Lección 4: Factorización de Trinomios Cuadráticos de la forma x 2 + bx + c Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2009
Objetivos de la Lección Al finalizar esta lección los estudiantes: Factorizarán trinomios cuadráticos de la forma x 2 + bx + c Resolverán problemas donde se aplique la factorización de trinomios cuadráticos
Introducción
Definición de Trinomio Cuadrático Un trinomio cuadrático es un polinomio de tres términos que tiene una de las siguientes formas: ax 2 + bx + c ó ax 2 + bxy + cy 2 (a, b, c son números Reales)
Ejemplos de Trinomios Cuadráticos x 2 + 5x + 6 2x 2-8x + 16 3x 2 + x - 18 15x 2-6x - 10 8x 2 + 2xy + 27y 2 6x 2 + 15xy + 8y 2
Reflexión Ejemplos de Trinomios Cuadráticos x 2 + 5x + 6 2x 2-8x + 16 3x 2 + x 18 15x 2-6x - 10 8x 2 + 2xy + 27y 2 6x 2 + 15xy + 8y 2 Un trinomio cuadrático puede tener una sola variable en cuyo caso tiene la siguiente forma: ax 2 + bx + c Observa que: El polinomio es un trinomio. Si tiene una sola variable ésta aparece disminuyendo su potencia desde grado 2 hasta grado 0, o aumentando su potencia desde grado 0 hasta grado 2. Los coeficientes a, b, c, pueden ser cualesquiera números reales.
Reflexión Ejemplos de Trinomios Cuadráticos x 2 + 5x + 6 2x 2-8x + 16 3x 2 + x 18 15x 2-6x - 10 8x 2 + 2xy + 27y 2 6x 2 + 15xy + 8y 2 Si el trinomio cuadrático tiene dos variables tiene la siguiente forma: ax 2 + bxy + cy 2 Observa que: El polinomio es un trinomio. Si tiene dos variables, en el primer término aparece la primera variable elevada al cuadrado, en el último término aparece la segunda variable elevada al cuadrado, en el término del medio aparecen las dos variables de grado 1 cada una. Los coeficientes a, b, c, pueden ser cualesquiera números reales.
Descubriendo la relación entre la multiplicación de binomios y la factorización de trinomios cuadráticos
Introducción El método de factorización que estudiaremos en esta lección está relacionado con el proceso de multiplicación de binomios que estudiamos en la lección 2. Comenzaremos repasando lo que aprendimos sobre la multiplicación de binomios.
Multiplicación de Binomios Multiplica: (x + 2) (x + 3) Método Vertical: x + 2 x + 3 3x + 6 x 2 + 2x x 2 + 5x + 6 Observa que cuando se multiplican dos binomios obtenemos como resultado un trinomio cuadrático
Método-FOIL Multiplica: (x + 2)(x + 3) F (x + 2)(x + 3) = L El ejemplo anterior se puede hacer también por el método FOIL. I O = x 2 + 3x + 2x + 6 F O I L = x 2 + 5x + 6
Cómo haríamos si queremos ir al revés? O sea, si tenemos el trinomio cuadrático y queremos hallar los dos binomios que se multiplican para obtener como resultado el polinomio Veamos la relación que hay entre los binomios y el resultado...
Relación entre la multiplicación de los binomios (x + 2) (x + 3) y el resultado x 2 + 5x + 6 x + 2 x + 3 3x + 6 x 2 + 2x x 2 + 5x + 6 De x por x De 2 por 3 De dónde sale el primer término del polinomio: x 2? Del producto cruzado: 2 por x, 3 por x, y luego sumar estos productos. De dónde sale el tercer término del polinomio: 6? De dónde sale el segundo término del polinomio: 5x?
Proceso para factorizar Tinomios Cuadráticos
Pasos a seguir para factorizar Trinomios Cuadráticos x 2 + 5x + 6 1. Buscar dos factores del primer término: ( x. x) 2. Buscar dos factores del tercer término: ( 2. 3) 3. Buscar la combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se multipliquen cruzado y luego se sumen esos productos, el resultado sea el segundo término: (2. x) + (3. x) = 2x + 3x = 5x
Demostración del proceso
Ejemplo 1:Factoriza el Trinomio Cuadrático x 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) 1 x 2 + 5x + 6 2 ( x 3 2) 3 ( ) X 3 2x + 3x 5x Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios. 3 Paso 1: Buscar dos factores del primer término. Paso 2: Buscar dos factores del tercer término. Paso 3: Buscar la combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se multipliquen cruzado y luego se sumen esos productos, el resultado sea el segundo término.
Ejemplo 2:Factoriza el Trinomio Cuadrático x 2 10x + 21 = (x 7) (x 3) x 2 10x + 21 1 2 ( x 3-7 ) 3 ( ) X -3-7x + -3x -10x Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios. 3 Paso 1: Buscar dos factores del primer término. Paso 2: Buscar dos factores del tercer término. Paso 3: Buscar la combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se multipliquen cruzado y luego se sumen esos productos, el resultado sea el segundo término.
Ejemplo 3: Factoriza el Trinomio Cuadrático x 2 2x 24 = (x + 4) (x 6 ) 1 x 2 2x 24 2 ( x 3 4 ) 3 ( X ) -6 4x + -6x -2x Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios. 3 Paso 1: Buscar dos factores del primer término. Paso 2: Buscar dos factores del tercer término. Paso 3: Buscar la combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se multipliquen cruzado y luego se sumen esos productos, el resultado sea el segundo término.
Reflexión Este método a veces da trabajo porque hay que tantear las posibles combinaciones de factores del primer y tercer término que al multiplicarlos y luego sumar esos productos sean igual al segundo término. Por ejemplo: Si usamos otros factores de -24, como por ejemplo, -12 y 2, al sumarlos tendríamos: x 2 2x 24 x -12-12x x 2 + 2x -10x Observa que -10x no es igual al segundo término -2x. En este caso, tendríamos que buscar otros factores.
Ejemplo 4: Factoriza el Trinomio Cuadrático x 2 2xy 48y 2 = (x + 6y) (x 8y) 1 x 2 2xy 48y 2 x 3 ( 6y) ( 3 X ) 2-8y 6xy + -8xy -2xy Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios. 3 Paso 1: Buscar dos factores del primer término. Paso 2: Buscar dos factores del tercer término. Paso 3: Buscar la combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se multipliquen cruzado y luego se sumen esos productos, el resultado sea el segundo término.
Ejemplo 5: Factoriza el Trinomio Cuadrático 32 + 4x x 2 = (4 + x) (8 x) 1 32 + 4x x 2 4 3 ( x ) ( 3 8 ) 2 -x 8x + -4x 4x Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios. 3 Paso 1: Buscar dos factores del primer término. Paso 2: Buscar dos factores del tercer término. Paso 3: Buscar la combinación, de todos los posibles factores, tal que, cuando se multipliquen cruzado y luego se sumen esos productos, el resultado sea el segundo término.
Ejemplo 6: Factoriza el Trinomio Cuadrático 5x + x 2 14 x 2 + 5x 14 Este polinomio hay que ordenarlo en forma descendente primero. 2 1 x 3 ( 7 ) ( 3 x ) -2 7x + -2x 5x 3 x 2 + 5x 14 = (x + 7) (x 2)
Ejemplo 7: Factoriza el Trinomio Cuadrático y 4 + 5y 2 84 2 1 y 2 ( ) 3 12 y 2 3 ( -7 ) + 12y 2-7y 2 5y 2 3 y 4 + 5y 2 84 = (y 2 + 12 ) (y 2 7 )
Ejemplo 8: Factoriza el Trinomio Cuadrático y 2 + y + 5 2 1 3 Este polinomio es primo. Los únicos factores de 5 son 5 y 1 y de ninguna manera se obtendría el término del medio. y y 3 3 5 1 5y + y 6y y 2 + y + 5 = Polinomio primo
Observas algún patrón que relacione los signos de + ó -?
Patrón ( + ) ( + ) = ( - ) ( - ) = ( + ) ( - ) = ( - ) ( + ) = + + - + +/- - +/- - Si los signos en los dos binomios son de suma: ( + )( + ), entonces los signos de los tres términos del polinomio son positivos. Si los signos en los dos binomios son de resta: ( )( ), entonces los signos del primer y último término del polinomio son positivos y el signo del segundo término es negativo. Si los signos en los dos binomios son uno de suma y uno de resta: ( + )( ), ó ( )( + ), entonces el último término es negativo y el signo del segundo término puede ser positivo o negativo, dependerá del valor absoluto mayor.
Reflexión sobre el patrón Conocer el patrón de los signos ayuda a factorizar más rápido porque ayuda a identificar más fácilmente los signos de los factores que se buscan y limita la búsqueda por tanteo.
Reflexión Hasta el momento, todos los trinomios cuadráticos que hemos visto en la forma ax 2 + bx + c ó ax 2 + bxy + cy 2 tienen al número a = 1. Pero, hay trinomios cuadráticos donde a puede ser cualquier número. Esta clase de trinomios cuadráticos se estudiarán en la próxima lección.
Problemas
Problema 1 Halla todos los enteros m para los cuales el polinomio a continuación pueda factorizarse. x 2 + mx + 75
Solución de Problema 1 Halla todos los enteros m para los cuales el polinomio a continuación pueda factorizarse. x 2 + mx + 75 Para hallar los enteros m identificamos todos los posibles factores de 75, éstos son: 25. 3 15. 5 75. 1 Como m es la suma de los factores de 75, ahora, sumamos las combinaciones de factores anteriores y tenemos: 25 + 3 = 28 15 + 5 = 20 75 + 1 = 76 Finalmente, como m puede ser positivo o negativo, la contestación al problema es: 28, -28, 20, -20, 76, -76.
Problema 2 Halla una expresión polinómica en forma factorizada que represente el área de la región sombreada a continuación. 2 2 x + 2 x + 5
Solución de Problema 2 La expresión polinómica para el área de la región sombreada será igual al área del rectángulo grande azul menos el área del cuadrado blanco. -El área del rectángulo grande azul es: (x + 5)(x + 2). -El área del cuadrado blanco es: 2. 2 = 4 -El área de la región sombreada es: (x + 5)(x + 2) 4. Multiplicando y simplificando tenemos: (x + 5)(x + 2) 4 = x 2 + 7x + 10 4 = x 2 + 7x + 6 Como el problema pide que halle una expresión polinómica en forma factorizada, factorizamos 2 el polinomio anterior y tenemos: (x + 6) (x + 1) 2 x + 2 x + 5
Ejercicios Práctica
Instrucciones Factoriza completamente en tu libreta. Si el polinomio es primo, indícalo. Después de hacer los ejercicios, haz clic para ver resultados.
Factoriza Completamente: x 2 + 9x + 20 = (x + 4) (x + 5) x 2-7x + 12 = (x - 4) (x - 3) x 2-2x - 8 = (x - 4) (x + 2) x 2 + 3x - 18 = (x + 6) (x - 3)
Factoriza Completamente: x 2 - x - 12 = (x - 4) (x + 3) x 2-11x + 24 = (x - 8) (x - 3) x 2 + 2xy - 15y 2 = x 2 + 7xy + 6y 2 = (x + 5y) (x - 3y) (x + 6y) (x + y)
Factoriza Completamente: 32 + 4x - x 2 = (8 - x) (4 + x) x 4 + 11x 2-60 = (x 2 + 15) (x 2-4) x 2 + 12x + 13 = (x + 12) (x + 1) x 2 + 12xy + 27y 2 = (x + 9y) (x + 3y)
Factoriza Completamente: p 2 5pq 24 q 2 = (p - 8q) (p + 3q) x 2-3x + 7 = No se puede factorizar ya que no hay combinación de factores de 7 posibles cuya suma sea igual a -3. Este polinomio es primo.
Factoriza Completamente: x + x 2 90 = Hay que ordenar el polinomio en forma descendente, y entonces se obtiene: x 2 + x 90 La factorización es: (x + 10) (x - 9) x 3 - x 2-56x = No es trinomio cuadrático, pero tiene a x como factor común. Sacando a x como factor común tenemos: x(x 2 - x - 56). Ahora podemos factorizar el trinomio cuadrático que está dentro del paréntesis. La factorización completa es: x (x - 8) (x + 7)
Resuelve los problemas a continuación 1. Uno de los factores del polinomio x 2-345x - 7300 es (x + 20). Halla el otro factor. 2. Halla una expresión polinómica en forma factorizada que represente el área de la región sombreada a continuación. 2 1 x + 4 x + 5
Contestación a los problemas 1. El factor es (x -365). 2. La expresión polinómca es: (x + 6) (x + 3)