PRACTICO UNIDAD 3 Nota: Los ejercicios propuestos en los prácticos deben servirle para afianzar y practicar temas. Si nota que algunos ejercicios ya los sabe hacer bien, continúe con otros que le impliquen un mayor desafío. FUNCIONES LINEALES Son aquellas que se representan mediante una recta. Entre estas tenemos: Func. de proporcionalidad Función Afín Función Constante Recta que pasa por: (0,0) Recta corta eje y en :(0,n) Paralela al eje X Ecuación: y m. x Ecuación: y m. x n Ecuación: y n m es la pendiente m es la pendiente la pendiente es 0 1) Indica el tipo de las funciones lineales de que se trata de entre todas las dadas a continuación, y posteriormente dibuja su gráfica sobre unos ejes cartesianos: a) y x b) y 2x c) y 1 d) y 3x 2 e) y 2 f ) y 4x g) y 3 2x La gráfica de la función y 3 2x sería: Responde las siguientes preguntas: a) pasa por el (0,0)? y por el (1,1)? b) es continua? c) cuánto vale la pendiente? d) es la función creciente? 2) Relaciona las siguientes funciones con su gráfica mediante una flecha a) y = -3x-2 b) y = 3x-2 c) y = 3x+2 d) y = -3x+2 PÁGINA 1
3) Representa las siguientes funciones en un mismo sistema de coordenadas cartesianas. a) y = 3(x-2)+1 b) y = 2 (x-3) + 6 c) y = 4 4) Hallar las ecuaciones de las siguientes rectas con los datos de los gráficos. 5) Escriba cada ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen a) 3x + y = 4-x b) 2x - y = 5 c) 6x 3y = 1 d) 4x + 2y = 10 e) 3y - 5 = 0 f) 3 + = 2 g) 4x - 3y - 7 = 0 h) 5x 2y + 10 = 0 6) Escriba la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos dados, en la forma Ax + Bx + C = 0 a) (-1, 2), (2, -1) b) (2, 3), (3, 2) c) (1, 1), (-1, -1) d) (3, 0), (0, -3) e) (10, 27), (12, 27) ) ( ; ) g) ( 2, 4 2 ), ( 3 2, - 10 2 ) 7) Dos rectas, paralelas a los ejes coordenados, se cortan en el punto (5, -7). Cuáles son sus ecuaciones? 8) Escriba la ecuación de la recta que es paralela a y = -3x - 6 y tiene la ordenada al origen 6. 9) Escriba la ecuación de la recta, paralela a 2x + 3y = 6, que pasa por el punto (1, -1). 10) Escriba la ecuación de la recta que es perpendicular a y-3x+6=2 y pasa por el punto (2;2). 11) Si y es una recta perpendicular a g y h es paralela a y, cómo es h respecto de g? 12) Qué característica tiene la pendiente de una recta creciente? Y de una decreciente? 13) Tiene pendiente 4 y pasa por el punto (-3, 2). PÁGINA 2
14) Por el alquiler de un auto se cobra $100 diarios más $0.30 por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de kilómetros y represéntala. Si en un día se ha hecho un total de 300 km, qué importe debemos abonar? 15) Calcular los coeficientes de la función f(x) = ax + b si f(0) = 3 y f(1) = 4. Sistema de ecuaciones lineales PUNTO DE INTERSECCION ENTRE 2 RECTAS Para estudiar conjuntamente dos funciones lineales, representamos las dos rectas sobre los mismos ejes. Las coordenadas del punto de corte de ambas, si lo tienen, se calcula resolviendo el sistema de dos ecuaciones lineales al que dan lugar. Capacidad (litros) Tiempo (min) Observa que para las gráficas dadas el punto de corte es: P = (5,50). 16) Dos depósitos, uno de un antibiótico disuelto A y otro de suero B funcionan de la siguiente forma: a medida que A se va vaciando, B se va llenando. Si las gráficas del comportamiento son las del cuadro de arriba: a) Indica cual es la gráfica de A y cuál es la de B. Calcula las ecuaciones. b) Cuál es la velocidad de entrada y salida del líquido en cada caso? c) En qué momento los depósitos tiene igual cantidad de líquido? 17) Resuelve los siguientes sistemas analítica y gráficamente: a) x + 3y = 7 5x 2y = -16 b) x + 2y = 5 4x + y = 13 c) 2x 5y = -12 7x 2y = -11 d) x + 4y = 3 6x 5y = -11 e) 2x + 10y = 52 x y 2 8 f) 5x 5y = -10 x y 3 2 2 18) En una sala de emergencias hay 12 paquetes con vendas de 2cm y 3cm de grosor. Si cuando se abrieron se utilizaron 31 vendas en total, cuántas vendas había de cada tipo? 19) Un padre quiere repartir el dinero que lleva en el bolsillo entre sus hijos. Si a cada hijo le da $700 le sobran $200, pero si le da a cada uno $800 le faltan $200 Cuánto dinero lleva en el bolsillo y cuántos hijos tiene? PÁGINA 3
20) En una sala de emergencias hay 12 paquetes con vendas de 2cm y 3cm de grosor. Si cuando se abrieron se utilizaron 31 vendas en total, cuántas vendas había de cada tipo? 21) Un padre quiere repartir el dinero que lleva en el bolsillo entre sus hijos. Si a cada hijo le da $700 le sobran $200, pero si le da a cada uno $800 le faltan $200 Cuánto dinero lleva en el bolsillo y cuántos hijos tiene? 22) Hoy la edad de un hijo es 1 año menos que 1/3 de la de su madre. Si dentro de 5 años, la edad de la madre será 10 años mayor que el doble de la de su hijo, qué edad tienen? 23) Dos números suman 51. Si el primero lo dividimos entre 3 y el segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1. Hallar dichos números. Proporcionalidad directa e inversa FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA Una función lineal de proporcionalidad directa es aquella cuya expresión matemática viene dada por: y = m.x; donde x e y son variables y m una constante que se denomina pendiente o constante de proporcionalidad. Si m=1, la función que se obtiene, y=x, recibe el nombre de función identidad y se denomina de este modo, porque a cada número del eje de abscisas le corresponde el mismo número en el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto son idénticas (1,1), (2,2), etc. Una función (NO LINEAL) de proporcionalidad inversa es aquella cuya expresión matemática viene dada por: x y = k que también puede expresarse como: y = k / x (x 0). En una función de proporcionalidad inversa, si una de las variables aumenta, la otra disminuye en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra aumenta en un mismo factor. La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una curva, llamada hipérbola. 24) Por una manguera fluye un caudal de 5 dm 3 por minuto. a) Hacer una tabla de valores de la función tiempo (en min) capacidad (en dm 3 ). Qué observa a medida que transcurre el tiempo? Cuánto aumenta el volumen por cada minuto que pasa? b) Representar gráficamente la función. c) Hallar la expresión algebraica de la función. 25) La presión p y el volumen V de una misma masa de gas son magnitudes inversamente proporcionales cuando la temperatura del gas permanece constante. a) Representa la gráfica correspondiente a un gas que se mantiene a temperatura constante. b) Hallar la ecuación de la función que representa este comportamiento. p (atmósferas) 1 2 4 6 V (litros) 20 10 5 2,5 26) En un día de trabajo de 8 horas, un enfermero ha visitado 10 pacientes. Cuántas horas tardará en visitar 25 pacientes? (suponga que cada visita dura lo mismo) PÁGINA 4
27) Para empapelar una habitación se precisan 15 rollos de papel de 0.45 m de ancho. Cuántos rollos se necesitarán si el ancho fuera de 0.75 m? 28) Un trabajo puede ser realizado por 80 obreros en 42 días. Si el plazo para terminarlo es de 30 días, cuántos obreros deberán sumarse al proyecto? 29) Si para fabricar 24 ambos para enfermeros se utilizan 180 m 2 de tela. Cuántos ambos se obtendrán si se tiene una tela de 0.90 m de ancho por 45 m de largo? Para recordar: Función cuadrática 30) Graficar las siguientes funciones cuadráticas: f (x) = (x + 5) 2 8 ; g (x) = -3x 2 6x + 12 ; h (x) = x 2 4x + 4 ; t (x) = - x 2 + 3x Indicar para cada una: a) Ceros o raíces e intersección con el eje y; b) Coordenadas del vértice y eje de simetría; c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento d) Máximos y mínimos. 31) Graficar las siguientes funciones. Para ello, determinar previamente las raíces reales, las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y el punto de intersección con el eje de las ordenadas (y). a) p (x) = x 2-2x 8 b) r (x) = (2x - 1)(x + 2,5) c) t (x) = - x 2 - x - 2 PÁGINA 5
32) Las funciones g, h y j fueron obtenidas desplazando el gráfico de f (x)= x 2. Escribir la fórmula de cada una de las funciones. 33) Indicar cuántas raíces reales tienen cada una de las funciones g del ejercicio anterior. f 5 34) Hallar, si es que existen, las raíces reales de las siguientes 4 funciones: a) f (x) = (x-3) 2 9 b) g (x) = 4x 2 3 5x c) h (x) = x 2 4 d) j (x) = x 2 + 3x + 2 e) k (x) = 4x 2 + 4x 1 2 j 1 35) Indicar el tipo de raíces que tiene cada una de las siguientes -5-4 -3-2 -1 0 ecuaciones. Qué concluye respecto del determinante de la -1 1 2 3 4 5 fórmula resolvente (Baskara)? -2 a) 3x x 2 + 0,1= 0 b) x 2 + 4 = 0 c) 1 + 2x 9x 2 = 0-3 h d) 9 3x 2-1 -4 = 0 2-5 36) Las siguientes funciones cuadráticas están escritas en una forma (canónica, factorizada o polinómica) Escribir sus expresiones faltantes: a) f(x) = 2(x - 1) 2 2 e) j(x) = - i) h(x) = - x 2 + 2 b) j(x) = 6 (x - 1)(x+9) f) k(x) = - 5(x + 4) 2 j) q(x) = 9(x + 1) 2 4 c) f(x) =4(x - 2) 2 1 g) g(x) = 5 (x - 4) 2-125 k) g(x) = 3(x + 1) 2 12 37) Hallar el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas: Posteriormente dibujar sus gráficas. a) y= (x-1)² + 1 b) y= 3(x-1)² + 1 c) y = x² - 7x -18 38) Indicar la expresión analítica de una función cuadrática que: tenga mínimo en el punto x= -2 y corte al eje Y en (0,-1). 39) Indicar la expresión analítica de una función cuadrática con máximo en (5,4). 40) Dada la ecuación f(x)= x 2 +2.x+c, calcular el valor de c para que el punto (2;5) pertenezca a la parábola. Con el valor de c hallado, graficarla indicando coordenadas del vértice e intersecciones con los ejes coordenados. 41) Resolver gráfica y analíticamente los siguientes sistemas: ) = = + 2 ) = + 2 = 6 + 8 ) = 1 3 4 3 + 1 = 1 3 1 3 ) = 6 + 8 = 2 8 PÁGINA 6