecuciones lineles homogéns sobre K, 11 x 1 + + 1n x n = 0 ( )... m1 x 1 + + mn x n = 0 El conjunto de ls soluciones del sistem homogéneo es un subespcio vectoril de K n. Demostrción: Se L = {v K n v es un solución de ( )}. Tenemos que demostrr: (1) v, w L v + w L. (2) v L, α K α v L. Pongmos el sistem en form mtricil : A X = 0, donde 11... 1n A =.., X = m1... mn Entonces: (1) A (V + W ) = A V + A W = 0 + 0 = 0 (2) A (α V ) = α (A V ) = α 0 = 0. x 1. x n

ESPACIOS VECTORIALES 123 9.3. Dependenci linel Definición 9.3.1. Diremos que v V es combinción linel de v 1,..., v n V si existen α 1,..., α n K tles que: Ejemplos 9.3.2. v = α 1 v 1 + + α n v n (1) 0 es combinción linel de culquier conjunto de vectores. (2) u es combinción linel de culquier conjunto que conteng u. (3) En K[X] todo polinomio de grdo menor o igul n es combinción linel de los polinomios {1, X, X 2,..., X n }. Proposición 9.3.3. Si v es combinción linel de v 1,..., v n y cd v i es, su vez, combinción linel de u 1,..., u r, entonces v es combinción linel de u 1,..., u r. Demostrción. Se tiene: n r v = α i v i, v i = β ij u j i=1 j=1 Por lo tnto: n r r n v = α i ( β ij u j ) = ( α i β ij )u j. i=1 j=1 j=1 i=1 Definición 9.3.4. Se A V. Se llm subespcio vectoril engendrdo por A, y se design por L(A), l conjunto de tods ls combinciones lineles de un número finito de elementos de A. Si A =, se define L( ) = {0}. Proposición 9.3.5. (1) L(A) es un subespcio vectoril de V. (2) L(A) A. (3) Si A B L(A) L(B).

124 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) (4) Si A es un subespcio vectoril de V, entonces L(A) = A. (5) L(L(A)) = L(A). Definición 9.3.6. Diremos que V es un espcio vectoril de dimensión finit si existe un número finito de elementos de V, u 1,..., u n, tles que: V = L(u 1,..., u n ) Un tl conjunto diremos que es un sistem de generdores de V. Ejemplos 9.3.7. (1) K n es de dimensión finit. (2) K[X] (polinomios en l indetermind X con coeficientes en K) no es de dimensión finit. (3) El conjunto de los polinomios en l indetermind X, de grdo menor o igul que n, con coeficientes en K, sí es un espcio vectoril de dimensión finit. Definición 9.3.8. Sen u 1,..., u n V. (1) u 1,..., u n son linelmente dependientes si existen α 1,..., α n K,no todos nulos, tles que: α 1 u 1 + + α n u n = 0 (2) u 1,..., u n son linelmente independientes si: α 1 u 1 + + α n u n = 0 α 1 = = α n = 0 Ejemplos 9.3.9. (1) Si 0 {u 1,..., u n }, entonces u 1,..., u n son linelmente dependientes (2) Si un conjunto de vectores linelmente dependientes se le ñden culesquier otros vectores, result un conjunto de vectores linelmente dependientes.

ESPACIOS VECTORIALES 125 (3) Culquier subconjunto de un conjunto de vectores linelmente independientes es un conjunto de vectores linelmente independientes. Proposición 9.3.10. Si v es combinción linel de v 1,..., v n, entonces el conjunto {v, v 1,..., v n } es linelmente dependiente. Demostrción. Por hipótesis existen α 1,..., α n K tles que: v = α 1 v 1 + + α n v n Entonces: ( 1)v + α 1 v 1 + + α n v n = 0 y no todos los coeficientes son nulos, porque el primero es 1. Proposición 9.3.11. Si los vectores v 1,..., v n son linelmente dependientes, lguno de ellos es combinción linel de los demás. Demostrción. Por hipótesis existen α 1,..., α n K, no todos nulos, tles que: α 1 v 1 + + α n v n = 0 Si es α i 0, existe 1 α i y entonces: v i = α 1 v 1 α i 1 v i 1 α i+1 v i+1 α n v n α i α i α i α i Luego v i depende linelmente de los demás vectores del conjunto. 9.4. Bses y dimensión Definición 9.4.1. Decimos que B = {u 1, u 2,..., u n } V es un bse de V si se verific: (1) V = L{u 1, u 2,..., u n }. Esto es, {u 1, u 2,..., u n } es un sistem de generdores de V. (2) {u 1, u 2,..., u n } son linelmente independientes.

126 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Ejemplo 9.4.2. {(1,..., 0), (0, 1,..., 0),..., (0,..., 1)} es un bse de K n. Teorem 9.4.3. Todo espcio vectoril de dimensión finit tiene un bse. Demostrción. Por ser V de dimensión finit posee un sistem finito de generdores {u 1,..., u n }. Si este conjunto es linelmente independiente y es un bse, y si es linelmente dependiente, por l proposición 9.3.11, uno de los u i es combinción linel de los demás: supongmos que se trt de u 1 (esto no rest generlidd l demostrción). Entonces, {u 2, u 3,..., u n } es un sistem de generdores de V. Si este conjunto es linelmente independiente es un bse, y si no, uno de sus vectores depende de los demás. Como el número de los u i es finito, repitiendo el proceso, o se encuentr un bse o se gotn los u i, y esto último es imposible por trtrse de un sistem de generdores. Teorem 9.4.4. En un espcio vectoril de dimensión finit tods ls bses tienen el mismo número de elementos. Demostrción. Sen B = {u 1,..., u n } y B = {v 1,..., v m } dos bses de V. Tomemos u 1 B, Por ser B un sistem de generdores u 1 = x 1 v 1 + + x m v m no siendo 0 tods ls x i, puesto que u 1 0. Pongmos x 1 0, sin que esto reste generlidd l demostrción. Entonces podemos despejr v 1 : v 1 = 1 x 1 u 1 x 2 x 1 v 2 x m x 1 v m Consideremos hor el conjunto {u 1, v 2,..., v m }. Por l proposición 9.3.3, este conjunto es un sistem de generdores de V, por lo que u 2 = y 1 u 1 + y 2 v 2 + + y m v m, con lgún y i 0, i 2, y que si fuern todos nulos, u 1, u 2 serín linelmente dependientes, y no es sí porque formn prte de un bse. Entonces, como ntes, podemos despejr un de ls v i y sí result que {u 1, u 2, v 3,..., v m } es un sistem de generdores. Siguiendo con este intercmbio, iremos sustituyendo cd vez un v por un u, resultndo siempre un nuevo sistem de generdores de V. Al finl no pueden quedr vectores en B, un vez gotdos los v, porque si sí fuese, los u i que quedsen serín combinción linel del último sistem de generdores, formdo por u, y esto es imposible por ser B un bse. Así pues result que n m.

ESPACIOS VECTORIALES 127 Si repitiésemos hor el proceso, pero l revés, es decir, sustituyendo cd u por un v, resultrí que m n. Luego m = n. Definición 9.4.5. Se V un espcio vectoril sobre K de dimensión finit. Se llm dimensión de V, dim(v ), l número de elementos de culquier bse de V. Si V = {0}, convenimos en que tiene dimensión cero. Ejemplo 9.4.6. dim(k n ) = n. Corolrio 9.4.7. Se V un espcio vectoril con dim(v ) = n. (1) Todo conjunto de n vectores linelmente independiente es un bse. (2) Todo conjunto con más de n vectores es linelmente dependiente. (3) Todo sistem de generdores de V tiene l menos n elementos. (4) Todo sistem de generdores con n elementos es un bse. (5) Todo subespcio de V es de dimensión finit y tiene dimensión menor o igul que n. (6) Tod bse de un subespcio de V puede mplirse un bse de V. Teorem 9.4.8. Si B = {u 1,..., u n } es un bse de V, entonces pr cd v V existe un único (α 1,..., α n ) K n tl que: v = α 1 u 1 + + α n u n Este elemento de K n se denomin coordends de v respecto de B y lo notremos por: Demostrción: v B = (α 1,..., α n ) Se v V, y se B = {u 1,..., u n } un bse de V. Entonces α 1,... α n K tles que: v = α 1 u 1 + + α n u n

128 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Supongmos que existen β 1,... β n K tles que: v = β 1 u 1 + + β n u n entonces, restndo, result 0 = (α 1 β 1 ) u 1 + + (α n β n ) u n, y como B es un bse, todos los préntesis son nulos. Luego α 1 = β 1,..., α n = β n

ESPACIOS VECTORIALES 129 Ejercicios y Problems 1.- Hllr t R pr que el vector x = (3, 8, t) pertenezc l subespcio engendrdo por los vectores u = (1, 2, 3), v = (1, 3, 1). 2.- Determinr y b pr que el vector (1, 4,, b) se combinción linel de (1, 2, 1, 2) y de (0, 1, 2, 1). 3.- Demostrr que los vectores u 1 = (1, 1, 0), u 2 = (1, 0, 1), u 3 = (0, 1, 1) formn un bse de (R 3, +, ), y encontrr ls coordends de los vectores de l bse cnónic respecto de dich bse. 4.- Determinr qué conjuntos son subespcios vectoriles de (R 3. +. ): A = {(x, y, z) : x y + z = 0}, B = {(x, y, z) : x + 2y + z = 1}, C = {(x, y, z) : x y = 0, x z = 0, }, D = {(x, y, z) : x y + z = 0, y + z = 1}, E = {(x, y, z) : x = 0, y = z}, F = {(x, y, z) : x y = 0} 5.- Demostrr que el conjunto E = {(, 0, b, ),, b R } es un subespcio vectoril de (R 4, +, ). En cso firmtivo, hállese un bse del mismos. 6.- ) Probr que los vectores u = (3 + 2, 1 + 2), v = (7, 1 + 2 2) de R 2 son linelmente dependientes sobre el cuerpo R pero linelmente independientes sobre el cuerpo Q. b) Probr que los vectores de C 2 : u = (1 i, 1), v = (2, 1 + i) son linelmente dependientes sobre el cuerpo C pero linelmente independientes sobre R. 7.- Se P 3 [x] el Espcio vectoril de los polinomios en l indetermind x de grdo menor o igul que 3.

130 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Probr que si p(x) es un polinomio de grdo 3, entonces es un bse. { } p(x), p (x), p (x), p (x) Tómese p(x) = x 3 3x, y hállense ls coordends de q(x) = x 3 + x 2 respecto de dich bse. 8.- Sen los conjuntos: F [x] = { } p(x) P 3 [x] : p(0) + p (0) = 0, G[x] = { } p(x) P 3 [x] : p (x) = 0. Demostrr que F [x] y G[x] son subespcios vectoriles de P 3 [x], y encontrr sends bses pr cd uno de ellos.

Cpítulo 10 Aplicciones lineles 10.1. Definiciones y propieddes Not 10.1.1. En lo que sigue V y W son espcios vectoriles sobre R. Definición 10.1.2. Un plicción f : V v, w V y todo α K se tiene que: W diremos que es linel si pr todo (1) f(v + w) = f(v) + f(w). (2) f(α v) = α f(v). Ejemplos 10.1.3. (1) L plicción f 0 : V W, definid por f 0 (v) = 0 v V, es linel. (2) L plicción identidd de V en V, 1 V : V V, definid por 1 V (v) = v v V, es linel. Definición 10.1.4. (1) Hom(V, W ) = {f : f plicción linel de V en W }. Si f Hom(V, W ), diremos que f es un homomorfismo de V en W. (2) End(V ) = {f : f plicción linel de V en V }. Si f End(V ), diremos que f es un endomorfismo de V. 131

132 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) (3) f : V W es un isomorfismo, f : V = W, si (3.1) f es linel. (3.2) f es biyectiv. (4) Si existe un isomorfismo de V en W, escribiremos V = W. (5) Un utomorfismo de V es un isomorfismo de V en V. Propieddes 10.1.5. Se f Hom(V, W ). (1) f(0) = 0. (2) f( v) = f(v). (3) f(v w) = f(v) f(w). Demostrción. (1) Si v V, es f(v) = f(v + 0) = f(v) + f(0) f(0) = 0. (2) 0 = f(0) = f(v + ( v)) = f(v) + f( v) f( v) = f(v) (3) f(v w) = f(v + ( w)) = f(v) + f( w) = f(v) f(w). Definición 10.1.6. Se f Hom(V, W ). Definimos (1) Img(f) = {f(v) v V } ; este conjunto se llm imgen de f. (2) Ker(f) = {v V f(v) = 0}; este conjunto se llm núcleo de f. (3) Si A V, f(a) = {f(v) v A}. Este conjunto se llm imgen de A. Obsérvese que Img(f) = f(v ). (4) Si B W, f 1 (B) = {v V f(v) B}. Este conjunto se llm imgen recíproc de B y no debe confundirse con l plicción f 1, que sólo existe cundo f es biyectiv. Obsérvese que Ker(f) = f 1 ({0}) Proposición 10.1.7. Se f Hom(V, W ) (1) Img(f) es un subespcio vectoril de W. (2) Ker(f) es un subespcio vectoril de V.

APLICACIONES LINEALES 133 Demostrción. (1) Sen v, w Img(f), entonces v, w V tles que f(v) = v, f(w) = w. v + w = f(v) + f(w) = f(v + w) v + w Img(f) Si α K α v = α f(v) = f(α v) α v Img(f). (2) Sen v, w Ker(f), α K f(v + w) = f(v) + f(w) = 0 v + w Ker(f) f(α v) = α f(v) = 0 α v Ker(f). Proposición 10.1.8. Se f Hom(V, W ) (1) f inyectiv Ker(f) = {0}. (2) Si v 1,..., v r son linelmente dependientes, entonces f(v 1 ),..., f(v r ) son linelmente dependientes. (3) Si f : V = W es un isomorfismo, entonces f 1 : W = V es un isomorfismo. Demostrción. (1) ) Se v Ker(f), entonces f(v) = 0 = f(0) v = 0. ) Si v, w V son tles que f(v) = f(w) es 0 = f(v) f(w) = f(v w) v w Ker(f) de donde v w = 0 v = w f es inyectiv. (2) Si v 1,..., v r son linelmente dependientes, α 1,..., α r K, no todos nulos, tles que α 1 v 1 + +α r x r = 0. Por tnto, f(α 1 v 1 + +α r v r ) = α 1 f(v 1 )+ +α r f(v r ) = f(0) = 0, luego f(v 1 ),..., f(v r ) son linelmente dependientes. (3) Como f es biyectiv, f 1 tmbién es biyectiv. Luego sólo hbrá que probr que f 1 es linel. Sen v, w W, y sen v, w V los únicos vectores tles que f(v) = v, f(w) = w. Como f(v + w) = v + w es f 1 (v + w ) = v + w = f 1 (v ) + f 1 (w ) De otro ldo, si α K, como f(α v) = α f(v) = α v es f 1 (α v ) = α v = α f 1 (v )

134 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Proposición 10.1.9. Se V un espcio vectoril sobre K f Hom(V, W ), g Hom(W, V ) g f Hom(V, V ) Demostrción. Sen v, w V, α K. Se verific que: (g f)(v+w) = g(f(v+w)) = g(f(v)+f(w)) = g(f(v))+g(f(w)) = (g f)(v)+(g f)(w) (g f)(α v) = g(f(α v)) = g(α f(v)) = α (g f)(v) Teorem 10.1.10. Teorem de l dimensión Se f Hom(V, W ). Entonces dim(v ) = dim(img(f)) + dim(ker(f)) 10.2. Representción mtricil de un plicción linel Not 10.2.1. Sen V, V y V espcios vectoriles sobre K. Sen B = { u 1, u 2,, u n } bse de V, B = { u 1, u 2,, u m} bse de V y B = { u 1, u 2,, u p} bse de V. Y que tod plicción linel, f Hom(V, V ), está determind por sus vlores en los elementos de B. Más concretmente, se tiene l siguiente Proposición 10.2.2. Sen f Hom(V, V ), 11 12... 1m m f(u i ) = ij u 21 22... 2m j, 1 i n y M B,B (f) = j=1............ m1 m2... mn Sen v V, v V, v B = (x 1, x 2,, x n ) y v B = (x 1, x 2,, x m). Se tiene que: f(v) = v (x 1, x 2,, x m) = (x 1, x 2,, x n ) M B,B (f). donde M B,B (f) es l mtriz de f respecto de ls bses B y B. L ecución (x 1, x 2,, x m) = (x 1, x 2,, x n ) M B,B (f) se denomin ecución de f respecto de ls bses B y B.

APLICACIONES LINEALES 135 Proposición 10.2.3. Sen f Hom(V, V ) y g Hom(V, V ). Se tiene que: M B,B (g f) = M B,B (f) M B,B (g) Definición 10.2.4. Sen A, B M(n n, K). Diremos que A y B son semejntes, A B, si P M(n n, K) A = 0 A = P B P 1 Proposición 10.2.5. L relción de semejnz,, es un relción de equivlenci en M(n n, K). 10.3. El problem de l clsificción linel. Autovectores y utovlores Se trt de encontrr procedimientos pr resolver ls siguientes cuestiones: (1) Dd A M(n n, K) encontrr B M(n n, K) tl que: (1.1) A B. (1.2) B se de l form más sencill posible. (2) Ddo f End(V ), encontrr un bse B de V tl que M B (f) se de l form más sencill posible. Proposición 10.3.1. Se V un espcio vectoril de dimensión n sobre K. Sen A, A M(n n, K). Son equivlentes: (1) A A. (2) Existe f End(V ) y B, B bses de V tles que M B (f) = A y M B (f) = A. En virtud de est proposición el problem: dd un mtriz A M(n n, K), encontrr un A semejnte A con l form más sencill posible, equivle l problem: ddo un endomorfismo f de V de mtriz A respecto de un bse B de V, encontrr otr bse B en l cul l mtriz de f se lo más sencill posible. Not 10.3.2. A prtir de hor V será un espcio vectoril sobre K de dimensión n y f End(V ).

136 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) Definición 10.3.3. Se V con 0. Diremos que es un utovector de f si α K f() = α Proposición 10.3.4. Sen B un bse de V y A = M B (f). Son equivlentes: (1) es un utovector de f. (2) Existe α K tl que B es solución del sistem (x 1,..., x n ) (α I A) = (0,..., 0) Demostrción. Se B = ( 1,..., n ). es un utovector de f α K tl que f() = α α K tl que ( 1,..., n ) A = α ( 1,..., n ) α K tl que ( 1,..., n ) (α I A) = (0,..., 0) α K tl que B es solución del sistem (x 1,..., x n )(α I A) = (0,..., 0). Not 10.3.5. Por el Teorem de Rouché-Fröbenius sbemos que el sistem (x 1,..., x n ) (α I A) = (0,..., 0) tiene solución distint de l trivil si, y sólo si, α I A = 0. Así pues, los vlores de α K pr los cules se obtienen utovectores de f son ls soluciones de l ecución α I A = 0. Definición 10.3.6. El polinomio λ I A se denomin polinomio crcterístico de f respecto de l bse B. L ecución λ I A = 0 se denomin ecución crcterístic de f respecto de l bse B. Teorem 10.3.7. El polinomio crcterístico de f no depende de l bse elegid. Definición 10.3.8. Ls soluciones de l ecución crcterístic de f se denominn utovlores de f. Corolrio 10.3.9. Sen A, B M(n n, K). Si A B, entonces A y B tienen el mismo polinomio crcterístico.

APLICACIONES LINEALES 137 10.4. Endomorfismos digonlizbles Definición 10.4.1. Se f End(V ). Diremos que f es digonlizble si existe un bse B de V tl que M B (f) es digonl. Teorem 10.4.2. Son equivlentes: (1) f es digonlizble. (2) V posee un bse formd por utovectores de f. Si éste es el cso, y si B = {u 1,..., u n } es un bse de V respecto de l cul l mtriz de f es digonl, sber λ 1 λ 2... entonces {λ 1, λ 2,..., λ n } son los utovlores de f. Demostrción. (1) (2) Se B = {u 1,..., u n } un bse de V, respecto de l cul l mtriz de f es λ 1 λ 2... λ n entonces f(u 1 ) = λ 1 u 1 λ n f(u 2 ) = λ 2 u 2.... f(u n ) = λ n u n y sí, {u 1,..., u n } son utovectores respecto de f. Además, como l ecución crcterístic de f no depende de l bse respecto de l cul se tome, será: λ 1 λ λ 1 λ 2 λ λ 2 λi. =... =.. λ n λ λ n = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) (λ λ n ) = 0

138 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) y sí, los utovlores de f son (λ 1, λ 2,..., λ n ). (2) (1). Se B = {u 1,..., u n } un bse formd por utovectores. Se tiene entonces que f(u 1 ) = λ 1 u 1 f(u 2 ) = λ 2 u 2..... f(u n ) = λ n u n y sí, l mtriz de f respecto de es bse es λ 1 λ 2... λ n Esto prueb el teorem. Vmos estudir hor un condición suficiente pr que un endomorfismo se digonlizble. El estudio de un condición necesri se hrá más delnte. Proposición 10.4.3. Sen λ 1,..., λ r K utovlores distintos de f, y 1,..., r V {0} tles que f( i ) = λ i i, ( i utovector correspondiente l utovlor λ i ). Entonces, 1,..., r son linelmente independientes. Teorem 10.4.4. Si f posee n utovlores distintos en K, entonces f es digonlizble.

APLICACIONES LINEALES 139 Ejercicios y Problems 1.- Decir si son lineles ls siguientes plicciones: ) f : R 3 R 3 : f(x, y, z) = (2x, x+y, 3z), b) f : R 2 R 3 : f(x, y) = (2x+y, x 2y, y) c) f : R 2 R 3 : f(x, y) = (x+1, x+y, 0), d) f : R 3 R 2 : f(x, y, z) = (x+y+z, 1), e) f : R 4 R 2 : f(x, y, z, t) = (x y, 2z+t), f) f : R 3 R 4 : f(x, y, z) = (0, x+y, z, x+1) 2.- Pr ls plicciones del ejercicio nterior que sen lineles se pide: ) Mtriz de l plicción respecto de ls bses cnónics. b) Hllr Ker(f), Im(f) sus ecuciones y dimensiones, un bse del núcleo y un de l imgen. 3.- Sen f : R 2 R 3, g : R 3 R 4 dos plicciones lineles definids por: f(1, 1) = (5, 2, 3), f(2, 3) = (2, 0, 4) g( 2, 4, 2) = (1, 1, 1, 1) g(1, 0, 1) = (2, 1, 3, 4) g( 1, 2, 0) = (0, 1, 0, 1) Hllr: ) Ls mtrices socids ls plicciones lineles f y g respecto de ls bses cnónics. b) Ls ecuciones de dichs plicciones lineles. c) Ls ecuciones de ls plicciones f + g y g f. d) Los núcleos de f y g y sus respectivs ecuciones e) Lo mismo pr ls imágenes. 4.- Sen f, g dos utomorfismos de un espcio vectoril V de dimensión 2 tles que: f( u 1 ) = e 1 + u 2, f( u 2 ) = e 1 u 2, f( e 1 ) = 2 v 1 v 2, f( e 2 ) = v 1 + 3 v 2 donde { u 1, u 2 }, { e 1, e 2 }, { v 1, v 2 } son bses de V, se pide: ) l mtriz y ecuciones de g f. b) El núcleo. c) L imgen. d) El trnsformdo de x = u 1 3 u 2 por l plicción compuest. 5.- Se f : R 3 R 3 el endomorfismo definido por f(x, y, z) = (3x, x + 2y, 4x + 2z). Hllr el polinomio crcterístico, los utovlores y los utovectores de f.

140 PRADO-PRADO-RIVERA (22/09/08) 6.- Hllr el polinomio crcterístico, los utovlores y utovectores del endomorfismo 1 1 0 f : R 3 R 3 que en l bse cnónic tiene socid l mtriz A = 3 1 6. 1 1 3 Anlícese si es digonlizble. 7.- Se f : R 3 R 3 el endomorfismo que en l bse cnónic tiene socid l mtriz 1 + α α α A = 2 + α α α 1 (α R). 2 1 0 ) Obtener los utovlores de A comprobndo que no dependen de α. b) Obtener los utovectores de f en función de α y estudir si f es digonlizble.