Definición axiomática de probabilidad Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso A un valor numérico P(A) y que verifica las siguientes reglas (axiomas) E espacio muestral P(E)=1 (E es el evento seguro) 100% 0 P(A) 1 E espacio muestral P(AUB)=P(A)+P(B) si A B=Ø Ø es el conjunto vacío. A B Puedes imaginar la probabilidad de un subconjunto como su tamaño relativo con respecto al total (suceso seguro)
ALGUNAS OPERACIONES CON CONJUNTOS: 1.A U (B C) = (A U B) (A U C) 2.A (B U C) = (A B) U (A C) 3.(A U B)' = A' B' 4.(A B)' = A' U B'
ALGUNAS OPERACIONES CON CONJUNTOS: 1.A U (B C) = (A U B) (A U C) 2.A (B U C) = (A B) U (A C) 3.(A U B)' = A' B' 4.(A B)' = A' U B' ALGUNAS PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE PROBABILIDAD: 1. P(A') = 1 P(A) 2.P(Ø) = 0 3.Si A B (A es un subconjunto de B) entonces P( A) P (B) y, en ese caso, P(B) = P(A) + P(B n A') 4. Si A y B son dos sucesos cualesquiera, entonces P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B) 5. Generaliza la propiedad 4 al caso de tres sucesos cualesquiera A, B y C
Ejemplo: considerar el siguiente sistema de filtros junto con la probabilidad de que cada el filtro funcione correctamente. Calcular la probabilidad de que el sistema filtre correctamente: P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.7
Ejemplo: considerar el siguiente sistema de filtros junto con la probabilidad de que cada el filtro funcione correctamente. Calcular la probabilidad de que el sistema filtre correctamente: P(A)=0.9 P(B)=0.8 P(C)=0.7 P(A U (B C)) = P(A)+P(B C) P(A B C)=P(A) + P(B)*P(C) - P(A)*P(B)*P(C) = 0.9 + 0.8 * 0.7 0.9 * 0.8 * 0.7 = 0.956
Probabilidad condicionada (sección 3.4.1 del libro) Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A suponiendo que ha sucedido B: E espacio muestral P( A B )= P( A B ) P( B ) tamaño de uno otro respecto al A B Concepción clásica: casos favorables? casos posibles?
Error frecuentíííííííísimo: No confundas probabilidad condicionada con intersección. En ambos medimos efectivamente la intersección, pero En P(A B) con respecto a P(E)=1 En P(A B) con respecto a P(B) Ejemplo: en una baraja francesa (corazones, picas, rombos, tréboles, 52 cartas) se saca una carta al azar: 1. Cuál es la probabilidad de que sea el rey de tréboles? 2. Cuál es la probabilidad de que sea el rey de tréboles, sabiendo que la carta es negra?
Intuir la probabilidad condicionada A A B B P(A) = 0.25 P(B) = 0.10 P(A B) = 0.10 P(A) = 0.25 P(B) = 0.10 P(A B) = 0.08 Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A B) = 0.1/0.1 = 1 P(A B) = 0.8 = 0.08/0.1
Intuir la probabilidad condicionada A A B B P(A) = 0.25 P(B) = 0.10 P(A B) = 0.005 Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A) = 0.25 P(B) = 0.10 P(A B) = 0 P(A B) = 0.005/0.1 = 0.05 P(A B) = 0/0.1 = 0
Un par de reglas de cálculo más: P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) P(A B) P(A B C)= P(A) P(B A) P(C A B) (Esta es la regla de la multiplicación. Generaliza esta expresión para 4 o más (n) eventos Utiliza una notación adecuada)
Un par de reglas de cálculo más: P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) P(A B) P(A B C)= P(A) P(B A) P(C A B) (Esta es la regla de la multiplicación. Generaliza esta expresión para 4 o más (n) eventos Utiliza una notación adecuada) Ejemplo: Tenemos en un cajón dos tipos de analgésicos: 20 de tipo A y 10 de tipo B. Si cogemos tres analgésicos al azar cuál es la probabilidad de los tres sean de tipo A? Llamamos A i = el i-ésimo analgésico extraído es de tipo A. P(A 1 A 2 A 3 )= P(A 1 )*P(A 2 A 1 )*P(A 3 A 1 A 2 ) = (20/30)*(19/29)*(18/28) = 0.28079
Independencia de sucesos (sección 3.4.2 del libro) Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno no añade información sobre el otro. A es independiente de B P(A B) = P(A) P(A B) = P(A) P(B)
Ejemplo (I) Recuento CLASIFICACION OMS Total NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS MENOPAUSIA NO SI Total 189 280 469 108 359 467 6 58 64 303 697 1000 Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a una mujer de una población muy grande. El resultado está en la tabla. Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga osteoporosis? P(Osteoporosis)=64/1000=0.064 Coincide con la noción frecuentista de probabilidad P(osteoporosis)=P(osteoporosis y menopausia)+p(osteoporosis y No menopausia) Es la probabilidad marginal (de la osteoporosis respecto de la menopausia) ó probabilidad total.
Ejemplo (II) Recuento CLASIFICACION OMS Total NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis? MENOPAUSIA P(OsteopeniaUOsteoporosis)=467/1000+64/1000=0.531 Son sucesos disjuntos Osteopenia Osteoporosis=Ø Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia? NO SI Total 189 280 469 108 359 467 6 58 64 303 697 1000 P(OsteoporosisUMenopausia)=64/1000+697/1000-58/1000=0.703 No son sucesos disjuntos Probabilidad de una mujer sin osteopenia o osteoporosis? P(Normal)=469/1000=0.469 P(Normal)=1-P(Normal )=1-P(OsteopeniaUOsteoporosis) =1-0.531=0.469
Ejemplo (III) Recuento CLASIFICACION OMS Total NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS MENOPAUSIA NO SI Total 189 280 469 108 359 467 6 58 64 303 697 1000 Si es menopáusica probabilidad de osteoporosis? P(Osteoporosis Menopausia)=58/697=0.098 Probabilidad de menopausia y osteoporosis? P(Menop Osteoporosis) = 58/1000=0.058 Otra forma: P( Menop Osteoporosis )=P( Menop) P (Osteoporosis Menop)= 697 1000 58 =58 /1000=0.058 697
Ejemplo (IV) Recuento CLASIFICACION OMS Total NORMAL OSTEOPENIA OSTEOPOROSIS MENOPAUSIA NO SI Total 189 280 469 108 359 467 6 58 64 303 697 1000 Son independientes menopausia y osteoporosis? Una forma de hacerlo P(Osteoporosis)=64/1000=0.064 P(Osteoporosis Menopausia)=58/697=0.098 Otra forma? La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la menopausia. Añade información extra. No son independientes! P(Menop Osteoporosis) = 58/1000 = 0.058 P(Menop) P(Osteoporosis)= (697/1000) * (64/1000) = 0.045 La probabilidad de la intersección no es el producto de probabilidades. No son independientes.