CPÍTULO 4. Dináica de una parícula INTODUCCIÓN En el capíulo anerior esudiaos el oiieno de una parícula con respeco a un sisea de referencia sin preunarnos sobre la causa del oiieno. Lo describios sipleene en érinos de los ecores r, y a. Nuesra discusión fue eoérica, en ese capíulo discuireos la causa del oiieno. Seuireos raando a los cuerpos coo parículas siples. Poseriorene raareos sobre siseas de parículas y cuerpos ríidos. EL OIGEN DEL MOVIMIENTO Qué oriina el oiieno? Qué deiene el oiieno? Se necesia causa para oer las cosas? Por qué un objeo al que se le da un epujón prono se deiene? Por qué los planeas anienen su oiieno alrededor del sol? risóeles joen filósofo rieo (silo IV a.c. decía que un cuerpo peraneciera en oiieno era necesario ejercer aluna acción sobre él ya que el esado naural es el reposo. Eso parece ser razonable, cuando dejaos de epujar un cuerpo, ese prono alcanza el reposo. Parece ser necesaria una acción exerior o fuerza aplicada al cuerpo para anener el oiieno. Sin ebaro, obsereos esa siuación con ayor deeniieno. La fiura siuiene uesra un bloque de adera sobre un plano. plicaos una fuerza pequeña al bloque, no pasa nada. Increenaos la fuerza y a un alor paricular el bloque se uee. Si seuios increenando la fuerza epujando o jalando ás, el objeo se uee con ayor rapidez, Cuando dejaos de epujar el cuerpo rápidaene uele al reposo. Sin ebaro si poneos ruedas al bloque el resulado es diferene, una fuerza uy pequeña causa el oiieno. La diferencia son las ruedas debido a la fricción. Para hacer un esudio libre de la fricción busqueos llear cercanaene a esa condición, una fora de lorar eso es con una esa neuáica, se sopla aire sopla hacia arriba a raés de pequeños aujeros aneniendo un disco suspendido sobre un colchón de aire. Qué pasa cuando epujaos un objeo en ausencia de fricción? Ese se aniene en oiieno a elocidad consane. En ausencia de una fuerza resulane, el objeo se aniene en oiieno con elocidad unifore o peranece en reposo. Esa es la PIME LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO hora podeos pensar acerca de la siuación cuando un objeo era epujado sobre un plano. Cuando la fuerza era pequeña no había oiieno, pero una fuerza debería causar oiieno; la conclusión es que debe haber ora fuerza acuando sobre el cuerpo la cual anula jusaene el efeco de la fuerza que aplicaos. l increenar nuesra fuerza, la fuerza opuesa abién se increena, hasa que en alún alor paricular la fuerza opuesa erina de increenarse y coienza el oiieno porque hay una fuerza resulane acuando sobre el objeo. La fuerza opuesa es la fuerza de Fricción QUÉ ES FUEZ? En la ida coidiana se considera fuerza a una sensación coún asociada con la dificulad para oer o leanar un cuerpo. En Física se idenifica una fuerza por el efeco que produce. Uno de los efecos de una fuerza es cabiar el esado de reposo o de oiieno del cuerpo, ás concreaene, una fuerza cabia la elocidad de un objeo, es decir produce una aceleración. Cuando se aplica una fuerza sobre un cuerpo y no se produce oiieno, enonces puede cabiar su fora, aún si el cuerpo es uy ríido. La deforación puede o no ser peranene. Enonces los efecos de la fuerza nea son dos: cabiar el esado de oiieno de un cuerpo o producir una deforación, o abas cosas. Noralene sobre un cuerpo pueden acuar arias fuerzas, enonces el cuerpo acelerará cuando el efeco de la fuerza nea que acúa sobre él no es cero. Se llaa fuerza nea o fuerza resulane a la sua de odas las fuerzas que acúan sobre un cuerpo. Si la fuerza nea es cero, la aceleración es cero, el oiieno es con elocidad iual a cero (cuerpo deenido o con elocidad consane. Cuando un cuerpo esá en reposo o se uee con elocidad consane, se dice que esá en equilibrio. Se pueden disinuir dos randes clases de fuerzas: fuerzas de conaco, represenan el resulado del conaco físico enre el cuerpo y sus alrededores, por ejeplo oer un carro o esirar un resore; y fuerzas de acción a disancia que acúan a raés del espacio sin que haya conaco físico enre el cuerpo y sus alrededores, por ejeplo la fuerza con que la Tierra arae a los cuerpos que caen en caída libre. Todas las diferenes foras de fuerzas se encuenran denro de esas dos randes clasificaciones.
Para describir el undo, la física coneporánea recurre a cuaro ineracciones o fuerzas fundaenales, que acúan sobre las parículas de aeria (y sobre las aniparículas, son ehiculadas por unas parículas llaadas ecores de ineracción, que son: foón (ineracción elecroanéica, bosón (ineracción débil, luón (ineracción fuere y raión (ineracción raiacional. Fuerzas elecroanéicas de aracción o repulsión enre parículas caradas en reposo o en oiieno, explica la cohesión de los áoos, es ucho ás inensa que la fuerza raiacional. Fuerzas nucleares inensas enre parículas subaóicas, responsable de la exisencia del núcleo aóico aseura la cohesión inerna de los consiuyenes del núcleo aóico, proones y neurones, y es responsable de un ran núero de reacciones y de desineraciones; es la de ayor aniud (0-0 3 eces la fuerza elecroanéica. 3 Fuerzas nucleares débiles de coro alcance, rie alunos procesos radiacios, esablece la esabilidad de alunos núcleos, es arios órdenes de aniud (0 enor que la fuerza elecroanéica. 4 Fuerza de aracción raiacional enre cuerpos debido a sus asas, enre oras cosas hace que caian las anzanas y que suba la area, es la fuerza de enor aniud coparada con las oras. Para que el concepo de fuerza sea exaco se debe esablecer un éodo para edirla. Una fuerza se puede edir por el efeco que produce. Por ejeplo se puede usar la deforación que una fuerza produce en un resore, coo en la fiura. Si se aplica una fuerza ericalene a un resore y se esira una unidad, le asinaos a la fuerza una aniud uniaria F. Se aplica ahora ora fuerza al iso resore horizonalene, produciéndole un esiraieno de dos unidades, la aniud de la fuerza será de F. Si se aplican siuláneaene las dos fuerzas, el resore se inclina, y se esira 5 eces. La fuerza equialene que produce ese esiraieno del resore es la sua ecorial de F y F. Es decir, la fuerza es un ecor. si se esira,5 unidades, enonces la fuerza aplicada es,5 eces la unidad de fuerza. Ese procediieno es álido para pequeños alaraienos del resore, ya que si la fuerza es uy inensa, se puede deforar y no oler a su fora oriinal. CMBIO DE VELOCIDD Nuesro siuiene problea es enconrar una relación enre la fuerza y el cabio en el oiieno producido por ésa. Para eso necesiaos lo siuiene:. Un carro uy liero que pueda oerse sin fricción sobre una superficie horizonal.. Una fuerza consane. Esa podernos obenerla ediane un resore (Si aneneos un resore esirado una isa loniud, la fuerza que la esira es consane. 3. Un reisrador de iepo. El oiieno del carro puede esudiarse si una cina de papel aada a ése pasa a raés del reisrador que produce arcas en la cina a ineralos de iepo reulares. La fiura siuiene uesra la cina de papel producida por una fuerza consane. El insrueno para edir fuerzas se llaa dinaóero, es un resore que se esira sobre una escala. Si se aplica una fuerza de una unidad sobre el dinaóero, el resore se esira hasa que ejerce una fuerza iual y conraria a la aplicada. En la escala se ide el alaraieno del resore y se le asina una unidad de fuerza. De esa anera se calibra el dinaóero y se usa para edir fuerzas, por ejeplo se aplica una fuerza sobre el dinaóero y Con los daos obenidos en esa experiencia se realiza el ráfico disancia - iepo y se obiene una cura. Con los daos abién se puede obener la elocidad edia en cada ineralo de iepo. El ráfico elocidad - iepo es una línea reca que indica que
el oiieno es con aceleración consane. De aquí podeos concluir que una fuerza consane produce una aceleración consane. Si duplicaos la fuerza usando dos resores iuales esirados la isa loniud, coo se uesra en la fiura. Duplica la fuerza y produce el doble de aceleración. Si riplicaos la fuerza se obiene una aceleración de alor riple. Concluios que la aceleración a del cuerpo es direcaene proporcional a la fuerza. a F Podeos escribir eso coo F a, donde es la consane de proporcionalidad. esa consane la llaareos MS. Para una deerinada fuerza a ayor consane la aceleración es enor. ayor alor de la consane es ás difícil acelerar el cuerpo. Para conocer qué facores cabian esa consane realiceos el siuiene experieno: en luar de usar un solo carro jalado por el resore esirado useos dos carros uno sobre oro y lueo res carros coo se uesra en la fiura inernacional (S.I. la unidad de aceleración es /s. Cuales son las unidades de fuerza y de asa? Coo son dos canidades que se relacionan sólo enernos que especificar un esándar para una de ellas. El sisea inernacional adopa corno unidad una pieza de aerial llaado KILOGMO, cuyo síbolo es. El ilorao es la asa un prooipo de plaino iridiado sancionado por la Conferencia General de Pesas y Medidas realizada en París en 889 y deposiado en el pabellón de Breleuil en Seres. La unidad de fuerza es el newon, cuyo síbolo es N y se define así: El newon la fuerza que produce una aceleración de un ero por seundo al cuadrado a una asa de un ilorao. N s Oros siseas: MKS: iual al S.I. CGS: Masa rao (, l 0-3 celeración c/s Fuerza dina.c/s Inlés écnico: En ese sisea la unidad fundaenal es la unidad de fuerza. Fuerza libra (lb, lb 4,45 N celeración pie/s Masa slu lb58 s /pie PESO DE UN CUEPO. El peso de un cuerpo es la fuerza de aracción que ejerce la Tierra sobre el cuerpo. Un cuerpo de asa soeido a ciera fuerza cae con la aceleración de la raedad, el peso P de ese cuerpo es P La aceleración que se obiene con los carros es iual a la iad y con res es iual a un ercio. Coo el alor de F es iual en odos los casos, quiere decir que la consane con dos carros es iual a y con res carros es 3. Coo la aceleración es una canidad ecorial la fuerza abién lo es y iene la isa dirección que la aceleración, pero un ódulo eces ayor, de odo que la relación anerior puede escribirse en la fora F a Fuerza asa x aceleración. Esa expresión consiuye la SEGUND LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO. La fuerza que acúa sobre un cuerpo es iual al produco de la asa del cuerpo por la aceleración que le iprie. UNIDDES DE FUEZ Y MS La relación F a nos da una relación enre fuerza, asa y aceleración. En el sisea Su dirección es hacia abajo (hacia el cenro de la Tierra. Coo el peso es una fuerza debe edirse en Newons. Debido a que la aceleración de la raedad aría de un luar a oro de la Tierra, el peso de un cuerpo es diferene en luares disinos, sin ebaro la asa de un cuerpo es la canidad fija que no depende del luar donde esá siuado el cuerpo, unque el peso de un objeo aría de un siio a oro, esa ariación es deasiado pequeña para ser obserada en la ayor pare de las aplicaciones prácicas, por eso, el peso de un cuerpo parece ser una caracerísica consane al iual que su asa. Ese 3
hecho ha conducido al epleo ordinario de oras dos edidas: KILOGMO FUEZ, es el peso de un Kilorao asa. f 9,8 N LIB MS, es la asa de un cuerpo que pesa una libra. libra asa 0,454. Esas unidades son prácicas pero incorrecas y no deben ser usadas en Física. CCION Y ECCION. Haaos una obseración ás deallada cuando jalaos el carro con un resore esirado una deerinada loniud. Para que el resore esé esirado es necesario jalarlo por los dos lados. Se necesian fuerzas en senidos opuesas y en cada exreo del resore. Cuando jalaos el carro, una fuerza acúa sobre el carro y una fuerza en senido opueso acúa sobre nuesra ano. Cuáles son las aniudes de esas fuerzas? Con el objeo de dar respuesa a esa preuna ponaos dos resores iuales al priero y jaleos de al anera que el carro adquiera la isa aceleración que anes, eso quiere decir, por la seunda ley de newon que siendo la isa asa esaos aplicando la isa fuerza (F a que anes y obseraos que los resores esiran la isa loniud, lo que quiere decir que la fuerza sobre la ano es iual a la fuerza sobre el carro. Eso consiuye la TECE LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO. Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre un seundo, ése ejerce una fuerza iual y opuesa sobre el priero. La fuerza ejercida por el prier cuerpo sobre el seundo es la CCIÓN, la fuerza iual y opuesa acuando sobre el priero es la ECCIÓN, Expresado en síbolos, es: F sobre debido a sobredebido a F Fuerza de conaco de un cuerpo a oro con un cabio de dirección o sin él coninuación presenarnos alunos casos ipo de la aplicación de las leyes de Newon. PLICCIONES DE LS LEYES DE NEWTON Cuando esudiaos Cineáica, enconrarnos las relaciones enre desplazaieno, aceleración y iepo. Por ejeplo, conociendo la aceleración a las condiciones ales coo posición inicial, elocidad inicial, es decir la posición y la elocidad en el iepo que llaaos inicial ( 0, podeos conocer la elocidad y posición para cualquier iepo. Las condiciones iniciales las eneos pero la aceleración, F de dónde? Para eso eneos, odo lo que eneos que hacer es conocer las fuerzas sobre el a cuerpo y su asa, y enonces podreos enconrar a. La ejor fora de esar seuros que coprendeos F a el sinificado de, es hacerlo con alunos probleas que inolucran las leyes de Newon. Para resoler un problea suerios cuaro pasos a seuir:. Dibujar un esquea del sisea. Idenificar el cuerpo a cuyo oiieno se refiere el problea. 3. Dibujar ora fiura con solaene el objeo en paricular aneniendo el arco de referencia poner odas las fuerzas que acúan sobre el objeo ediane flechas. Eso se conoce coo DIGM DEL CUEPO LIBE (DCL. Si se coee una equiocación odo lo deás fallará, por eso es coneniene hacerlo bien. Una ejor fora de coenzar es poner la fuerza de raedad priero y lueo preunarse: Qué oca al cuerpo?, la acción de os resores, cuerdas, anos y oros objeos, odos deben ser considerados. sí coo abién las fuerzas que acúan sin ocar el cuerpo, coo la fuerza elécrica, anéica de las cuales no nos preocupaos en ese curso. 4. Finalene, aplicar la seunda ley de Newon a cada coponene de fuerza y aceleración. F a F x a x, y a y, z a z. y ahora resoler para la aceleración. En alunos de los probleas que se presenan ás frecueneene, las acciones se producen por fuerzas sin conaco; en oros se usan cuerdas y arillas coo edios de conexión. Cuando las asas de esos edios de conexión son despreciables su único efeco es el de ransiir ESTÁTIC DE LS MSS PUNTULES. Los siseas en los cuales odas sus pares saisfacen la priera ley son llaados siseas esáicos, es decir si la sua ecorial de odas las fuerzas que acúan es nula, el cuerpo esa en equilibrio y peranece en reposo, o si esá en oiieno, se aniene con elocidad consane 4
La condición de ese equilibrio es 0 y en coponenes caresianas: x 0, 0 y, 0 z. Las fuerzas son ejercidas sobre el objeo o siseas por. Medios exeriores al sisea. Ejeplo. La Fuerza raiacional Dado que la aceleración de un cuerpo en caída libre en la ierra es, cuál es la fuerza de la raedad? Coo ese oiieno es en una sola diensión, consideraos que ese se realiza en el eje z, al que a ˆ Seún la Seunda Ley de Newon F a ˆ x 0, 0 y, z. Siendo esa la respuesa que ya conocíaos. Ejeplo. El dinaóero. El dinaóero es un insrueno que se uiliza para edir las fuerzas. Consa de un resore con una escala que indica su esiraieno, la cual esá raduada en Newons. Cuando lo uilizaos para pesar se dispone coo lo uesra la fiura. Diaraa del cuerpo libre (DCL plicando la condición de equilibrio de la asa T 0 Lueo T Si despreciaos la asa del dinaóero, eneos que: T T 0 y T T El dinaóero indica en la escala la fuerza T Ejeplo 3. Se iene los disposiios osrados en la fiura. Cuáno indica el dinaóero de la fiura (a y cuáno el dinaóero de la fiura (b? Se suspende la asa, el resore del dinaóero se esira hasa que alcanza el equilibrio esáico. a El diaraa de cuerpo libre de la fiura (a es 5
Epezando por la derecha T 0 T La fiura siuiene uesra la polea En la asa 0 T En la polea T T En el dinaóero T T T T 3 El dinaóero es ensionado por la fuerza T y su indicación será T Coo se puede er esa siuación es copleaene análoa a la anerior, sólo que heos susiuido una de las poleas por la pared. Ejeplo 4. Un cuerpo de asa se sosiene por edio de cuerdas coo se uesra en la fiura. Enconrar las ensiones T, T en las res cuerdas. Para que el rozo de cuerda ese en equilibrio 0 Descoponiendo las fuerzas sobre el rozo de cuerda en los ejes x e y. Coo la cuerda se considera sin asa la sua de fuerzas a lo laro del eje x es T cosθ T cosθ 0 T T En el dinaóero, considerándolo de asa despreciable. 0 T T3 0 T T3 En la polea de la izquierda T 4 T 3 En la asa de La izquierda 0 T 4 0 T 4 Coo conclusión odas las ensiones son iuales a T 4 T3 T T El dinaóero es ensionado por la fuerza T, y su indicación será: T b El diaraa de cuerpo libre de la fiura siuiene es Toando un sisea de ejes horizonal y erical coo el osrado en la fiura eneos: T T j ˆ T iˆ cosθ + Tsen ˆj θ T iˆ 3 3 cosα + T3senα T Con 0 + T + T3 T 0 Obeneos: F x T cosθ T3 cosα ˆj F sen sen y T θ + T3 α 0 esoliendo esas dos ecuaciones cosα cosθ T, T 3 sen θ + α sen θ + α ( 0 ( Ejeplo 5. Un bloque de 50N de peso se ubica sobre un plano inclinado en un ánulo α de 30º con la 6
horizonal. El bloque se sujea con una cuerda ideal que se encuenra fija en la pare superior del plano inclinado, coo en la fiura. Esudiar el coporaieno ecánico del bloque. El D. C. L. del cuerpo: El D. C. L. del cuerpo: Fuerza de aracción de la Tierra, que es su peso. Fuerza de la cuerda que lo sosiene, que es la ensión T Fuerza que el plano ejerce sobre el cuerpo, que es la noral N Coo el sisea esá en equilibrio, se aplica la priera Ley de Newon: Del diaraa de cuerpo libre se obiene: F : T + sen α 0 x y F : N cos α 0 Despejando T y N, y reeplazando los alores nuéricos, se obiene: T sen α 50sen30 5 N N cos α 50cos30 43, N DINÁMIC CON FICCIÓN DESPECIBLE. Los siseas en los cuales odas sus pares saisfacen la priera ley son llaados siseas esáicos, es decir si la sua ecorial de odas las fuerzas que acúan no es nula y la fricción se considera despreciable, Ejeplo 6. Si un bloque de asa se ubica sobre un plano sin roce, inclinado un ánulo α con la horizonal, resbalará una disancia D a lo laro del plano. Describir su oiieno. Del diaraa de cuerpo libre se obiene: F : sen α a x y F : N cos α a y 0 De esas ecuaciones se obiene: a x senα y N cosα x Se concluye que la aceleración del bloque en dirección del plano inclinado es la coponene de en esa dirección. Esudiando ahora el oiieno del bloque, considerando que pare del reposo y se desliza una disancia D, se puede calcular la rapidez con que llea a la base del plano. Si se considera que el oiieno del bloque coienza desde el reposo, se puede usar: 0 + axδx ( senα D y Dsenα Ejeplo 7. Para el siuiene sisea ecánico, calcular la aceleración de las asas y la ensión de la cuerda. Coo no se conoce la dirección del oiieno, suponaos que el cuerpo de asa M sube por el plano inclinado, lo que deerina el senido de la aceleración, enonces aplicando la seunda Ley de Newon se aplica cada asa: El D. C. L. del cuerpo M: Del diaraa de cuerpo libre se obiene: F : T Msenα Ma x T Msen α + Ma y F : N Mcos α 0 De esas ecuaciones se obiene: El D. C. L. del cuerpo : 7
Del diaraa de cuerpo libre se obiene: y : T a T a De esas ecuaciones se obiene Msen α + Ma a ( Msenα a ( + M Se obsera que el sino de a depende del érino ( - M sen α. hora se calcula el alor de la ensión reeplazando el alor de a en T: Msenα T + M M T α + M + sen ( ( Ejeplo 8. Dos bloques de asas 0 y 8, esán unidos ediane una cuerda hooénea inexensible que pesa. Se aplica al conjuno una fuerza erical hacia arriba de 560 N. Calcular: a La aceleración del conjuno; b Las fuerzas que acúan en los exreos de la cuerda. a Suando (, ( y (3: + + ( ( + a F 3 + 3 y a F ( + + 3 560 a 9,8 8,87 /s ( 0 + 8 + b De (3 F B ( + a F B 8 ( 9,8 + 8,87 49,4 N De ( F F ( + a 560 0( 9,8 + 8,87 F 86,6 N Ejeplo 9. La áquina de TWOOD. Es un aparao que se uiliza para deerinar con exaciud la raedad y consise de dos asas y, ( >, que esán unidas ediane una cuerda que pasa sobre una polea. Considerar la cuerda inexensible y sin asa. siiso, no ornar en cuena la fricción y la asa de la polea. Describir el oiieno y calcular la ensión en la cuerda. En el D. C. L. de : F F a ( En el D. C. L. de la cuerda de asa 3 : F FB 3 3a ( En el D. C. L. de : a (3 F B Siendo ayor que, la asa se oerá hacia abajo con una aceleración a y la asa se oerá hacia arriba con la isa aceleración a. La fiura siuiene uesra los diaraas de cuerpo libre de cada una de las pares del sisea. 8
hora la reacción del piso es '. plicando la Seunda Ley de Newon al oiieno de la persona ' a ' ( + a Si el ascensor sube el pasajero se siene ás pesado, coo si fuera epujado conra el piso. Si el ascensor desciende con esa aceleración, ' a ' ( a, el pasajero se siene ás liiano. La polea cuple la función de cabiar la dirección T Considerando el senido de la aceleración o coo posiia. plicando la Seunda Ley de Newon a la asa T a plicando la Seunda Ley de Newon para la asa : T a De esas dos ecuaciones obeneos: ( a ( y T + ( + Si las asas y fueran casi iuales, el alor de la aceleración sería pequeña y podría deerinarse idiendo el iepo en que una de las asas sube o baja una disancia deerinada. La razón ( se deerina pesando los cuerpos. ( + Finalene, la aniud de se obiene a parir de esas canidades ediane la ecuación ( + ( a Ejeplo. La fiura uesra a un hobre eleándose ediane una fuerza erical que aplica él iso a la cuerda que iene en las anos. Si el hobre y la silla junos ienen una asa de 00. Se preuna: a Con qué fuerza debe jalar para, subir con una elocidad consane? b Con qué fuerza debe jalar para subir con una aceleración de l /s (considerar 0 /s? a La fiura siuiene uesra los diaraas de cuerpo libre de cada una de las pares del sisea. Ejeplo 0. El peso de un pasajero en ascensor. Considereos un pasajero de peso en un ascensor ese peso es equilibrado por la reacción que el piso ejerce sobre él, si el ascensor esuiera parado. Si el ascensor sube con aceleración a. Cuál es el peso de la persona? La fiura uesra el ascensor subiendo con una aceleración a Coo se considera la cuerda con asa despreciable en el D.C.L. del rozo de cuerda T F La polea solo cabia la dirección de la ensión T. En el D.C.L.del hobre-silla T + F W 0 F W W y F Coo W 00 0 000 N 9
000 F 500 N b hora coo el hobre debe subir con una aceleración de l /s eneos: W W T + F W a F W + a W a F + W 000 N, 000 F + 550 N 0 y Coo a /s y /s Ejeplo. La fiura uesra un ascensor. Ese consise de la caja con asa 00, el conrapeso con asa 000. El cable y poleas con asa y fricción despreciables. Cuando el ascensor iene una aceleración hacia arriba de /s, el conrapeso iene iual aceleración pero hacia abajo. a Cuál es el alor de la ensión T? b Cuál es el alor de la ensión T? c Cuál es la fuerza ejercida por el oor sobre el cable? plicando la Seunda Ley de Newon T a T ( a + T 00( + 9,8 980 N b Considereos el D.C.L. de la asa : plicando La Seunda Ley de Newon T a T ( a T 000( 9,8 7800 N c En el oor Fuerza ejercida por el oor (T y T pueden considerarse colineales F M T T 980 7800 580 N a Considereos el D.C.L de la asa : Ejeplo 3. Deosración de la ercera ley de Newon ediane el uso de la seunda ley. Se ienen dos cuerpos de asas y los cuales son epujados sobre un plano sin fricción por una fuerza de aniud P. Deosrar que aquí se cuple la ercera ley de Newon. 0
suireos que no hay fricción enre las superficies de conaco de y. La fiura uesra los D.C.L. para los bloques, y para el sisea. a el alor y senido de la elocidad del carrio, b el luar, donde enconrará c el desplazaieno del carrio d el recorrido oal del carrio. (Usar 9,8 /s N y N son las fuerzas ejercidas por el plano. F es la fuerza que el bloque ejerce sobre el bloque. F es la fuerza que el bloque ejerce sobre el bloque. La fuerza P solo acúa sobre el bloque, ya que solo esá en conaco con él. Coo asuios que no hay fricción enre los bloques, las fuerzas son norales a la superficie de conaco. Para el bloque eneos: P F a x y N 0 Siilarene para el bloque F ax y N 0 Para el sisea a y ( + x N ( + 0 P N + En ese caso no nos ineresan las ecuaciones en y pero si las ecuaciones en x. Coo los bloques se ueen junos: a a x a x x Suaos la ecuación para el bloque con la ecuación para el bloque. P F + F a x + ax ( a x + Coparando con la ecuación para el sisea eneos: P F + F P Eso dice que la aniud de la fuerza de sobre es iual a la fuerza de sobre. Coo ellas son opuesas resula ser precisaene la ercera ley de Newon. F, cción y reacción. F Ejeplo 4.. Un carrio de asa M 500 raos esá unido a una cara de asa 00 raos ediane una cuerda. En el oeno inicial el carrio enia la elocidad inicial 0 7 /s y se oía a la derecha por un plano horizonal. Deerinar para 5 s: Para la asa M: T Ma ( Para la asa : T a ( Suando ( y ( ( M + a a 0, ( M + ( 9,8 0,7 -,8 /s La aceleración es en senido conrario al indicado en la fiura. a La elocidad inicial del carrio es 0 7 /s y su aceleración es a -,8/s. De las ecuaciones de cineáica x + a 0, + a Hallaos: x 0, 7,4, 7, 8 Denro de 5 s el carrio endrá una elocidad - 7 /s (diriida a la izquierda. b x 7( 5,4( 5 35 35 0 El carrio se enconrará en la posición inicial. c El desplazaieno es cero. d El carrio se deiene cuando 0 e inicia el caino de uela.
7 0 7,8,5 s,8 [ ] ecorrido oal s 7(,5,4(,5 7,5 ecorrerá un rayeco iual a 7,5. FICCIÓN Cuando un cuerpo sobre una superficie se epuja o se jala ése puede peranecer inóil, eso sucede porque la fuerza aplicada no ha sido suficiene para encer la fuerza de fricción. Cuando lorarnos que el cuerpo deslice sobre la superficie es necesario aplicar una fuerza para que ése coninúe en oiieno. Coporaieno de un cuerpo que descansa sobre un plano horizonal Suponaos que jalaos un bloque con un dinaóero, coo se uesra en la fiura. Coporaieno de un cuerpo que descansa sobre un plano horizonal Dibujeos una ráfica de la fuerza F aplicada sobre el bloque ersus el iepo.. Desde el orien hasa el puno la fuerza F aplicada sobre el bloque no es suficieneene rande coo para oerlo. Esaos en una siuación de equilibrio esáico F F fs μ N s En el puno, la fuerza de rozaieno su áxio alor F F fsáx μ sáxn μ N sáx F fs alcanza. Si la fuerza F aplicada se increena un poquio ás, el bloque coienza a oerse. La fuerza de rozaieno disinuye rápidaene a un alor enor e iual a la fuerza de rozaieno dináico, F F f μ N Si la fuerza F no cabia, puno B, y peranece iual a F fsáx, el bloque coienza oiéndose con una aceleración a ( F F f Si increenaos la fuerza F, puno C, la fuerza nea sobre el bloque F Ff se increena y abién se increena la aceleración. Obseración. Enconraos que con fuerzas enores que 0 N no se produce oiieno. Con 0 N el bloque coienza a oerse. Para fuerzas ayores a 0 N el bloque se acelera. Si edios la aceleración podeos conocer la fuerza resulane sobre el bloque aplicando la seunda ley de Newon, F a. Cuando el dinaóero indica N la fuerza resulane a parir de la aceleración edida es 4 N, eso sinifica que se necesia N 4 N 8 N, para encer la fuerza de fricción Si aplicaos 0 N al bloque para que inicie el oiieno, después de eso es posible reducir la fuerza a 8 N y aún anener el bloque en oiieno. En resuen: Una fuerza de 0 N inicia el oiieno del bloque. Una fuerza de 8 N aniene el oiieno del bloque. El orien de ese fenóeno se debe a la exisencia de fuerzas enre las oléculas del cuerpo y la superficie; si la superficie de conaco del cuerpo con la superficie fuera perfecaene plana, la fuerza de aracción podría ser considerable, coo es el caso de dos placas de idrio perfecaene lipias que una ez puesas en conaco, difícilene pueden ser separadas. Las superficies nunca son perfecaene lisas y las iperfecciones consiuyen erdaderos obsáculos al desplazaieno coo se uesra en la fiura. Es preciso encer esos obsáculos para iniciar el oiieno y abién para anenerlo. esa fuerza se le conoce coo FUEZ DE F. FICCION O OZMIENTO ( f Con la finalidad de conocer la dependencia de esa fuerza de rozaieno realiceos la siuiene experiencia. Suponaos un plano inclinado con un bloque de asa ni descansando sobre él.
Enconraos que el bloque epieza a resbalar para un deerinado ánulo θ. Si colocaos dos bloques junos, el ánulo con el cual inician el oiieno siue siendo θ, lo iso ocurre con res bloques. La fuerza que jala al cuerpo es la coponene del peso senθ, paralela al plano. La ora coponene es perpendicular al plano. Esa es la fuerza cosθ que sosiene al bloque sobre la superficie (Fuerza Noral. Si duplicarnos el peso a, duplicaos la fuerza que jale al bloque y la fuerza noral al que: O Fuerza que inicia Fuerza noral senθ anθ μ s cosθ Ff μ s N esa consane el oiieno Consane Consane μ s se le llaa coeficiene de fricción esáica. Si se oan los daos con el bloque en oiieno, el ánulo para que el oiieno coninúe es eneralene enor y obeneos Fuerza para coninuar el oiieno Fuerza noral μ esa consane se le llaa coeficiene de fricción cinéica μ. μ es una consane que depende de la superficie y se puede escribir sipleene. F f μn. lunos alores ípicos de coeficienes de fricción. Maerial Sobre aerial μ s μ cero cero 0,78 0,4 Cuero Cuero 0,64 0,56 Cuero oble 0,60 0,50 Bronce Hierro 0,40 0,30 luinio luinio,05,40 Vidrio Vidrio 0,9 0,40 Caucho sfalo 0,60 0,40 Caucho Concreo 0,80 0,70 Caucho Hielo 0,0 0,005 Piedra Piedra 0,65 0,60 El hecho que la fuerza de fricción es independiene del área de conaco parece absurdo ya que las fuerzas ineroleculares son ano ayores, cuano ayor es la superficie de conaco. En realidad se debía esperar que F f fuera proporcional a la superficie, lo que suceder es que si el cuerpo pesa uy poco, prácicaene no hay punos de conaco enre las dos superficies (el área de conaco es despreciable. Cuando N auena, la superficie auena y F f abién, por lo ano F f μn donde se esá incluyendo ya el aueno de superficie. Es decir, la fuerza de fricción F f es proporcional a la fuerza noral N porque la erdadera superficie de conaco es proporcional a la fuerza noral. Ejeplo 5. Cuál es la fuerza ínia F necesaria para oer la asa, siendo μ el coeficiene de rozaieno esáico enre el piso y el bloque en cada uno de los casos siuienes? a La fiura uesra el D.C.L. y x F : N 0 N F : F μ N 0 F μn Lueo: F μ b La fiura uesra el D.C.L. y x F : N + Fsen θ 0 N Fsenθ F : F cos θ μn 0 F cos θ μn De esas dos ecuaciones obeneos: 3
μ F cos θ + μsenθ c La fiura uesra el D.C.L. une los bloques y. El coeficiene de rozaieno enre los bloques y el plano inclinado es μ. y x F : N Fsen θ 0 N + Fsenθ F : F cos θ μn 0 F cos θ μn De esas dos ecuaciones obeneos: μ F cosθ μsenθ Ejeplo 6. Cuál es el alor ínio de F para sosener el bloque de asa sobre una pared erical, coo se uesra en la fiura, μ es el coeficiene de fricción esáico enre la pared y el bloque? La fiura siuiene uesra el D.C.L. y x F : N F 0 N F F : μ N 0 Por consiuiene F μ N μ Para 0 : { 0 T 0a T T μn a Para : N 0 T μn a Para : N 0 De esas ecuaciones obeneos: N, N y 0 μ ( + ( 0 + + a De aquí: [ 0 μ( + ] a ( 0 + + La ensión del cable que une los bloques y : 0 T ( a + μ + μ + + ( ( 0 Ejeplo 8. Se iene una asa sobre una asa sobre un piso horizonal, al coo uesra la fiura. Se aplica una fuerza horizonal F sobre la asa. La asa carece de fricción. Cuál es el alor áxio de F para que la asa no resbale sobre. Cuál es la aceleración resulane de los bloques? Ejeplo 7. En el esquea de la fiura las asas de la polea y del cable son despreciables y no hay rozaieno enre el cable y la polea. Hallar la aceleración del bloque 0 y la ensión del cable que 4
La fiura uesra el D.C.L. de las asas y. La fiura uesra el D.C.L. para ese caso plicando la Seunda Ley de Newon a la asa, la que suponeos se uee con aceleración a. F : N 0 y x : μ N a plicando la Seunda Ley de Newon a la asa, la que suponeos se uee con aceleración a. F : N N 0 y x : F μ N a Trabajando con esas ecuaciones enconraos que F a + a La aceleración de la asa es: μn μ a μ Coo el alor de μ aría desde 0 hasa el alor áxio μ áx : a μ o sipleene a μ. áx Pero coo quereos enconrar el alor áxio posible de F para que las asas ayan junas, es decir, para que no se quede, se iene coo condición que; a a μ Lueo: F ( μ áx + áx Si aplicaos una fuerza ayor el bloque aanzará dejando arás al bloque. Ejeplo 9. Usando el disposiio del ejeplo anerior discua el caso en ci que la fuerza F se aplica a la asa. Las ecuaciones para la asa son F : N 0 y x : F μ N a Las ecuaciones para la asa son. F : N N 0 y x : μ N a Trabajando con esas ecuaciones enconraos que F a + a La aceleración de la asa es: μn μ a μ Coo el alor de μ aría desde 0 hasa el alor áxio μ áx : a μ áx Coo la condición de que las asas y ayan junas es, a a Lueo el alor áxio de F pera que y ayan junas es, ( Fáx + μ áx Ejeplo 0. En el disposiio de la fiura enconraos el alor ínio de F para sacar la asa. El coeficiene de fricción enre y la esa es μ y el coeficiene de fricción enre y es μ. 5
La fiura uesra los D.C.L. de las asas y La fiura uesra el D.C.L.de las asas y Considerando que el equilibrio es la condición ínia de inicio de oiieno plicando la Seunda ley de Newon para la asa. F : N 0 y x F : μ N T 0 plicando la Seunda Ley de Newon para la asa F : N N + 0 y x F : F μ N μ N 0 esoliendo esas ecuaciones N T μ N μ N N + ( + F μ N + μ N μ ( + + μ Siendo ese alor de F el ínio para iniciar el oiieno de la asa. Ejeplo. En el disposiio de la fiura, enconrar el alor ínio de F para sacar la asa. El coeficiene de fricción enre y la esa es μ, el coeficiene de fricción enre y es μ. Considerando que el equilibrio es la condición ínia de inicio del oiieno. plicando la seunda ley de Newon a la asa : F : N 0 y x F : μ N T 0 plicando la seunda ley de Newon para la asa : F : N N + 0 y x F : F μ N μn T 0 esoliendo esas ecuaciones N T μ N μ N N + ( + F μ N + μn + T μ ( + + μ [ μ + ( μ + μ ] Siendo ese alor de F el ínio para iniciar el oiieno. Ejeplo. Los bloques y de 0 y 60, respeciaene, esán unidos por una cuerda de asa despreciable que pasa por una polea sin rozaieno. El coeficiene de rozaieno cinéico enre las asas y la superficie es 0,3. Deerinar la elocidad del sisea 4 seundos después de parir del reposo. 6
La fiura uesra el D.C.L. de la asa. Considereos que el oiieno es de izquierda a derecha con aceleración a y x F : N cos 30º 0 F : T Ff sen 30º a De esas ecuaciones 3 N cos 30º 0 0 73 N F f μ N 0,3 73 5,9 N y T 5,9 0 0 0a T 5,9 + 0a La fiura uesra D.C.L. de la asa. y x F : N cos 60º 0 F : sen 60º Ff T a De esas ecuaciones N cos 60º 0 0 50 N F f μ N 0,3 50 45 N 3 y 30 0 45 T 30a T 4,5 30a Iualando los alores de T: 5,9 + 0a 4,5 30a Coo 0 + a, Siendo 0 0,5 Para 4 s,5 4 5 s a,5 s Ejeplo 3. En una esa un plao descansa sobre el anel, cuyo cenro esá a 0,5 del borde de la esa. El anel se jala súbiaene en fora horizonal con una aceleración consane de 0 /s. El coeficiene de fricción cinéico enre el anel y el plao es μ 0, 75. suiendo que el anel llea juso al borde de la esa. Cuando el exreo del anel pasa bajo el cenro del plao, enconrar: a La aceleración del plao b La elocidad de! plao c La disancia del plao al borde de la esa. a plicando la seunda ley de Newon para el plao, la asa del plao es y su aceleración a. V F 0 N 0 H a p F f a p De aquí obeneos: N y μ a p De donde: a p μ 0,75 x 9,8 7,35 /s El plao resbala ya que a p es enor que 0 /s b En el insane en que el exreo del anel coincide con el cenro del plao esán a la isa disancia del borde de la esa x p x x x p 0,5 + a p 0,5 + 7,35 a Iualando esoliendo: 0,58 s y 0 0,5 + 7,35 0 p 7
c 0 a 0 + 7,35 0, 58 p + x p 4,6 /s. 0,5 a p 0,5 + 7,35 0,58 p +,49 Ejeplo 4. El plano inclinado osrado en la fiura iene una aceleración a hacia la derecha. Si el coeficiene de fricción esáico enre el plano y el bloque es μ, enconrar la condición para que el bloque resbale. horizonal con coeficiene de fricción µ. La polea por donde cuela oro bloque de asa M no iene roce y la cuerda se considera inexensible y de asa despreciable. Calcular la aceleración y la ensión de la cuerda. Se hacen los DCL y se aplica la seunda ley de Newon, suponiendo que el cuerpo de asa M desciende y ira a hacia la derecha, lo que define el senido de la aceleración. Para Considereos que el bloque iene asa, la fiura a coninuación uesra su DCL. Para que el bloque no resbale debe ener la isa aceleración a. plicando la seunda ley de Newon V 0 N cos α + μn senα y F H a N sen α + μn cosα De esas ecuaciones F 0 a cos α + μ senα senα + μ cosα cosα + μ senα N y (( ( a Finalene a ( μ cosα senα ( cosα + μ senα Ese es el aor críico de a para que no resbale; el bloque resbalará para alores enores que el indicado. Ejeplo 5. En el siuiene sisea ecánico, se aplica una fuerza F inclinada un ánulo α sobre el cuerpo de asa, ubicado sobre la superficie V F 0 N + F sen α 0 N F senα ( y F H a T F α Ff a Para M F V Ma T cos ( M Ma μn (3 deás: F f De la ecuación (: F f μ( Fsenα (4 De (3 se despeja T: (5 T M Ma hora 4 y (5 se reeplazan en (, lo que perie despejar la aceleración 8
Ma F cos α μ( Fsenα a ( M μ F( cosα μsenα M a y la ensión T T M M M + ( M μ F( cosα μsenα M + Ejeplo 6. Una ia de asa M esá siuada en un plano horizonal. Sobre la ia se encuenra un cuerpo do asa. El coeficiene de rozaieno enre el cuerpo y la ia, así coo enre la ia y el plano es μ. nalizar el oiieno para diferenes alores do la fuerza F. Si F μ ( + M, no hay oiieno. Suponaos que F > μ ( + M. naliceos el caso de ausencia de deslizaieno del cuerpo por la ia. Las ecuaciones del oiieno, en ese caso, endrían la siuiene fora: F f a, Ma F F F F F μ ( M ; F f de donde μ F a μ, F f ( + M F ( + M f fm f + μ μ que es posible, si ( + M < F < ( + M. Si F > μ ( + M, enonces el cuerpo deslizará por la barra. En ese caso las ecuaciones del oiieno endrán la siuiene fora: a μ, Ma F μ μ ( M M + de donde a μ, a M F M μ ( + M M Que es fácilene erificar en el caso de a > a Ejeplo 7. Una ia do asa M esá sobre un plano horizonal liso, por el cual puede oerse sin fricción. Sobre la ia hay un cuerpo do asa. El coeficiene de rozaieno enre el cuerpo y la ia es μ. Con qué alor de la fuerza F que acúa sobre la ia en dirección horizonal, el cuerpo coienza a M deslizarse sobre la ia? Denro do cuáno iepo el cuerpo caerá de la ia? La loniud do la ia es l. Las ecuaciones del oiieno de la ia y del cuerpo ienen la siuiene fora: F, ( f a F μ ( Ma M Donde F f es la fuerza do rozaieno, a y a M son las aceleraciones. Suponaos que no hay deslizaieno, enonces a a M De las ecuaciones del oiieno podeos deerinar la aceleración y la fuerza de rozaieno. La fuerza de rozaieno es F F f + ( M Para que no haya deslizaieno la fuerza de rozaieno debe saisfacer la siuiene desiualdad: F μ f F, es decir, ( + M μ Si F > μ (M +, enonces sure el deslizaieno. Las ecuaciones ( y ( en ese caso deben escribirse en la siuiene fora: a μ, Ma F μ De esas ecuaciones obeneos a y a M : ( F μ a μ, am. M Es eidene que a M > a. x a, x x x l M M a l a M a M a M M lm F μ + ( M a l ( F μ μ M. 9
Ejeplo 8. En la fiura, enconrar la aceleración del carro requerida para eiar que caia el bloque B. El coeficiene de rozaieno esáico enre el bloque y el carro es μ. Si el bloque no cae, la fuerza de fricción, F f, debe balancear el peso del bloque: F f. Pero el oiieno horizonal del bloque esá dado por y N a. Lueo, F f a N a F f N F f Coo el alor áxio de es μ s, debeos N ener a si el bloque no cae. μ s Ejeplo 9. Dos cuerpos, de las asas y, se liberan de la posición osrada en la fiura. Si la asa de la esa de superficie lisa (sin fricción es 3, encuenre la reacción del piso sobre la esa ienras los dos cuerpos esán en oiieno. sua que la esa peranence inóil. Cuerpo : Cuerpo : Mesa: F ericales F T a T a horizonales ericales horizonales N 3 N T F f 3 T 0 3 0 Donde N 3 y F f3 (fricción las coponenes ericales y horizonales de la fuerza ejercida por el piso sobre la esa. (suios que las paas de la izquierda y de la derecha coparen la cara iualene. Eso no afeca nuesro análisis De las prieras dos ecuaciones, a Lueo, ( + Finalene, T + + F f 3 T a + N3 + 3 + + 3 ( ( Ejeplo 30. Se iene un bloque de 0 sobre un plano inclinado que esá sujeo a una cuerda (er fiura. Las superficies de conaco enre el bloque y el plano inclinado son ruosas con coeficiene de fricción cinéica μ 0,5 y el de fricción esáica μ s 0,7. a Si la ensión de la cuerda es de 50 N, deerine la aniud y senido de la fuerza de rozaieno. b Si por un accidene se cora la cuerda, deerine la aceleración del bloque. La fiura uesra los diaraas de cuerpo libre de cada uno de los eleenos. a 0
T sen 30º F 0 f F f T se30º 50 00 50 N en el senido indicado en la fiura (hacia abajo. b Cuando se rope la cuerda para iniciar el oiieno debe encerse a la áxia fuerza de fricción esáica: 3 F fs μ s cos30º 0,7 0 73 N Coo 0 sen 30º 00 N 00 N < 73 N, el oiieno no se inicia, por lo ano la aceleración del bloque es cero. Ejeplo 3. Deerinar la fuerza F aplicada al bloque de asa M de la fiura adjuna, para que los bloques de asas y apoyados en M, no se uean respeco de M. Todas las superficies son lisas, la polea y el cable ienen asa despreciable. La seunda ley de Newon para es T a 0, N 0 De aquí T a ( La seunda ley de Newon para es N a 0, T 0 De aquí T (3 De ( y (3 se iene a (4 Susiuyendo (4 en ( se obiene la fuerza aplicada a M F ( M + + Ejeplo 3. Deerinar la aceleración ínia con que debe desplazarse el bloque de asa M en senido horizonal para que los bloques de asas y no se uean respeco de M, siendo μ el coeficiene de rozaieno enre los bloques. La polea y el cable ienen asa despreciable. Considereos un sisea de referencia fijo en el suelo con el eje x paralelo a la fuerza aplicada F. De la priera ley de Newon aplicada al conjuno se iene: F + ( M + a ( Siendo a la aceleración del conjuno. Las asas y esán en reposo sobre el bloque M, lueo en la referencia O su aceleración es del conjuno. La fuerza que ejerce el cable sobre y la que ejerce sobre iene el iso ódulo T. Considereos un sisea de referencia fijo en el suelo con el eje x paralelo a la fuerza aplicada F. De la seunda ley de Newon aplicada al conjuno se iene: F + ( M + a ( Siendo a la aceleración del conjuno. Las asas y esán en reposo sobre el bloque M, lueo en la referencia O su aceleración es del conjuno. La fuerza que ejerce el cable sobre y la que ejerce sobre iene el iso ódulo T.
Diaraa del cuerpo libre asas separadas La seunda ley de Newon para es T a F 0, N 0 f F f μ N μ T a + μ ( La seunda ley de Newon para es N a o, T + F f 0 μ N a F f μ T μ (3 De ( y (3 se iene a + μ μ ( μ a (4 + μ ( Susiuyendo (4 en ( se obiene la fuerza aplicada a M F ( M + + Ejeplo 33. Un bloque de asa se encuenra sobre oro bloque de asa M que esá apoyado sobre una superficie horizonal lisa. El coeficiene de rozaieno enre los dos bloques es μ. l bloque M se le aplica una fuerza horizonal diriida hacia la derecha que depende del iepo seún la ley F. Deerinar: a El insane τ en que epieza a deslizar sobre M. b La aceleración de cada uno de los bloques. Diaraa del cuerpo libre del conjuno a Considereos un sisea de referencia fijo en el suelo con el eje x paralelo a la fuerza aplicada F. Sea τ el insane en que epieza a deslizar sobre M. Hasa dicho insane τ, el conjuno se uee con una aceleración coún a. La seunda ley de Newon aplicada al conjuno en el insane τ es M +, N ( M + 0 ( ( τ a τ a τ M + ( ( τ ( La seunda ley de Newon aplicada a la asa en el insane τ es, ( la fuerza de rozaieno sobre iene, en ese insane, su alor áxio F f μ F f μn a( τ, N μ a( τ μ ( ( M + De ( y ( queda τ μ s b De ( se iene que la aceleración del conjuno para < τ es a ( a( ( M + Para > τ. Las fuerzas que acúan sobre son consanes, lueo la aceleración de es a a ( τ μ La seunda ley de Newon aplicada a la asa M es F f μ N Ma(, coo N μ Ma( y a ( μ + M M s Gráfica de las aceleraciones en función del iepo
Ejeplo 34. Dos bloques y B de asas y B esán unidos ediane un cable que pasa a raés de una polea al coo se uesra en la fiura adjuna. El coeficiene de rozaieno enre el bloque y el plano inclinado es μ. Deerinar el senido del oiieno cuando se dejan en liberad a parir del reposo. El cable es inexensible y las asas del cable y la polea despreciables. Suponaos que el bloque sube sobre el plano inclinado. Sea T la fuerza que ejercen los exreos del cable sobre los bloques diriida, en abos bloques, al coo se indica. El oiieno de B es hacia arriba, lueo B < T El oiieno de es hacia abajo, lueo T + μ cosθ < senθ El oiieno de los bloques es el indicado si B < senθ μ cosθ B < senθ μ cosθ Los bloques no se ueen si B sen θ μ cosθ < < senθ + μ cosθ Ejeplo 35. Dos bloques y B de asas 0 y 7, esán unidos ediane un cable que B pasa a raés de las poleas al coo se uesra en la fiura adjuna. El coeficiene de rozaieno enre el bloque y el plano inclinado es μ 0,0 y θ 30º. El cable es inexensible y las asas del cable y las poleas son despreciables. Deerinar: a Las aceleraciones de los bloques; b La ensión del cable. El oiieno de B es hacia abajo, lueo B > T El oiieno de es hacia arriba, lueo T > senθ + μ cosθ El oiieno de los bloques es el indicado si B > senθ + μ cosθ B > sen θ + μ cosθ Suponaos que el bloque desciende sobre el plano inclinado. Suponaos que el oiieno de es hacia abajo, lueo: T + μ cosθ < senθ T < senθ μ cosθ El oiieno de B es hacia arriba, lueo: B < T De abas expresiones queda B < senθ μ cosθ ( 7 < ( 0 sen30º 0,0( 0 cos30º Con los alores 3,5 < 4,3 Desiualdad que se cuple, lueo el oiieno es el preiso. 3
a Considereos un sisea de referencia con el eje x horizonal. Las posiciones de los bloques esán relacionadas por la condición de liadura s + yb consane, Lueo sus aceleraciones cuplen a a 0 a a a ( + B B Fuerzas sobre los bloques La seunda ley de Newon aplicada al bloque es a sen θ T μn, N cos θ 0 De esas dos obeneos: T ( sen θ μ cosθ a ( La seunda ley de Newon aplicada al bloque B es T B BaB T a (3 ( B B + Iualando las ecuaciones ( y (3, B ab + senθ μ cosθ a Teniendo en cuena la ecuación ( y los alores: 7 a + 9,8 0 9,8 0,5 0, 0,87 0 a esoliendo: a 0,6 /s Las aceleraciones de los bloques son : a 0,6 /s para arriba. ( ( ( ( ( ( ( a B 0,5 /s para abajo. b La aniud de la ensión del cable es el alor de la fuerza que el cable ejerce sobre los bloques. De la ecuación (3 se iene ( 7( 0,6 + 9,8 T 35, N Ejeplo 36. Dos bloques y B de asas y B esán unidos ediane un cable que pasa a raés de las poleas al coo se uesra en la fiura adjuna. El coeficiene de rozaieno enre el bloque y el plano inclinado es μ. El cable es inexensible y las asas del cable y la polea son despreciables. Esudiar el senido del oiieno de los bloques. Suponaos que el bloque asciende por el plano inclinado. Considereos un sisea de referencia con el eje x horizonal. Las posiciones, por una pare, del bloque y de la polea óil, esán relacionadas por las condiciones de liadura s + h y p consane Las posiciones de la polea y el bloque B, esán relacionadas por las condiciones de liadura y p y B consane De esas dos ecuaciones obeneos: s + h yb consane Las coponenes de las aceleraciones de los bloques saisfacen la condición a ( a B Sean T y T B las fuerzas que los cables ejercen sobre los respecios bloques. Fuerzas sobre los bloques y sobre la polea óil. Coo la polea superior iene asa despreciable solo cabia el senido de la fuerza. La asa de la polea óil es cero, lueo T y La ensión en abos lados son iuales ( B T T B ( De la seunda ley de Newon aplicada al bloque se iene: T sen θ μn a N cos θ 0 De esas ecuaciones obeneos: T ( sen θ + μ cosθ + a (3 De la seunda ley de Newon aplicada al bloque B se iene B TB BaB TB B ( ab (4 De las ecuaciones (, (, (3 y (4 obeneos: ( senθ + μ cosθ + a B ( a B ( senθ + μ cosθ a + 4 B 4
El oiieno es el indicado, si se cuple: B > ( senθ + μ cosθ El oiieno es de senido opueso, si se cuple: B < ( senθ μ cosθ El sino enos es porque en ese caso el peso de la asa es el que uee al sisea y la fuerza de rozaieno esá en senido conrario a ése. Ejeplo 37. los exreos de un hilo que pasa a raés de una polea fija al echo de la cabina de un ascensor se aan los cuerpos de asa y ( <. La cabina coienza a subir con una aceleración consane /. Despreciando la asa de la polea y la del hilo, así coo el rozaieno, calcular: a La aceleración de y respeco de la cabina y con relación al foso del ascensor. b La fuerza con la cual la polea acúa sobre el echo de la cabina. a El ascensor consiuye una referencia no inercial en raslación que se uee con una aceleración consane en senido ascendene respeco de una referencia fija. Seleccioneos una referencia con orien O en un puno del ascensor. La aceleración del orien O respeco de la referencia fija O es la aceleración del ascensor ˆj. Sean a' ˆj la aceleración de y a' ˆj la aceleración de en la referencia O. Las fuerzas exeriores que acúan sobre la son la ensión del cable T y el peso, y sobre son la ensión del cable T y el peso. De la ecuación fundaenal de la dináica en la referencia no inercial se iene a' T 3 a' T ( a' T 3 a' T ( De la condición de liadura para los bloques se iene a ' +a' 0 a ' a' a' (3 De las ecuaciones (, ( y (3 se obiene 3 3 a' T y a' T + Suando esas ecuaciones: 3 ( + a' ( Despejando a ' 3 ( a' ( + Finalene: a' a' ˆj y a' a' ˆj En la referencia fija, las aceleraciones de y de se obienen de suar a las aneriores la aceleración del ascensor ( a a ( + ' y + ( a a ( ' + b La fuerza que la polea ejerce sobre el echo de la cabina es F T 0 F T De la ecuación ( y (3 se iene 3 3 T a ( ' + + 5
Lueo F T 6 ( + Ejeplo 38. Un niño de asa 45 se pesa en una báscula de resore siuada sobre una plaafora especial que se desplaza por un plano inclinado de ánulo θ 30º coo uesra la fiura (no hay rozaieno enre la plaafora y el plano inclinado. Cuál será la lecura de la báscula en esas condiciones? Fx F f a cos 30º 0 ( F y N + asen 30º 0 ( 3 de ( F f 45 9N de ( N asen30º 45 4 33,45 K. Siendo N la canidad que arca la báscula. Solución en una referencia no inercial. Seleccioneos una referencia con orien O (x,y en un puno de la plaafora. El niño esá en reposo sobre la plaafora. Sea M la asa del conjuno niño - cuña., y a la aceleración con la que desliza hacia abajo el conjuno. plicando la seunda ley de Newon al conjuno niño - cuña. // Ma M sen 30º Ma a sen30º La aceleración del conjuno es a Solución en una referencia inercial. Sobre el niño acúan: su peso y la reacción F f en el apoyo. La indicación de la báscula el alor de la noral. plicando la seunda ley de Newon al DCL del niño. plicando la seunda ley de Newon al DCL del niño. F f a cos30º x ( y N asen30º ( 3 de ( F f 45 9N de ( N asen30º 45 4 33,45 Siendo N la canidad que arca la báscula. Ejeplo 39. Un ascensor de asa oal 3M es leanado bajo la acción de una fuerza F. El piso del ascensor esá inclinado un ánulo θ, con respeco a la horizonal. deás, un bloque de asa M se apoya sobre el cenro del piso ruoso del ascensor (con coeficiene de fricción esáica μ. a Hallar la aceleración del ascensor. b Haa el diaraa de cuerpo libre de la asa M. c Cuál es el alor áxio de F para que el bloque denro del ascensor no resbale respeco del piso del ascensor? d Si el ascensor pierde conaco con la fuerza F y epieza a caer libreene, calcule el alor de la fuerza noral enre el bloque y el piso del ascensor, y la fuerza de fricción sobre el bloque. a Para hallar la aceleración del ascensor. 6