Ley del Coseno 1 Ley del Coseno Dado un triángulo ABC, on lados a, b y, se umple la relaión: = a + b abosc (Observe que la relaión es simétria para los otros lados del triángulo.) Para demostrar este teorema, dibujemos nuestro triángulo ABC, y traemos la altura AD haia el lado BC. b C D a A B Es fáil observar que el triángulo ABD es retángulo en D. Por lo tanto, por el teorema de Pitágoras, tenemos que: = AD + BD = AD + (a CD) = + + a (AD CD ) acd CD = + = b a b abosc Note que osc. Apliando el mismo proedimiento a los otros lados del triángulo obtenemos las siguientes relaiones: = a + b abosc = + a b bosa = + b a aosb No hay que olvidar la importania de este teorema, pues nos puede servir en algún momento para hallar las longitudes de iertos lados de triángulos o en oasiones onoer la medida del ángulo que forma dos retas. Vemos ómo funiona, on unos uántos ejemplos:
Ley del Coseno Ejemplo 1. Dos lados de un triángulo miden 6 y 10, y el ángulo que forman es de 10. Determine la longitud del terer lado. Soluión. Supongamos que a = 6, b = 10, C= 10, y el terer lado es. Entones por la Ley de Cosenos tenemos que: Por lo tanto = 14. a b abosc ( )( ) = + = 6 + 10 6 ( )( 10)os10 1 = 36+ 100 6 10 = 196 Ejemplo. Un triángulo ABC tiene lados AB = de sus ángulos. 3, BC = 1 y AC =. Determine las medidas Soluión. En este aso, tenemos que = 3, a = 1 y b =. Entones apliando la ley de Cosenos obtenemos: = a + b abosc Por lo tanto C= 60. Por otra parte tenemos que: ( ) 3 = 1 + 1 osc= 1 a b bosa ( )( )osc ( 1) = + ( 3) ( )( 3) osa= = + 3 osa Por lo tanto A= 30. Así, alulamos el terer ángulo: B= 180 A C= 180 30 60 = 90. Luego, el triángulo tiene ángulos de 30, 60 y 90.
Ley del Coseno 3 Ejeriios 1. Muestra que en un triángulo de lados 4, 5, 6 uno de los ángulos es el doble del otro.. Si en un triángulo ABC se umple C= B, demuestre que = ( + ). a bb 3. La siguiente figura está formada por seis uadrados de áreas S1, S, S3, T1, T, T3. 1 Demuestre que S1+ S+ S3 = ( T1 + T + T3). 3 4. ABC es un triángulo tal que a = 1, b + = 18 y os A = que 3 3 3 a = b +. 7 osa=. Demuestre 38 Ley del Paralelogramo En un paralelogramo, la suma de los uadrados de las diagonales es igual a la suma de los uadrados de los lados. En otras palabras, lo que tenemos es lo siguiente: Dado un paralelogramo ABCD, se umple la relaión: AC + BD = AB + BC + CD + DA. Lo ual podemos esribirla en la forma + = +. AC BD (AB BC ) Vamos a demostrarlo de la forma fáil, usando Ley de Cosenos.
Ley del Coseno 4 D C A B Fijémonos en los triángulos ABC y ABD que ontienen preisamente las diagonales AC y BD. Apliando la ley de Cosenos en el triángulo ABC obtenemos: = + (1) AC AB BC (AB)(BC)osABC Ahora, apliando la ley de Cosenos al triángulo ABD obtenemos: = + () BD AB AD (AB)(AD)osBAD Sumando (1) y () miembro a miembro obtenemos: (Usando que BC= AD y osabc = osbad por ser ángulos suplementarios.) = + AC AB BC (AB)(BC)osABC = + BD AB AD (AB)(AD)osBAD + = + + AC BD AB BC BC (AB)(BC)osABC (AB)(BC)( osabc) AC + BD = AB + BC + = + AC BD (AB BC ) Con esto ompletamos la demostraión de la Ley del Paralelogramo. Teorema de Stewart Si X es un punto sobre el lado BC (o su prolongaión) de un triángulo ABC, tal que BX m =, entones: XC n Demostraión. AX bm+ n amn = m+ n (m+ n) Considere un triángulo ABC y el punto X sobre el lado BC, tal que BX = m, XC n omo muestra la figura..
Ley del Coseno 5 A b B p X a q C Sea BX = p y CX = q. Entones podemos estableer p = km y q = kn. Además, notemos que los ángulos AXB y AXC son suplementarios, es deir: os AXB= os AXC. En el triangulo ABX, obtenemos: = AX + p AXposAXB = + AX k m AXkmosAXB (1) En el triángulo AXC, tenemos: b = AX + q AXqosAXC = + + b AX k n AXknosAXB () Despejando osaxb de (1) y () obtenemos: k m + AX b k n AX os AXB= = AXkm AXkn + = k mn AX n n bm k nm AX m + = + + AX (m n) bm n k mn(m n) bm+ n a AX = k mn pero p+ q= k(m+ n) = a k = m+ n (m+ n) + m+ n (m+ n) bm n amn AX = Este teorema puede ser muy útil a la hora de determinar longitudes desde un vértie a un punto que divide al lado opuesto en una razón dada.
Ley del Coseno 6 Ejeriios 1. Calula la longitud de la mediana de un triángulo en funión de sus lados.. Calula la longitud de la bisetriz de un triángulo en funión de sus lados. 3. Calula la longitud de la altura de un triángulo en funión de sus lados. 4. Considera un triángulo, tal que dos de sus lados miden a y b, y el ángulo que forman es de 10. Calula la longitud de la bisetriz de ese ángulo en funión de a y b.