NOMBRE DEL ACADÉMICO DOCENTE: ASIGNATURA: TRABAJO INDEPENDIENTE Gloria Esperanza Puetaman Guerrero MBX14 TRABAJO CON TEMA O CONCEPTO: APLICACIONES TRIGONOMETRIA. COMPETENCIA (S) Utilizar adecuadamente las definiciones de las funciones trigonométricas, ley de senos y ley de cosenos en la solución de problemas de la vida real. INDICADORES DE LOGRO Aplicar las funciones trigonométricas y las leyes de seno y coseno a la solución de problemas. RED DE CONCEPTOS Funciones trigonométricas, ley de senos, ley de cosenos. ACTIVIDADES Afianzamiento conceptual Reglas y propiedades que permiten manipular el concepto Aplicaciones y problemas en contexto REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Y MEDIOS DE APOYO Texto guía Notas de clase. APLICACIÓNES TRIGONOMETRICAS Reseña histórica La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios. ITM Elaborada por: Gloria Esperanza Puetaman Guerrero Página 1 de 8
El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de cuerdas que construyo fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad. Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática. A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas Las aplicaciones modernas de la trigonometría, abarcan muchos tipos de problemas que tienen poco o nada que ver con ángulos y triángulos; entre ellas, fenómenos como la luz, las ondas eléctricas y los movimientos planetarios. Descripción y ejemplos. La Trigonometría es la parte de las matemáticas elementales puras, que trata de la resolución analítica de los triángulos, relacionando sus lados y sus ángulos. La palabra Trigonometría significa medición de Triángulos Los principales sistemas de medición de ángulos son el sexagesimal (unidad de medida es el grado: 1º = 1/360 de la circunferencia) y el circular (unidad de medida es el radián). La relación entre grado y radian está dada por: 180º = radianes. Definición de Funciones trigonométricas: dados un ángulo en posición normal, un punto P(x, y) (distinto del origen) sobre el lado terminal del ángulo. Las seis funciones trigonométricas de se definen, en términos de la abscisa x, la ordenada y y la distancia r del punto P al origen. Solución de triángulos Resolver un triángulo significa encontrar el valor o medida de algunos de sus elementos, cuando se conocen los valores o medidas de otros. Esta aplicación de la trigonometría nos permite encontrar la medida de alturas y distancias cuando esta no se puede hacer directamente. Ejemplo: Hallar la altura de una montaña o la distancia entre dos lugares del espacio. Para la solución de triángulos rectángulos es necesario recordar: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (teorema de Pitágoras) La hipotenusa es el lado mayor pero es menor que la suma de los catetos. ITM Elaborada por: Gloria Esperanza Puetaman Guerrero Página 2 de 8
Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90º (son complementarios) Se requiere como mínimo conocer dos de sus elementos (además del ángulo recto) y que uno de estos sea un lado. Los triángulos oblicuángulos son los que no tienen ningún ángulo recto. En este tipo de triángulos, los tres ángulos son agudos o el triángulo posee dos ángulos agudos y uno obtuso. Decimos que un triángulo está perfectamente determinado cuando se conocen tres cualesquiera de sus elementos, uno de los cuales debe ser un lado. En la solución de triángulos oblicuángulos se presentan los siguientes casos. Se dan dos ángulos y un lado Se dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Se dan dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Se dan los tres lados. Cualquier triángulo puede resolverse usando suma de ángulos interiores, ley de senos o ley de cosenos. Expresiones de uso corriente El ángulo de elevación es el ángulo que forma la visual de un observador con el plano horizontal que pasa por el ojo del observador cuando el objeto observado está por encima de dicho plano. Si el objeto queda por debajo de dicho plano, entonces el ángulo formado se llama ángulo de depresión Ejemplos. A. Calcule la longitud de los cables si uno de ellos ha de unirse a la parte superior del poste y asegurarse en un punto sobre la pendiente de 15º a 30m de su base, y el otro ha de conectarse a la mitad del poste y asegurarse en un punto a 30m de su base. Solución El dibujo lo podemos representar como un triángulo oblicuo y un triángulo rectángulo. En los triángulos podemos ver algunos valores que no nos indica el problema para el triángulo rectángulo aparece el valor de 75m. Este se obtiene de la parte del problema que dice: el otro ha de conectarse a la mitad del poste y como el poste mide 150m su mitad es 75m. Para el triángulo oblicuo aparece el valor de 75º. Este surge del hecho que ITM Elaborada por: Gloria Esperanza Puetaman Guerrero Página 3 de 8
el ángulo que forma el poste con la horizontal lo suponemos recto, entonces el ángulo de inclinación del suelo 15º restado a los 90º del ángulo recto nos dan el ángulo de 75º que aparece. Encontramos la longitud a del cable en la figura del triángulo oblicuo, para esto utilizamos la ley de los cosenos Encontramos la longitud (b) del cable en la figura del triángulo rectángulo, para esto utilizamos el teorema Pitágoras 2 2 3 a 30 150 2(150)(30) cos 75 a (21070.63) a 145.2m 1 2 B. Un poste telefónico forma un ángulo de 82º con el piso. El ángulo de elevación del sol es de 76º. Encuentre la longitud del poste del teléfono si su sombra es de 3.5m El dibujo lo representamos como un triángulo oblicuo. Con esta información procedemos a determinar la altura del poste. Planteamos la ley de senos para este triángulo en particular sen sen75 3.5 h Como vemos tenemos otra incógnita en la relación que nos propone la ley de senos, el ángulo, sin embargo, este lo podemos encontrar con el teorema de la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º 82 76 180 22 Ahora podemos calcular la altura. sen22 sen75 3.5 h 3.5sen75 h sen22 h 9.0m ITM Elaborada por: Gloria Esperanza Puetaman Guerrero Página 4 de 8
Problemas _ Solución de Triángulos Calcular la altura de una torre si al situarnos a 25 m de su pie, observamos la parte más alta bajo un ángulo de 45º. R.(La altura de la torre es 25 m). Desde un punto A sobre un plano horizontal se halla atado un globo (el globo se sostiene verticalmente en el aire); al mismo nivel de A se eligen otros dos puntos B y C (A, B y C colineales), distantes entre sí 90 m. desde estos puntos B y C se miden los ángulos de elevación (respecto al globo) 40º y 30º respectivamente. Hallar la altura en metros a la cual se encuentra el globo. R.(El globo se encuentra a 166,57 m de altura). Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 60º y si retrocedemos 10 m, bajo un ángulo de 30º. R.(La altura del árbol es de 8,66 m). Un triángulo ABC tiene un ángulo recto C y dos ángulos agudos A y B. Los lados del triángulo AC y BC de ambos lados del ángulo recto C están dados como: AC = 3 BC = 4 AC = 5 BC = 12 AC = 8 BC = 15 R.(AB = 5, sena = 4/5, senb = 3/5, cosa = 3/5, cosb = 4/5) R.(AB = 13, cosa =5/13 =senb, cosb = 12/13 = sena). R(AB = 17, cosa =8/17 =senb, cosb = 15/17 = sena). En cada caso, use el teorema de Pitágoras para encontrar el tercer lado y luego encuentre el seno y el coseno de los ángulos A y B. En un triángulo ABC, resolver los triángulos pedidos A =32º, B = 123º y a = 11. a = 167, b = 145 y C = 53º ITM Elaborada por: Gloria Esperanza Puetaman Guerrero Página 5 de 8
a = 75, b = 92 y c = 107 a = 105, b = 110 y A = 57º R.(Angulo C = 25, c = 8,77 y b =17,4) R.(C = 140,6 ángulo A = 71.45 ángulo B = 55.45) R.(ángulos 43.47, 57.56, 78.97) R.(ángulo B =61.47, ángulo C= 61.53 y c = 110.05) Resolver el triángulo ABC R.(AC = 3.86, BC = 1.05 ángulos de 75 y 90 ). Resolver el triángulo DEF R.(EF = 2 y ángulo D = 30 ). El ángulo de elevación del sol, cuando un hombre de 6 pies de altura proyecta una sombra de 10.4 pies es de?º. R.(El ángulo de elevación del sol, cuando un hombre de 6 pies de altura proyecta una sombra de 10.4 pies es de 30 ). En el triángulo ABC, la línea AB está a lo largo de una ribera estrecha. Medimos la distancia c = AB como 118 m, y los ángulos A y B tiene 63 y 55. Cuál es la distancia b = AC? cuál es la distancia perpendicular desde C a la línea c = AB? R.(La distancia b = AC = 109.5, y la distancia perpendicular desde C a la línea c = AB es de 97.56). Ac = 6.49 km y altura es 2.64 km. Dos observadores colocados a 110 m de separación en A y en B en la orilla de un río están mirando una torre situada en la orilla opuesta en el punto C. se miden los ángulos CAB y CBA que son 43º 57º respectivamente. A qué distancia está el primer observador de la torre? R.(El primer observador está a 93.67 m de la torre?). Un poste telegráfico está inclinado con un ángulo de 11º de la vertical del sol. Un poste emite una sombra de 96 pies de largo sobre el suelo horizontal cuando el ángulo de elevación del sol es de 23º. Hallar la longitud del poste. R.(La longitud del poste es de 38 pies). ITM Elaborada por: Gloria Esperanza Puetaman Guerrero Página 6 de 8
Un hombre eleva una cometa. La cometa esta a una distancia de 1000 cm, el ángulo que forma la cometa con la vista del hombre es de 60º por encima de la horizontal. (El hombre sostiene el hilo a la altura de la cabeza); A que altura esta la cometa del piso, si el hombre mide 1.8 m, Si la cometa cayera perpendicularmente, a que distancia caería del hombre? R.(La cometa está a 1046 cm del piso y si la cometa cayera perpendicularmente, caería a 500 cm del hombre?) Dos edificios uno frente del otro, se hallan en el mismo plano separados por una calle de 60 m. Cada uno forma con respecto a la cima del otro ángulos de elevación de 30º y 75º respectivamente. Hallar el ángulo de depresión que hace la cima del edificio más alto con la cima del edificio más bajo. R.(El ángulo de depresión que hace la cima del edificio mas alto con la cima del edificio más bajo es de 72.41 ) Sobre un barranco situado en la rivera de un río se levanta una torre de 100m de altura. Desde el extremo superior de la torre se observa un punto P a la orilla opuesta con un ángulo de depresión de 35º y desde la base de la torre se observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 15º. Hallar la altura del barranco donde está situado el punto P y el ancho del río. R.(la altura del barranco es d 61.75 y el ancho del río es 231) Cuando el ángulo de elevación del sol es de 64º, un poste de teléfono que está inclinado un ángulo de 9º directamente frente al sol forma una sombra de 21m de longitud en la horizontal. Hallar la longitud aproximada del poste. R.( la longitud aproximada del poste es 32.9) Un globo se encuentra elevado; desde un punto A, se observa el globo con un ángulo de elevación de 24º y desde un punto B que está en el mismo plano que A se observa el globo con un ángulo de elevación de 47º, si A y B están separados 8,4 km. Hallar la altura del globo respecto al suelo. R.(Ac = 6.49 km y altura es 2.64 km.) Un cohete es visto desde 3 estaciones A, B y C bajo ángulos de 45º, 45º y 60º respectivamente. Sabiendo que B está al norte de C, A al oeste, y que AB = 5 km; Calcular la altura del cohete. Desde la orilla de un río, observamos la copa de un árbol situado en la otra orilla, bajo un ángulo de 60º. Si nos retiramos 10 m. de la orilla, el ángulo de observación es de 45º. Calcular la altura del árbol y la anchura del río. Desde un avión situado a 300 metros sobre el nivel del suelo se hacen observaciones de un lago obteniendo los resultados que se muestran en la figura. Calcule la longitud del lago. ITM Elaborada por: Gloria Esperanza Puetaman Guerrero Página 7 de 8
Hallar el ángulo º BIBLIOGRAFIA STEWART, James y otros. PRECÁLCULO Matemáticas para el cálculo. Quinta edición. Ed. THOMSOM. 2007. GOODMAN: ALGEBRA y TRIGONOMETRIA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA, 1ª Edición. Prentice Hall Inc. 1996. LARSON, Ron. CÁLCULO. Novena edición. Ed. Mc Graw Hill. 2011. www.vitutor.com y otras páginas. ITM Elaborada por: Gloria Esperanza Puetaman Guerrero Página 8 de 8