VECTORES. BIDIMENSIONAL

VETORES. IDIMENSIONL 1. Dado los vectores,,, D, E, F y G que se muestran en la figura, determinar el modulo del vector resultante si = 5N y F = 4N. Rpta. R = 17,35N. 2. En el primer cuadrante de un sistema de coordenadas XY se encuentra un vector de 9m de longitud y que hace con el eje +Y un ángulo de 35. En el segundo cuadrante un vector de 12m de longitud que hace con el eje X un ángulo de 27 y en el cuarto cuadrante un vector de 15m de longitud que hace con el eje Y un ángulo de 36. Encontrar: a) La representación de cada vector en dicho sistema de coordenadas. Rpta. = 5,2 i+7,4 j = -10,7 i+5,5 j = 8,8 i -12,1j b) El vector resultante y su magnitud. Rpta. R= 3,3i +0,68 j y 3,36 c) El ángulo que forman los vectores P=- y Q=-. Rpta. 131,3 3. Determinar el modulo del vector resultante de los vectores que se muestran en la figura, si = 15N y el ángulo entre y es 90. Rpta. 36 4. Dado los vectores fuerza que se muestran en la figura, determinar el modulo del vector resultante si D = 5N y G = 3N. Rpta. 13,34N 5. Dado los vectores que se muestran en la figura de módulos F 1 = 5N, F 2 = 15N y F 3 = 10N. a) Expresar cada vector en función de los Y F 1 vectores unitarios i y j. 20 b) Determinar el vector: 2 (F 1 - F 2 ) + F 3 F 3 30 c) Determinar el producto: F 1 F 2 Rpta. a) F 1 = 4,33i + 2,5j F 2 = 10,61i 10,61j 45 X F 3 = -9,4i 3,42j F 2 b) -21,96i + 22,8j

c) 19, 41 6. Determinar la magnitud del vector resultante de los vectores que se muestran en la figura, si la diagonal del cubo vale 4 3 m. Rpta. 4 7. Dado los vectores y, determinar: a) El vector unitario en el sentido negativo del vector ( -2). Rpta. j b) El ángulo entre los vectores y. Rpta. 44,8 8. En la figura se muestra los vectores, y. Si el lado del cuadrado vale 1m. a) Expresar cada vector en función de los vectores unitarios i y j. b) b) Determinar un cuarto vector D tal que +-2 = D. Rpta. a) = 2i+2j = -3j = 5i-3j b) D = -8i+5j Y X 9. Las figuras muestran un rectángulo de lados 3m y 5m y un triangulo equilátero de 25cm de lado. Determinar: a) Los vectores, O, y. b) Los vectores OF y FG. c) El vector (OF -2FG) Rpta. a) 5 i, 5 i+3 j, -3 j b) 12,5 i +21,7 j y 12,5 i -21,7 j c) -12,5 i + 65 j 3 Y(m) Y(cm) F 0 5 X(m) 0 G X(cm)

10. La figura muestra los vectores, y, que tienen magnitudes = 4N, = 5N y = 2N. Determinar: a) Los vectores, y en términos de los vectores i, j y k. b) El vector D = ( 2 +). c) Un vector unitario en la dirección y sentido que D. Rpta. a) = 3,2i + 2,4j b) 9,2i -7,6j = -3i + 4j c) 0,77i 0,64j = -2j 11. La figura muestra tres vectores, y, Ubicados en un sistema de coordenadas cartesiano en un plano. Sus direcciones y sus magnitudes, en newtons, se dan en la figura mostrada. Determinar: a) Los vectores, y en términos de los vectores unitarios i y j = 25N Y R d) El vector P = (. ) 3 b) El vector R = 3 2 + c) El ángulo que forma el vector con el vector 52 o 39 o =15N X Rpta. (a) = -15.39 i + 19.70 j, = 11.66 i +9.44 j = -5.45 i -10.69 j. (b) -45.41 i + 47.16 j (c) 5.87 o (d) -70.50i 98.02 j 27 o = 12N 12. Los módulos de los vectores que se muestran en la figura son: F 1 = 5N, F 2 = 10N, F 3 = 15N. Determinar: a) F 1, F 2, F3 en términos de los vectores unitarios i y j 1 b) El vector 2 F1 + F2 F3 (1 punto) 2 c) Un vector unitario en la dirección del vector F + 1 F3 F 2 37 o 53 o F 3 y F 1 53 o x Rpta. (a) F 1 = 3 i+4 j, F 2 = -8 i 6 j, F 3 = 9 i 12 j (b) -6.5 i + 8 j (c) 0.83i 0.55 j 13. La figura muestra los vectores, y, que tienen magnitudes: = 4N, =5N y =2N. Determinar: a) Los vectores, y en términos de los vectores i, j (2p). b) El vector D = 2 + (1p). c) Un vector unitario en la dirección de (2p). Rpta. (a) = 3.2 i +2.4 j, = -3i + 4j, = -2 j (b) 3.4 i + 10.8 j. (c) -0.6 i + 0.8 j 127 o y 37 o x

14. Dado los vectores que se muestran en la figura de módulos F 1 = 5 2N, F 2 = 10N y F 3 = 20N a) Expresar cada vector en función de los vectores unitarios î y ĵ (2 puntos) F 1 F ) b) Determinar el vector 2( 2 c) c) Determinar un vector unitario en la dirección del F 1 + F ) vector ( 3 15. La figura muestra los vectores, y, cuyas magnitudes son 50 u, 10 u y 20 u respectivamente. Encontrar: a) El vector S = + + b) El vector R = (. ) (. ) c) El ángulo que forman los vectores R y S 16. Dado los vectores que se muestran en la figura, en donde el lado del cuadrado vale 1u, determinar a) El vector resultante en función de los vectores i y j. b) El vector unitario en la dirección del vector P =2 +. 17. La figura muestra los vectores D,,, y E. Si los módulos = E = 5N determinar el modulo de la suma de los vectores mostrados. 35 E D,

18. Dado los vectores y tal que + = 2i+ 3j y = 4i+ 5j a) Los vectores y (1 pto) b) Un vector unitario en la dirección y sentido del vector P= + 2, determinar: 19. on los vectores de la figura, determinar: a) Los vectores,, y D en términos de los vectores unitarios i, j. (2p) b) S = + + D (1p) c) ( ). (1p) d) Un vector unitario en la dirección de ( + ). (2p) D 1.5m 1.5m 40 o 20. En el plano XY se muestran los vectores,,, y D cuyas magnitudes son todas iguales a 10 unidades. Encontrar: y 2.0m 1.0m 25 o 19 o x La representación de cada vector, en términos de los vectores unitarios i, j, en el sistema de coordenadas cartesianas mostrado. (1p) a) El vector: R = 2 2 D + - (1p) b) El vector Q = [ ( + ). ( + D) ] D. (1p) c) El ángulo entre los vectores R y. (1p) 21. Dado los vectores y que se muestran en la figura y el vector = 2 i + b j. Determinar: a) Los vectores y expresados en términos de los vectores unitarios i y j (1p) b) Un vector unitario en la dirección y sentido de ( + 2 ) (2p) c) El valor de b en el vector, tal que sea perpendicular al vector ( + 2 ) (2 p)

22. Dado los vectores = 4i+ 3j, = 3i+ 2j y = ai 3 j. Determinar: a) El producto escalar. (2ptos). b) El ángulo formado entre y. (1pto) c) El valor de a tal que el vector sea perpendicular al vector. (1pto) d) Un vector unitario en la dirección y sentido del vector. (1pto) 23. 34. Dado el vector = 3i+ 5j y los vectores y que se muestran en la figura, determinar: y =50 a) El vector S = + +. (2 ptos) b) El vector D = ai + 3 j tal que D (1pto) c) El ángulo entre D y. (1 pto) 32,14 = 100 0 x 24. La figura muestra cuatro vectores en el plano XY., 8 35, 6 D, 12 50, 10 Encontrar: a) La representación de cada vector en función de los vectores unitarios i y j. (1 punto) b) Hallar el vector P = [( ).] D. (2 puntos) c) El ángulo entre el vector P y el vector D. (1 punto) 25. La figura mostrada, los módulos de los vectores son = 10u, F = 20 u y el ángulo θ = 37. Encuentre: (5P). a) Los vectores y F b) El vector R = + + + D c) El ángulo que forma el vector R con F

VETORES. TRIDIMENSIONL 26. Se tienen los vectores: = - 3 i + 4 j 5 k = 4 i 6 j + 10 k Encontrar: a) El vector R = (.) ( ) (1 punto) b) La magnitud y el ángulo que hace el vector R con el eje X (1 punto) c) El ángulo que hacen los vectores R y. (1,5 punto) d) El ángulo que hacen los vectores y. (1 punto) 27. Dado los siguientes vectores: = -3i + 2j, = 2i-3j-2k y = 4j +3k, realizar las siguientes operaciones: a) R = 2 + 3 y encontrar el ángulo que forma con el eje x. b) S = 2 y encontrar el ángulo que forma con el eje y. c) D= R - S d) El ángulo que forman los vectores R y S. Rpta.-a) R = -4i -11j -11k b) S = -7i +8j+4k c) D= 3i-19j-15k d) θ = 124,8 28. Dado los vectores, y que se muestran en la figura, determinar: a) La representación en el sistema de coordenadas cartesianas de loa vectores, y. Z b) El vector R = + + c) El vector unitario en la dirección del vector R. d) El ángulo formado entre el vector R y el vector 4 D = 4i + 4j + 4k. Rpta. a) = 4i = 4j c) = - 4i + 4k 4 4 Y b) R = 4j + 4k c) u R = 0,71j +0,71k X 29. En la figura se muestran un cubo de lado 2u y los vectores, y, determinar: a) El vector S = + + b) El ángulo entre los vectores y c) La expresión vectorial de un vector de modulo 30u a lo largo del vector. Rpta. a) S = 2i +4j +6k b) θ = 54,74 c) 21,2j + 21,2k X Z Y

30. Se tienen los siguientes puntos en el espacio cuyas coordenadas son P(-1,3,0), Q(0,0,-1), R(2,-3,1) y S(-4,0,1) metros. Encontrar: (Ex. Sust 2003-1) a) El vector que va desde el punto P a Q. b) El vector que va desde el punto Q a R. c) El vector que va desde el punto S a R. d) Realizar la siguiente operación: (. ) - 3 ( + ). (. ) - 3 ( + ) e) El ángulo que forma el vector ( + ) con el vector. Rpta. (a) i - 3j k. (b) 2i - 3j + 2k. (c) 6i - 3j. (d) 30i - 9j 6k. (e) θ = 37.7º 31. Se dan los siguientes vectores: = 3iˆ 2 ˆj 4kˆ = 4 iˆ + 3kˆ = 3iˆ kˆ Encontrar: b) El vector R = 3 2( + 3) c) El vector S = ( ) ( ) d) El ángulo entre los vectores R y S. 32. Dado los vectores: = i k = 3 j 4 k = - 3 i + 2 j 4 k D = - 3 k Encontrar: b) El vector P = (( ).( + )) (2 puntos). c) Un vector unitario en la dirección de Q = + D. (2puntos). d) El ángulo entre los vectores P y (2 puntos). 33. Dado los vectores a y b ; cuyas magnitudes son: a = 3 14N respectivamente. Halle el vector unitario del vector a b. z y b = 13N (0;0;2 b a (6;4;0 y x

34. En la figura el vector es de modulo 15 u. Y el vector su modulo 10 u. Hallar: a) Expresar y en forma vectorial. (1 punto) b) El ángulo formado por los vectores y. (2 puntos) c) Un vector perpendicular al plano formado por los vectores y. (2 puntos). 35. Dado los vectores: = 4 i 4 j + 4 k = - 5 i + 4 k = - 6 i 4 j + 8 k Encontrar: a) El vector P = (.) (.). (2 puntos) b) El vector Q = ( ).( + ). (2 puntos) c) El ángulo entre los vectores P y Q. (1 punto) 36. La figura muestra las fuerzas F 1 = 350 N y F 2 = 120 N, aplicadas en los vértices del paralelepípedo. Estas siguen las direcciones de las diagonales de las caras. Determine: (4 p) Z a) Los vectores F 1 y F 2 b) El producto escalar F 1 F 2 F 2 c) El producto vectorial F 1 F 2 D 2,0 d) El ángulo que forman F 1 y F 2 4,0 3,0 Y X F F 1 E 37. onsiderando los vectores mostrados en la figura, determinar: a) + + + D, en términos de los vectores unitarios i, j (2p) b) (.) (1p) c) Un vector unitario perpendicular al vector y en el plano de la figura. (1p)

38. Los vectores mostrados en la figura se encuentran en el plano XY. Representando los vectores en función de los vectores unitarios i, j realizar las siguientes operaciones. a) Encontrar el vector: R = 2 ( + ) 2 ( D) (1.5 puntos) b) Encontrar el vector: P = ( ) + ( D) (1.5 puntos) c) El ángulo que hacen los vectores R y P. (1 punto) 39. Dos vectores F1 de módulo 60N y F 2 de módulo 40N, actúan en el punto. Hallar: a) Los vectores F1 y F 2 en función de los vectores unitarios i y j. (2ptos) b) R= F1+ F2. (1 pto) c) Un tercer vector F 3 = ( ai 4 j) N tal que F3 R. (2 ptos)