NÚMEROS REALES NÚMEROS RACIONALES: Se caracterizan porque pueden expresarse: En forma de fracción, es decir, como cociente b a de dos números enteros: a, y b Z con b 0 Con un número entero o con una expresión decimal exacta o no exacta y periódica. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q. Ejemplos: 4 9 4 7,,, 2 4 3 6 Con una fracción:. Con un número entero: 3, 7, 0, 12. Con un decimal exacto: 2 '25, 3'5. Con un decimal no exacto y periódico: 1 '3333... (periódico puro), 3 '7020202... (periódico mixto) PASAR DE FRACCIÓN A DECIMAL Para obtener la expresión decimal de una fracción, se efectúa la división del numerador entre el denominador. Ejemplos: PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN
sin coma d. exacto = 1 seguido detantos 0 comocifras decimales tenga el número sincoma y sinarquito su parteno periódica d. periódico puro = formado por tantos 9 como cifras tenga el periodo sincoma y sinarquito su parte no periódica sin coma d. p. mixto = con tantos 9 como cifras tenga el periodo seguido detantos0 comocifras tenga el anteperiodo NÚMEROS IRRACIONALES: Se caracterizan porque: No pueden expresarse en forma de fracción. Su expresión decimal tiene infinitas cifras y no es periódica. El conjunto de todos los números irracionales se designa por I. Ejemplos: Raíces no exactas de números enteros: 2 ; 3 4 5 ; 8 Expresiones decimales no exactas y no periódicas que presentan algún tipo de regularidad o no: 15 01001000100001..; 0 1234567891011121314 ; 3 2041257. 1+ 5 Números importantes como: π = 3' 14159265... ; e = 2'718281... ; Φ = = 1'618... 2 NÚMEROS REALES.CLASIFICACIÓN: Tanto los números racionales como los irracionales se llaman números reales. Se caracterizan, por lo tanto, por admitir una expresión entera o decimal (exacta, periódica o no periódica). El conjunto de los números reales se designa por R. Se clasifican:
Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que hacíamos con los números racionales: sumar, restar, multiplicar, dividir (salvo por el cero), y elevar a un exponente entero, y se siguen manteniendo las mismas propiedades (Editorial Santillana pág.52). Para realizar estas operaciones se pueden utilizar aproximaciones tomando el número de cifras decimales que se considere apropiado. El resultado será una aproximación del valor real y se cometerá un error cuya magnitud dependerá del número de cifras decimales utilizadas (lo estudiaremos más adelante). LA RECTA REAL Los números reales se representan en la recta graduada: Los que son racionales se pueden dibujar de forma exacta (usando regla y compás).los hemos representado en el tema anterior. Decimal no periódico: Irracionales No obstante, en la recta numérica hay infinitos puntos no ocupados por números racionales. A cada uno de estos puntos le corresponde un número irracional: Solo algunos números irracionales pueden ser representados sobre la recta graduada con regla y compás: Los radicales cuadráticos ( 2, 3, 5, 6, ). Se puede representar construyendo triángulos rectángulos (Se utiliza el teorema de Pitágoras donde la hipotenusa es lo que queremos dibujar.) Ejemplo: 10
Ejemplos: Representa 5 ; 14 ; 18 ; 27 Si un número irracional viene dado por su expresión decimal, podemos representarlo, de forma aproximada: Ejemplo: 3,470470047... Podemos afinar tanto como queramos. Los números reales pueden ser representados en la recta real, según los casos, de forma exacta, o bien con tanta aproximación como queramos. Los números reales llenan la recta numérica (para cada real hay un solo punto de la recta que lo representa y cada punto de la recta es representante de un solo real) por eso se la llama RECTA REAL. ORDENACIÓN DE NÚMEROS REALES Si tenemos varios números reales representados sobre la recta, cuanto más pequeño sea el número real, más a la izquierda estará representado sobre la recta. Entre varios números reales expresados en forma decimal, es menor el que tenga menor la primera cifra distinta de mayor orden. Ejemplo: Ordena de menor a mayor: 7'512 ; 7'51234... ; 7'512 ; 7'5112233... ; 7' 5 ) Entre dos números reales hay infinitos números reales (el valor media aritmética de los dos es real y está entre ambos). ) INTERVALOS Y SEMIRECTAS. La relación de orden permite definir algunos subconjuntos muy utilizados de números reales que tienen una interpretación sencilla en la recta real:
Nota : Si queremos nombrar un conjunto de puntos formados por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos. Si queremos nombrar un conjunto de puntos comunes a dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (intersección) entre ellos. EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS REALES. VALORES APROXIMADOS. ERRORES APROXIMACIÓN DECIMAL Para operar con los números que tienen su expresión decimal con infinitas cifras decimales se utilizan sus aproximaciones decimales, que son números decimales exactos (y por tanto racionales) con valores muy próximos al de los números en cuestión. Aproximar un número real es sustituirlo por otro racional que sea entero o decimal exacto, con valor muy próximo al suyo. Se dice que la aproximación se hace por defecto cuando la sustitución es por un número menor que el original, y por exceso cuando la sustitución se hace por un número mayor que él. Las aproximaciones se hacen a un orden dado. En cada aproximación coinciden todas sus cifras con las del número original hasta llegar a la cifra correspondiente al orden establecido. Esta última cifra también coincide si la aproximación es por defecto, y es una unidad mayor que la del número original si lo es por exceso
Ejemplo: Escribe una aproximación por defecto y otra por exceso de 3 hasta las milésimas: 3 = 1'7320508... Por defecto: 1 732 Por exceso: 1 733 ERRORES Al utilizar cualquier aproximación de un número real se comete un error, que será menor cuantas más cifras decimales tenga la aproximación. Error absoluto = valor real aproximación Pero no es lo mismo cometer un error de 1 cm al medir la longitud de la clase que al medir la distancia del instituto al paseo; por eso tiene sentido definir: Error relativo = Error absoluto valor real, aunque habitualmente se toma para los números irracionales: Error relativo = Error absoluto valor aproximado Ejemplo: π. 7 6 a) Calcula el error absoluto y relativo que se comete al tomar 3 142 como valor aproximado del número b) Calcula el error absoluto y relativo que se comete al tomar 1 17 como valor aproximado del número REDONDEO Redondear un número a un cierto orden es escoger entre las aproximaciones del número por defecto y por exceso hasta ese orden, aquella con la que se cometa menor error absoluto. Para redondear un número a un cierto orden, se desprecian todas las cifras siguientes al orden indicado. -Si la primera cifra despreciada es inferior a 5 (0,1,2,3,4), se toma como redondeo la aproximación por defecto. - Si la primera cifra despreciada es superior o igual a 5 (5,6,7,8,9), se toma como redondeo la aproximación por exceso. Ejemplo: El redondeo de 7 = 2'64575131... a las centésimas es: 2 65