Probabilidad Condicional Algunas veces la ocurrencia de un evento A puede afectar la ocurrencia posterior de otro evento B; por lo tanto, la probabilidad del evento B se verá afectada por el hecho de que ya ocurrió el evento A Ejemplo: Suponga que un grupo de 20 artículos contiene 10 que son defectuosos y 10 que no lo son; una persona selecciona uno de estos artículos al azar, sin saber que hay defectuosos, y lo instala en un equipo. Sea A el evento de que la selección de un artículo resulte en uno defectuoso; por lo tanto, ; ahora bien, si se selecciona otro artículo de los 19 restantes la probabilidad del evento B donde B representa que el segundo artículo seleccionado está defectuoso será, si la primera selección dio como resultado un artículo no defectuoso o, si la primera selección fue un defectuoso; o sea que la selección de un defectuoso en el segundo intento depende de lo que ocurrió en el primer intento. En muchos experimentos la ocurrencia de un evento particular está usualmente asociada a la ocurrencia de otros eventos, de manera que al calcular la probabilidad de dicho evento es necesario considerar aquellos que condicionan su ocurrencia. Ejemplo: De una urna que contiene 4 bolas rojas y 5 bolas negras se extraen al azar y sin reemplazo dos bolas, una a una. Cuál es la probabilidad de que la primera sea roja?, Sea negra?, Cuál es la probabilidad de que la segunda sea roja? Definamos los siguientes eventos: La i ésima bola extraída es roja; i = 1, 2 La i ésima bola extraída es negra; i = 1, 2, Para calcular la probabilidad de, se necesita saber el color de la primera bola extraída. M F I E D G V Z
Si la primera bola es roja, entonces Si la primera bola es negra, entonces La probabilidad de depende de la bola extraída en la primera selección. Definición: Sean A y B eventos de un espacio muestral S. La Probabilidad Condicional de A dado B, la cual denotamos, está dada por Tenemos que: Regla multiplicativa Nota: Sean A y B dos eventos no vacíos de un espacio muestral S. Se puede mostrar que: Ejemplo: Un fabricante de neveras tiene cinco listas para ser enviadas a un distribuidor. El fabricante no sabe que dos de las cinco son defectuosas. Recibe un pedido de dos de ellas y lo cubre seleccionando al azar dos de las cinco. a. Obtenga el espacio muestral S para el experimento de seleccionar dos de las cinco. b. Sea E el evento de que el pedido se cubre con dos neveras no defectuosas. Represente el subconjunto generado por E. c. Encuentre la M F I E D G V Z
Solución: a. Suponga que una elección de una nevera defectuosa se representa por D y no defectuosa por B; así, el espacio muestral S será: Para hallar la probabilidad asignada a cada uno de los elementos del anterior conjunto, procedemos de la siguiente forma: b. c. O sea que la probabilidad de que el cliente reciba dos defectuosas es de 0.3. M F I E D G V Z
Ejemplo: Considere la siguiente tabla de doble entrada Fuma Sedentarismo Si No Total Si 19 17 36 No 10 24 34 Total 29 41 70 Defina los eventos: S: La persona seleccionada es sedentaria. F: La persona seleccionada fuma. a. Cuál es la probabilidad de que sea sedentario y si fuma? b. Cuál es la probabilidad de que si fuma? c. Cuál es la probabilidad de que sea sedentario dado que si fuma? M F I E D G V Z
Ejemplo: Se seleccionan al azar 100 personas de una gran comunidad y se someten a un estudio para evaluar la incidencia del fumar en el desarrollo de enfermedad pulmonar. Los resultados obtenidos después de un período se muestran a continuación. Enf Pulm Hombre - Fumador Mujer - Fumador Si No Total Si No Total Si 40 3 43 20 2 22 No 5 12 17 10 8 18 Total 45 15 60 30 10 40 Defina los eventos: H: La persona seleccionada es un hombre. M: La persona seleccionada es una mujer. F: La persona seleccionada fuma. N: La persona seleccionada no fuma. E: La persona seleccionada desarrolla enfermedad pulmonar. NE: La persona seleccionada no desarrolla la enfermedad pulmonar. Se selecciona una persona al azar de estas 100. Calcule las siguientes probabilidades. a. Cuál es la probabilidad de que sea fumador y hombre? fumador y mujer? M F I E D G V Z
b. Cuál es la probabilidad de que sea fumador? Cuál es la probabilidad de que desarrolle enfermedad pulmonar? c. Si es mujer, Cuál es la probabilidad de que desarrolle enfermedad pulmonar? y si es hombre? d. Si es mujer y no fuma Cuál es la probabilidad de que desarrolle enfermedad pulmonar? (Trate de calcularlo) e. Cuál es la probabilidad de que desarrolle enfermedad pulmonar, dado que no fuma o es mujer? Solución M F I E D G V Z
Otra camino: Probabilidad Condicional e Independencia Recordemos el primer ejemplo de Probabilidad Condicional: Suponga que un grupo de 20 artículos contiene 10 que son defectuosos y 10 que no lo son; una persona selecciona uno de estos artículos al azar, sin saber que hay defectuosos, y lo instala en un equipo. Sea A el evento de que la selección de un artículo resulte en uno defectuoso; por lo tanto, ; ahora bien, si se selecciona otro artículo de los 19 restantes la probabilidad del evento B donde B representa que el segundo artículo seleccionado está defectuoso será, si la primera selección dio como resultado un artículo no defectuoso o, si la primera selección fue un defectuoso; o sea que la selección de un defectuoso en el segundo intento depende de lo que ocurrió en el primer intento. Note que si en la primera selección, el artículo tomado se hubiera reincorporado al lote, la no hubiera variado. En resumen, si el artículo no se reincorpora al lote, B no es independiente de A Si el artículo se reincorpora al lote, B es independiente de A. Note que lo que determina la independencia en este caso es la forma en que se tomó la muestra (con reemplazo o sin reemplazo). M F I E D G V Z
Cuando un evento A es independiente de un evento B se cumple la siguiente relación: Nota: El concepto de independencia entre dos eventos A y B es diferente al concepto de que A y B son mutuamente excluyentes. Ejemplo: Muestreo sin reemplazo es casi equivalente a muestreo con reemplazo cuando la población es muy grande y la muestra tomada es pequeña con respecto a esta población. Suponga que se toman 20 personas de una población que tiene aproximadamente 500000 personas de los cuales se estima que 200000 son clientes potenciales para un cierto producto. Interesa conocer la probabilidad de seleccionar un cliente potencial en la muestra de tamaño 20. Sea : Evento de que la persona i es un cliente potencial, Si el muestreo se hace con reemplazo (es decir una persona seleccionada podría ser seleccionada de nuevo), Si el muestreo se hace sin reemplazo,. M F I E D G V Z
Como, los eventos y se pueden asumir independientes. Note que la probabilidad de seleccionar un cliente potencial permanece aproximadamente constante y por lo tanto ambos muestreos producen valores de probabilidad similares. Definición. Sean, k eventos asociados a un espacio muestral S, entonces. Si los eventos son independientes Sean eventos de un espacio muestral S, se dice que son estadísticamente Independientes si y sólo si, cualquiera de las siguientes proposiciones se cumple: M F I E D G V Z
Teorema de probabilidad total y regla de Bayes Considere un espacio muestral S que está particionado en k eventos mutuamente excluyentes: Note que y para i distinto de j Idea: Cualquier evento en S se puede escribir en términos de los! Esto es cierto ya que: Los elementos dentro de los paréntesis son disjuntos. Entonces, Este resultado se conoce como teorema de probabilidad total.
También se puede expresar: Ejemplo: De los estudiantes que ingresan a la carrera de Estadística, el 35% lo hace por primera opción, el 55% por segunda opción y el resto por tercera opción. De los que pasan por primera opción, el 90% se gradúa, de los de segunda opción el 35% se gradúa y de los de tercera opción el 5% se gradúa. Se selecciona de manera aleatoria un estudiante del programa Estadística. a. Si es de segunda opción, Cuál es la probabilidad de que no se gradúe? b. Cuál es la probabilidad de que se gradúe? Defina los siguientes eventos: : El estudiante ingresa por la opción i, G: El estudiante se gradúa. Del enunciado se tiene que: Además: a. Se pide calcular b. Por el teorema de probabilidad total se tiene que: M F I E D G V Z
Teorema de Bayes. Usando este resultado, es relativamente sencillo formular el Teorema o Regla de Bayes: Sean eventos mutuamente excluyentes asociados a un espacio muestral S y son tales que lo particionan. Sea A cualquier evento definido en S, entonces, Ejemplo: En una población de votantes el 40% son del partido A y 60% del partido B. Se estima que 30% de los integrantes del partido A y 70% de los del partido B están a favor de una cierta ley de impuestos. Si se selecciona una persona al azar de esta población y declara estar a favor de dicha ley, Cuál es la probabilidad de que esta persona pertenezca al partido B? Solución. Defina los eventos: A: Ser del partido A B: Ser del partido B C: Estar a favor de la ley de impuestos Sabemos que: A y B particionan el espacio muestral S. M F I E D G V Z
Entonces, Lo anterior, nos ayuda a calcular Ejemplo: Tres líneas de producción contribuyen a la producción total de una compañía. La línea 1 contribuye con el 20% de la producción y 15% de sus productos son defectuosos. La línea 2 proporciona el 50% de la producción y 5% de sus productos son defectuosos. La línea 3 proporciona 30% de la producción y 6% de sus productos son defectuosos. Con esta información, responda las siguientes preguntas: a. Qué porcentaje de artículos, en la producción total, son defectuosos? b. Si un artículo se selecciona al azar y es defectuosos, Cuál es la probabilidad de que proceda de la línea 1? Solución. Defina los siguientes eventos: A: El artículo proviene de la línea 1 B: El artículo proviene de la línea 2 C: El artículo proviene de la línea 3 D: El artículo está defectuoso ND: El artículo no está defectuoso M F I E D G V Z
De acuerdo a la información del problema: a. b. Tarea 013. 1. Sobre el anterior ejercicio, calcule : a. Qué porcentaje de artículos, en la producción total, son defectuosos? b. Si un artículo se selecciona al azar y es defectuosos, Cuál es la probabilidad de que proceda de la línea 2? c. Si un artículo se selecciona al azar y es defectuosos, Cuál es la probabilidad de que proceda de la línea 3? d. Si un artículo se selecciona al azar y es no defectuosos, Cuál es la probabilidad de que proceda de la línea 1? 2. Realice los cálculos similares de probabilidades sobre los datos de rostros atractivos. Compare los resultados con la tarea 012 M F I E D G V Z
Ejemplo: Incidencia de una enfermedad rara. Sólo 1 de 1000 adultos se ve afectado por una enfermedad rara para la cual se ha desarrollado una prueba diagnóstica. La prueba es tal, que cuando un individuo en realidad tiene la enfermedad, ocurre un resultado positivo 99% de las veces, en tanto que un individuo sin la enfermedad presenta un resultado positivo sólo 2% de las veces. Si se aplica la prueba a un individuo seleccionado al azar y el resultado es positivo. Cuál es la probabilidad de que el individuo tenga la enfermedad? Para usar el teorema de Bayes, sea: : El individuo tiene la enfermedad. : El individuo no tiene la enfermedad. : Resultado de prueba positiva. Solución: Los diagramas de árbol pueden ser útiles para ilustrar este tipo de situaciones. M F I E D G V Z
Junto a cada rama que corresponde a un resultado de prueba positiva, la regla de la multiplicación produce las probabilidades registradas. Por lo tanto,, de donde se tiene: Este resultado parece ser contraintuitivo; al parecer la prueba diagnóstica es tan precisa, que se espera que alguien con un resultado positivo tenga altas probabilidades de padecer la enfermedad, en tanto que la probabilidad condicional calculada sólo es 0.047. Sin embargo, debido a que la enfermedad es rara y la prueba sólo tiene una confiabilidad moderada, la mayor parte de los resultados de prueba positivos surgen de errores y no de individuos enfermos. La probabilidad de tener la enfermedad se incrementó por un factor multiplicativo de 47 (del 0.001 al 0.047); pero para obtener un incremento más en la probabilidad posterior, se requiere una prueba diagnóstica con índices de error mucho más pequeños. Si la enfermedad no fuera rara (p.ej., incidencia de 25% en la población), entonces los índices de error para la prueba actual proporcionarían buenos diagnósticos. M F I E D G V Z