Teresa Pérez P DíazD Profesora de matemática tica Conceptos Experimento Aleatorio: Es un fenómeno en el que interviene el azar, es decir no se puede predecir el resultado. Ejemplos: E : Lanzar un dado, no cargado, y se anota el número que sale en la cara superior E : Lanzar al aire una moneda y anotar el resultado E 3 : Se cuenta el número de lápices defectuosos fabricados diariamente
Conceptos Espacio Muestral: Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, se denota por Ω Ejemplos: Si tenemos los siguientes experimentos: E : Lanzar un dado, no cargado, y se anota el número que sale en la cara superior El espacio muestral es: Ω = {,,3,4,5,} E : Lanzar al aire una moneda y anotar el resultado El espacio muestral es: Ω = {c, s} E 3 : Se cuenta el número de lápices defectuosos fabricados diariamente El espacio muestral es: Ω 3 = {0,,, 3, 4, 5,, } Conceptos Suceso o evento: Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplos: E: Lanzar un dado, no cargado, y se anota el número que sale en la cara superior Ω = {,,3,4,5,} Los siguientes casos son eventos:. A = {Obtener un número primo}; A = {, 3, 5}. B = {Obtener un número primo y par}; B = {} 3. C = {Obtener un número mayor o igual a 5}; C = {5, } A C Ω B C Ω C C Ω
Para analizar Si tenemos una urna con 3 bolitas negras, 3 azules y 3 rojas. Cuántas bolitas habrá que extraer para estar seguros de obtener los tres colores? Si sacamos o es imposible que tengamos los 3 colores Si se sacan 3, 4, 5, o es posible que obtengamos los 3 colores Si sacamos 7, 8 o 9 es seguro que tendrán los 3 colores Para analizar Al hacer las afirmaciones anteriores estamos dando los primeros pasos en probabilidades. Ante algunos sucesos hacemos un pronóstico a través de términos como: probable, muy probable, cierto, etc. Casi Imposible Probable o Posible Casi Seguro Imposible Poco Probable Bastante Probable Seguro o Cierto 3
Tipos de Eventos cierto imposible excluyente Complementarios Evento o suceso cierto: Es aquel suceso que puede ocurrir con toda seguridad, coincide con el espacio muestral Ejemplo: De una caja que tiene sólo fichas verdes se extrae una ficha verde. Evento o suceso imposible: Es aquel que no tiene elementos, es un suceso que no puede ocurrir. Ejemplo: Al sacar una carta de un naipe español sale un 0 de diamante. Sucesos o eventos mutuamente excluyentes Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, la ocurrencia de uno imposibilita la ocurrencia del otro. Por lo tanto si dos eventos son mutuamente excluyentes entonces su intersección es vacía. Ejemplo En el lanzamiento de un dado los eventos B = {} y C = {5, } son mutuamente excluyentes por cuanto B C = ɸ 4 B 5 C 3 4
Sucesos Complementarios Cuando los eventos no tienen puntos o elementos comunes y la unión de ellos es el espacio muestral se dice que los eventos son complementarios. Ejemplo En el lanzamiento de un dado los eventos B = {,3,5} y C = {,4,} son sucesos complementarios B U C = Ω B 5 3 4 C B C = ɸ B U B c = Ω Ejercicio Dado el espacio muestral Ω = {a, e, i, o, u} y los eventos: A = {i, o, u} B = {o, u} C = {a} D = {a, e} A y B no son mutuamente excluyentes A y D son complementarios B y C son mutuamente excluyentes A i o u B a e D A y C son mutuamente excluyentes C 5
Sucesos Combinados Dados sucesos A y C, si ocurren ambos al mismo tiempo, diremos que ha ocurrido al suceso A y C, esto significa que el resultado del experimento es a la vez un elemento de A y un elemento de C. Ejemplo En el lanzamiento de un dado los eventos A = {, 4, } (sale un número par) y C = {,3,5} sale un número primo. Los sucesos A y C ocurren cuando el número que sale es par y es primo C A 5 3 4 A C = { } Si ocurre al menos uno de los sucesos, es decir, si el resultado del experimento es un elemento de C, un elemento de B o de ambos a la vez, se dice que ha ocurrido C o B. Ejemplo Sucesos Combinados En el lanzamiento de un dado los eventos B = {,3,5} sale un número impar y C = {,3,5} sale un número primo. Los sucesos B o C corresponde a obtener un número primo, un número impar o un número primo e impar, por lo tanto: B U C = {,, 3, 5} C 5 3 B
Fórmula clásica de Probabilidad Uno de los métodos más utilizados para este cálculo es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles. La probabilidad de A se denotará por P(A). Nº P( A) = de casos favorables al suceso A Nº total de casos posibles Observación: ) La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no ocurra P(A) = P(A ) A = A no ocurre ) 0 P(A) o bien 0% P(A) 00% Probabilidad El valor cero corresponde al suceso imposible: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero El valor uno corresponde al suceso seguro: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del al es igual a uno (00%). El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar. 7
Cálculo de la probabilidad a través del suceso complementario En ocasiones, es muy largo o complicado calcular la probabilidad de un suceso en forma directa, siendo más sencillo al cálculo de la probabilidad del suceso complementario. Para estas situaciones aplicamos la fórmula: P(ganar) + P(perder) = P(ganar) = - P(perder) P(perder) = - P(ganar) Cálculo de la probabilidad a través del suceso complementario Ejemplo: Al lanzar 3 dados no cargados, cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor o igual a 5? P(suma mayor o igual a 5) = - P(suma sea menor que 5) 4 = 3 4 5 3 4 5 3 4 5 53 = = 54,,, 8
Otros ejemplos: a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número : el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al seis). Por lo tanto: P(A) = = 0, (o lo que es lo mismo,,%) b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo seis. Por lo tanto: 3 P(A) = = = 0,50 (o lo que es lo mismo, 50%) c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo tanto: 4 P(A) = = = 0, (o lo que es lo mismo,,%) 3 Para poder aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene que cumplir dos requisitos: a) El número de resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito. Si hubiera infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos posibles" el cociente siempre sería cero. b) Todos los sucesos tienen que tener la misma probabilidad. Si al lanzar un dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras, no podríamos aplicar esta regla. A la regla de Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las mismas probabilidades. 9
Número Esperado Número esperado = n. P Donde: n : n de veces que se repite el experimento aleatorio P: Probabilidad que ocurra el suceso esperado Ejemplo: Al lanzar dos dados no cargados 4 veces cuántas veces se espera obtener una suma igual a 7? 3 4 5 x x 4 = 4 = 4 3 3 x 4 x 5 x x Probabilidades de Eventos Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por: Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por: 0
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: A = {que salga un número menor que 3} B = {que salga el número } La probabilidad del suceso unión será igual a: Por lo tanto: P(A) = P(B) = Sucesos excluyentes: No pueden ocurrir al mismo tiempo P(A U B) = P(A) + P(B) = + = Ejemplo: Al lanzar un dado, cuál es la probabilidad de que el resultado sea par o divisible por 3? A = {par}= {, 4, } B = {divisible por 3}= {3, } P(A) = 3/ P(B) = / Sucesos no excluyentes: Pueden ocurrir al mismo tiempo P(A B) = / P(A o B) = P( A U B) = P(A) + P(B) P(A B) = 3/ + / - / = /3
Ejemplo: En una agencia bancaria hay dos sistemas de alarma A y B. El sistema A funciona en 7 de cada 0 atracos, B funciona en 8 de cada 0 y los dos a la vez lo hacen de cada 0 atracos. Cuál es la probabilidad de que en caso de atraco funcione al menos una de estas alarmas? Solución: Se definen los sucesos A: El sistema A funciona B: El sistema B funciona P( A) = 0,7 P( B) = 0,8 P( A B ) = 0, P( AUB ) = 0,7 + 0,8 0, = 0,9 Probabilidades de Eventos Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro. Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la suposición de que el suceso B ha ocurrido. P(A B) = P(A/B). P(B)
Ejemplo: Una caja contiene 0 bolas, 3 son rojas. Escogemos dos bolas al azar. Encuentra la probabilidad de que ninguna de ellas sea roja: (a) con reemplazo y (b) sin reemplazo. Consideremos los sucesos: P(A) = 7/0 A: Primera bola no-roja B: Segunda bola no-roja Si el muestreo es con reemplazo, la situación para la segunda elección es idéntica que para la primera, y P(B) = 7/0. Los sucesos son independientes y la respuesta es: P(A B) = P(A) P(B) = 0.7 0.7 = 0.49 Si es sin reemplazo, hemos de tener en cuenta que una vez extraída la primera bola, quedan solo 9 y 3 deben ser rojas. Así: P(B A) = /9 = /3. En este caso la respuesta es: P(A B) = P(A). P(B A) = (7/0) (/3) 0.47 Cuál es la probabilidad de que una carta escogida al azar sea un as sabiendo que es roja? Color Palo Rojo Negro Total As 4 No-As 4 4 48 Total 5 A 3 4 5 7 8 9 0 J Q k P( As Rojo) /5 P( As Rojo) = = = P( Rojo) /5 3
Ejemplo: En una sala el 70% de los estudiantes son hombres. De ellos el 0% son fumadores. El 0% de las mujeres son fumadoras. Qué porcentaje de fumadores hay en total? Hombres Mujeres Fumadores - 70% son hombres - de ellos el 0% son fumadores. - 0% de las mujeres son fumadoras 0, Fuma Estudiante 0,7 Hombre 0,9 No fuma 0,3 Mujer 0, Fuma 0,8 No fuma P(F) = P(F H) + P(F M) P(F H) P(H) + P(F M) P(M) 0, 0,7 + 0, 0,3 0,3 4
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