Objetivos de la Unidad:

MATEMÁTICA Unidad 4 Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Binomio de newton y triángulo de Pascal Objetivos de la Unidad: Utilizarás los sistemas de ecuaciones lineales, aplicando sus métodos y técnicas, en la propuesta de alternativas de solución a problemas de su realidad. Propondrás con criticidad soluciones a diversos problemas relacionados con el ámbito escolar y social, aplicando la potenciación algebraica y sus propiedades. 55

Sistema de Ecuaciones Lineales con tres incógnitas solución Algebraicos Por determinantes Reducción Método de Cramer Potencia entera de un polinomio Polinomio al cuadrado y al cubo Desarrollo del binomio de Newton Triángulo de Pascal Descripción del proyecto Al finalizar, esta unidad, podrás ayudarle a una empresa que transporta paquetes de tres formas diferentes a decidir cuál es la solución a condiciones dadas. 56 Matemática - Noveno Grado

Cuarta Unidad Lección 1 Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas Método de reducción Motivación En una construcción, tres varillas cilíndricas se hallan ubicadas como te lo mostramos en la figura de la derecha. El ingeniero a cargo de la obra necesita saber cuál es el diámetro de cada una, si están ubicadas en tal forma que al medirlas se tiene que: A = 1.50 cm, B = 1.65 cm y C = 1.875 cm. C B Observa que A representa la suma de los diámetros de la varilla más pequeña con la mediana. Qué representa B? Puedes decir qué representa C? Existirá una forma para encontrar el diámetro de cada una? A Indicadores de logro: Identificarás, construirás y explicarás con seguridad un sistema de ecuaciones lineales de tres incógnitas. Interpretarás, aplicarás y explicarás los métodos de solución para sistemas lineales de tres incógnitas. Resolverás problemas que conllevan sistemas de ecuaciones de tres incógnitas, con orden y perseverancia. Con los siguientes ejemplos aprenderás a resolver un sistema de ecuaciones con tres incógnitas. Ejemplo 1 Resuelve el sistema de ecuaciones. x + y + z = 7 (Ec.1) x + y + z = 18 (Ec.) x + y + z = 15 (Ec.) Solución de ecuaciones lineales con tres incógnitas por el método de reducción Paso 1: Se toman dos de las tres ecuaciones. x + y + z = 7 (Ec. 1) x + y + z = 18 (Ec. ) Se multiplica la Ec. por ( 1) para eliminar la incógnita y. x + y + z = 7 (Ec. 1) x y z = 18 (Ec. ) x z = 11 (Ec. 4) Paso : Ahora eliminas la misma incógnita, para el caso y, tomando una pareja distinta de ecuaciones. Noveno Grado - Matemática 57

De esta manera, obtienes una pareja de ecuaciones que contiene sólo dos incógnitas, la cual puedes resolver por los métodos que ya estudiaste. Vas ahora a tomar las ecuaciones (Ec. ) y (Ec. ): x + y + z = 18 (Ec. ) x + y + z = 15 (Ec. ) Multiplicas entonces (Ec. ) por y la sumas a (Ec.) para eliminar y x y 4z = 6 (Ec. ) por x + y + z = 15 (Ec. ) x z = 1 (Ec. 5) Paso : ahora tienes dos ecuaciones con dos incógnitas x z = 11 (Ec.4) x z = 1 (Ec.5) Puedes observar que al sumar ambas ecuaciones se elimina la incógnita x x z = 11 (Ec. 4) x z = 1 (Ec. 5) 4 z = z = 4 z = 8 Paso 4: ahora sustituyes el valor de z en (Ec.4) x 8 = 11 x = 11 + 8 x = Para encontrar el valor de x también puedes utilizar la Ec. 5. Hazlo en tu cuaderno y verifica que x =. Por último, sustituyes los valores x =, z = 8 en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar y. ( ) + y + 8 = 7 (Ec.1) 6 + y + 8 = 7 y = 7 + 6 8 y = 5 La solución del sistema de ecuaciones es: x =, y = 5, z = 8 Verificación: Incógnitas x + y + z = 7(Ec.1) x + y + z = 18(Ec.) x + y + z = 15(Ec. ) x= ( ) + 5 + 8? y= 5 = 7 6 + 5 + 8? + 5 + (8)? = 7 = 7 + 16 z= 8? + (5) + 8? = 15 = 7 + 10 + 8? = 15 7 = 7 18 = 18 15 = 15 satisface satisface satisface 58 Matemática - Noveno Grado

Ejemplo Retoma la situación inicial y considera: Se toman dos de las tres ecuaciones. Sea x = diámetro de la varilla más pequeña. y = diámetro de la varilla mediana. z = diámetro de la varilla más grande. x + y = 1.50 (Ec.1) x + z = 1.65 (Ec.) Multiplicas la ecuación por ( 1) para eliminar la incógnita x x + y = 1.50 (Ec.1) x z = 1.65 (Ec.) y z = 0.75 (Ec. 4) Entonces: A = 1.50 = x + y B = 1.65 = x + z C = 1.875 = y + z Lo cual plantea el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: x + y = 1.50 (Ec.1) x + z = 1.65 (Ec.) y + z = 1.875 (Ec.) Escribes las x debajo de las x y las y debajo de las y y las z debajo de las z Cómo resuelves el sistema de ecuaciones anterior? Observa que combinando (Ec. 4) con (Ec.) se elimina z. y + z = 1.875 y z = 0.75 y = 1.500 y = 1500. y = 0.750 cm Sustituyes y = 0.750 en (Ec.), 0.750 + z = 1.875 z = 1.875 0.750 z = 1.15 cm (Ec.) (Ec.4) Por último sustituyes y en (Ec.1) para encontrar el valor de x. x + 0.750 = 1.50 x = 1.50 0.750 x = 0.500 cm R: El diámetro de la varilla más pequeña es 0.500 cm, el diámetro de la varilla mediana es 0.750 cm y el diámetro de la varilla grande 1.15 cm. Noveno Grado - Matemática 59

Ejemplo Resuelve el sistema de ecuaciones. x + 4y z = 6 (Ec. 1) x + 5y 7z = 9 x y + z = (Ec.) (Ec.) Se toma la Ec.1 y se multiplica por () y la Ec. se multiplica por ( 1). Luego se simplifican los términos. x + 8y z = 1 (Ec. 1) x 5y + 7z = 9 (Ec. ) y + 5z = 1 (Ec. 4) Se toman las (Ec. ) y (Ec.1). Para eliminar x multiplicas (Ec. 1) por y (Ec. ) por ( 1). x + 1y z = 18 (Ec.1) x + y z = (Ec.) 14y 4z = 16 (Ec. 5) Sustituyes y = en (Ec. 5): 7() z = 8 14 z = 8 z = 8 14 z = 6 z = 6 = z = Para encontrar z, sustituyes y =, z = en cualquiera de las tres ecuaciones originales. Sustituyendo esos valores en (Ec.1) tienes: x + 4() = 6 x + 8 = 6 x = 6 + 8 x = 1 Comprueba en tu cuaderno si las respuestas son las correctas. La Ec. 5 se puede obtener una ecuación equivalente. Dividiendo los términos entre asi: 7y z = 8 (Ec. 5) Se ha reducido el sistema a dos ecuaciones con dos incógnitas: y + 5z = 1 (Ec.4) 7y z = 8 (Ec.5) Para eliminar z, multiplicas (Ec. 4) por y (Ec. 5) por 5 y sumas las ecuaciones 6y + 10z = 4 5y 10z = 40 41y = 8 y = 8 41 y = 60 Matemática - Noveno Grado

Ejemplo 4 Resuelve el sistema. z 4 + 6 x 19 5 = y (Ec.1) 10 x 8 = y 1 (Ec.) 4 z + y = x y (Ec.) 6x + 5y + 5z = 9 (Ec.1) 6x 96y + 1z = 58 (Ec.) 91y + 17z = 498 (Ec. 4) Ahora combinas (Ec. ) y (Ec. ), para poder eliminar x. x + 48y 6z = 64 (Ec.) x + 4y + 4z = 0 (Ec.) 5y z = 64 Entre : 6y z = 1 (Ec.5) Combinando (Ec. 4) y (Ec.5) y eliminando z: 91y + 17z = 498 (Ec. 4) Comienza en la Ec. 1, encontrando una ecuación equivalente multiplicando todos los términos por 5. 5z 4 (5) + 5 ( 6 x - 19 ) = 5y (Ec. 1) 5 5z 0 + 6x 19 = 5y Simplificando términos y ordenando 6x + 5y + 5z = 9 (Ec. 1) Encontraras la ecuación equivalente a Ec., multiplicando por 8. (8)10 8 ( x 1 z ) = (8)y 8(1) (Ec.) 8 80 (x z) = 16y 8 Simplificando términos y ordenando x 16y + z = 88 (Ec. ) Ordenas (Ec.) para encontrar la ecuación equivalente x + 4y + 4z = 0 (Ec. ) Combinas (Ec. 1) y (Ec. ) para eliminar x. Multiplicando la Ec. por 6: x 16y + z = 88(6) 6x 16y + 1z = 58 44y 17z = 44 (Ec. 5)(17) 51y = 1755 y = 1755 51 Sustituyes y = 5 en (Ec. 5) 6(5) z = 1 10 z = 1 z = Por ( 1) z = z = Ahora sustituyes los valores y = 5, z = en cualquiera de las tres ecuaciones, por ejemplo, si lo haces en (Ec. ) tienes: x + 4(5) + 4 ( ) = 0 x + 0 8 = 0 x = 8 0 y = 5 x = 1 x = 1 x = 4 Comprueba en las ecuaciones originales los valores de x = 4, y = 5, z = Noveno Grado - Matemática 61

Ejemplo 5 Un veterinario desea controlar la dieta de un animal, de tal manera que mensualmente consuma 60 libras de avena, 75 de maíz y 55 de soya. El veterinario cuenta con tres tipos de alimentos. Cada uno contiene cantidades de avena, maíz y soya como se indica en la tabla. Cuántas libras de cada alimento debe utilizar para obtener las cantidades deseadas? De Ec. y Ec. eliminas x 5x + 6y + 7z = 100 (Ec. ) 5x 4y 5z = 880 (Ec. por 1) y + z = 0 y + z = 160 (Ec. 4) Ecuación anterior dividida por De Ec. 1 y Ec. eliminas x, multiplicas la Ec. 1 por ( 5) y la Ec. por (6) 0x 0y 0z = 4800 (Ec. ) 0x 6y + 4z = 700 (Ec. por 1) 6y + z = 400 y + 11z = 100 (Ec. 5) Ecuación anterior dividida por. De Ec. 4 y Ec. 5 eliminas y, multiplicas la Ec. 4 por ( ) Avena Maíz Soya 1 lb de mezcla A 6 onzas 5 onzas 5 onzas 1 lb de mezcla B 6 onzas 6 onzas 4 onzas 1 lb de mezcla C 4 onzas 7 onzas 5 onzas Sea x = libras de alimento mezcla A. y = libras de alimento mezcla B. z = libras de alimento mezcla C. Se tiene las ecuaciones: 6x + 6y + 4z = 60(16) = 960 (onzas de avena) (Ec. 1) 5x + 6y + 7x = 75(16) = 100 (onzas de maíz) (Ec. ) 5x + 4y + 5z = 55(16) = 880 (onzas de soya) (Ec. ) y z = 480 Sustituyes z = 90 en Ec. 4 y + 11z = 100 y + 90 = 160 8z = 70 y = 70 z = 90 Ahora, sustituyes z = 90, y = 70 en cualquiera de las tres ecuaciones originales. 5x + 4y + 5z = 55(16) = 880 Luego: 5x = 880 4(70) 5(90) 5x = 880 80 450 5x = 150 x = 0 5x = 880 4y 5z Por lo tanto se deben utilizar 0 libras de la mezcla A, 70 libras de la mezcla B y 90 de la mezcla C. Comprueba en tu cuaderno los resultados. 6 Matemática - Noveno Grado

Otra forma: Paso 1. Despejas x de la Ecuación 1. 6x + 6 y + 4z = 960 x + y + z = 160 x = 160 y z Paso. Sustituyes el valor de x encontrado, en la Ec. y Ec.. Ecuación 5 160 6 7 100 y z + y + z = 10 800 5 y z + 6 y + 7z = 100 11 y + z = 400 (Ec 4) Ecuación 5 160 4 5 880 y z + y + z = 10 800 5 y z + 4 y + 5z = 880 5 y + z = 80 (Ec 5) Paso. Eliminas y de la ecuación 4 y 5. 11 y + z = 400 5 y + z = 80 16 80 z = 80 z = ( ) 16 = 90 z = 90, Lo sustituyes en la ecuación 4: 11 y + ( = 90 ) 4 00 y = 70 Luego sustituyes z = 90, y = 70 en : x = 160 y z x = 160 70 ( 90) x = 0 El método anterior se conoce como método por sustitución. Descríbelo con tus palabras. Actividad 1 1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones a) x + y + z = 4 (Ec.1) x y + z = 7 (Ec.) x + 4y z = 10 (Ec.) b) x 5y + z = 10 (Ec. 1) x + y + z = 6 (Ec. ) x 4y + z = 5 (Ec. ). La suma del ángulo mayor y del mediano de un triángulo es 15º, y la suma del mediano y del menor es 110º. Calcula el valor de cada uno de los tres ángulos si la suma de ellos es 180º.. Una fábrica de muebles elabora: mesas, sillas y mecedoras; las cuales deben de procesarse por tres máquinas: I, II y III. Una mesa requiere una hora en la máquina I, una hora en la máquina II y dos horas en la máquina III. Los requerimientos de las sillas y mecedoras se indican en la tabla. Se dispone de las máquinas I, II y III de 600, 800 y 1050 horas respectivamente. Cuántas unidades de cada tipo pueden elaborarse para utilizar todas las horas disponibles de las máquinas? Mesas Sillas Mecedoras Disponibilidad en horas M I 1 600 M II 1 800 M III 5 1050 Resumen Para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, eliminamos una incógnita tomando dos de las tres ecuaciones. Después eliminamos la misma incógnita tomando otro par de ecuaciones. De esta forma obtenemos una pareja de ecuaciones sólo con dos incógnitas, sistema que resuelves por cualquiera de los métodos ya estudiados. Noveno Grado - Matemática 6

Sea el sistema de ecuaciones: x + y = 5 (Ec.1) y z = 5 (Ec.) x + z = 7 (Ec.) 1 Al eliminar y de las ecuaciones (Ec. 1) y (Ec. ) resulta la ecuación (Ec. 4) que es: a) x + z = 5 b) 6x + z = 15 c) x z = 5 d) a y b son correctas Autocomprobación Al sustituir el valor de x en (Ec. ) resulta: a) z = b) y = c) y = d) z = Al combinar (Ec. 4) con (Ec. ) para eliminar z resulta: a) y = c) x = 1 b) x = 1 d) y = 4 Y el valor de y es: a) c) b) d) Soluciones 1. d.. c.. a. 4. c. SISTEMAS DE ECUACIONES TM7P156 Imágenes de culturas babilónicas (jardines colgantes), griega (el Partenón) e india (el Ta j Mahal). Los sistemas de ecuaciones lineales fueron resueltos por los babilonios. Los griegos también resolvían algunos sistemas de ecuaciones, pero utilizando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones. 64 Matemática - Noveno Grado

Cuarta Unidad Lección Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas: método de Cramer Motivación Una cafetería estudiantil tiene 4 mesas de tipos unas con 4 asientos cada una, otras con 6 asientos cada una y el último tipo de 10 asientos cada una. La capacidad total de asientos es de 148. Con motivo de una reunión estudiantil especial, se emplearán la mitad de las mesas de 4 asientos, un cuarto de las mesas de 6 asientos y una tercera parte de las de 10 asientos haciendo un total de 9 mesas. Puedes encontrar el número de mesas de cada tipo? Indicadores de logro: Interpretarás, aplicarás y explicarás los métodos de solución para sistemas lineales de tres incógnitas. Resolverás problemas que conllevan sistemas de ecuaciones de tres incógnitas, con orden y perseverancia. Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas Para poder resolver situaciones como la anterior y muchas más, necesitas tener conocimientos que aprenderás a continuación. En la unidad 1 página 16 se te mostró cómo encontrar un determinante de tres por tres. Considera el siguiente determinante y encuentra su valor: 1 4 5 1 0 1 Escribe las dos primeras columnas a la derecha del determinante. 1 4 1 4 5 1 5 1 0 1 0 Multiplicas a lo largo de las diagonales. Los productos de las diagonales que están hacia la derecha se toman como positivas y los de las diagonales que van hacia la izquierda como negativos [( 1)( 1)( 1)+( 4)( )( )+( )( 5)( 0) ] ( )( 1)( )+( 1)( )( 0)+( 4)( 5)( 1) [1 + 4 + o] [9 + 0 + 0] 5 9 4 [ ] 1 4 1 4 5 1 5 1 0 1 0 9 0 0 1 4 0 ( - ) ( + ) Noveno Grado - Matemática 65

UNIDAD 4 Por consiguiente, el valor del determinante es: 1 4 5 1 0 1 = 4 La forma en que resolviste el determinante anterior te parecerá conocida, se llama la regla de Sarrus, que te sirve para encontrar el valor de un determinante de orden tres por tres. Ejemplo 1 Utiliza la regla de Sarrus para encontrar el valor del siguiente determinante. 1 5 0 1 1 Copias de nuevo las dos primeras columnas a la derecha de la última y multiplicas a lo largo de las diagonales. 6-5 0 [( 1)( )( )+( 5) ( 1)( 1)+( 0)( ) ( ) ] [( 0)( )( 1)+( 1) ( 1) ( )+( 5)( )( ) ] 6 5 0 0 45 = 6 5 + 0 (0 + + 45) = 1 47 = 46 Por lo tanto el determinante es: Ejemplo Calcula el determinante Repitiendo las dos primeras columnas para aplicar la regla de Sarrus. Luego, el determinante es igual a 1 4 5 6 1 1 5 0 1 1 48-15 -4 - - 1 4 5 1 4 6-1 6-1 4-60 - = 46 [( )( 4)( )+ ( )( 5)( 6)+( )( 1) ( 1) ] ( )( 4)( 6)+( ) ( 5) ( 1)+ ( )( 1)( ) [ ] [ 4 60 ] [ 48 15 4]= ( 8) 9= 67 1 4 5 6 1 =[4 60 ] [48 15 4] 8 9 67 0 45 1 5 0 1 5-1 1-1 - = 67 66 Matemática - Noveno Grado

Ejemplo Calcula el valor del determinante Utiliza la regla de Sarrus: 4 1 0 1 1 0 0 1 1 5 0 = (0 + 0 + 1) (0 + 0 + 9) = Comprueba en tu cuaderno este resultado. 4 1 1 Ejemplo 4 4 1 Encuentra por la regla de Sarrus 0 1 1 0-0 0 4-1 4 0 = (0+ 0 + ) ( + 0 + 0) = 5 1-1 0 1-1 Recuerda: La regla de Sarrus te sirve exclusivamente para encontrar el valor de un determinante de orden tres por tres. 0 0 Actividad 1 1. Aplica la regla de Sarrus y comprueba las siguientes igualdades. a) 1 5 1 1 = 9 b) 0 1 1 4 0 = 15. Calcula el valor de cada determinante. a) 1 1 b) 1 0 1 1 0 4 c) 1 5 0 4 1 d) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 e) 1 1 4 0 1 1 f) 8 1 0 0 5 4 0 Noveno Grado - Matemática 67

Solución de ecuaciones lineales con tres incógnitas usando determinantes Ejemplo 5 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas usando determinantes: x + y + z = x y z = 4 x y + z = 5 Primero encuentras el determinante de los coeficientes de las incógnitas siempre que el sistema esté ordenado es decir: las x debajo de las x, las y debajo de las y, y así sucesivamente. Le llamas (delta) a este determinante y lo encuentras como tú ya sabes. 1 1 8 = 1 1 1-1 -1-1 -1-1 -1-1 - - = + (1 + 1 + 8) = 10 = 1 De manera similar calculas: x = 1 4 1 1 5 1 = 4 Observa que la primera columna se ha sustituido por la columna de las constantes. z = 1 1 4 1 1 5 = 1 Y en este determinante Qué se ha hecho? Verifica las respuestas de los determinantes anteriores. Luego, los valores de las incógnitas los encuentras así: x x = = y y = = z z = = Por lo tanto, x =, y = 1, z = 1. 1 4 1 1 5 1 4 = = 1 1 1 4 1 1 5 1 = 1 1 1 1 4 1 1 5 1 = = 1 1 Verifica esta solución, sustituyendo en cada ecuación del sistema original. A esta forma de encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales con igual número de ecuaciones que de incógnitas se le llama: Método de Cramer. y = 1 1 4 1 1 5 = 1 Observa que la segunda columna se ha sustituido por la columna de las constantes. 68 Matemática - Noveno Grado

Solución de sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Método de Cramer Dado el sistema de ecuaciones lineales: a1x + b1 y + c1z = d 1 (Ec.1) ax + b y + c z = d (Ec.) ax + b y + c z = d (Ec.) La solución del sistema por medio del método de Cramer es: x y z, 0 x = y: y = z = = a b c 1 1 1 a b c a b c, x = d b c 1 1 1 d b c d b c, y = a d c 1 1 1 a d c a d c, z = a b d 1 1 1 a d d a d d Por qué crees que debe ser diferente de cero? Cómo se obtuvieron los determinantes x, y, z? Ejemplo 6 Resuelve el sistema: x + y = 5 +z x + z = + y x y = z Primero debes ordenar el sistema, como se describió anteriormente. El sistema queda así: x + y z = 5 x y + z = x y z = Las incógnitas están ordenadas en columnas. Comprueba en tu cuaderno los resultados de los siguientes determinantes. = 1 1 1 = 4 y = 5 1 1 = 84 x = 5 1 1 1 = 4 z = 1 5 1 = 4 Luego, x = x 4 = = 4 1 y = y 84 = = 4 z = z = 4 4 = 1 Noveno Grado - Matemática 69

Ejemplo 7 Resuelve el sistema: x + z = 7 x + y = 5 y z = 5 Si la incógnita no se encuentra en la ecuación, la escribes con cero de coeficiente y luego ordenas el sistema así: x + 0y + z = 7 x + y + 0z = 5 0x + y z = 5 Luego: = x = 1 0 1 0 0 7 0 5 1 0 5 = 9 y = = 9 z = 1 7 5 0 0 5 1 0 7 1 5 0 5 Calculas x, y, z, y obtienes: x = x 9 = = 9 1 y = y 18 = = z = z 7 = = 9 = 18 = 7 Ejemplo 8 Resuelve la situación planteada al inicio de esta lección. Sea: x = número de mesas con 4 asientos. y = número de mesas con 6 asientos. z = número de mesas con 10 asientos. Interpretas los datos que te dan y construyes el sistema: x + y + z = 4 ( Ec. 1) (la cafetería tiene 4 mesas) 4x + 6 y + 10z = 148 ( Ec. ) (La capacidad total de asientos es 148) 1 1 1 x + y + z = 9 ( Ec. ) (Se emplean 9 mesas en total) 4 Si multiplicas por 1 la ecuación trabajarás solo con números enteros así: 1 1 1 x + y + z = 9 Equivale a 6x + y + 4z = 108 4 x + y + z = 4 Luego obtienes el sistema de ecuaciones lineales: 4x + 6 y + 10z = 148 6x + y + 4z = 108 70 Matemática - Noveno Grado

Ahora, utilizas el método de Cramer: 1 1 1 1 1 = 4 6 10 4 6 = (4 + 60 + 1) (6 + 0 + 16) = 96 8 = 14, 0 6 4 6 x = y = z = 4 1 1 148 6 10 108 4 1 4 1 4 148 10 6 108 4 1 1 4 4 6 148 6 108 4 148 108 1 4 6 1 4 6 1 6 4 148 108 1 6 = (576 + 1080 + 444) (648 + 70 + 59) = 100 1960 = 140 = ( ) ( ) = 11. Completa y verifica la respuesta. = ( ) ( ) = 84. Verifica la respuesta. Así, x = x 140 = = 10 y = y 11 = =8 z = z 84 = = 6 14 14 14 La cafetería tiene 10 mesas con 4 asientos, 8 mesas con 6 asientos y 6 mesas con 10 asientos. 1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Cramer: Actividad a) x + y z = 1 b) u + v w = 7 c) x + y = x + y z = u v + w = 5 5y z = 4 x y + z = 10 u v + w = 8 z + 4x = 7. En la caja fuerte del abuelo hay 1,400 dólares en billetes de diez, de veinte y de cincuenta. En total son 45 billetes. El número de billetes de cincuenta es el doble de los de diez. Ayuda al abuelo a descifrar cuántos billetes hay de cada denominación. El símbolo a b c 1 1 1 a b c a b c Éste consiste en escribir a la derecha del determinante las dos primeras columnas del mismo: formado por nueve números ordenados en tres filas y tres columnas se llama determinante o de tercer orden. Para calcular su valor se emplea la regla de Sarrus. a1 b1 c1 a b c a b c a a a b b b 1 1 + + + Luego, se procede así: Resumen a) Se multiplican los elementos de las tres diagonales, de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, afectando a cada producto el signo más. b) Se multiplican los elementos de las diagonales que están en sentido inverso, afectando a cada producto el signo menos. c) La suma algebraica de los seis productos es el valor del determinante. Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, aplicas el método de Cramer. Noveno Grado - Matemática 71

Autocomprobación Dado el siguiente sistema x + y z = x + y + z = 4 x y + z = 6 1 El determinante correspondiente a es: 1 1 a) 4 1 1 c) 1 4 6 1 1 1 6 b) 1 1 4 1 1 6 El valor de es: d) a) 1 c) b) 1 d) 6 1 1 1 1 1 1 4 El valor del determinante correspondiente al literal c, de la pregunta 1 es: a) 1 b) 1 c) d) 6 El valor de z es: a) c) 1 b) d) 1 Soluciones 1. d.. c.. d. 4. b. PIERRE SARRUS (1798-1861) En 189 es nombrado profesor de Matemáticas en la facultad de Ciencias de Estrasburgo de la cual es decano entre 189 y 185. Durante esta época publica la mayoría de sus trabajos. Sus trabajos tratan sobre los métodos de resolución de ecuaciones numéricas y sobre el cálculo de variaciones. Demostró el lema fundamental del cálculo de variaciones y publicó numerosas obras sobre la resolución de ecuaciones numéricas (18), integrales múltiples y determinación de órbitas de los cometas. Enunció una regla para resolver determinantes de orden tres (regla de Sarrus). 7 Matemática - Noveno Grado

Cuarta Unidad Lección Potencia de polinomios Motivación La cantidad de tiempo (en nano segundos) necesaria para probar el chip de una computadora de n celdas está dado en ciertas condiciones por la expresión t = ( n + ) + n Para simplificar está expresión necesitas desarrollar la potencia ( n + ) Indicadores de logro: Resolverás con esmero ejercicios y problemas aplicando la potenciación en números reales con polinomios como base, y exponentes enteros. Polinomio elevado al cuadrado Lo anterior es aplicable al cuadrado de cualquier binomio, es decir, a (a + b) sean cuales sean a y b. Ejemplo 1 Desarrolla: (a 6 + 5a b ) Recuerda que para elevar un monomio a una potencia entera positiva, elevas a cada uno de los factores a dicha potencia. O sea: (a 6 ) = (a 6 ) = 4a 1 (5a b ) = 5 (a ) (b ) Para el desarrollo de un binomio al cuadrado aplicamos las fórmulas mostradas al principio de esta lección. (a 6 + 5a b ) = (a 6 ) + (a 6 ) (5a b ) + (5a b ) a b a b = 5a 4 b 6 Y para efectuar el producto (a 6 ) (5a b ) tienes que aplicar la propiedad conmutativa y el producto de potencias de la misma base, es decir: (a 6 ) (5a b ) = () (5) a 6 a b = 0 a 8 b Luego: (a 6 + 5a b ) = 4a 1 + 0 a 8 b + 5a 4 b 6 Noveno Grado - Matemática 7

Ejemplo Desarrolla (a 4 5xy 5 ) (a 4 5xy 5 ) = (a 4 ) (a 4 ) (5xy 5 ) + (5xy 5 ) Efectúas cada uno de los términos: (a 4 ) = (a 4 ) = 9a 8 (a 4 ) (5xy 5 ) = () (5) a 4 5xy 5 = 0 a 4 xy 5 (5xy 5 ) = 5 x (y 5 ) = 5 x y 10 Luego, (a 4 5xy 5 ) = 9a 8 0 a 4 xy 5 + 5 x y 10 Ejemplo Desarrolla: (x 7 y 5a 4 x ) (x 7 y 5a 4 x ) = (x 7 y ) (x 7 y ) (5a 4 x ) + (5a 4 x ) Efectúas cada uno de los términos: (x 7 y ) = (x 7 y ) = 9 x 14 y 4 (x 7 y ) (5a 4 x ) = ()(5) a 4 x 7 x y = 0 a 4 x 10 y (5a 4 x ) = 5 (a 4 ) (x ) = 5a 8 x 6 Luego, (x 7 y 5a 4 x ) = 9 x 14 y 4 0 a 4 x 10 y + 5a 8 x 6 Ejemplo 4 Desarrolla: (x 6 + 4x y 4 ) (x 6 + 4x y 4 ) = (x 6 ) + (x 6 )(4x y 4 ) + (4x y 4 ) (x 6 + 4x y 4 ) = 9x 1 + 4x 8 y 4 + 16x 4 y 8 Ejemplo 5 Desarrolla: 4 ( a ab ) = 4 9 6 Pero:( a ) = ( ) ( a ) = a 4 4 16 = 4 4 4 4 ( a )( ab ) ( )( ) a. ab = a b 4 4 4 4 4 8 ( ab ) = ( ) ( ab ) = a b 9 Luego: 4 9 6 4 4 4 8 ( a ab ) = a a b + a b 4 16 9 Ejemplo 6 Desarrolla: x + y 4 x + y 4 = x 4 + x y 4 + Efectúas cada uno de los términos: x 4 = 4 = ( x ) = ( x ) 9 6 = x 4 16 x y 4 = ( )( ) x y 4( ) = y ( ) y = ( y ) y Luego: = 4 9 y6 x + y 4 = 9 16 x6 + x y + 4 9 y6 74 Matemática - Noveno Grado

Ejemplo 7 Desarrollar: ( 5x y y ) ( 5 x y y ) = ( 5x y ) ( 5x y ) ( y ) +( y ) Pero: ( 5x y ) = ( 5x ) ( y ) = 5xy 6 5 = 5 ( x y )( y ) ( )( ) y. y 5x = 6 y 5x ( y ) = ( y ) = 9 y 4 Luego: ( 5x y y ) 6 5 = 5xy 6 y 5x +9 y 4 Ejemplo 8 Encuentra el desarrollo de (x + y + z) Como x + y + z = (x + y) + z, el polinomio puede desarrollarse como un binomio al cuadrado, donde (x + y) se considera como uno de sus términos y, z es el otro término. Luego, por la fórmula del binomio al cuadrado, ((x + y) + z) = (x + y) + (x + y) (z) + z Pero (x + y) = x + xy + y (x + y) (z) = xz + yz z = z Entonces: (x + y) + z) = x + xy + y + xz + yz + z = x + y + z + xy + xz + yz Ejemplo 9 Desarrolla (x + y z) (x + y z) = ((x + y) z) = (x + y) (x + y) (z) + z Pero (x + y) = x + xy + y (x + y) (z) = z (x + y) = xz yz z = z Luego, ((x + y) z) = x + xy + y xz yz + z = x + y + z + xy xz yz Noveno Grado - Matemática 75

Ejemplo 10 Desarrolla (w + x + y + z) (w + x + y + z) = ((w + x) + (y + z)) = (w + x) + (w + x)(y + z) + (y + z) Pero: (w + x) = w + wx + x (w + x) (y + z) = wy + wz + xy + xz (y + z) = y + yz + z Luego: (w + x + y + z) = w + wx + x + wy + wz + xy + xz + y + yz + z (w + x + y + z) = w + x + y + z + wx + wy + wz + xy + xz + yz Al observar los desarrollos anteriores, qué fórmula te sugiere un polinomio al cuadrado? Cómo desarrollas por simple inspección (x + y z)? Hazlo en tu cuaderno y compara tu solución con la siguiente. (x + y z) = (x) + (y) + z + (x) (y) (x) (z) (y)(z) = 9x + 4y + z + 1xy 6xz 4yz En general, el cuadrado de un polinomio es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de sus términos, más el doble de cada una de las combinaciones de dos en dos que pueden formarse con los términos. Ejemplo 11 Desarrolla por simple inspección: a) (5x 7x + x) b) (x + y 4a + 5b) a) (5x 7x + x) = (5x ) + (7x ) + (x) (5x )(7x ) + (5x )(x) (7x )(x) = 5x 6 + 49x 4 + 9x 70x 5 + 0x 4 4x b) (x + y 4a + 5b) = (x) + (y) + (4a) + (x) (y) (x) (4a) + (x)(5b) (y) (4a) + (y) (5b) (4a) (5b) (x + y 4a + 5b) = 4x + 9y + 16a + 1xy 16ax + 0bx 4ay + 0by 40ab 76 Matemática - Noveno Grado

1. Desarrolla por simple inspección: Actividad 1 a) (x + 5) f) (x y x 5 ) b) (x 5) g) 1 x x c) (x ) h) d) (a + 5b) i) e) (5x 4 xy ). Desarrolla por simple inspección: 1 a + b 4 5 a ab 6 5 a) (a+ b + c) c) (a + b c) b) (a + 4ab b ) d) (x x + 5) Si multiplicas (a + b) por (a + b) obtienes (a + b) Es decir: Polinomios elevados al cubo (a + b) = (a + ab + b ) (a + b) Al efectuar este producto obtienes (a + b) = a + a b + ab + b De manera similar: Estas dos expresiones las utilizarás para efectuar o desarrollar el cubo de un binomio. Ejemplo 1 Desarrolla: (5x + x y 5 ) (5x + x y 5 ) = (5x ) + (5x ) (x y 5 ) + (5x )(x y 5 ) + (x y 5 ) Efectúa cada término: (a + b) (a + b) por (a + b) (a + ab + b ) (a + b) (a + b) = (a + ab + b ) (a + b) = a(a + ab + b ) + b (a + ab + b ) = a + a b + ab + ba + ab + b = a + a b + ab + b (5x ) = 5 (x ) = 15 x 9 (5x ) (x y 5 ) = (5x 6 ) (x y 5 ) = (5) ()x 6 x y 5 = 5x 8 y 5 (5x ) (x y 5 ) = (5x ) (9x 4 y 10 ) 15x 7 y 10 = (5) (9)x x 4 y 10 = 15x 7 y 10 (x y 5 ) = (x ) (y 5 ) = + 7x 6 y 15 Luego: (5x + x y 5 ) = 15 x 9 + 5x 8 y 5 +15x 7 y 10 + 7x 6 y 15 (a b) = (a b) (a b) = (a ab + b ) (a b) (a b) = a a b + ab b Noveno Grado - Matemática 77

Ejemplo 1 5 Efectúa: a b 5 6 5 a b 5 6 = a 5 5 a b 5 6 + 5 a b 5 6 5 b 6 Simplificas cada término anterior. a 5 = 5 a = 7 a 15 5 a b 5 6 = 5 5 a b 6 9 5 9 = 5 a b a b 6 10 5 a b 5 6 = 5 a b 5 6 ( ) = 5 4 a b 5 6 = 5 4 5 6 ab = 5 4 ab 4 5 b 6 = 5 6 ( b ) = 15 6 b 16 5 Ahora sustituyes los resultados. Luego: a b 5 6 = 7 a 9 a b + 5 4 ab 15 6 b 15 10 4 16 Ejemplo 14 Desarrolla (a 8 + 5a b ) (a 8 + 5a b ) = (a 8 ) + (a 8 ) (5a b ) + (a 8 ) (5a b ) + (5a b ) Simplificas cada uno de los términos. (a 8 ) = a 4 (a 8 ) (5a b ) = a 16 (5a b ) = (5) a 16 a b = 15a 18 b (a 8 ) (5a b ) = a 8 (5a 4 b 6 ) = (5) a 8 a 4 b 6 = 75 a 1 b 6 (5a b ) = 15 a 6 b 9 Luego, (a 8 + 5a b ) = a 4 + 15a 18 b + 75 a 1 b 6 + 15a 6 b 9 78 Matemática - Noveno Grado

Ejemplo 15 Eleva al cubo a + b + c (a + b + c) = ((a + b)+ c) Ahora tratas (a + b) + c como un binomio, donde (a + b) y c son sus términos. Luego, aplicando la fórmula del binomio al cubo tienes: (a + b + c) = ((a + b) + c) = (a + b) + (a + b) c + (a + b) c + c Desarrolla cada uno de los términos. (a + b) = a + a b + ab + b (a + b) c = c (a + b) = c (a + ab + b ) = a c+ 6abc + b c = a c + b c + 6abc (a + b)c = c (a + b) = ac + bc c = c Luego, sustituyes en: ((a + b) + c) = (a + b) + (a + b) c + (a + b)c + c los resultados anteriores. (a + b + c) = a + a b + ab + b + a c + b c + 6abc + ac + bc + c Ordenas: (a + b + c) = a + b + c + a b + ab + ac + b c + bc + 6abc El desarrollo anterior da la siguiente regla. El cubo de un polinomio es igual al cubo de cada uno de sus términos, más el triple del cuadrado de cada uno por cada uno de los demás términos, más seis veces cada uno de los productos de sus términos que pueden formarse. Nota que en el ejemplo anterior por tratarse de un trinomio, sólo existe una combinación de tres términos. Actividad 1. Completa el desarrollo de los siguientes binomios al cubo. a) (x ) = (x) (x) + x = b) (x + ) = x + x + x + = c) (x ) = (x) (x) + x = d) (x + 5) = (x) + (x) 5 + x 5 + 5 =. Efectúa los siguientes cubos. a) (x + y) e) (4a ab ) b) (x y) f) (7x 4 5x y ) c) (4x y ) 4 g) x y 4 5 d) (5a + 6y ) h). Efectúa los siguientes cubos. 5 4 x y y 6 10 a) (x + y z) b) (x y + z) En general, un polinomio al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de cada uno de los términos más el duplo de las combinaciones de dos términos que pueden formarse. Una particularización de esta regla es: (a + b) = a + b + ab (a b) = a + b ab En general, un polinomio al cubo es igual al cubo de cada término, más tres veces el cuadrado de cada uno por cada uno de los demás, más seis veces cada uno de los productos de tres términos que pueden formarse. Una particularización de esta regla es: (a + b) = a + b + a b + ab (a b) = a b a b + ab Resumen Noveno Grado - Matemática 79

Autocomprobación 1 El tercer término que corresponde al desarrollo de (5x b x ) es: Cúal de los términos siguientes se encuentra en el desarrollo de la expresión (5a b a c)? a) 6 x 6 c) 9x 6 b) 9x d) 0x 5 b a) 15a 9 b c) 8a 6 c b) 8a 6 c d) a y c son correctos. El desarrollo de 1 x + y 4 es: a) 6 6 1 6 x + xy + y 4 8 4 b) 9 1 9 x + xy + y 16 4 4 c) 9 1 6 x + xy + y 16 4 4 d) 6 1 1 9 x + xy y 4 4 + 4 4 Al desarrollar (a + x + 5) el número de términos que se encuentran son los siguientes: a) 4 b) 6 c) 10 d) 8 Soluciones 1. c.. c.. d. 4. b. EL CUBO DE UN BINOMIO b (a + b) = a + a b +ab + b b a ab ab b a a = a + + + a b ab b ba De la misma forma que el desarrollo de (a + b) se demuestra con áreas, puede demostrarse que (a + b) = a + a b + ab + b utilizando volúmenes, como lo muestra la figura de la izquierda. El cubo en azul representa a, el rojo b. Observa que hay tres de la forma ab y tres de la forma a b 80 Matemática - Noveno Grado

Cuarta Unidad Lección 4 Desarrollo del binomio de Newton Motivación Después de 7 años, una inversión de $1,000 a una tasa de 7 interés anual i, es igual a 1, 000 ( 1+ i ). Si deseas determinar 7 el desarrollo de ( 1+ i ) resulta muy largo su procedimiento. En esta lección aprenderás a determinarlo directamente al igual que el de otros binomios elevados a una potencia entera no negativa. Indicadores de logro: Aplicarás con perseverancia el Binomio de Newton para obtener la potencia de un binomio. Acá te presentamos el desarrollo de las primeras cinco potencias del binomio a + b (a + b) 1 = a + b (a + b) = a + ab + b (a + b) = a + a b + ab + b (a + b) 4 = a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4 (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a b + 10a b + 5ab 4 + b 5 Tú puedes verificar estas respuestas multiplicando el desarrollo de cada renglón por a + b. Así obtienes el desarrollo del siguiente renglón. El objetivo en esta lección consiste en encontrar directamente estos desarrollos, sin tener que multiplicar. Es decir: deseamos que seas capaz de desarrollar (a + b) n. A continuación te presentamos como hacerlo. Representa con n un entero positivo. Como se observa en los casos anteriores, cada desarrollo comienza con a n y termina con b n. Además, cada desarrollo tiene n + 1 términos, todos ellos precedidos por signos positivos. Ahora veamos el caso de n = 5. Reemplaza el primer término, a 5, por a 5 b 0 y usa a 0 b 5 en lugar de b 5. (a + b) 5 = a 5 b 0 + 5a 4 b + 10a b + 10a b + 5ab 4 + a 0 b 5 De esta forma se aclara que (de izquierda a derecha) los exponentes de a disminuyen sucesivamente de 1 en 1, empezando con 5 para terminar con cero. Al mismo tiempo, los exponentes de b aumentan de cero a 5. Verifica que esto se cumple también en los demás casos que te presentamos. Noveno Grado - Matemática 81

Aprovechando las observaciones anteriores, debes esperar que el desarrollo de (a + b) 6 tenga siete términos. Entonces, salvo por los coeficientes, desconocidos aún. Deben quedar así: a 6 + a 5 b + a 4 b + a b + a b 4 + ab 5 + b 6 La lista de desarrollos revela que el segundo coeficiente, igual que el coeficiente del penúltimo término, es el número n. Al colocar estos coeficientes, para el caso n = 6 da: a 6 + 6a 5 b + a 4 b + a b + a b 4 + 6ab 5 + b 6 Para obtener los demás coeficientes, volvemos al caso n = 5 y averiguamos cómo se pueden generar esos coeficientes. Observa el segundo y tercer término. 5 a ⁴ b 10 a ⁴ b ³ término er término Si el 4, exponente de a en el segundo término, se multiplica por 5, el coeficiente del propio segundo término, y luego se divide entre, el exponente de b en el tercer término, el resultado es 10, el coeficiente del tercer término. Esto te lo representamos en el siguiente esquema. Segundo término Tercer término 5a 4 b 1 10a b 1 + 1 4(5) =10 Verifica que este procedimiento da resultado para obtener el siguiente coeficiente. Con base en estos datos, esperamos que sea posible obtener de la misma manera los coeficientes desconocidos en el caso de n = 6. Aquí te presentamos los cálculos. Usamos 6 a 5 b + a 4 b 5( 6) er coeficiente = = 15 4( 15) Usamos 15 a 4 b + a b 4º coeficiente = = 0 Usamos 0 a b + a b 4 ( 0) 5º coeficiente = = 15 4 Por último puedes escribir el siguiente desarrollo: (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b + 0a b + 15a b 4 + 6ab 5 + b 6 8 Matemática - Noveno Grado

Se puede ahorrar más trabajo, observando la simetría del desarrollo de (a + b) n. Por ejemplo, cuando n = 6, los coeficientes son simétricos en relación con el término del centro. De modo semejante, cuando n = 5, los coeficientes son simétricos respecto de los dos términos del centro. Para obtener el desarrollo de una potencia del binomio a b, escribes: a b = a + ( b) y sustituyes esto en la forma obtenida previamente con a + b. Por ejemplo con n = 6 (a b) 6 = [a + ( b)] 6 = a 6 + 6a 5 ( b) + 15a 4 ( b) + 0a ( b) + 15a ( b) 4 + 6a( b) 5 + ( b) 6 = a 6 6a 5 b + 15a 4 b 0a b + 15a b 4 6ab 5 + b 6 Este resultado indica que el desarrollo de (a b) n es el mismo desarrollo de (a + b) n, excepto porque los signos se van alternando, tras empezar con el signo más. Ejemplo 1 Escribe el desarrollo de (x + ) 7 Haces que x y desempeñen el papel de a y b, respectivamente, en (a + b) 7 (x + ) 7 = x 7 + 7x 6 + x 5 + x 4 + x 4 + x 5 + 7x 6 + 7 Ahora, calculas los coeficientes faltantes de la manera siguiente: er coeficiente = 6 ( 7 ) = 1 = 6º coeficiente (por simetría de los coeficientes) 4º coeficiente = 5 ( 1 ) = 5 = 5º coeficiente (comprueba en tu cuaderno que son iguales) Ya puedes ofrecer el desarrollo completo, como sigue: (x + ) 7 = x 7 + 7x 6 + 1 x 5 + 5 x 4 + 5 x 4 + 1x 5 + 7x 6 + 7 (x + ) 7 = x 7 + 14x 6 + 84x 5 + 80x 4 + 560x + 67x + 448x + 18 Tras adquirir un poco de práctica con estos cómputos, debes estar en condiciones de escribir el desarrollo del caso general (a + b) n, donde n es cualquier entero positivo; o sea la fórmula del binomio (de Newton) (a + b) n = a n + n 1 an 1 b + n( n 1 ) an b + n( n 1 )( n ) an b +...+ n 1 1 1 abn 1 + b n El término general o r-ésimo se puede expresar así: n( n 1)( n ) ( n r + 1) r! Noveno Grado - Matemática 8

Ejemplo Usa la fórmula del binomio para escribir el desarrollo (x + y) 4 Emplea la fórmula con a 0 x, b = y, n = 4. Luego simplificas: (x + y) 4 = x 4 + 4 1 x (y) + 4 x (y) + 4 x (y) + (y) 4 1 1 = x 4 + 8x y + 4x y + xy + 16y 4 Ejemplo Desarrolla: (x 1) 7 Aprovecha los coeficientes hallados en el ejemplo (x + ) 7 de esta lección, con signos alternados. (x 1) 7 = x 7 7x 6 1 1 + 1x 5 1 5 x 4 1 + 5x 1 4 1x 1 5 + 7x 1 6 1 7 = x 7 7x 6 + 1x 5 5 x 4 + 5x 1x + 7x 1 Ejemplo 4 Calcula el valor de 7 desarrollando (1 + 1) 7 Como cualquier potencia de 1 es igual a 1, el desarrollo de (1 + 1) 7 corresponde a la suma de los coeficientes del desarrollo de (a + b) 7. Por lo tanto, tienes: 7 = (1 + 1) 7 = 1 + 7 + 1 + 5 + 5 + 1 + 7 + 1 = 18 Has desarrollado la fórmula del binomio al partir de casos específicos para obtener una forma general común. No obstante, también puedes aprovechar tus conocimientos de las combinaciones para hallar esta fórmula de otra manera. Toma el desarrollo de (a + b) 5, pero esta vez desde otro punto de vista: (a + b) 5 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)(a + b) 5 factores Para desarrollar (a + b) 5, considera cada término de la manera siguiente: Primer término Multiplicas todas las letras a juntas para obtener a 5 Segundo término Necesitas combinar todos los términos de la forma a 4 b. Cómo se forman esos términos, en el proceso de multiplicación que nos da el desarrollo? Uno de estos términos se forma multiplicando las letras a de los primeros cuatro factores por la b del último factor. (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) Producto = a⁴b Otro de estos términos se forma así: (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) Producto = a⁴b Puedes notar que el número de esos términos es igual al número de maneras de escoger sólo una de las letras b de los cinco factores. Esto se puede lograr de cinco maneras, que es posible expresar así: 5 5C1 o así: 1, se obtiene el coeficiente de a4 b 84 Matemática - Noveno Grado

Tercer término Buscas todos los términos de la forma a b. El número de maneras de seleccionar dos 5 letras b de cinco términos; o sea 5 C o también Cuarto término El número de términos de la forma a b corresponde al número de maneras de elegir 5 tres letras b de cinco términos; es decir 5 C o también Quinto término El número de maneras de escoger cuatro letras b de cinco términos; es 5 C 4 o también, 5 o sea, el coeficiente de ab4 4 Sexto término Multiplicas todas las letras b para obtener b 5 En estas condiciones, escribes el desarrollo de (a + b) 5 en esta forma: 5 5 5 5 a 5 + 1 a4 b + a b + a b + 4 ab4 + b 5 5 Para que esta forma resulte coherente, escribes el coeficiente a 5 así: 0 y el de b5 así: 5 5 En cada caso, observa que 5 0 = 5 1 5 = Se puede elaborar un argumento semejante para cada uno de los términos del desarrollo de (a + b) n. Por ejemplo, para encontrar el valor del coeficiente que tiene los factores a n-r b r, necesitas calcular el número de las diferentes maneras de seleccionar r n letras b de n términos. Esto se puede expresar así: n C r o así: r Y ahora se puede generalizar todo y escribir esta segunda forma de la fórmula del binomio: n n n n (a + b) n = 0 an b 0 + 1 an 1 b 1 + an b +... + r an r b r +... n n + n r a1 b n 1 + n a0 b n n n Este desarrollo puede escribirse también en notación de sigma: (a + b) n = r r a n r b r = 0 n Observa que los números r son los coeficientes del binomio. En la fórmula del binomio, observa que en cada término la suma de los exponentes es igual a n. Además, el término general mencionado es realmente, el término que ocupa el lugar r + 1 en el desarrollo. Estas observaciones se aplican en los ejemplos siguientes. Noveno Grado - Matemática 85

Ejemplo 5 Encuentra el sexto término del desarrollo de (a + b) 8 Observa que el exponente de b en el desarrollo general corresponde siempre a una unidad menos que el número del término. Por otra parte, la suma de los exponentes de cada término debe ser igual a 8. Entonces, el sexto término tiene la forma a b 5, y el coeficiente de este término es 8 5 = 56, como se muestra a continuación: 8 5 = C = 8! 8 5 5!! = 56 El sexto término es 56 a b 5 También puedes resolver este ejemplo, consultando la forma general del desarrollo y el término del lugar r + 1, que ahí aparece. Así, para hallar el sexto término, tomas r +1 = 6 n 8 en consecuencia, r = 5, y tienes: r an r b r = 5 a b 5 Ejemplo 6 Encuentra el cuarto término del desarrollo de (x y) 10 n Usas el término general r an r b r, que corresponde al que ocupa el cuarto lugar r + 1. Entonces: r + 1 = 4, r =, n = 10 y n r = 7. En estas condiciones, el cuarto término es: n r x7 ( y) = 10x 7 ( 8y ) = 960x 7 y, ya que: 10 10 10 9 8 7 10 =! 7 =! =!! 1( 7!) 86 Matemática - Noveno Grado

Actividad 1 1. Aplica la fórmula del binomio de Newton y desarrolla. a) (x + 1) 8 c) (x 5) 5 e) (5x y) 4 b) (x 1) 8 d) ( + k) 9 f) (x y) 6. Calcula el valor de 9 mediante el desarrollo de (1 + 1) 9. Escribe los primeros cinco términos del desarrollo de (a + ) 1 Cuáles son los últimos términos? Resumen El binomio de Newton consiste en una fórmula que permite encontrar el desarrollo de (a + b) n, con n un número entero no negativo. Dicha fórmula establece que el término general o r-ésimo del desarrollo (a + b) n es: n( n 1)( n ) ( n r + 1) r! Mientras que el desarrollo del binomio (a + b) n en notación de sigma está dado por la expresión: n n (a + b) n n r r = a b r r = 0 Noveno Grado - Matemática 87

Autocomprobación El número de términos que posee (a 5x 7 ) 9 es: 1 El décimo término del desarrollo de (x y)15 es: 15 a) 7 c) 8 a) 5 10 10 x ( y ) c) 15 6 9 x ( y ) 9 b) 9 d) 10 15 b) 6 9 9 x ( y ) d) 15 5 10 x ( y ) 10 El coeficiente del quinto término de (w + z) 0 es igual al coeficiente del término que ocupa la posición número: a) 10 b) 17 c) 16 d) Ninguna de las anteriores. 4 Para calcular el valor de 1, nos apoyamos en el desarrollo de: a) (1 +1) 11 b) (1 +1) 1 c) (1 +1) 1 d) Ninguna de las anteriores. Soluciones 1. d.. b.. c. 4. c. SIR ISAAC NEWTON (164-177) Sir Isaac Newton fue un físico, filósofo, inventor, alquimista y matemático inglés. Describió la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la mecánica clásica mediante las leyes que llevan su nombre. TM07P180 (a + b)n = Desde finales de 1664 trabajó intensamente en diferentes problemas matemáticos. Abordó entonces el teorema del binomio. El teorema del binomio fue desarrollado entre los años 1664 y 1665, al finalizarlo, Sir Isaac Newton presenta el enunciado de su teorema y lo ilustra. 88 Matemática - Noveno Grado

Cuarta Unidad Lección 5 El triángulo de Pascal Motivación ( ) = 0 1 Al observar los desarrollos de: x + y 1 ( x + y ) = x + y, Puedes contestar las siguientes preguntas? a) Cuántos términos hay en ( x + y )? x + y ( x + y ) n b) Cómo varían las potencias de x? c) Cómo varían las potencias de y? d) Cuál es el primero y último término de x + y e) Cuál es la suma de los exponentes de x e y? ( ) 5? ( )? Indicadores de logro: Construirás con orden y aseo el Triángulo de Pascal hasta n = 9 Deducirás, aplicarás y explicarás con seguridad la fórmula para calcular el término general del desarrollo de un binomio. Resolverás problemas utilizando la fórmula que determina el término general de un binomio con confianza. Triángulo de Pascal En el siguiente esquema observa la relación que existe entre la 4ª y 5ª fila. 1 4 6 4 1 + + + + 1 5 10 10 5 1 Cuarta fila Quinta fila En base a la fila 5ª, puedes escribir las filas 6ª, 7ª, 8ª y 9ª del triángulo? Hazlo en tu cuaderno. Compara tu respuesta con el esquema de la página siguiente. Noveno Grado - Matemática 89

1 5 10 10 5 1 + + + + + 1 6 15 0 15 6 1 1 7 1 5 5 1 7 1 1 8 8 56 70 56 8 8 1 1 9 6 84 16 16 84 6 9 1 Puedes observar que mediante el desarrollo del triángulo de Pascal obtienes los coeficientes de los términos que corresponden al del binomio (a + b) n. Ejemplo 1 En base a las filas del triángulo de Pascal, encuentra el desarrollo de: a) (x + y) 7 Los coeficientes del desarrollo de (x + y) 7 se ubican en la fila 7º del triángulo: 1 7 1 5 5 1 7 1 luego, (x + y) 7 = x 7 + 7x 6 y + 1x 5 y + 5x 4 y + 5x y 4 + 1x y 5 + 7xy 6 + y 7 b) (x y) 7 Como sabes los coeficientes son los mismos que los del desarrollo (x y) 7, excepto por el signo de los términos pares, que es negativo. Es decir: (x y) 7 = x 7 7x 6 y + 1x 5 y 5x 4 y + 5x y 4 1x y 5 + 7xy 6 y 7 c) (a + b) 5 Los coeficientes son: 1, 5, 10, 10, 5, 1, tienes: (a + b) 5 = (a) 5 + 5(a) 4 (b) + 10(a) (b) + 10(a) (b) + 5 (a)(b) 4 + (b) 5 (a + b) 5 = a 5 + 5(16a 4 )(b) + 10(8a )(9b ) + 10(4a )(7b ) + 5 (a)(81b 4 ) + 4b 5 (a + b) 5 = a 5 + 40a 4 b + 70a b + 1080a b + 810ab 4 + 4b 5 d) (a b) 4 Los coeficientes de (a b) 4 son: 1, 4, 6, 4, 1, luego, (a b) 4 = (a ) 4 4(a ) (b) + 6(a ) (b) 4 (a )(b) + (b) 4 (a b) 4 = 81a 1 4(7a 9 )(b) + 6(9a 6 )(4b ) 4 (a )(8b ) + 16b 4 (a b) 4 = 81a 1 16a 9 b + 16a 6 b 96a b + 16b 4 90 Matemática - Noveno Grado

e) ( x + y ) 6 donde x e y representan números positivos. Como los coeficientes de son 1, 5, 15, 0, 15, 6, 1, tienes: 6 6 5 4 4 ( x + y ) =( x ) + 6( x ) ( y )+ 15( x ) ( y ) + 0( x ) ( y ) + 15 ( x ) ( y ) + 6( x )( y ) +( y ) = x + 6x ( x )( y ) + 15x y + 0xy ( x )( y ) + 15xy + 6y ( x )( y ) + y 5 6 Actividad 1 1. Tomando como base el triángulo de Pascal, desarrolla: a) (a + b) 6 c) (a b) 7 b) (x y) 6 d) ( x + ) 6. El triángulo de Pascal presenta muchas propiedades matemáticas. Descubre algunas de ellas. a) Calcula la suma de números de cada fila. b) Qué representan estos números? 1 1 1 1 1 1 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 0 15 6 1 Qué observas en los números de la diagonal que aparece señalada? Y qué pasa con los números que aparecen en la otra diagonal? Triángulo de Pascal y números combinatorios 1 ( 0 ) 1 ( 0 )( 1 ) ( 0 )( 1 )( ) ( 0 )( 1 )( )( ) 4 4 4 4 ( 0 )( 1 )( )( )( 4 ) 5 5 5 5 5 ( 0 )( 1 )( )( )( 4 )( 5 ) 6 6 6 6 6 6 ( 0 )( 1 )( )( )( 4 )( 5 )( 6 )... Al escribir los elementos del triángulo de Pascal como números combinatorios tienes: Recuerda que un número combinatorio se calcula mediante la fórmula: n n r =! r!( n r )! Ejemplo 8 Calcula el valor de: 8 8 8 =!! =! ( 8 )!! 5! ( 8)( 7)( 6)( 5)! = = 56 ( )( )( 1) 5! Noveno Grado - Matemática 91

Actividad Considera los siguientes triángulos: 1 ( 0) 1 1 ( 0 )( 1) ( 0 )( 1 )( ) ( 0 )( 1 )( )( ) 4 4 4 4 4 ( 0 )( 1 )( )( )( 4 ) 5 5 5 5 5 5 ( 0 )( 1 )( )( )( 4 )( 5) 6 6 6 6 6 6 6 ( 0 )( 1 )( )( )( 4 ) 5 6 ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 0 15 6 1...... 1. Qué indican los puntos suspensivos en estos triángulos?. Copia en tu cuaderno el triángulo de la derecha y escribe tres filas más de él.. Aplica la fórmula del número combinatorio y comprueba la equivalencia entre los elementos del triángulo descrito en las dos formas. Ejemplo Desarrolla (x + y) 5 utilizando números combinatorios. 5 5 5 5 5 5 (x + y) 5 = 0 (x)5 + 1 (x)4 (y) + (x) (y) + (x) (y) + 4 (x)(y)4 + 5 (y)5 Calculas los coeficientes: 5 0 = 1 5 1 = 5! 5! 5 4! = = = 5 1!( 5 1)! 1! 4! 1 4! 5 = 5! 5! 5 4! = = = 10!( 5 )!!!! 5 = 5! 5! 5 4! = = = 10!( 5 )!!!! 5 4 = 5! 5! 5 4! = = = 5 4!( 5 4)! 4! 1! 4! 1! 5 5 = 1 Luego, (x + y) 5 = (x) 5 + 5(x) 4 (y) + 10(x) (y) + 10(x) (y) + 5(x)(y) 4 + (y) 5 = x 5 + 40x 4 y + 70x y + 1080x y + 810xy 4 + 4y 5 9 Matemática - Noveno Grado

Ejemplo 4 Encuentra sin efectuar el desarrollo el 98º término de: 1 a + 100 b 100 El coeficiente del primer término es: 0 El coeficiente del segundo término es: El coeficiente del tercer término es: El coeficiente del 98º término es: Luego, el término 50º es: 100 100 97 1 T 98 = 97 ( ) a b 97 100 1 100 100 97 Ejemplo 6 Si el segundo término del desarrollo de la potencia de un binomio es: 11 1 1 11 a b Cuál es el término penúltimo? Y cuál es el binomio y su potencia? El penúltimo término será el del lugar 1, pues habrá 1 términos y es: 11 1 1 T 1 = 11 a b Luego, el binomio y su potencia serán: 1 1 a + b T 98 = 161, 700a b 97 Comprueba en tu cuaderno esta respuesta. Ejemplo 5 Determina el quinto término de ( a b ) 9 con b 0. 9 T 5 = 4 a 9 4 9 T 5 = 4 a 5 b ( b ) 4 ; pero ( b ) 4 = b, ya que b 0 9 Pero 4 = 9! 9 8 7 6 5! = = 16 4!( 9 4)! 4! 5! Luego: T 5 = 16a 5 b Noveno Grado - Matemática 9

Ejemplo 7 ( a b ) Halla el término medio del desarrollo de: 14 Como está elevado a 14 habrá 15 términos, por tanto el término que está en medio es el de lugar 8, tiene 7 términos anteriores y 7 posteriores: 14 T 8 = 14 7 14 7 7 7 7 ( ) ( ) = a b 7 ( ) ( a b ) T 8 =(, 4) ( ) a b 7 7 7 14 Comprueba cada paso. T 8 =(, 4)(, 187) a a b 14 14 T 8 =(, 4)(, 187) 8a b a 14 T 8 =60046, 7a b a Del teorema del binomio se observa que: El k-ésimo término del desarrollo de ( a + b) n, con k n +1 es: n k 1 a n ( k 1) k 1 El k-ésimo término del desarrollo de ( a b) n, con k n +1 es: ( 1) b n k 1 a k 1 n ( k 1) k 1 b Ejemplo 8 Escribe el término onceavo en el desarrollo de: 0 Como la expresión tiene la forma ( a b) n utilizas la fórmula del k-ésimo término: k 1 n n ( k 1) k 1 ( 1) k 1 a b Se pide el onceavo término por lo que k = 11. En este ejemplo se tiene que: x k = 11, k 1 = 10, n = 0, a = y, b = y x Sustituyes cada uno de estos valores en la fórmula y obtienes: 0 10 10 10 0 x y T11 = ( 1) 10 y x 10 x 10 0 0 y T11 = 1 ( ) 10 10 10 y x 0 x T11 = 10 10 y con 0 10 10 0 y x 0 10 0 184 756 =! 10! 10! = 10 10 10 10 10, T11 = 184, 756( ) x y = 189190, 144x y x y y x 94 Matemática - Noveno Grado

Actividad 1. En el cuaderno copia y completa las siguientes filas del triángulo de Pascal 9 a) 0 b) 11 00. Dado el binomio +k x encuentra sin efectuar el desarrollo: a) el 1º término c) el último término b) el 100º término d) el término central. Escribe los primeros cuatro términos de: ( ) a) x y 0 ( ) b) x + 5 y 18 Resumen El triángulo de Pascal o triángulo de Tartaglia es una figura formada por los coeficientes del desarrollo del binomio (a + b) n. Mediante él llegamos a la siguiente igualdad. (a + b) n n n. = k a n k b k k= 0 Noveno Grado - Matemática 95

1 El quinto término del desarrollo de x 5 y 15 15 10 5 a) 5 5 ( ) ( ) 15 10 5 5 ( x ) ( 5 y ) b) 15 11 4 15 4 ( x ) ( 5 y ) d) 5 4 ( x ) ( y ) 11 4 Autocomprobación El desarrollo que posee dos términos centrales corresponde al binomio: a) ( x 5z ) ( ) b) x + y 9 11 ( ) c) 5 k 17 d) Todas las anteriores El coeficiente del último término del desarrollo de ( a + b) 0 es: 1 a) 1 c) 0 4 ( ) El término central de x 9 y a) 0 9 x 0 es: ( 9 y ) c) 0 10 x 11 9 ( 9 y ) 10 10 b) 0 d) a y c son correctos 0 b) 9 x ( 9 y ) 0 d) 10 x 11 9 ( 9 y ) 10 10 Soluciones 1. d.. a.. d. 4. d. UN POCO DE HISTORIA En la ciencia, muchas veces no aparecen los nombres de los científicos que han aportado a la creación de inventos o leyes. Por ejemplo, las leyes de Newton fueron la conclusión de los trabajos de Galileo. Similarmente el triángulo de Pascal o de Tartaglia tiene su origen en época muy anterior al de los matemáticos. En el siglo XII fue estudiado por el matemático y poeta persa Omar Khayyam, y en el siglo XIII por el matemático chino Yang Hui. Omar Khayyam 96 Matemática - Noveno Grado