1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos.

1 Curvas planas. Solución de los ejercicios propuestos. 1. Se considera el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma del cuadrado de las distancias a los puntos P 1 = (, 0) y P = (, 0) vale 6. Se pide: - Determinar la curva de forma implícita. Qué figura geométrica representa? - Dar una parametrización de la curva. - Determinar los puntos de dicha curva para los cuales existe un entorno de dicho punto en que la curva determina un arco de curva regular. - Estudiar el mismo lugar geométrico sustituyendo la palabra suma por diferencia en el enunciado. A partir de la definición de la curva dada en el enunciado, un punto P = (x, y) en R pertenece a la curva si y sólo si es decir, (d(p, P 1 )) + (d(p, P )) = 6, (x + ) + y + (x ) + y = 6. Simplificando la anterior ecuación llegamos a x + y = 1. Por tanto, la curva del enunciado no es otra que la circunferencia de radio 1 y centro el origen de coordenadas (0, 0) en R. C = {(x, y) R : x + y = 1}. Para la segunda parte del ejercicio hacemos referencia al Ejercicio 1. Para determinar los puntos regulares de la curva del enunciado se puede, bien observar que las parametrizaciones dadas en el apartado anterior son regulares y homeomorfas a un intervalo de la recta real (α (t) 0 para todo t en el intervalo de la parametrización, y además que α(i) es como un segmento moldeado) o bien viendo que f(p ) 0 para cada P en la circunferencia. Esto ya ha sido resuelto a lo largo del capítulo, obteniendo 1

que todos los puntos en la circunferencia son regulares, y, por tanto, para todos ellos existe un entorno en que la curva determina un arco de curva regular. Al sustituir la palabra suma por diferencia en el enunciado, la ecuación que se obtiene es x = 3 4. De aquí se deduce que los puntos P = (x, y) que forman la curva son aquellos cuya primera componente es constantemente igual a 3 4, es decir, una recta vertical con abscisa en dicho valor. La parametrización más sencilla de esta curva es (R, α), donde α(t) := ( 3 4, t), t R. Como se ha visto en el capítulo, ésta es una curva regular por lo que para cualquiera de sus puntos podemos encontrar un entorno en el cual la curva determina un arco de curva regular.. Sea f : I R una función de clase C en I. Comprobar que el grafo de la función es una curva regular y dar una parametrización de dicha curva. Nota: el grafo de f es un subconjunto de R que se define como {(x, f(x)) : x I}. Comprobar que esta parametrización es natural sólo cuando la función es una función constante. Basta considerar la parametrización (I, α) dada por α(t) = (t, f(t)), t I. Ésta es una parametrización regular ya que α (t) = (1, f (t)) para todo t I. Este vector no puede ser, en ningún caso, el vector nulo. Para que ésta sea una parametrización natural, debemos tener α (t) = 1 + (f (t)) = 1, para todo t I, es decir, 1 + (f (t)) = 1 f (t) = 0 para todo t I, por lo que la función debe ser constante. 3. Dar una parametrización de los puntos en la circunferencia de centro (0, 0) y radio r, con segunda coordenada positiva:

- considerándo esta curva como una función de x. - con ayuda de coordenadas polares. El conjunto de puntos de la circunferencia de segunda coordenada positiva pueden considerarse como el grafo de la función que queda al despejar la variable y de la ecuación x + y = r. Mediante este procedimiento, la función a tratar es y = r x, con x siendo un parámetro entre r y r. La parametrización buscada es α(t) = (t, r t ), t ( r, r). Las coordenadas polares (θ, ρ) son las coordenadas relacionados con las coordenadas (x, y) de esta forma x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ). En estas nuevas coordenadas, un punto queda determinado por su ángulo de giro θ con respecto a la semirrecta {(x, 0) : x 0} y por la distancia ρ de dicho punto al origen de coordenadas. En el caso del ejercicio, los puntos de la curva corresponden a θ (0, π) y ρ = r. La curva queda dada por la parametrización (I, α) con I = (0, π) y α(θ) = (r cos(θ), r sin(θ)). 4. La lemniscata se define como el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el producto de sus distancias a dos puntos fijos P 1 y P es constante. Se pide: - Sea a > 0. Determinar la curva definida por la lemniscata dada de forma implícita cuando se consideran los puntos P 1 = (a, 0) y P = ( a, 0), y donde k > 0 es la distancia constante que se considera. - Determinar una parametrización de la lemniscata para los valores a = 1 y k = 1 de los parámetros. - Determinar los puntos de la lemniscata en torno a los cuales, la lemniscata determina un arco de curva regular. 3

Consideramos un punto genérico P = (x, y) en la lemniscata. Se tiene que d(p 1, P )d(p, P ) = k, por lo que (x a) + y (x + a) + y = k. Elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad y simplificando la expresión se obtiene que un punto en la lemniscata verifica ((x a) +y )((x+ a) + y ) = k,, por lo que la lemniscata es la curva C = {(x, y) R : ((x a) + y )((x + a) + y ) = k }. Para los valores a = 1 y k = 1, la lemniscata viene dada por C = {(x, y) R : ((x 1) + y )((x + 1) + y ) = 1}. (1) Realizaremos una parametrización de la lemniscata realizando un cambio a coordenadas polares, como en el ejercicio anterior. Este cambio de coordenadas nos permitirá definir una parametrización sencilla de la lemniscata. Las coordenadas (x, y) se sustituyen por las coordenadas (θ, ρ), siendo la relación entre ambas x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ). Sustituyendo la expresión de las nuevas coordenadas en la ecuación implícita que define la curva en (1) se llega a ((x 1) + y )((x + 1) + y ) = 1 (x + 1 x + y )(x + 1 + x + y ) = 1 (ρ cos (θ) + 1 ρ cos(θ) + ρ sin (θ))(ρ cos (θ) + 1 + ρ cos(θ) + ρ sin (θ)) = 1 (ρ + 1 ρ cos(θ))(ρ + 1 + ρ cos(θ)) = 1 (ρ + 1) (ρ cos(θ)) = 1 ρ + 4 cos (θ) = 0. Por tanto, ρ = 4 cos (θ). Una parametrización de la lemniscata es la siguiente: 4

α(θ) = (x(θ, ρ), y(θ, ρ)) = (ρ cos(θ), ρ sin(θ)) = ( 4 cos (θ) cos(θ), 4 cos (θ) sin(θ)), con θ (0, π). Por último, los puntos singulares de la lemniscata son los pares (x, y) cumpliendo que x f(x, y) = f(x, y) = 0. y Por un lado, y f(x, y) = 4y(x + y ), que se anula sólo cuando y = 0. Por otro lado, x f(x, y) = 4x(x + y 1) = 0 si y sólo si x = 1, x = 1 o bien x = 0. Los únicos posibles puntos singulares son (1, 0), ( 1, 0) y (0, 0). Los dos primeros no verifican la ecuación implícita que define la lemniscata (luego no son puntos en la lemniscata), así que el único punto singular en la lemniscata es (0, 0). En torno a cualquier otro punto de esta curva, la lemniscata determina un arco decurva regular. 5. Calcular la recta tangente a la curva considerada en el ejercicio 3 en un punto genérico de la curva a partir de una de las parametrizaciones del ejercicio y a partir de su forma implícita. Comprobar que son la misma recta. Calcular la recta normal a dicha curva en cada punto y comprobar que todas pasan por el origen de coordenadas. Un punto genérico de la curva viene dado por α( ) = (, r t 0). El vector velocidad en dicho punto viene dado por α ( ) = (1, ). De r t 0 aquí se deduce que la recta tangente a la curva en α( ) está dada por (x, y) = (, r t 0) + s(1, ), s R r t 0 o lo que es lo mismo: x = + s, 5

y = r t 0 + s, r t 0 para s R. La recta normal viene dada por la parametrización x = + s, r t 0 y = r t 0 + s, para s R. A partir de la ecuación implícita, poniendo f(x, y) = x + y, se tiene que la recta tangente en un punto (x 0, y 0 ) viene dada por la ecuación es decir, f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) = 0, x 0 (x x 0 ) + y 0 (y y 0 ) = 0. () Para comprobar que la recta tangente definida a partir de una parametrización y a partir de la ecuación implícita coinciden, basta poner (x 0, y 0 ) = α( ) y sustituir en (), viendo que se cumple dicha ecuación. 6. Se considera la espiral logarítmica dada por la siguiente parametrización: Se pide: α(t) = (e t cos(t), e t sin(t)), t R. - Comprobar que la espiral logarítmica es una curva regular. - Calcular la longitud de arco entre dos puntos cualquiera de la espiral logarítmica. - Sean a, b > 0 dos parámetros fijos. Realizar el mismo estudio para la espiral logarítmica α(t) = (ae bt cos(t), ae bt sin(t)), t R. - Sean a, b > 0. Realizar el mismo estudio para la espiral, parametrizada por α(t) = (at cos(bt), at sin(bt)), t R. 6

Son parametrizaciones naturales? Determinar el sistema de referencia móvil asociado a dicha parametrización. Determinar una parametrización natural para la espiral y la espiral logarítmica en el caso de que no lo sean las encontradas en los apartados anteriores. Para comprobar que la espiral logarítmica es una curva regular basta ver que α (t) 0 para todo t R. El vector derivada en P = α(t) viene dado por α (t) = ( e t sin(t) + e t cos(t), e t cos(t) + e t sin(t)). Este vector se anula cuando sin(t) = cos(t) = 0 para cierto t R. Esto nunca puede ocurrir, luego la curva definida es regular. La longitud de arco entre los puntos α( ) y α( 1 ) viene dada por L = t1 α (s) ds = t1 e s (cos(s) sin(s)) + e s (cos(s) + sin(s)) ds Puesto que = t1 e s ds = (t 1 ). se escribe como e s (cos(s) sin(s)) + e s (cos(s) + sin(s)) e s (cos (s)+sin (s) sin(s) cos(s)+cos (s)+sin (s)+ sin(s) cos(s)) = e s, se concluye que L = t1 e s = (e t 1 e ). Dado que α (t) 1 para todo t R, la parametrización del enunciado no está dada por longitud de arco. De hecho, α (t) = e t cos (t) + e t sin (t) = e t, t R. 7

De ahí, podemos escribir T α (t) = α (t) α (t) N α (t) = ( sin(t) cos(t) + sin(t) = (cos(t), ). cos(t) sin(t) cos(t) sin(t), ), y el sistema de referencia móvil viene dado por {α(t), (T α (t), N α (t))}. Los demás apartados se resuelven de manera similar. Para el segundo, L = a b b + 1(e bs 0 e b ), mientras que para el tercero L = 1 s 0 1 + s 0 + 1 arcsinh(s 0) 1 1 + t 0 1 arcsinh(). Otros ejercicios propuestos. 1. Se considera el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la distancia a la recta x = 0 y al punto P 1 = (, 0) es igual. Se pide: - Determinar la curva de forma implícita. Qué figura geométrica representa? - Dar una parametrización de la curva. - Determinar los puntos de dicha curva para los cuales existe un entorno de dicho punto en que la curva determina un arco de curva regular.. Dar una parametrización regular del grafo de la función f(x) = x 3. Determinar la recta tangente a la curva en el punto P = (1, 1). Nota: Observar que la recta tangente a la curva coincide con la recta tangente a la función en el punto x = 1. Este hecho se puede generalizar a cualquier punto de la curva. 8